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阿贝尔定理条件收敛的点在该点的敛散一、引言阿贝尔定理是数学中一个重要的收敛性判别法，主要用于判断复杂级数的收敛性。
在阿贝尔定理中，我们关注的是展开式的收敛问题，即一个级数能否在某个特定点收敛。
本文将介绍阿贝尔定理的条件和点的敛散关系。
二、阿贝尔定理的条件阿贝尔定理是基于级数展开式求和的收敛性判别法，其条件包括：1.级数的一般形式为$\s um_{n=0}^{\i n ft y}a_nx^n$；2.级数的收敛半径为$R$，即在$|x|<R$范围内收敛；3.级数的常数项收敛，即$a_0$收敛。
三、点的敛散关系在满足阿贝尔定理的条件下，我们关心的是级数在展开式中的各个点的敛散性。
对于阿贝尔定理中的收敛点$x=R$，有以下几种情况：1.当$x=R$时，级数是绝对收敛的，即$\su m_{n=0}^{\inf t y}a_nR^n$绝对收敛；2.当$x=R$时，级数是条件收敛的，即$\su m_{n=0}^{\inf t y}a_nR^n$条件收敛；3.当$x=R$时，级数是发散的。
在以上情况中，我们将进一步讨论每种情况下的敛散性。
3.1绝对收敛当级数在收敛点$x=R$处绝对收敛，即$\su m_{n=0}^{\inf t y}a_nR^n$绝对收敛时，级数的每一项的绝对值都是收敛的。
这意味着级数的任何一个部分都是收敛的，且收敛到一个有限的值。
因此，在$x=R$处，级数是绝对收敛的。
3.2条件收敛当级数在收敛点$x=R$处条件收敛，即$\su m_{n=0}^{\inf t y}a_nR^n$条件收敛时，级数的每一项的绝对值可能是发散的，但级数的和是有限的。
这意味着级数的任何一个部分可能是发散的，但整体上保持收敛。
条件收敛的级数在一定条件下可以重新排列，使得级数的和可以变为任意值，即级数的和可能发散。
因此，在$x=R$处，级数是条件收敛的。
3.3发散当级数在收敛点$x=R$处发散，即$\su m_{n=0}^{\inf t y}a_nR^n$发散时，级数的和是无限的或不存在。
阿贝尔（Niels Henrik Abel）生于：1802年8月5日,挪威内兹特兰(Nedstrand)死于：1829年4月6日,挪威弗鲁兰(Froland)国籍：挪威研究领域：数学1929年挪威发行邮票纪念阿贝尔逝世100周年1983 挪威 2002 挪威阿贝尔纪念像挪威奥斯陆阿贝尔的未婚妻--克里斯汀阿贝尔及其签名阿贝尔的手稿2002年挪威发行背面写有阿贝尔名字及成就的纪念金币1948-1976 挪威纸币1978-1985 挪威纸币雕像Ⅰ雕像Ⅱ雕像Ⅲ雕像Ⅳ阿贝尔的坟墓阿贝尔（Niels Henrik Abel ）引言在挪威的首都奥斯陆的皇家公园里，耸立着一座纪念碑，纪念着一位对椭圆函数的发展和高次方程求解都很有贡献的数学家──阿贝尔。
少年时代阿贝尔出身于贫穷家庭，十三岁时才能入学读书。
在十五岁那年，他遇到他的数学启蒙老师──洪波。
洪波仅比阿贝尔年长七岁，但在数学上已经有了相当扎实的基础。
洪波为人诚恳，平易近人，亦尽把自己所知的全教给阿贝尔。
这样，仅一年多的时间，阿贝尔便完成了初等数学，并开始向高等数学进发。
在阿贝尔中学的最后一年，他开始考虑当时的一个著名数学难题：一般五次方程的解法（这在当时是一个已经拖了两百多年还没解决的问题）。
阿贝尔提出了一个解决这个问题的设想，并把这设想告诉洪波。
洪波无法理解阿贝尔的想法，只是劝他暂时把问题搁一搁，专心迎接毕业试及大学入学试。
大学时代得到洪波老师的帮助，阿贝尔得到克里斯蒂安那大学的一笔助学金，顺利地入读该校。
入读大学的第一年，阿贝尔就开始继续研究五次方程的解法。
他曾一度以为自己已经发现了五次方程的解法，并把发现告诉了数学教授拉斯穆辛及天文学教授汉斯顿。
两位教授看了阿贝尔的论文都说不出什么，便把论文送交了丹麦数学家家德根。
家德根很快便发现了其中的错误，并回信说︰“阿贝尔先生虽然没有达到其目的，但充分显示了他的才华，我希望阿贝尔先生不仅研究五次方程的解法，而且能进一步研究在数学整体发展中具有更大影响的问题，譬如说椭圆函数。
