高中物理必修二：小船渡河问题+平抛运动模型(教师版)-2020.10.14

高中物理学习材料唐玲收集整理高一必修二第五章专题一：运动合成与分解的两个模型 模型一：小船渡河模型小船在河流中实际的运动（即站在岸上的观察者看到的运动）可视为船同时参与了这样的两个分运动：（1）船相对水的运动（即船相对静水的运动），它的方向与船头的指向相同；（2）船随水漂流的速度（即速度等于水的流速），它的方向与河岸平行。

船在流水中实际的运动（合运动）是上述两个运动（分运动）的合成，小船渡河问题常见以下两类问题：1、 渡河时间t（1） 渡河时间t 的大小取决于河岸的宽度d 及船沿垂直河岸方向上的速度的大小，即⊥=v dt 。

（2） 若渡河时间最短，只要使船头垂直河岸航行即可，如图所示，此时船短v d t =，船渡河的位移θsin d x =，位移方向满足水船v v =θtan 。

2、 渡河位移最短问题（1） 若船水v v <，最短位移为河宽d ，此时渡河使用时 间θsin 船v dt =，船头与上游夹角满足水船v v =θcos ，如图甲所示。

（2） 若船水v v >，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d ，寻找最短位移的方法是：如图乙所示 ①先从出发点A 开始做矢量水v ；②再以水v 末端为圆心，以船v 为半径画圆弧；③自出发点A 向圆弧做切线，即为船位移最小时的合运动的方向。

这时，船头与河岸夹角θ满足水船v v =θcos ，最短位移为甲乙θcos dx =短，过河时间为θsin 船v d t = 1、小船在静水中的速度为3m ／s ，它要横渡一条30m 宽的河，水流速度为4m ／s ，下列说法正确的是（ ）A ．这只船能垂直于河岸抵达正对岸 B ．这只船的速度一定是5m/s C ．过河的时间可能为6S D ．过河的时间可能为12S 是2、已知河水自西向东流动，流速为小船在静水中的速度为且＞，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能的是3、如图所示，船从A 处开出后沿直线AB 到达对岸，若AB 与河岸成37°角，水流速度为4 m/s ，则船从A 点开出的最小速度为( ) A ．2 m/s B ．2.4 m/s C ．3 m/s D ．3.5 m/s4、船在400米宽的河中横渡，河水流速是2m/s ，船在静水中的航速是4m/s ，试求： （1）要使船到达对岸的时间最短，船头应指向何处？最短时间是多少？航程是多少？ （2）要使船航程最短，船头应指向何处？最短航程为多少？渡河时间又是多少？/5、小船过河时．船头偏向上游与水流方向成θ角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是（ ) A．增大θ角，增大船速vB．减小θ角，增大船速vC．减小θ角，保持船速v不变D．增大θ角，保持船速v不变/6、河宽d=600m，河水速度V1=10.8Km/h，小船在静水中的速度V2="14.4" Km/h，求：（1）若要小船以最短时间过河，开船方向怎样？最短时间为多少？小船在河水中实际行驶的距离是多大？（2）若要小船以最短距离过河，开船方向怎样（即船头与河岸上游或下游夹角）？过河时间为多少？（结果可用三角函数表示，若有根式，可化简后保留）模型二：绳（杆）端速度的分解模型1、条件：在实际生活中，常见到物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题，如图所示．2.规律：由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同．3.速度分解的方法：物体的实际运动就是合运动.(1)把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程求解．(2)以上所说的“速度”沿绳方向的分量指的是“瞬时速度”，而不是“平均速度”．(3)把图中甲、乙两图的速度分解成如图所示.1、用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到靠近岸的过程中，如图所示，如果要保证绳子的速度v不变，则小船的速度( )A．不变B．逐渐增大C．逐渐减小D．先增大后减小【思路点拨】解答该题应把握以下两点：(1)小船的运动为实际运动，即合运动．(2)拉绳子的速度等于小船沿绳子方向的分速度.【精讲精析】将小船的速度v′正交分解：沿绳的分速度v′1，垂直绳的分速度v′2，拉绳的速度大小等于v′1，即v′cosθ＝v∴v′＝vcosθ在船靠近岸的过程中，θ逐渐增大，由上式可知，船速v′逐渐增大，故B正确．【方法总结】解决这类问题可分为三步：第一步：分解谁？分解不沿绳方向的速度；第二步:如何分解？沿绳方向和垂直绳方向分解;第三步：何关系？沿绳方向的速率相等.。

