第五章教案(向量)-8

第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1。

了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。

掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。

知识梳理1.向量的有关概念（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3）单位向量:长度等于1个单位的向量.（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量。

规定：0与任一向量平行。

（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。

（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。

2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a＋b＝b＋a。

（2）结合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa｜＝｜λ|｜a｜；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(μa)＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb＝03.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。

［常用结论与微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2。

中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!).3。

错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ为实数),若点A,B，C共线，则λ＋μ＝1.4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.诊断自测1。

平面向量基本定理(教案)教案章节一：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量可以用坐标形式表示，例如在二维空间中，向量可以表示为(a, b)。

1.2 向量的加法向量的加法是指在同一平面内，将两个向量首尾相接，形成的第三个向量。

向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

教案章节二：平面向量的基本定理2.1 定理的定义平面向量的基本定理是指在平面内，任何两个不共线的向量可以作为平面的基底。

基底是线性无关的向量组，可以通过线性组合表示平面内的任意向量。

2.2 基底的性质基底是线性无关的，即不存在非零的线性组合使得向量组的和为零。

基底可以任意选择，但选择不同的基底会导致向量的坐标不同。

教案章节三：向量的线性组合3.1 线性组合的定义向量的线性组合是指将向量与实数相乘后相加的结果。

例如，a u + b v 表示将向量u 乘以实数a，向量v 乘以实数b，将两个结果相加。

3.2 线性组合的性质线性组合满足分配律，即(a u + b v) + c w = a (u + c w) + b v。

线性组合的系数可以是任意实数，包括正数、负数和零。

教案章节四：向量的坐标表示4.1 坐标系的建立坐标系是由两个或多个轴组成的，用于表示向量的位置和方向。

在二维空间中，通常使用x 轴和y 轴作为坐标轴。

4.2 向量的坐标表示向量可以用坐标形式表示，即(x, y)，其中x 表示向量在x 轴上的投影，y 表示向量在y 轴上的投影。

向量的长度可以用勾股定理计算，即|u| = √(x^2 + y^2)。

教案章节五：向量的线性相关性5.1 线性相关的定义向量组线性相关是指存在一组不全为零的实数，使得向量组的和为零。

例如，向量组(u, v, w) 线性相关，当存在不全为零的实数a, b, c，使得a u +b v +c w = 0。

5.2 线性相关性的性质如果向量组线性相关，其中任意一个向量都可以表示为其他向量的线性组合。

第十五教时教材：平面向量的数量积平移的综合练习课目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理有关长度、角度、垂直的问题。

过程：一、复习：1．平面向量数量积的定义、运算、运算律2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法 3．平移的有关概念、公式 二、 例题例一、a 、b 均为非零向量，则 |a +b | = |a -b | 是 的………………（C ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若|a +b | = |a -b | ⇔ |a +b |2 = |a -b |2 ⇔ |a |2 + 2a ⋅b + |b |2 = |a |2 - 2a ⋅b + |b|2 ⇔ a ⋅b = 0 ⇔ a ⊥b例二、向量a 与b 夹角为3π，|a | = 2，|b | = 1，求|a +b |⋅|a -b |的值。

解：|a +b |2 = |a |2 + 2a ⋅b + |b |2 = 4 + 2×2×1×cos 3π+ 1 = 7∴|a +b | =7, 同理：|a -b |2 = 3, |a -b | =3 ∴|a +b |⋅|a -b | =21 例三、 中，= a ，= b ，= c ，= d ， 且a ⋅b = b ⋅c = c ⋅d = d ⋅a ，问ABCD 是怎样的四边形？ 解：由题设：|a |⋅|b |cos B = |b |⋅|c |cos C = |c |⋅|d |cos D = |d |⋅|a |cos A ∵|a | = |c | , |b | = |d | ∴cos A = cos B = cos C = cos D = 0 ∴ 是矩形 例四、 如图△ABC 中，= c ，BC = a ，CA = b ， 则下列推导不正确的是……………（D ） A ．若a ⋅b < 0，则△ABC 为钝角三角形。