阿贝尔定理判断级数收敛阿贝尔定理？嘿，听起来像是某种神秘的数学魔法，对吧？但别担心，今天我们就来轻松聊聊这个话题，让复杂的东西变得简单有趣！想象一下，你在街头漫步，突然遇到一个数学家，他跟你说：“嘿，你知道吗？这个级数的收敛性其实可以通过阿贝尔定理来判断哦！”你可能会眨眨眼，心想：“这是什么鬼？”别急，咱们慢慢来。
阿贝尔定理就像一个好心的老朋友，帮你解决那些看似无解的问题。
这个定理主要是用来判断那些看上去神秘兮兮的级数收敛与否的，简单点说，就是告诉你，当你把一堆数字加起来的时候，这个和会不会变成一个固定的值，而不是一直飘来飘去。
哇，听起来有点深奥，但实际上就像是做一道甜品，得看材料配得合不合适。
级数就像是你在做蛋糕时放的各种材料，有些配方会成功，有些却可能塌掉。
想象一下，阿贝尔定理就像是一个厨师，他有一套秘诀，让他能知道哪种材料能一起烤出美味的蛋糕。
举个例子，假设你有一个递减的级数，也就是说，后面的数越来越小，这时候阿贝尔定理就会告诉你，只要这个级数的前n项和的极限存在，哦，那它就是收敛的！这可真是太赞了，等于你省了不少时间和精力，简直是数学界的小助手。
我们说说这个定理适用的场合。
就像你不可能拿一把铲子去钓鱼，阿贝尔定理也有它的“专属场合”。
它特别适合那些和连续函数扯上关系的级数，像是一些和幂级数有关的情况。
在这些情况下，你只需检查一下函数在某个点的表现，再结合一下数列的行为，嘿，结果就出来了！数学的世界里，时常会遇到这样的小惊喜。
说到这里，你可能会问：“这到底有什么用？”别着急，等着看呢。
就好比你在追剧的时候，剧情紧凑，高兴迭起，突然发现一个关键的线索，那可是让你心情大好的一刻！用阿贝尔定理，你可以在某些复杂的数学问题中找到通往真相的钥匙，让看似不相关的事情串联起来。
我们聊聊如何应用这个定理。
想象你正在做一道数学题，前面是个复杂的级数，哎呀，真让人抓狂！这时，你想到了阿贝尔定理。
只需找出相关的函数，检查它们的极限，就能一目了然，这简直就像是在海滩上捡贝壳，一下子捡到了个大金贝！有时候这也不那么简单，得小心翼翼，仔细推敲。
(完整版)阿贝尔定理及其应用阿贝尔定理及其应用阿贝尔定理是一项重要的数学定理，广泛应用于各个领域。
下面将介绍阿贝尔定理的概念、原理以及在实际应用中的具体情况。
阿贝尔定理的概念与原理阿贝尔定理，又称为阿贝尔可交换定理，是代数学中的一项基本定理。
该定理表明，当两个数列的乘积的累加和为有限数时，可以交换乘积的顺序，也就是说，交换顺序后的乘积的累加和仍为有限数。
数学上，阿贝尔定理可以表示为以下公式：$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_i b_j = \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n} a_i b_j$其中，$a_i$ 和 $b_j$ 分别表示两个数列的元素，$n$ 和$m$ 为两个数列的长度。
阿贝尔定理的原理基于数列的性质，通过交换乘积的顺序，将原先的双重求和转化为两个单独的求和，使得计算更加简洁。
阿贝尔定理在实际应用中的情况阿贝尔定理在各个领域都有广泛的应用，下面列举了一些实际应用情况：数学在数学中，阿贝尔定理常用于求解和简化数列的求和问题。
通过交换求和的顺序，可以简化复杂的求和运算，从而得到更加简洁的结果。
物理在物理学中，阿贝尔定理可以用于求解多个相互作用的力或能量的总和。
通过交换相互作用的顺序，可以简化力或能量的求和运算，从而得到更加方便的计算方法。
经济学在经济学中，阿贝尔定理可以用于计算不同商品的价格总和。
通过交换商品价格的顺序，可以简化价格总和的计算过程，从而方便经济学家进行经济指标的计算和比较。
计算机科学在计算机科学中，阿贝尔定理可以用于优化算法的性能。
通过交换计算的顺序，可以减少计算量和内存访问次数，从而提高算法的效率。
以上仅是阿贝尔定理在实际应用中的一些示例，该定理在不同领域中都有广泛的应用。