运动的合成与分解实例——小船渡河模型一、基础知识（一）小船渡河问题分析(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝dv 1(d 为河宽)．②过河路径最短(v 2<v 1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d .船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v 2v 1.③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法 垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝dcos α＝v 2v 1d .（二）求解小船渡河问题的方法求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移． 无论哪类都必须明确以下四点：(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是 船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动， 一般情况下与船头指向不一致．(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流 方向和船头指向分解．(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．(4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与水流速度v 水的大小情况用三角形法 则求极限的方法处理． 二、练习1、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m /s.若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，则：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 解析 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图所示．合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 2＝5 m/s. t ＝d v 2＝1805 s ＝36 s v ＝v 21＋v 22＝525 m/s x ＝v t ＝90 5 m(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直 河岸方向成某一夹角α，如图所示． 有v 2sin α＝v 1， 得α＝30°所以当船头向上游偏30°时航程最短． x ′＝d ＝180 m.t ′＝d v 2cos 30°＝180523 s ＝24 3 s答案 (1)垂直河岸方向 36 s 90 5 m (2)向上游偏30° 24 3 s 180 m 2、一条船要在最短时间内渡过宽为100 m 的河，已知河水的流速v 1与船离河岸的距离x 变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v 2与时间t 的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是( )A ．船渡河的最短时间是25 sB ．船运动的轨迹可能是直线C ．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2D ．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案 C 解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t ＝1005 s ＝20 s ，A 错误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B 错误；船在最短时间内渡河t ＝20 s ，则船运动到河的中央时所用时间为10 s ，水的流速在x ＝0到x ＝50 m 之间均匀增加，则a 1＝4－010 m /s 2＝0.4 m/s 2，同理x ＝50 m到x ＝100 m 之间a 2＝0－410 m /s 2＝－0.4 m/s 2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2，C 正确；船在河水中的最大速度为v ＝52＋42 m/s ＝41 m/s ，D 错误．3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则( )A ．船渡河的最短时间是60 sB ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C ．船航行的轨迹是一条直线D ．船的最大速度是5 m/s 答案 BD解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t ＝d v 2＝3003 s ＝100 s ，A错，B 对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v ＝42＋32 m /s ＝5 m/s ，C 错，D 对．4、(2019·江苏·3)如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB .若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为 ( ) A ．t 甲<t 乙 B ．t 甲＝t 乙C ．t 甲>t 乙D ．无法确定 答案 C解析 设两人在静水中游速为v 0，水速为v ，则 t 甲＝x OA v 0＋v ＋x OAv 0－v ＝2v 0x OA v 20－v2 t 乙＝2x OB v 20－v 2＝2x OAv 20－v 2<2v 0x OAv 20－v 2 故A 、B 、D 错，C 对．5、甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，出发时两船相距233H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸A 点，则下列判断正确的是( )A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同B ．v ＝2v 0C ．两船可能在未到达对岸前相遇D ．甲船也在A 点靠岸 答案 BD解析 渡河时间均为Hv sin 60°，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由v cos 60°＝v 0得v ＝2v 0，甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0)H v sin 60°＝233H ，刚好到达A 点，综上所述，A 、C 错误，B 、D 正确．6、一快艇要从岸边某处到达河中离岸100 m 远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则( )A ．快艇的运动轨迹可能是直线B ．快艇的运动轨迹只能是曲线C ．最快到达浮标处通过的位移为100 mD ．最快到达浮标处所用时间为20 s 解析 快艇的实际速度为快艇在静水中的速度与水速的合速度．由图象可知快艇在静水中为匀加速直线运动，水为匀速直线运动，两速度不在同一条直线上，故快艇必做曲线运动，A 错误，B 正确；当快艇与河岸垂直时，到达浮标处时间最短，而此时快艇做曲线运动，故位移大于100 m ，C 错误；由题图甲可知快艇的加速度为a ＝ΔvΔt ＝0.5 m/s 2，最短位移为x ＝100 m ，对快艇由x ＝12at 2得：t ＝2x a＝ 2×1000.5s ＝20 s ，即最快到达浮标处所用时间为20 s ，D 正确． 答案 BD。

