三种逆阿贝尔变换方法比较

等离子体温度分布测量方法的研究陈根余;张均;张屹;赵智【摘要】测量激光深熔焊接小孔的温度分布是研究小孔形成机理的重要手段之一.为了获得非对称情况下的等离子体温度的二维分布,通过变量分离方法将光谱测量的一维信息分离为对称和非对称两部分,在阿贝尔变换的基础上,利用数值方法计算出对称部分的平面二维分布,从而获得非对称情况下的平面二维分布.通过假想的非对称分布函数进行了模拟计算和误差分析,结果证明算法的整体误差小,对研究激光焊接形成小孔的机理具有十分重要的意义.【期刊名称】《激光技术》【年(卷),期】2008(032)002【总页数】3页(P137-139)【关键词】激光技术;温度分布;阿贝尔逆变换;焊接小孔【作者】陈根余;张均;张屹;赵智【作者单位】湖南大学,汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙,410082;湖南大学,汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙,410082;湖南大学,汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙,410082;湖南大学,汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙,410082【正文语种】中文【中图分类】TG456.7引言小孔效应是激光深熔焊接的本质特征[1]，也是激光深熔焊接研究的热点和难点。

由于小孔内部机理复杂，温度高且变化快，应用普通的方法很难进行观测，目前针对小孔的温度研究主要还是集中在孔外，主要的探测方法包括光谱分析法、干涉衍射法、直接成像法等[2]；而对于小孔内部的研究相对甚少，主要采用光谱分析法。

本课题组采用“三明治”原理的光谱测量方法，利用单通道光谱仪对激光焊接小孔等离子体进行了测量，获得了单点的温度和电子密度[3]。

由于激光焊接所产生的小孔内部密布着等离子体，小孔内部等离子体的温度分布可以反映焊接过程中孔内的温度情况，所以测量小孔内部等离子体的温度分布对于研究激光焊接形成小孔的机理具有十分重要的意义。

1 测量原理1.1 温度测量原理激光焊接小孔孔内等离子体温度的分布情况很难直接获得。

2 圆形截面的 Abel 逆变换
为了方便描述随圆截面 Abel 逆变换方法, 我们 先回顾一个圆形截面的情况。圆形截面对称分布的 Abel 逆变换已有多种方法, 其中 W Barr 的算法[2] 、 等值同心圆算法[ 3] 和幂级数算法[ 4] 得到了广泛的应 用。其基本原理如图 1 所示。
收稿日期: 2003- 05- 09; 修订日期: 2004- 01- 12 作者简介: 董云波( 1979- ) , 女, 云 南保山人, 硕士研究生, 主要从事托卡马克装置的磁流体不稳定性研究。
第 3期
董云波等: 椭圆截面的 Abel 逆变换方法
173
参数, u = 0 时为磁轴, u = 1 则表 示等离子体边界, 如图 2 所示。
图 1 探测弦与圆形截面间的几何关系
假设对于 z 轴对称的等辐 射面上的分布 函数
n( r ) , 在垂直 y 轴, 穿过 y = y0 点的探测弦上所获得
n( r ) dl 被探测到后, 借助于 Abel 逆变换 数学方
L
法, 通过积分 I ( ) 值可以求出该物理量的径向分布 n ( r ) 。目前这种方 法在软 X 射线测 量、可见 光辐 射测量、热辐射测量、电子回旋辐射测量以及激光干 涉测量中都得到了广泛应用。以前大多数托卡马克 装置由于孔栏限制, 等离子体截面多为圆形, 因而圆 截面 Abel 逆变换算法在等离子体实验数据 处理中 得到了广泛的应用。近十几年来, 为了改善等离子 体边缘杂质条件和约束性能, 许多装置都先后采用 了偏滤器技术, 导致了等离子体截面的变化, 由原来 的圆形截面演变成具有椭圆形 变加三角形变 的位 形。在此情况下, 以圆对称为基本假定条件的圆截 面 Abel 逆变换技术需要作相应的修正。