通过灵活运用阿贝尔定理，我们可以简化计算过程，提高效率，从而在各个领域中发挥更大的作用。
幂级数收敛的阿贝尔定理阿贝尔定理，听上去有点高深，但其实它就像一位老朋友，静静地告诉你一些数学的秘密。
想象一下，咱们在街头喝着茶，闲聊这些有趣的东西。
幂级数就像一条长长的河流，流淌着无数的数。
在这条河里，水流的快慢决定了河流的宽度，也就是收敛和发散。
在我们的生活中，很多事情都可以用这个道理来解释。
比如，你在超市看到一堆打折商品，虽然价格便宜，但买太多就容易超支。
这个时候，阿贝尔定理就像个小精灵，提醒你：要适可而止哦。
简单来说，阿贝尔定理是说，如果一个幂级数在某个点上收敛，那么在那个点附近的“边缘”上，其他的值也可能是收敛的。
这就像是在说，如果你在某个地方找到了好吃的，那么周围的餐馆也不一定会差。
想象一下，周末去个新餐馆，刚开始觉得菜品不错，结果越吃越好，最后一发不可收拾。
这就是阿贝尔定理在生活中的体现。
在数学的世界里，收敛的概念就像是个守门员，它决定了我们的级数能不能顺利地进入某个区域。
收敛的时候，大家欢欢喜喜，一切都在可控范围内；发散的时候，那就是另一个故事了，失控的感觉就像在高速公路上超速，随时可能出事。
而阿贝尔定理就像一个明亮的灯塔，为我们指引方向，让我们在这片看似复杂的海域中，找到安全的港湾。
研究收敛和发散就像在品味一杯好茶，先是清香四溢，然后是口感丰富，最后留下余香绕梁。
如果你把它比作一段爱情故事，那收敛就是那种甜蜜的初恋，而发散就是那种无可奈何的分手。
每次想起，都让人百感交集。
只要你掌握了这个定理，面对复杂的幂级数，就能游刃有余，像个老练的游泳健将。
我们再说说这个定理的具体应用。
比如说，你在学习某个函数的时候，发现它的幂级数在某个点上收敛，那么你就可以放心大胆地去分析它在周围的表现。
这就好比你在家里发现了一本好书，翻开第一页，就知道它一定会带给你无限的惊喜。
这个过程，简直就像是一场盛大的探险。
你在这条数学的道路上不断前行，探索未知的乐趣。
阿贝尔定理不仅仅是个数学玩意儿，它在生活中也有很多影子。
级数求和的阿贝尔方法阿贝尔方法，听名字就有点拗口，其实它源于一位聪明的数学家，名字叫阿贝尔。
这位老兄在19世纪的时候，真是个数学天才。
他发明的方法就像是在数学的海洋里找到了一个金色的沙滩。
我们常常在生活中遇到一些级数，比如一加一加一加……这些简单的加法有时候就能让我们发现意想不到的东西。
就像小时候玩捉迷藏，总能在一个不起眼的角落找到宝藏。
在阿贝尔的方法里，有一个关键的思想，就是将一个看似复杂的级数转化为一个比较简单的东西。
这就像我们生活中有时候会觉得一堆事情让人头疼，结果细想一下，发现其实就是几件小事的组合。
想象一下，如果你有个无穷级数，像是1加1/2加1/4加1/8……这时候你可能会想，这不是一直加下去吗？可是，阿贝尔告诉我们，可以通过一种技巧，让这个级数变得更加明了。
通过这种方法，我们其实是在处理一个极限的问题。
这就像你每天都去健身房，前期的努力虽然感觉没什么变化，但随着时间的推移，效果开始显现，身材也越来越好。
阿贝尔方法就像是在这过程中帮你梳理思路，让你在无穷的世界中找到出口。
很多时候，我们看似在加减乘除，实际上是在与时间赛跑，追寻那个理想的自己。
再说说直观的感觉，阿贝尔方法就像在海滩上捡贝壳。
每一个贝壳都代表着一个项，乍一看，这些贝壳五花八门，似乎没什么规律。
但只要你耐心去找，就会发现其中的美。
比如我们把级数写成一个函数，函数里藏着许多秘密。
这就像在探险，每一步都有新的发现，新的领悟，真是让人激动不已。
更有趣的是，阿贝尔方法不仅仅适用于简单的级数。
很多复杂的数学问题，也可以用这个思路去解决。
就像厨师在厨房里，手里拿着不同的调料，灵活运用，总能做出美味的佳肴。
这种灵活性让我们在面对数学问题时，不再是束手无策，而是能游刃有余。
数学的美妙之处还在于它的连贯性。
用阿贝尔方法解决的问题，往往会引发更多的思考，像滚雪球一样越滚越大。
你可能从一个简单的级数出发，最后竟然能推导出一系列的定理，真是让人惊叹。
阿贝尔定理解释
嘿，你知道阿贝尔定理不？这玩意儿可神奇啦！就好像是数学世界里的一把神秘钥匙，能打开好多奇妙的大门呢！