习题课1运动合成与分解的两类模型模型一小船过河模型1．小船渡河模型小船的实际运动是船随水流的运动(速度为v水)和船在静水中的运动(速度为v 静水)的合运动。

船的航行方向是实际运动的方向，即合速度的方向。

两个方向的运动情况相互独立、互不影响。

2．两类最值问题(1)渡河时间最短问题水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。

因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。

由图甲可知，t短＝dv船，此时船渡河的位移x＝dsin θ，位移方向满足tan θ＝v船v水。

(2)渡河位移最短问题情况一：v水＜v船最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝dv船sin θ，船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，即cos θ＝v水v船，如图乙所示。

情况二：v水＞v船合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。

确定方法如下：如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。

由图可知sin α＝v船v水，最短航程为x＝dsin α＝v水v船d。

此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝v船v水。

(2021·山东临沂高一检测)小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s。

(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin 37°＝0.6)(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？[解析](1)因为小船垂直于河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝dv船＝2005s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。

(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝v2船－v2水＝4 m/s，经历时间t＝dv合＝2004s＝50 s。

运动的合成与分解实例——小船渡河模型一、基础知识（一）小船渡河问题分析(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d v 1(d 为河宽)．②过河路径最短(v 2<v 1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d .船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v 2v 1.③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法 垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝dcos α＝v 2v 1d .（二）求解小船渡河问题的方法求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移． 无论哪类都必须明确以下四点：(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是 船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动， 一般情况下与船头指向不一致．(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流 方向和船头指向分解．(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．(4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与水流速度v 水的大小情况用三角形法 则求极限的方法处理． 二、练习1、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，则：(1)欲使船在最短时间渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 解析 (1)欲使船在最短时间渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图所示．合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 2＝5 m/s.t ＝d v 2＝1805s ＝36 s v ＝v 21＋v 22＝525 m/s x ＝vt ＝90 5 m(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直 河岸方向成某一夹角α，如图所示． 有v 2sin α＝v 1， 得α＝30°所以当船头向上游偏30°时航程最短．x ′＝d ＝180 m.t ′＝d v 2cos 30°＝180523s ＝24 3 s答案 (1)垂直河岸方向 36 s 90 5 m (2)向上游偏30° 24 3 s 180 m 2、一条船要在最短时间渡过宽为100 m 的河，已知河水的流速v 1与船离河岸的距离x 变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v 2与时间t 的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是( )A ．船渡河的最短时间是25 sB ．船运动的轨迹可能是直线C ．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2D ．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案 C 解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t ＝1005 s ＝20 s ，A错误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B 错误；船在最短时间渡河t ＝20 s ，则船运动到河的中央时所用时间为10 s ，水的流速在x ＝0到x ＝50 m 之间均匀增加，则a 1＝4－010 m/s 2＝0.4 m/s 2，同理x ＝50 m到x ＝100 m 之间a 2＝0－410 m/s 2＝－0.4 m/s 2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2，C 正确；船在河水中的最大速度为v ＝52＋42m/s ＝41 m/s ，D 错误．3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则( )A ．船渡河的最短时间是60 sB ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C ．船航行的轨迹是一条直线D ．船的最大速度是5 m/s 答案 BD 解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t ＝d v 2＝3003s ＝100 s ，A错，B 对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v ＝42＋32m/s ＝5 m/s ，C 错，D 对． 4、(2011··3)如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB .若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为 ( ) A ．t 甲<t 乙 B ．t 甲＝t 乙C ．t 甲>t 乙D ．无法确定 答案 C解析 设两人在静水中游速为v 0，水速为v ，则t 甲＝x OA v 0＋v ＋x OA v 0－v ＝2v 0x OA v 20－v 2 t 乙＝2x OB v 20－v 2＝2x OA v 20－v 2<2v 0x OAv 20－v 2 故A 、B 、D 错，C 对．5、甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，出发时两船相距233H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸A 点，则下列判断正确的是( )A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同B ．v ＝2v 0C ．两船可能在未到达对岸前相遇D ．甲船也在A 点靠岸 答案 BD解析 渡河时间均为Hv sin 60°，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由v cos 60°＝v 0得v ＝2v 0，甲船在该时间沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0)Hv sin 60°＝233H ，刚好到达A点，综上所述，A 、C 错误，B 、D 正确．6、一快艇要从岸边某处到达河中离岸100 m 远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则( )A ．快艇的运动轨迹可能是直线B ．快艇的运动轨迹只能是曲线C ．最快到达浮标处通过的位移为100 mD ．最快到达浮标处所用时间为20 s 解析 快艇的实际速度为快艇在静水中的速度与水速的合速度．由图象可知快艇在静水中为匀加速直线运动，水为匀速直线运动，两速度不在同一条直线上，故快艇必做曲线运动，A 错误，B 正确；当快艇与河岸垂直时，到达浮标处时间最短，而此时快艇做曲线运动，故位移大于100 m ，C 错误；由题图甲可知快艇的加速度为a ＝Δv Δt ＝0.5 m/s 2，最短位移为x ＝100 m ，对快艇由x ＝12at 2得：t ＝2x a＝2×1000.5s ＝20 s ，即最快到达浮标处 所用时间为20 s ，D 正确． 答案 BD。