___
___
令 r 0 利用L’Hospital（洛必塔）法则 得到
___ ___ ___
___ ___ 1 u (0, t ) 0 (at ) at 0 (at ) t 1 (at ) (at ) 0 (at ) t 1 (at ) a t 1 0 ( x sin cos , y sin sin , z cos , t ) 2 ( at ) sin d d 4 a t Sat at M 1 ( x sin cos , y sin sin , z cos , t ) t 2 ( at ) sin d d 2 4 Sat (at ) M __
.
把确定出来的 f1 ( x) 与 f2 ( x) 代回到式 （6.1.6）中，即得到方程（6.1.1）在 条件（6.1.7）下的解
u( x, t ) 1 1 xat [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a xat
（6.1.11)
式（6.1.11）称为无限长弦自由振动的 D’Alembert（达朗贝尔）公式。 现在来说明D’Alembert解的物理意义。 先讨论初始条件只有初始位移情况下
__
1 u (r , t ) 4 r 2
1 u( , , , t )dS 4 SrM
S1M
u( ,, , t )d
M S 其中 r 表示 以点 M ( x, y, z ) 为中心、以 M 为半径的球面 S1 表示 r 1 的单位球面
r
x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
所以得到方程

从阿贝尔变换看定积分分部积分公式刘鹏飞 数学与应用数学专业 05级基地班指导老师 尹小玲2006年9月摘要:通过深入了解阿贝尔变换的几何意义,分析它与定积分存在某种联系;经过进一步探讨,得到由阿贝尔变换可以推导出定积分分部积分公式.关键词：阿贝尔变换，定积分，分部积分。

阿贝尔变换：设有两组数k k b a ,),,3,2,1(m k =为了求和数m m mk kk b a b a b a ba ++=∑=22111引入 m m b b b B b b b B b b B b B ++=++=+==21321321211,,,, 这样， 112211,,,--=-==m m m B B b B B b B b 把它代入和式中得)()()(1233122111-=-+-+-+=∑m m m mk kk B B a B B a B B a B a bam m m m m B a B a a B a a B a a +-+-+-=--11232121)()()( ∑-=++-=111)(m k m m k k kB a B a a这个变换式：∑∑-=+=+-=1111)(m k m m k k k mk kk B a B a a ba (1)就称为阿贝尔变换或和差变换。

上述阿贝尔变换，有一个简单的几何解释。

为了简单起见，以6=m 为例，设0≥k a ，且)6,5,4,3,2,1(0=≥k b k ，且k a 单调下降。

这时，∑=61k k k b a 在上图中就表示以k b 为底，ka 为高的六个矩形的面积之和，这正是此图中大的阶梯形的面积。

它显然等于以6543216b b b b b b B +++++=为底，以6a 为高的矩形面积，以及以kk b b b B +++= 21为底，1+-k k a a ),5,4,3,2,1(=k 为高的五个“扁”矩形的面积之和，可见，阿贝尔变换在几何上只是把大阶梯形面积转化成两种不同方向的矩形面积之和而已。

k=1
令 yk =
1 k
( x1
+
x2
+
…+
xk )
, k = 1 , 2 , …,
2 000
∑ 2 001. 求 | yk - yk + 1 | 的最大可能值. k =1 (2001 ,上海市高中数学竞赛)
讲解 :由于不知 xk 和 xk + 1 的大小关系 ,
2 000
∑ 可将差 xk - xk + 1 视为整体 ,将条件 | xk k=1
n
m
∑ ∑ 将取定的这组正数代入 ak ≤M ak
k=1
k=1
中 ,有
m+ (n-
m) ·( n -
m (2 cn - m - 1) m) ( n + m + 1 - 2 cn)
≤mM .
则
M
≥1
+
2 cn - m - 1 n + m + 1 - 2 cn
=n+
n m +1-
≥n 2 cn n + 1 -
xi ,
i= k i i= k+1 i
∑n
若令 yi =
xj , i = 1 ,2 , …, n ,则诸 yi ≥0.
j= i j
逆用阿 贝 尔 变 换 的 证 明 方 法 可 将 条 件 化 为
∑ ∑ n
n
y2i = 1. 再由 yi =
xj , i = 1 ,2 , …, n ,有
i =1
j= i j
xn = nyn , xi = i ( yi - yi + 1 ) , i = 1 ,2 ,
…, n - 1.