咱就说啊，阿贝尔定理说的是啥呢。
比如说，你想象一下，有一堆数字在那跳舞，它们可不是乱跳哦，而是有着特定的规律。
阿贝尔定理就是来告诉你这些数字跳舞的秘密规则的！这多有意思啊，对吧？
举个例子哈，就像你搭积木，你得按照一定的方式去搭，才能搭出你想要的形状。
阿贝尔定理就是那个告诉你怎么搭积木的指南！
它可不是随随便便就出现的哦，那可是经过好多数学家绞尽脑汁才研究出来的呢！你想想，他们得花多少时间和精力啊，就为了搞清楚这些数字的小秘密。
哎呀，数学的世界就是这么神奇，阿贝尔定理就是其中一颗璀璨的星星！它让我们能更好地理解那些看似杂乱无章的数学现象。
你再想想，要是没有阿贝尔定理，那我们得在数学的迷宫里多转多少圈啊，说不定还走不出来呢！
所以说啊，阿贝尔定理真的超级重要！它就像一盏明灯，照亮了我们在数学道路上前行的方向。
我觉得吧，我们都应该好好去了解它，感受它的魅力！
我的观点就是：阿贝尔定理是数学中非常重要且神奇的存在，值得我们深入学习和探索。
阿贝尔定理证明
阿贝尔定理（Abel's theorem）也称作阿贝尔－魏恩斯特拉斯定理（Abel-Weierstrass theorem），是一种重要的数学定理，主要用于解析函数的特殊情况。
阿贝尔定理的证明比较复杂，主要涉及到复分析中的一些基本概念和技巧，例如洛朗级数、共形变换等。
一个简单的阿贝尔定理的例子是：对于一个正整数n，存在常数Cn使得对于任意复数z，有以下等式成立：
(exp(z/n)-1)^n=nexp(z)[1+Cn(z/n)^2+O(z^3)]
其中，“exp”表示指数函数，O符号表示“大O记号”，即在某个条件下某个函数的增长率不超过另一个函数。
这个等式的证明需要利用复分析中的一些技巧，如将复平面上的一个区域映射为单位圆盘，利用洛朗级数展开等等。
阿贝尔定理在解析函数、微分方程、傅里叶级数等领域都有广泛应用。
九年级培优专题：阿贝尔符号及阿贝尔方程简介阿贝尔符号和阿贝尔方程是数学中常见的概念，特别是在代数学中。
本篇文档将介绍阿贝尔符号和阿贝尔方程的概念、性质以及相关的例子和应用。
阿贝尔符号定义阿贝尔符号，也称为级数符号，是一种用来表示无穷级数的简明记号。
它由一个大写希腊字母 sigma（Σ）加上下标和上标组成。
下标表示级数中的初始项，上标表示级数的最后一项。
性质- 阿贝尔符号可以使用运算符号来进行计算，如加法、乘法等。
- 阿贝尔符号可以进行各种运算规则和变换。
例子以下是一些使用阿贝尔符号表示的级数的例子：- Σ(n=1 to ∞) n：表示自然数的级数，即1+2+3+...- Σ(n=0 to ∞) 2^n：表示幂级数，即1+2+4+...阿贝尔方程定义阿贝尔方程是指一类具有特定形式的代数方程。
它由一个未知量、系数和指数的多项式表达式组成，其中指数是未知量的幂。
性质- 阿贝尔方程可以具有一个或多个解。
- 阿贝尔方程的解可以用数值方法或代数方法求解。
例子以下是一些常见的阿贝尔方程的例子：- x^2 + 2x + 1 = 0：一个二次方程，有两个解。
- x^3 - 4x^2 + 5x = 0：一个三次方程，有三个解。
应用阿贝尔符号和阿贝尔方程在数学和物理学中有广泛的应用。
它们可以用于求和级数、计算序列的收敛性，以及解决各种方程和问题。
一些具体的应用包括：- 计算无穷级数的和。
- 研究收敛级数和发散级数的性质。
- 求解各种代数方程，如线性方程、二次方程等。
总结本文介绍了九年级培优专题中的阿贝尔符号和阿贝尔方程。
阿贝尔符号是表示无穷级数的常用记号，而阿贝尔方程是一类具有特定形式的代数方程。
它们在数学和物理学中有广泛的应用，可以用于求和级数、研究级数性质和解决各种方程和问题。