第十三教时教材：平面向量的数量积的坐标表示目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。

过程：一、复习：1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2．平面向量数量积的运算 3．两平面向量垂直的充要条件 4．两向量共线的坐标表示： 二、 课题：平面两向量数量积的坐标表示1．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ， 则：i ⋅i = 1，j ⋅j = 1，i ⋅j = j ⋅i = 0 2．推导坐标公式：∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j∴a ⋅b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ⋅j + x 2y 1i ⋅j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2从而获得公式：a ⋅b = x 1x 2 + y 1y 2例一、设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：a ⋅b = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2 3．长度、角度、垂直的坐标表示1︒a = (x , y ) ⇒ |a|2 = x 2 + y 2 ⇒ |a | =22y x +2︒若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+-3︒ co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=4︒∵a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）4．例二、已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。

证：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) ∴⋅=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴⊥∴△ABC 是直角三角形三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第73课例三、已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x 。

第十八教时教材：余弦定理目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形。

过程：一、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。

提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？2．在Rt △ABC 中(若C=90︒)有：222b a c += 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？二、提出课题：余弦定理 1．余弦定理的向量证明： 设△ABC 三边长分别为a, b, c AC =AB +BC•=(+)•(+)=2+2•+ 2=| |2+2||•||cos(180︒- B)+||2=22cos 2a B ac c +-即：B ac c a b cos 2222-+=同理可得：A bc c b a cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

3．强调几个问题：1︒熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等 2︒知三求一3︒当夹角为90︒时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）4︒变形：bc a c b A 2cos 222-+= ac b c a B 2cos 222-+= acc b a C 2cos 222-+=三、余弦定理的应用能解决的问题：1．已知三边求角2．已知三边和它们的夹角求第三边例一、(P130例4) 在△ABC 中，已知a =7, b =10, c =6 求A,B,C （精确到期1︒） 解略例二、(P131例5) 在△ABC 中，已知a =2.730, b =3.696, C=82︒28’解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到期1’） 解略例三、设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) a与b 的夹角为θ （0≤θ≤π），求证：x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b|cos θ证：如图：设a , b起点在原点，终点为A ，B则A=(x 1, y 1) B=(x 2, y 2) =b -a在△ABC 中，由余弦定理 |b -a |2=|a |2+|b |2-2|a ||b| cos θ∵|b -a |2=|AB |2=|(x 2-x 1, y 2-y 1)|2=(x 2-x 1)2+( y 2-y 1)2 |a |2=x 12+y 12|b |2= x 22+y 22 ∴(x 2-x 1)2+( y 2-y 1)2= x 12+y 12+ x 22+y 22-2|a||b| cos θ∴x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b |cos θ 即有a •b = x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b|cos θ四、小结：余弦定理及其应用五、作业：P131练习 P132 习题5.9 余下部分ABCcabOBAab。

第五章 向量的加减法教学设计示例第二课时二一．教学目标1．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量； 2．能利用向量减法的运算法则解决有关问题；3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；4．过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．二．教学重点：向量的减法的定义，作两个向量的差向量；教学难点：对向量减法定义的理解． 三．教 具：多媒体、实物投影仪 四．教学过程 1．设置情境上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法（板书课题：向量的减法）2．探索研究 （1）向量减法①相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做相反向量。

记作a- 规定：零向量的相反向量仍是零向量注意：1°a 与a -互为相反向量。

即a a=--)(2°任意向量与它的相反向量的和是零向量。

即0)()(=+-=-+a a a a 3°如果a 、b是互为相反向量，那么0,, =+-=-=b a a b b a②a 与b 的差：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b的差 即)(b a b a-+=-③向量的减法：求两个向量的差的运算叫做向量的减法④b a -的作法：已知向量a 、b ，在平面内任取一点O ，作b OB a OA==,，则b a BA -=。