1 1
2) 含有共轭复数极点的情况
a3 an a1 s a 2 M ( s) F ( s) N ( s) ( s j )( s j ) s p 3 s pn
将上式两端同乘(s+2s 5 3 a3 ( s 2) 5 3 ( s 2) s 2
d s 2 2s 5 3 a2 ( s 2) 2 3 ds ( s 2) s 2
d 2 s 2 2s 5 3 a1 ( s 2) 1 2 3 2!ds ( s 2) s 2
pn t
)
s3 例2-19 求 F ( s) 2 的Laplace逆变换 s 3s 2
解 F ( s)
a1 a2 s3 s3 2 s 3s 2 ( s 1)( s 2) s 1 s 2
其中
s3 a1 ( s 1) 2 ( s 1)( s 2) s 1
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (n m) n 1 N (s) s a1s an1s an
m
m 1
使分母为零的s值称为极点，
使分子为零的点称为零点。
根据实系数多项式分解定理，分母有n 次多项式，则必然有 n个根，因此F(s)可分解为
1 a j st f (t ) F ( s)e ds 2j a j
简写
f (t ) L [ F (s)]
直接通过积分求 Laplace 逆变换通常很繁锁，对于一般问 题都可以避免这样的积分，利用Laplace 变换表，查表求 原函数。
1
对于一般的控制系统，可以用通用有理分式表示

第二章 Laplace变换
第二章 Laplace变换
本章介绍Laplace变换的概念、性质 以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变 换一些应用的例子.
第二章 Laplace变换
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要 实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等 函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦 函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间 t 为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者 不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际 应用中受到一些限制.
由Laplace变换的定义及积分的线性性质可证.
函数的Laplace变换
例 6 求 f (t ) et (t ) etu(t ) ( 0)
的Laplace变换(其中 u(t)为单位阶跃函数).
解 运由行L下ap面la的ce变MA换T的LA定B义语，句当. Re s 时，
L
>>
[f
>>
0
sa
所以
L [eat ] 1 (Re s a).
sa
常见函数的Laplace变换
例 2 求单位阶跃函数
1, u(t) 0, 的Laplace变换.
t0 t0
解 运根行据下L面ap的laMceA变TL换A的B语定句义.，当 Re s 0 时，
>> syLm[sut(ts)] estdt 1 est 1 .
f (t ) Mect ,
则在半平面 Re s c上，L [ f (t)] 存在, 且
F (s) L [ f (t)]
是s的解析函数, 其中 c 称为 f (t)的增长指数.

1
1
=2ℒ 2 s +ℒ 3
s 9 s2 9
2cos 3t sin 3t
1 例3 求Laplace逆变换： F ( s) 2 s 1 解： 由 F ( s) 1 1 / 2 s 1 s 1 1 及 1 s 1 1 t t 得e ,e s 1 s 1 1 1 1 -ℒ 1 1 ℒ 2 1 =ℒ 2( s 1) 2( s 1) s 1
m级极点:

m>1:
m=1:

P ( z0 ) Q ( z 0 )
1 例求F ( s ) 的逆变换. 2 s( s 1)
s 0为一阶极点, s 1为二阶极点,
f (t ) Re s[F ( s)e ,0] Re s[F ( s)e ,1]
二.性质
2s 3 例2 求Laplace逆变换：F ( s ) 2 s 9 解：由 sin kt 2 k 2 , cos kt 2 s
s k
1
s k2
得
2 s 3 =ℒ ℒ s2 9
1
1
2 s +ℒ 3 s2 9 s2 9
第七章
Laplace变换
§3 Lapalce逆变换
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如何求Laplace逆变换?
1 F ( s) 2 例1 求Laplace逆变换： s 4
一.查表法
解： 由 sin kt
k 2 2 s k
，得
2 sin 2t 2 2 s 2 1 1 sin 2t 2 2 2 s 2