阿贝尔出生在挪威奥斯陆附近的芬岛，父亲S．G．阿贝尔(Abel)是个牧师．幼时，他就显露出数学上的才能．阿贝尔的启蒙教育得自于他的父亲．但是家庭的极端贫困，使他未能受到系统的教育．1815年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习．起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣．15岁(1817)时，他幸运地遇到一位优秀数学教师 B．M．霍尔姆博(Holmbo ё)．后者在数学上的最大贡献也正是发现并培养了这位数学天才．良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的愿望，使他对数学产生了兴趣．阿贝尔迅速学完了初等数学课程．然后，他在霍尔姆博的指导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学大师特别是L．欧拉(Euler)、J．L．拉格朗日(Lagran-ge)和C．F．高斯(Gauss)的著作．阿贝尔在学校最后两年时间里，以“初生牛犊不伯虎”的姿态猛攻一些尚未解决的最深奥的数学问题，尤其是如何求解五次方程问题吸引着他．他注意博采众家之长，在研读拉格朗日、高斯关于方程论著作的基础上，按高斯对二项方程的处理方法，着手探讨了高次方程的可解性问题．最初，他自认为解五次方程已获成功．霍尔姆博与奥斯陆大学教授C·汉森丁(Hansteen)两人都看不出所以然，又找不出论证中的破绽．而在奥斯陆没有一个科学刊物可以发表它．后来，只好把这篇文章寄给丹麦数学家F·德根(Degen)，请求他帮助在丹麦科学院出版．德根教授也没有发现论证本身的任何错误，只是要求阿贝尔用例子说明他的方法，并建议他把精力放到椭圆积分的研究上去．阿贝尔获悉德根的答复后，立即着手构造五次方程解的例子．但结果失望地发现，他的方法是错误的．另外，他还接受了德根关于搞椭圆积分的建议，不多几年内就基本完成了他关于椭圆函数的理论．1821年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥斯陆大学．大学期间，他的数学几乎全是自学的，并把主要精力用在进一步研究上，他写出了许多有价值的论文．1823年，他完成了一篇题为“用定积分解某些问题”中首次给出了积分方程的解，这是历史上出现最早的积分方程，但较长时期没有引起人们的重视．1822—1823年冬，他还写了一篇关于函数表达式积分的长篇论文，提交给大学委员会．后来，竟被学校当局弄丢了．1823年初夏，阿贝尔在热心的S．拉斯穆森(Rasmussen)教授资助下，有幸去哥本哈根拜见德根及其他数学家．德根对他很赏识，并对他的研究给予指导．他返回奥斯陆后，又重新考虑了五次方程解的问题．这次他采取了相反的观点，终于获得成功．1824年，他证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式．该证明写进了“论代数方程——证明一般五次方程的不可解性”的著名论文中，从而结束了一般代数方程求根式通解的企图．他深知其结果的重要性，决定先以小册子形式自费出版它．为了节省经费，他把小册子压缩到6页，叙述很简洁，以致许多学者难以读懂．“数学王子”高斯也不相信一个青年能用这么短的篇幅，解决连他本人都尚未解决的难题．总之，这篇论文在当时没有得到任何一位外国数学家的重视．1825年，阿贝尔大学毕业，社会没有给这位天才提供用武之地．他决定申请经费出国，继续深造和谋求职位．1825年夏季，他先到了德国柏林．这期间，他结识了一位很有影响的工程师A．L．克雷尔(Crelle)．这是阿贝尔一生中第二个对他的研究事业有极大帮助的人．克雷尔虽不是很强的数学家，但对数学有浓厚的兴趣．在阿贝尔建议及朋友的赞助下，克雷尔于1826年创办了著名的数学刊物《纯粹与应用数学杂志》(Journal für die Reineund Angewandte Mathematik)，后被称为克雷尔杂志．它的第一卷刊登了7篇阿贝尔的文章，其中有关于一般五次方程不能用根式求解的证明．克雷尔杂志头三卷共发表了他的22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数等方面的开创性论文．从此，欧洲大陆数学家才开始注意他的工作．1826年7月，阿贝尔从柏林来到巴黎，遇见了A．M．