14第十四讲 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

1n n n a b∞=∑的Abel 判别法若（1）数列{}n a 为单调有界，（2）级数1n n b ∞=∑收敛，则级数1n n n a b ∞=∑一定收敛.【证明】利用Cauchy 准则，只需证明112233||n n n n n n n p n p a b a b a b a b ++++++++++⋅⋅⋅+0→ 先记11n n b σ++=212n n n b b σ+++=+3123n n n n b b b σ++++=++……12n p n n n p b b b σ++++=++⋅⋅⋅+因为级数1n n b ∞=∑收敛⇔0ε∀>，()N ε∃，当n N >时，0p ∀>，有12||n n n p b b b ε+++++⋅⋅⋅+<所以有1||n σε+<，2||n σε+<，……，||n p σε+< 0ε∀>，当n 充分大时，0p ∀>，有112233||n n n n n n n p n p a b a b a b a b ++++++++++⋅⋅⋅+=11221332|()()n n n n n n n n a a a σσσσσ+++++++++-+-+⋅⋅⋅1()|n p n p n p a σσ+++-+- =121232343|()())()n n n n n n n n n a a a a a a σσσ+++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11()|n p n p n p n p n p a a a σσ+-++-+++-+≤121232343||||||||||||n n n n n n n n n a a a a a a σσσ+++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11||||||||n p n p n p n p n p a a a σσ+-++-+++-+ ≤122334||||||n n n n n n a a a a a a εεε++++++-+-+-+⋅⋅⋅1||||n p n p n p a a a εε+-+++-+ =12231(||||||)n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-ε||n p a ε++【说明1】 =12231|()()()|n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-ε||n p a ε++ =1||n n p a a ++-ε||n p a ε++≤1(||||)n n p a a +++ε||n p a ε++=1(||2||)n n p a a +++ε【说明2】≤3M ε所以，根据Cauchy 准则可知，级数1n n n a b ∞=∑收敛.【说明1】由{}n a 是单调数列⇒数组12n n a a ++-，23n n a a ++-，……，1n p n p a a +-+-都是同号的，于是12231||||||n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-=12231|()()()|n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-=1||n n p a a ++-【说明2】由{}n a 是有界数列⇒0M ∃>，0n ∀>，有||n a M <1n n n a b∞=∑的Dirichilet 判别法若（1）数列{}n a 为单调递减，且lim 0n n a →∞=，（2）级数1n n b ∞=∑的部分和数列有界，则级数1n n n a b ∞=∑一定收敛. 【证明】利用Cauchy 准则，只需证明112233||n n n n n n n p n p a b a b a b a b ++++++++++⋅⋅⋅+0→ 先记级数1n n b ∞=∑的部分和数列为{}n S ，即12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，根据已知条件：{}n S 有界⇒0M ∃>，n ∀，有||n S M < 0ε∀>，当n 充分大时，0p ∀>，有112233||n n n n n n n p n p a b a b a b a b ++++++++++⋅⋅⋅+=11221332|()()()n n n n n n n n n a S S a S S a S S ++++++++-+-+-+⋅⋅⋅1()|n p n p n p a S S +++-+- =1|n n a S +-121232343()())()n n n n n n n n n a a S a a S a a S ++++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11()|n p n p n p n p n p a a S a S +-++-+++-+ ≤1||||n n a S ++121232343||||||||||||n n n n n n n n n a a S a a S a a S +++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11||||||||n p n p n p n p n p a a S a S +-++-+++-+ ≤1||n a M ++122334||||||n n n n n n a a M a a M a a M ++++++-+-+-+⋅⋅⋅1||||n p n p n p a a M a M +-+++-+ =1||n a M ++12231(||||||)n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-M ||n p a M ++【说明1】 =1||n a M ++12231|()()()|n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-M ||n p a M ++=1||n a M ++1||n n p a a ++-M ||n p a M ++≤1||n a M ++1(||||)n n p a a +++M ||n p a M ++=12(||||)n n p a a +++M 【说明2】≤4M ε所以，根据Cauchy 准则可知，级数1n n n a b ∞=∑收敛.【说明1】由{}n a 是单调数列⇒数组12n n a a ++-，23n n a a ++-，……，1n p n p a a +-+-都是同号的， 于是12231||||||n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-=12231|()()()|n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-=1||n n p a a ++-【说明2】由lim 0n n a →∞=⇒0ε∀>，0N ∃>，当n N >时，有||n a ε<1()()n nn u x v x ∞=∑的Abel 判别法 若（1）x I ∀∈，函数列{()}n v x 关于n 是单调的，（2）函数列{()}n v x 在I 上一致有界，即0M ∃>，n ∀，x I ∀∈，有|()|n v x M <，（3）函数项级数1()n n u x ∞=∑在区间I 上一致收敛，则 函数项级数1()()n n n u x v x ∞=∑在区间I 上也一致收敛.【证明】利用Cauchy 准则，只需证明1122|()()()()n n n n u x v x u x v x +++++33()()n n u x v x +++()()|n p n p u x v x +++⋅⋅⋅+0→u u r先记11()()n n x u x σ++=212()()()n n n x u x u x σ+++=+3123()()()()n n n n x u x u x u x σ++++=++……12()()()()n p n n n p x u x u x u x σ++++=++⋅⋅⋅+因为函数项级数1()n n u x ∞=∑一致收敛⇔0ε∀>，()N ε∃，当n N >时，0p ∀>，x I ∀∈，有12|()()()|n n n p u x u x u x ε+++++⋅⋅⋅+<所以有1|()|n x σε+<，2|()|n x σε+<，……，|()|n p x σε+<0ε∀>，当n 充分大时，0p ∀>，有1122|()()()()n n n n u x v x u x v x +++++33()()n n u x v x +++()()|n p n p u x v x +++⋅⋅⋅+ =11221332|()()n n n n n n n n v v v σσσσσ+++++++++-+-+⋅⋅⋅1()|n p n p n p v σσ+++-+- =121232343|()())()n n n n n n n n n v v v v v v σσσ+++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11()|n p n p n p n p n p v v v σσ+-++-+++-+ ≤121232343||||||||||||n n n n n n n n n v v v v v v σσσ+++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11||||||||n p n p n p n p n p v v v σσ+-++-+++-+ ≤122334||||||n n n n n n v v v v v v εεε++++++-+-+-+⋅⋅⋅1||||n p n p n p v v v εε+-+++-+ =12231(||||||)n n n n n p n p v v v v v v +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-ε||n p v ε++【说明1】 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∀∈，有1122|()()()()n n n n u x v x u x v x +++++33()()n n u x v x +++()()|n p n p u x v x +++⋅⋅⋅+ =11221332|()()()n n n n n n n n n v S S v S S v S S ++++++++-+-+-+⋅⋅⋅1()|n p n p n p v S S +++-+- =1|n n v S +-121232343()())()n n n n n n n n n v v S v v S v v S ++++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11()|n p n p n p n p n p v v S v S +-++-+++-+ ≤1||||n n v S ++121232343||||||||||||n n n n n n n n n v v S v v S v v S +++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11||||||||n p n p n p n p n p v v S v S +-++-+++-+ ≤1||n v M ++122334||||||n n n n n n v v M v v M v v M ++++++-+-+-+⋅⋅⋅1||||n p n p n p v v M v M +-+++-+ =1||n v M ++12231(||||||)n n n n n p n p v v v v v v +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-M ||n p v M ++【说明1】 =1||n v M ++12231|()()()|n n n n n p n p v v v v v v +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-M ||n p v M ++ =1||n v M ++1||n n p v v ++-M ||n p v M ++≤1||n v M ++1(||||)n n p v v +++M ||n p v M ++=21(|()||()|)n n p v x v x +++M 【说明2】≤4M ε所以，根据Cauchy 准则可知，函数子项级数1()()n n n u x v x ∞=∑在区间I 上一致收敛.【说明1】x I ∀∈，函数列{()}n v x 关于n 是单调的，⇒函数组12n n v v ++-，23n n v v ++-，……，1n p n p v v +-+-都是同号的，【说明2】函数列{()}n v x 在I 上一致收敛于0，⇒即0ε∀>，()N ε∃，当n N >时，x I ∀∈，有|()|n v x ε<。