udv = d (uv ) − vdu
再求逆变换（积分）的结果
∫ udv = uv − ∫ vdu
变换的指导精神是不定积分 ∫ vdu 比较容易求出。
本文由 SCIbird 排版整理
关于第二类不定积分换元法，通常涉及反函数，很多书中给的条件并不一 致。 《数学分析习题课讲义》中收录了下面的定理： 设 f (x ) 有原函数，函数 x = x (t ) 可微且有函数 t = t (x ) 满足 x (t (x )) ≡ x , 若
∫ f (x (t ))x ′(t ) dt = F (t ) +C
则有
∫ f (x ) dx = F (t (x )) +C
证明：已知 f (x ) 有原函数，记为U (x ) ，则有U ′(x ) = f (x ) . 又已知
F ′(t ) = f (x (t ))x ′(t )
由复合函数求导法则得到 dU (x (t )) =U ′(x (t ))x ′(t ) = f (x (t ))x ′(t ) = F ′(t ) dt 因此U (x (t )) 与 F (t ) 只相差一个常值函数
∫ f (x )e
g (x )
dx = h (x )e g (x ) +C .
这个定理的证明涉及微分代数，有兴趣的读者可自行查阅相关文献。
在积分理论中，有一类非常重要的变换，即含参数变换。
ϕ (t ) = ∫ f (x )K (x , t ) dx
R
这里 t 是参变量， K (x , t ) 称为核函数。这种方法也是定义非初等函数的一种常 见方法， 比如数学分析里非常重要的 Γ 函数和 B 函数。 参变量核函数方法的典型 例子有两个，一个是多项式逼近连续函数定理中的 Landau 方法

a z
z >0
x <∞
a 令 x = ,则F(z) 可展开为 z
a k ∞ ( ) ∞ a ak k F(z) = e z = ∑ z = ∑ z , k=0 k! k=0 k!
z >0
ak ∴ f (k) = ε (k) k!
二,部分分式展开法 在离散系统分析中,经常遇到的象函数是z 在离散系统分析中,经常遇到的象函数是z的 有理分式,它可以写为: 有理分式,它可以写为:
1 + z + 3z + 5z + z2 z 2 z 2 z2 z 2 z+2 z 1 2z1
3 + z z 2 F(z) = ∑ f (k)zk
k =0 ∞
即
z2 F(z) = 2 = 1+ z1 + 3z2 + 5z3 + z z 2
相比较可得原序列 f (k) = {1, 1, 3, 5, }
B(z) bmzm + bm1zm1 ++ b1z + b0 F(z) = = n A(z) z + am1zn1 ++ a1z + a0 m≤ n
F(z) B(z) B(z) = = ,m < n +1 n n1 z zA(z) z(z + am1z ++ a1z + a0 )
k1 k2 F(z) = + z-z1 z z2
的极点. 它们称为 F(z)的极点.
F (1) (z)有单极点 F (2) (z)有共轭单极点 F (3) (z)有重极点
F (1) (z)有单极点
都互不相同,且不等0 如 F(z) 的极点z1 , z2 ,, zn , 都互不相同,且不等0 则 F(z) / z 可展开为

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。

我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。

本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。

第一节 拉普拉斯变换在代数中，直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。

这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。

一、拉氏变换的基本概念定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即dte tf P F pt ⎰∞+-=0)()( （12.1）称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。

函数()F P 称为()f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。

函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数），记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。

关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：（1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。

为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。

（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。

为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。

梯度法
设第gi次搜索迭代时 x函数的负梯度方向的单位矢量为：
g xi
gi x
P

g xi
gi x
则模型参数的改正量 xi为：
xi xi1 xi P
（5.5）
式中： 称为搜索（或校正）步长。
将目标函数进行台劳级数展开有：
梯度法
同样， x 的极小值所对应的模型参数 x ，就应该是待求模 型的解。在多维空间中，一般来说， x 函数是一个高次曲面。 以二维空间为例，此时 x1, x2 所形成的曲面与平行 x1 x2 的平
面之切点就是它的极小值点（图5-1）。极小值点对应 x1 ，x2 ， 就是观测数据 d 对应模型 m 之值。
H0