勒让德(Legendre)和A．L．柯西(Cauchy)等著名数学家．他写了一篇题为“关于一类极为广泛的超越函数的一个一般性质”的文章，于1826年10月30日提交给法国科学院，不幸未得到重视．当时科学院的秘书J．B．J．傅里叶(Fourier)读了论文的引言，然后委托勒让德和柯西对论文作出评价，柯西是主要负责人．这篇论文很长而且难懂，因为它包含了许多新概念．柯西把它放在一边，醉心于自己的工作．勒让德也把它忘了．事实上，这篇论文直到阿贝尔去世后的1841年才发表．1826年底，阿贝尔回到柏林．不久，他染上了肺结核病．克雷尔帮助了他，请他担任克雷尔杂志的编辑，同时为他谋求教授职位，但未获得成功．1827年5月20日，阿贝尔回到奥斯陆．回国后更失望，仍然没有找到职位的希望，他不得不靠作家庭教师维生．在贫病交迫、茹苦含辛的逆境中，他并没有倒下去，仍在坚持研究，取得了许多重大成果．他写下了一系列关于椭圆函数的文章，发现了椭圆函数的加法定理、双周期性，并引进了椭圆函数的反演．正是这些重大发现才使欧洲数学家们认识到他的价值．1828年9月，四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为这位天才安排一个合适的职位．勒让德在1829年2月25日科学院会议上，也对阿贝尔及其工作大加称赞．同年4月6日，阿贝尔怀着强烈的求生欲望和继续为科学事业做贡献的理想，在病魔侵袭的忧伤中，与世长辞了．就在他去世两天后，克雷尔来信通知他已被柏林大学任命为数学教授．此后荣誉和褒奖接踵而来，1830年6月28日，他和C．G．J．雅可比(Jacobi)共同获得了法国科学院大奖．阿贝尔在数学上的贡献，主要表现在方程论、无穷级数和椭圆函数等方面．所谓方程有根式解(代数可解)，就是这个方程的解可由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来．关于代数方程的求解，从16世纪前半叶起，已成为代数学的首要问题，一般的三次和四次方程解法被意大利的几位数学家解决．在以后的几百年里，代数学家们主要致力于求解五次乃至更高次数的方程，但是一直没有成功．对于方程论，拉格朗日比较系统地研究了方程根的性质(1770)，正确指出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，从而实现了代数思维方式的转变．尽管拉格朗日没能彻底解决高次方程的求解问题，但是他的思维方法却给后人以启示．P．鲁菲尼(Ruffini)于1799年首次证明了高于四次的一般方程的不可解性，但其“证明”存有缺陷．两年以后，高斯解决了分圆方程的可解性理论问题．拉格朗日和高斯的工作是阿贝尔研究工作的出发点．中学时，他就读过拉格朗日关于方程论的著作；大学一年级开始全面研究高斯的《算术研究》(Disquis-tiones arithmeticae)．后来，他又了解了柯西关于置换理论方面的成果．然而，他当时并不晓得鲁菲尼的工作．阿贝尔就是在这种背景下思考代数方程可解性理论问题的．1824年，阿贝尔首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正确证明．更详细的证明，于1826年发表在克雷尔杂志第一期上．题目为“高于四次的一般方程的代数解法不可能性的证明”．在这篇论文中，阿贝尔讨论并修正了鲁菲尼论证中的缺陷．鲁菲尼的“证明”缺乏域的概念，所以不可能在由已知方程的系数所确定的基础域及域的扩张下进行工作．另外，鲁菲尼“证明”中还用到了一个未加证明的关键性命题，后称阿贝尔定理．该定理说，如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数．阿贝尔就是应用这个定理证明高于四次的一般方程不能有根式解的．关于高次方程不能总是代数可解的结论，促使他进一步思考哪些方程才可用根式解的问题．他在深入研究《算术研究》第七部分关于分圆方程可解性理论的基础上，取得了独创性的进步．