即b a -可以表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量⑤思考：为从向量a的终点指向向量b 的终点的向量是什么？（a b -）师：还可以从加法的逆运算来定义，如图1所示，因为c b a =+，所以b 就是a c -，因而只要作出了b ，也就作出了a c -．要作出b a -，可以在平面内任取一点O ，作a =OA ，b =OB ，则b a -=BA ．师：若两向量平行，如何作它们的差向量？两个向量的差仍是一个向量吗？它们的大小如何（b a -的几何意义）？方向怎样？生：两个向量的差还是一个向量，b a -的大小是b a -，是连接a 、b 的终点的线段，方向指向被减向量． 练习：（投影） 判断下列命题的真假（1）0=+BA AB ．（ ）（2）相反向量就是方向相反的向量．（ ）（3）OB OA AB -=（ ） （4）b a b a ->-（ ）参考答案：√、×、×、× （2）例题分析【例1】已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量b a -，d c -师：已知的四个向量的起点不同，要作向量b a -与d c -，首先要做什么？ 生：首先在平面内任取一点O ，作a =OA ，b =OB ，c =OC ，d =OD 作BA 、DC ，则b a -=BA ，d c -=DC图1【例2】如图3所示，ABCD 中a =AB ，b =AD ，用a 、b 表示向量AC 、DB ．师：由平行四边形法则得b a +=AC由作向量差的方法 得b a -=-=AD AB DB 练习：（投影） 对例2进行变式训练变式一，本例中，当a 、b 满足什么条件时，b a +与b a -互相垂直？ 变式二，本例中，当a 、b 满足什么条件时，b a b a -=+？ 变式三，本例中，b a +与b a -有可能相等吗？为什么？ 参考答案： 变式一：当ABCD 为菱形时，即b a =时，b a +与b a -垂直． 变式二：当ABCD 为长方形时b a b a -=+，即b a ⊥．变式三：不可能，因为ABCD 的对角线总是方向不同的．3．演练反馈（投影）（1）△ABC 中，a =BC ，b =CA ，则AB 等于（ ） A ．b a + B ．()b a +- C ．b a - D ．a b - （2）下列等式中，正确的个数是（ ）①a b b a +=+； ②a b b a -=-； ③a a -=-0； ④()a a =--； ⑤()0=-+a a ．A ．5B ．4C ．3D ．2（3）已知8=AB ，5=AC ，则BC 的取值范围是_____________． 参考答案：（1）B ； （2）B ； （3）［3，13］4．总结提炼（1）相反向量是定义向量减法的基础，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量：()y x y x -+=-（2）向量减法有两种定义：①将减法运算转化为加法运算：()b a b a -+=-②将减法运算定义为加法运算的逆运算：如果a x b =+，则b a x -=．从作图上看这两种定义没有本质区别，前一个定义就是教材采用的定义法，但作图稍繁一点；后一种定义便于作图和记忆，两个有相同起点的向量相减，所得向量是连接两向量终点，并且指向被减向量的终点．五．板书设计图2图3向量的减法 相反向量 例1． 例2． 向量的减法。

第十四教时教材：平移目的：要求学生理解“平移”的概念和平移的几何意义，并掌握平移公式，能运用公式解决有关具体问题。

过程：一、平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而导致函数的解析式也随着改变。

这个过程称做图形的平移。

（作图、讲解） 二、 平移公式的推导：1．设P (x , y )是图形F图象F ’上的对应点为P ’(x ’, y ’)——可以看出一个平移实质上是一个向量。

2．设= (h , k )，即：'+=∴(x ’, y ’) = (x , y ) + (h , k ) ∴⎩⎨⎧+=+=ky y hx x '' —— 平移公式3．注意：1︒它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系 2︒知二求一3︒这个公式是坐标系不动，点P (x , y )按向量a = (h , k )平移到点P ’(x ’, y ’)。

另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量-a ，即：⎩⎨⎧-=-=k y y hx x ''。

这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样的， 这两个公式作用是一致的。

三、应用：例一、（P 121 例一）1．把点A (-2, 1)按a = (3, 2)平移，求对应点A ’的坐标(x ’, y ’)。

2．点M (8, -10)按a 平移后对应点M ’的坐标为(-7, 4)，求a 。

解：1．由平移公式：⎩⎨⎧=+==+-=321y'132x' 即对应点A ’的坐标为(1, 3)2．由平移公式：⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧+-=+=-141510487k h k h 即a 的坐标为(-15, 14) 例二、将函数y = 2x 的图象l 按a = (0, 3)平移到l ’，求l ’的函数解析式。

解：设P (x , y )为l 上任一点，它在l ’上的对应点为P ’(x ’, y ’)由平移公式：⎩⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒+=+=3''3'0'y y x x y y x x代入y = 2x 得：y ’ - 3 = 2x ’ 即：y ’ = 2x ’ + 3按习惯，将x ’、y ’写成x 、y 得l ’的解析式：y = 2x + 3（实际上是图象向上平移了3个单位） 例三、已知抛物线y = x 2+ 4x + 7，1．求抛物线顶点坐标。