x2x1


2 x0

xN x1
2 x0
x1x2
2 x0
x2x2
2 x0
xN x2
2 x0
x1xN
2 x0

x2xN


2 x0
如果用 x ci （ ci 是常数，相当于一系列平行于 x1 x2 的平面），与空间曲面 x x1, x2 相截，可以得到一族平面
曲线，将它们投影到x1 x2 平面上，如图5-2所示，称为曲面的 等高线族。由外向内， 值不断下降，当达到极小点时，即为 函数的极值。
xrK1 xrK rKρrK
或 xrK rKρrK
沿 ρrK 方向进行第K次搜索时，应满足：
（5.16）

xrK 1

xrK rK ρrK
min

s 1
s 1
( s 2) ( s 6) ( s 2) 2
s 1
4 ( s 2) 2
4
5 4 4 F ( s) 2 ( s 1) s 1 s 2
f (t ) L1[ F (s)] 5tet 4et 4e2t t 0
因为A( s) 0 F ( s) 0 p1 , p2 , p3 pn 是Bs 0的根, 称为F s 的极点 因为B( s) 0 F ( s)
2、部分分式分解法求解拉氏逆变换的过程：
(1)找出F s 的极点 (2)将F s 展成部分分式
(3)查拉氏变换表求 f t
s2 3 例2：已知F ( s) 2 ，求f (t ) ( s 2s 5)( s 2)
解：采用部分分式分解 s2 3 s2 3 F ( s) 2 ( s 2 s 5)(s 2) ( s 1 j 2)(s 1 j 2)(s 2) K3 K1 K2 s 2 s 1 j2 s 1 j2
F1 ( s) A( s) D( s )
F1 ( s) K1 K2 F ( s) ( s j )(s j ) ( s j ) ( s j )
F ( s)
F1 ( s) K1 K2 ( s j )(s j ) ( s j ) ( s j )
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：p1,p2…,pn单阶实数极点、无重根
设:
A( s ) F ( s) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
此时，F(s)可分解为如下形式

数字全息和拉东变换重构温度场的研究王占亮;张永安;钱晓凡【摘要】为了得到温度场的3维温度分布情况,采用数字全息方法,并将拉东变换的图层重建理论应用到数字全息的后期图像处理过程中,进行了理论分析和实验验证,取得了温度场的3维相位和温度数据.结果表明,此方法重构的温度场3维数据和阿贝尔变换重构的温度场数据相一致,证明了该方法的可行性.%In order to obtain the temperature distribution of temperature field, using of the digital holography, adopting the reconstruction theory of drawing layer based on Randon transform into the final image processing in digital holography, after theoretical analysis and experimental validation, 3-D phase and temperature data of the temperature field were obtained. The 3-D temperature reconstructed with this method is conformal with that reconstucted with Abel method so that it is feasible.【期刊名称】《激光技术》【年(卷),期】2011(035)005【总页数】4页(P589-592)【关键词】全息;3维温度场;重构;拉东变换【作者】王占亮;张永安;钱晓凡【作者单位】昆明理工大学激光研究所,昆明650051;昆明理工大学激光研究所,昆明650051;昆明理工大学激光研究所,昆明650051【正文语种】中文【中图分类】O438.1引言全息干涉计量作为一种高精度、无损、全场的检测方法，可用于非破坏检测与评估、流场分析、燃烧分析、固体的应力与应变分析、振动分析等[1]，该方法是用一个标准波前与一个变形波前比较实现干涉计量，这种非接触的激光全息干涉计量法已大量应用到热流体温度场测量中[2]，并经历了从传统全息到数字全息[3]等几个阶段。