他于1828年3月29日完成了题为“关于一类特殊的代数可解方程”(Mémoire sur une classe particuliére d’équationsrésoluble algé-brique ment)的文章，发表在克雷尔杂志第四卷(1829)上．它解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，分圆方程xn-1=0就属于这一类．在这篇论文中，阿贝尔证明了下述定理：对于一个任意次的方程，如果方程所有的根都可用其中的一个根有理地表出(我们用x表示)，并且任意两个根Q(x)与Q1(x)(这里Q，Q1均为有理函数)，满足关系QQ1(x)=Q1Q(x)，那么所考虑的方程总是代数可解的．类似地，假定这个方程是不可约的，数，那么可把原方程的解法分别化成v1个α1阶方程、v2个α2阶方程、v3个α3阶方程的解法，等等．程，它所有的根均可表成其中一个根(如x1)的有理函数．即x1=Q1(x1)，x2=Q2(x1)，…，xn=Qn(x1)，这里Q1是恒等映射．阿贝尔证明了在有理函数Qk(k=1，2，…，n)中，如果用另一个根xi(1＜i≤n)代替x1，那么Qk(Xi)(k=1，2，…，n)是以不同顺序排列的原方程的根．或者说，根xi=Q1(Xi)，Q2(Xi)，…，Qn(Xi)是根x1，x2，…，xn的一个置换．方程根进行这样置换的个数是n．阿贝尔考虑并证明了这些置换的性质，如果方辅助方程的解法，这些辅助方程可依次用根式求解．在分圆方程的的情形，方程的置换群是循环群．阿贝尔没有在文章中明确构造这种置换群，仅仅采用了有理函数所假定的可交换性：QQ1(x)=Q1Q(x)．现在通常把具有这种性质的方程称为阿贝尔方程，具有可交换性的群叫做阿贝尔群．他在工作中，实质上引进了在给定数域中不可约多项式的概念，即系数在域F中的一元多项式不能表示成两个系数在F中的次数较低的多项式的乘积，阿贝尔遗作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿，即“关于函数的代数解法”(Sur la résolution algébrique des fonctions，1839)．文中叙述了方程论的发展状况，重新讨论了特殊方程可解性的问题，为后来E·伽罗瓦(Galois)遗作的出版开辟了道路．在前言部分，阿贝尔暗示出一种重要的思维方法，他认为解方程之前，应首先证明其解的存在性，这样可使整个过程避免“计算的复杂性”．在代数方程可解性理论研究中，他还提出了一个研究纲领，就是在他的工作中需要解决两类问题：一是构造任意次数的代数可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解．他试图全部刻画可用根式求解的方程的特性．但因早逝而没能完成这个工作，他只解决了第一类问题．几年后，伽罗瓦接过他的工作，用群的方法彻底解决了代数方程的可解性理论问题，从而建立了现在所谓的伽罗瓦理论．除了代数方程论之外，阿贝尔还从事分析方面的研究．分析学是17世纪以来在微积分基础上形成的一大数学分支．18世纪，它已发展成为一门相对独立的学科，具备了极为丰富的内容并被广泛应用，但它自己尚未形成逻辑严密的理论体系．到19世纪，分析学中不严密的论证导致的局限性和矛盾愈益显著，分析的严密化逐渐引起数学家的关注．阿贝尔是19世纪分析严格化的倡导者和推动者．他于1826年给汉森丁的一封信中明确写道：“将来我的工作一定要完全致力于纯粹数学抽象意义方面的研究．我将把全部精力应用于进一步揭露人们在分析中确实发现的惊人的含糊不清的地方．这样一个完全没有计划和体系的分析，竟有那么多人研究过它，真是奇怪．最坏的是从来没有严格地对待过分析．在高等分析中只有很少几个定理是用逻辑上站得住脚的方式证明的．人们到处发现这种从特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是这种方法只导致了极少几个所谓的悖论．真正有趣的是寻找这种原因．”这段话一方面如实地反映了当时分析学发展的情况；另一方面也明确了阿贝尔工作的主要方向．在这方面，他一直强调分析中定理的证明，特别关心当时数学缺乏严密性的问题．