第一章：向量共线的概念引入1.1 课程背景：在之前的课程中，我们已经学习了向量的基本概念，包括向量的定义、向量的运算等。

本节课我们将学习向量共线的概念，并了解向量共线的条件。

1.2 教学目标：1. 理解向量共线的概念；2. 掌握向量共线的条件；3. 能够运用向量共线的条件解决实际问题。

1.3 教学内容：1. 向量共线的概念引入；2. 向量共线的条件讲解；3. 向量共线条件的应用实例。

第二章：向量共线的条件2.1 课程背景：在第一节课中，我们已经了解了向量共线的概念。

本节课我们将学习向量共线的条件，并能够运用这些条件判断两个向量是否共线。

2.2 教学目标：1. 掌握向量共线的条件；2. 能够判断两个向量是否共线；3. 能够运用向量共线的条件解决实际问题。

2.3 教学内容：2. 判断两个向量是否共线的实例；3. 向量共线条件的应用实例。

第三章：向量共线定理3.1 课程背景：在第二节课中，我们已经学习了向量共线的条件。

本节课我们将学习向量共线定理，并能够运用向量共线定理解决实际问题。

3.2 教学目标：1. 掌握向量共线定理；2. 能够运用向量共线定理解决实际问题；3. 能够运用向量共线定理进行证明。

3.3 教学内容：1. 向量共线定理的讲解；2. 向量共线定理的应用实例；3. 向量共线定理的证明。

第四章：向量共线的坐标表示4.1 课程背景：在第三节课中，我们已经学习了向量共线定理。

本节课我们将学习向量共线的坐标表示，并能够运用坐标表示判断两个向量是否共线。

4.2 教学目标：1. 掌握向量共线的坐标表示；2. 能够运用坐标表示判断两个向量是否共线；3. 能够运用坐标表示解决实际问题。

4.3 教学内容：1. 向量共线的坐标表示讲解；2. 判断两个向量是否共线的坐标表示实例；3. 向量共线的坐标表示应用实例。

第五章：向量共线条件的应用5.1 课程背景：在第四节课中，我们已经学习了向量共线的坐标表示。

本节课我们将学习向量共线条件的应用，并能够运用这些条件解决实际问题。

向量的教案5篇向量的教案篇1一、教学内容分析1、教学主要内容(1)平面向量数量积及其几何意义(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。

3、教学内容的核心教学思想用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。

4、我的思考本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。

因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。

二、学生分析1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。

因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形a·b=∣om∣·∣ob∣=∣b∣cosθ∣a∣即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。

对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。

2、我的思考对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。

三、学习目标1、知识与技能(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。

(2)平面向量数量积的应用。

2、过程与方法通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。

3、情感态度与价值观培养学生运算推理的能力。

四、教学活动内容师生互动设计意图时间1、课题引入师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。

生：加法、减法，数乘师：这些运算所得的结果是数还是向量。

生：向量。

师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。

3min 2、平面向里的数量积定义师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab②o与任何向量的数里积为o。

第二十二教时教材：复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高到一个新的水平。

过程：一、知识（概念）的梳理：1．向量：定义、表示法、模、几种特殊向量 2．向量的加法与减法：法则（作图）、运算律3．实数与向量的积：定义、运算律、向量共线的充要条件、平面向量的基本定义二、 例题：1．若命题M ：'=；命题N ：四边形ABB ’A ’是平行四边形。

则M 是N 的 （ C ） (A )充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件(C )充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 解：若=，则 ||=||，且, 方向相同∴AA ’∥BB ’ 从而ABB ’A ’是平行四边形，即：M ⇒N 若ABB ’A ’是平行四边形，则|AA ’|=|BB ’|，且AA ’∥BB ’ ∴|'|=|'| 从而'=，即：N ⇒M 2．设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：1︒CD BC AB ++ 2︒BD AC DB ++ 3︒CO OB OC OA -+-- 解：1︒ 原式= =+=++)(2︒ 原式= =+=++)(3︒ 原式= =+=+-=--+-)()()( 3．a =“向东走5km ”，b =“向西走12km ”，试求a +b 的长度与方向。

解：如图：13125||22=+=(km )tan ∠AOB =512 , ∴∠AOB = arctan 512∴a + b 的长为13km ，方向与成arctan 512的角。

4．如图：1︒已知a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。

2︒已知a 、b 、c ，求作a + c - b5．设x 为未知向量，a 、b 为已知向量，解方程2x -(5a +3x -4b )+21a -3b =0解：原方程可化为：(2x - 3x ) + (-5a +21a ) + (4b -3b ) = 0 ∴x =29-a + b6．设非零向量a 、b 不共线，c =k a +b ，d =a +k b (k ∈R)，若c ∥d ，试求k 。