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法是微积分中重要的判定法则，它们主要被用来判定数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及反常含参积分的一致收敛等。

它们都以数学家的名字命名，分别是尼尔斯·阿贝尔和约翰·彼得·狄利克雷。

阿贝尔判别法是说：如果∫baf(x,y)dx关于x一致收敛，g(x,y)对每一个x都单调（方向可以不同）且关于y一致有界，那么整体就一致收敛。

狄利克雷判别法则稍微有些不同：如果∫baf(x,y)dx关于y一致有界，g(x,y)对每一个x都单调（方向可以不同）且在x→b时一致收敛于0，那么整体也是一致收敛的。

请注意，这里的一致收敛性是一个非常重要的概念，在微积分理论中有着广泛的应用。

一致收敛的函数序列或函数项级数可以保持很多重要的分析性质，比如连续性、可积性等等。

总的来说，阿贝尔判别法和狄利克雷判别法为我们提供了判断广义积分收敛性的有效工具。

但是，它们的使用需要一定的数学知识和技巧，特别是在判断函数或函数序列的一致有界性、单调性和一致收敛性时。

学年论文题目：一致收敛判别法总结学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：***学号：************指导教师：***一致收敛判别法总结学生姓名：张学玉 指导教师：陶菊春摘要： 函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。

首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。

同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。

并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。

Abstract ：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysisof the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were analyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the general method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics.关键词： 函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法Keywords: series of functions; function sequence; uniform convergence; Criterion引言： 函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。

狄利克雷判别法和阿贝尔判别法是数学分析中常用的两种判别法。

它们主要用于判断无穷级数的收敛性或发散性，是处理级数问题时的重要工具。

本文将分别介绍这两种判别法的原理和应用，帮助读者更好地理解和掌握这两种方法。

一、狄利克雷判别法1. 狄利克雷判别法的基本原理狄利克雷判别法是判断无穷级数收敛性的一种方法，主要适用于交错级数或者交替级数。

该判别法的基本原理是：若无穷级数\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n\)满足以下两个条件：1）\(a_n\)严格单调趋于0，即\(a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \ldots \geq 0\)且\(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)；2）\(b_n\)的部分和\(S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n\)有界，即存在常数\(M\)使得对任意正整数\(n\)都有\(|S_1| \leq M\)。

2. 狄利克雷判别法的应用以交错调和级数\(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}/n\)为例，根据狄利克雷判别法，可以将\(a_n = 1/n\)，\(b_n = (-1)^{n+1}\)，显然\(a_n\)严格单调趋于0，\(b_n\)的部分和\(S_n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \ldots\)是交错有界数列，因此根据狄利克雷判别法，该级数收敛。

二、阿贝尔判别法1. 阿贝尔判别法的基本原理阿贝尔判别法是判断无穷级数收敛性的另一种方法，主要适用于幂级数。

该判别法的基本原理是：若幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\)满足以下两个条件：1）\(a_n\)是一个关于\(n\)的数列，且有界，即存在常数\(M\)使得对任意正整数\(n\)都有\(|a_n| \leq M\)；2）对于固定的\(x\)，幂级数的部分和\(S_n = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n\)是有界的。