他于1826年1月16日给霍尔姆博的信中写道：“我非常惊讶地看到下列事实．如果除开最简单的情况，那么在全部数学中没有一个无穷级数的和是被严格定义的．换句话说，数学中最重要的部分是没有根基的．诚然，数学的大部分是正确的，而这正是令人惊讶的地方．我要努力找出这个道理，这是一个十分有趣的题目．”他于1826年最早使用一致收敛的思想证明了连续函数的一个一致收敛级数的和在收敛区域内部连续．在无穷级数工作方面，他还得到了一些收敛判别准则以及关于幂级数求和的定理．这些工作确立了他在分析学发展中的重要地位．椭圆函数又称双周期的亚纯函数．它的名称来源于求椭圆的周长，它是利用椭圆积分的反演引入的特殊函数，是三角函数的广泛和自然的推广．椭圆函数论可以说是复变函数论在19世纪发展中最重要的成就之一．阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠基者．关于椭圆积分的研究可以追溯到17世纪后半叶，后来，数学家们如欧拉、勒让德和高斯等均做了大量的工作．欧拉的加法定理是椭圆积分理论的主要结果．勒让德作为椭圆积分理论的奠基人之一，在欧拉加法定理提出后的40年中，他是仅有的一个在这一领域提供重大成果的人．但他未能像阿贝尔和雅可比那样洞察到，探索椭圆积分的关键在于考察椭圆积分的反函数，即椭圆函数．勒让德高度评价了阿贝尔和雅可比的工作，认为他们两人都将跻身于“当代第一流分析学家之列”．对于椭圆函数论，高斯生前虽然没有发表过任何文章，但在他去世之后，人们在他的遗稿中发现，他已得到了椭圆函数论的许多关键性结果．阿贝尔也许就是从高斯所作的评论，特别是他的《算术研究》中的陈述受到启发而从事这一工作的．1826年，阿贝尔撰写论文“关于一类极为广泛的超越函数的一个一般性质”，对椭圆函数进行了创造性研究．在这篇文章中，他研究了y的有理函数，并且存在x和y的二元多项式f，使f(x，y)=0．他还证明了关于上述代数函数积分之和的定理，即所谓的阿贝尔定理：若干个这种积分之和可以用P个这样的积分加上一些代数的与对数的项表示出来，其中P只依赖于方程f(x，y)=0，它是这个方程的亏格(genus)．这是亏格概念的首次出现．阿贝尔的定理是椭圆积分加法定理的推广，也是阿贝尔积分的一条关键性定理．阿贝尔又于1827年发表了他的“关于椭圆函数的研究”，这是他最长的文章．在这篇论文中，他借助于椭圆积分的反函数把椭圆积分理论归结为椭圆函数的理论．具体地说，阿贝尔所考察的椭圆积分是这样一些积分，其中被积函数是三次或四次多项式的平方根的有理函数．在这些积分之中，重要的是函数其反函数s(u)同样起着重要作用，它恰好是椭圆函数snu．使用符号snu是为了表示它是普通的正弦函数的推广．椭圆函数名称便来源于此．在最基本的情形，即K=0，我们可分别得到可见，椭圆函数是三角函数的一个广泛和自然的推广．阿贝尔在他1827年的论文中还建立了椭圆函数的加法定理，它类似于椭圆积分的加法定理．借助于这个定理，他发现了椭圆函数的双周期性，从而奠定了椭圆曲线(它们都可以表示成平面中的三次曲线)的理论基础．另外，利用这种性质还可以对椭圆函数做出如下定义：只有极点的双周期解析函数是椭圆函数．阿贝尔的一系列工作为后人留下丰厚的数学遗产，为群论、域论和椭圆函数论的研究开拓了道路．他的数学思想至今深刻地影响着其他数学分支．C．埃尔米特(Hermite)曾这样评价阿贝尔的功绩：阿贝尔留下的一些思想，可供数学家们工作150年．克雷尔在他的杂志上，为阿贝尔写了长篇的颂辞：“阿贝尔的全部著作镌刻着无比的创造天才和非凡的、有时是惊人的思维力量，如果考虑到这位作者的年龄，就更令人惊叹不已了．我们看到，他能够以一种不可抵抗的力量，透过一切障碍，向下深入到问题的本质上，以不可想象的能量向它进攻；又能够从上面来考虑问题，高高地翱翔于问题的目前状态之上，所有的困难在这个天才的无敌的攻击之下，都化为乌有．……然而，阿贝尔赢得人们的尊敬和无限怀念不仅是因为他的伟大的才能，而且由于他纯洁的品质和高尚的心灵，以及少有的谦虚，这些非凡的品德使得他作为一个人来说也同他的天才一样被人们所珍爱”．。