1
∫
0
arccos
r R
dI ( y ) d dy cos
( 4)
数值分析证明该方法可以有效解决积分 奇异点问 题 . 也可以 利用该 式对 整个 区间的 数据 点进 行 Abel反变换, 但是精度较差 . 1. 4 变换中心奇异点的处理 在弧柱中心处 ( 也就是 Abel 反变换中心 奇异 点) 计算偏差相当大, 此时考虑将所 得数据沿 x 轴 左移几格, 作为新的坐标原点 , 按照上述方法计算 , 最后再去除所得这几个点的 I ( x ) 的值即可 . 降低了 边缘的函数梯度 , 使三次样条算法在 Abel 反变换的 计算中精度更高 .
1956
上 海 交 通 大 学 学 报
第 38 卷
2 讨 论
( 1) 三次样条的函数近似计算对于曲线梯度变 化相当敏感. 从上述函数中心点附近的验证值可以 看出 , 当与中心的距离逐渐加 大时, 由于梯度的下 降 , 所得到的值才与精确值接近 . 按照程序的设计思 想对某一图像进行操作 , 人工提取程序中所要用到 的插值点, 绘出图像发现, 出现负值的地方对应图像 的正是梯度比较大的地方 , 说明这种近似算法在实 际应用中不可避免地会出现误差 . ( 2) 某一区间的插值函数其两个端点的一阶、 二阶导数值对计算可能有很大的影响 . 在确定插值 点以后 , 作为前一个插值区间和后一个插值区间的 交点, 三次样条算法要求在这个点的一阶、 二阶导数 值相等 , 也就是说 , 前一个插值区间的插值函数在该 点的一阶、 二阶导数值与后一个插值区间在该点的 一阶、 二阶导数值应该相等 . 如果所选定插值点的左 右的一阶、 二阶导数值不能满足三次样条算法的要 求 , 就会出现计算上的明显误差 . 而所验证的上述单 峰型函数本身却可以保证各个点的左右一阶、 二阶 导数值相等, 所以验证值才与精确值比较符合.

后数据点数变为 N , 用于计算发射系数的投影值 I
与测量值 I E 的关系为 I = I E / ∃, 其中 ∃为常数, 由绝 对强度标定确定。又设 qij = - p ij / , 由( 4) 式可得绝
对发射系数的计算公式
∀ ( r i ) =
1 ∃E
Nj=
1
qij I
0
E(yj
)
.
( 6)
系数 qij 预先计算后保存, 将各组测量值的尾部补零
u0 ( i , j + 1) ,
1 # i # N - 1, j = i - 1
p ij = u0 ( i , j + 1) + u1 ( i , j ) ,
0 # i # N - 1, j = i
( 5)
u0 ( i , j + 1) + u1 ( i , j ) + u2 ( i , j - 1) ,
第 27 卷 第 9 期 2007 年 9 月
光学学报 ACT A OPT ICA SINICA
文章编号: 0253 2239( 2007) 09 1633 6
V ol. 27, No . 9 September , 2007
阿贝尔逆变换数据处理算法在电弧诊断中的应用
马税良 高洪明 张广军 吴 林
( 哈尔滨工业大学 现代焊接生产技术国家重点实验室, 哈尔滨 150001)
1引 言
等离子体在材料加工[ 1] 、材料制备、表面改性以 及废气废物处理等工业领域具有广泛的应用。等离 子体有关物理参量的径向分布, 是等离子体研究中 的重要内容。而在等离子体的诊断中, 测量到的许 多物理参量都是某一方向的投影值。对于柱对称的 等离子体, 实验测得的辐射强度是等离子体的发射 系数在一条直线上的积分值, 需要运用阿贝尔逆变

利用查表方法求 F ( s )
的逆变换.
s s 1
2
1
2
根据附录二中的公式,在 a 1 时,有

1 f t 1 - cos t - t sin t 2
利用查表方法求 F ( s )
的逆变换.
s
s2 - a2
2
a
2

2
在附录二中找不到现成的公式,怎么办?
F ( s)
s
s2 - a2
2
a
2

2

s
s2
2
a
2

2
-
s
a2
2
a
2

2
根据附录二中的公式,有
2 s -1 f t L s2 a2 2 2 a -1 f t L s2 a2 2
1 1 1 6 15 10 s1 s- 2 s 3
1 - t 1 2 t 1 -3 t f t - e e e 6 15 10
四、 小结
总结求Laplace逆变换有哪些方法与途径.
三、Laplace反演积分的计算方法
即
st f (t ) Res F ( s )e , t0 s s k 1 k
n
证明 :
如图, 闭曲线C=L+CR, CR在Re (s)< b的区 域内是半径为R的圆弧, 当R充分大后, 可以 使F (s) 的所有奇点包含在闭曲线C围成的区域 内.
三、Laplace反演积分的计算方法 虚轴 b+ j R CR O L
b b-jR
实轴
三、Laplace反演积分的计算方法