新人教版高中物理必修2核心素养提升微课堂科学思维系列
专题10 小船渡河模型
一、三个速度
v 船(船在静水中的速度)、v 水(水流速度)、v 合(船的实际速度)．
二、两个问题 1．渡河时间
(1)船头与河岸成α角时，渡河时间为t ＝
d
v 船sin α
(d 为河宽)．
(2)船头正对河岸时，渡河时间最短，t min ＝d
v 船
(d 为河宽)．
2．最短航程
(1)若v 水<v 船，则当合速度v 合垂直于河岸时，航程最短，x min ＝d .
船头指向上游与河岸的夹角α满足cos α＝v 水
v 船
.如图①所示．
(2)若v 水>v 船，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．如图②所示，以v 水矢量的末端为圆心、以v 船矢量的大小为半径画弧，从v 水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，
由图可知船头指向上游与河岸的夹角α满足cos α＝v 船
v 水
，最短航程x min。

中学物理“小船渡河”模型详解“小船渡河”模型是“运动的合成与分解”板块中一个重要的模型，主要考察的方面有三个：运动合成与分解的“正交分解法”处理一般问题；合运动与分运动的等效性、独立性和等时性；运动合成与分解的“三角形定则”处理动态分析与极值问题。

1、基本概念（1）船的实际运动：水流的运动和船相对静水的运动的合运动．（2）三种速度：船在静水中的速度：V船；水的流速：V水；船的实际航速：V；2、正交分解法小船渡河，其目的是研究实际运动。

直接矢量合成并不能解决问题，可以先正交分解再合成。

（沿河岸方向和垂直河岸方向建立直角坐标系）x轴方向：Vx=V船· cosθ-V水Sx=Vx · ty轴方向：Vy=V船 ·sinθSy=Vy · t船的实际运动：3、渡河时间船在X轴方向运动没有限制条件，在Y轴有限制条件。

根据运动的独立性与等时性，决定运动时间的是Y轴的分运动。

最短渡河时间：当θ等于90°时，sinθ=1，为最大值。

即船头垂直河岸渡河时，用时最短。

（最短渡河时间示意图）4、渡河位移在X轴方向的运动：Vx=V船· cosθ-V水Vx>0，表示船向上游运动Vx<0，表示船向下游运动最短渡河位移：（1）V船>V水，调整船头方向，存在Vx>0,Vx=0,Vx<0三种情况，即船可向上游、对岸、下游运动。

根据数学知识：点到直线，垂线段最短。

最短位移为运动到河正对岸，即为河宽d。

最短位移：Smin=d。

（V船>V水，最短渡河位移示意图）（2）V船<V水，无论如何调整船头方向，只存在Vx<0一种情况，即船只能向下游运动，无法到达河对岸。

此时，只能采用合成与分解的“三角形定则”。

水速与船速矢量首尾连接，即为船的实际航速。

随着船头方向不断变化，航向也会不断变化。

越靠近河正对岸，位移越短。

不断调整船头指向，当船速与实际运动速度垂直时，位移最小。