2020 数学 高考冲刺二轮 --规范答题示范课——函数与导数解答题

专题六函数与导数第1讲函数图象与性质高考定位1。

以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3。

函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法。

真题感悟1。

(2020·全国Ⅱ卷）设函数f（x)＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜，则f(x)(）A。

是偶函数，且在错误!单调递增B。

是奇函数，且在错误!单调递减C。

是偶函数，且在错误!单调递增D。

是奇函数，且在错误!单调递减解析f(x）＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜的定义域为错误!.∵f（－x)＝ln|－2x＋1｜－ln｜－2x－1|＝ln|2x－1｜－ln|2x＋1|＝－f（x），∴f(x）为奇函数,故排除A,C。

又当x∈错误!时，f(x）＝ln（－2x－1)－ln（1－2x）＝ln 错误!＝ln 错误!＝ln 错误!，∵y＝1＋错误!在错误!上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在错误!上单调递减。

故选D.答案D2。

（2019·全国Ⅰ卷)函数f（x）＝错误!在[－π,π］的图象大致为()解析显然f(－x）＝－f(x），x∈[－π，π],所以f(x)为奇函数，排除A；又当x＝π时，f（π）＝错误!〉0，排除B，C，只有D适合.答案D3.（2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f（x)在（－∞，0）单调递减，且f（2)＝0,则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是(）A.［－1，1］∪[3，＋∞）B.[－3,－1]∪［0,1］C.[－1，0]∪[1,＋∞）D.[－1,0]∪［1，3]解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)＝0。

又f（x）在（－∞,0）单调递减，且f（2)＝0，画出函数f（x）的大致图象如图（1）所示,则函数f(x－1）的大致图象如图（2）所示。

当x≤0时，要满足xf(x－1）≥0,则f（x－1）≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1)≥0，得1≤x≤3。

规范解答集训（六) 函数、导数和不等式(建议用时：40分钟)1．已知函数f（x）＝ax＋1－x ln x的图象在点(1，f（1）)处的切线与直线x－y＝0平行．（1)求函数f(x）的极值；（2)若对于x1，x2∈(0,＋∞），f x 1－f x 2x1－x2＞m（x1＋x2），求实数m的取值范围．[解]（1）f（x）＝ax＋1－x ln x的导数为f′(x）＝a－1－ln x，可得y＝f（x）的图象在点(1,f（1) )处的切线斜率为a－1,由切线与直线x－y＝0平行,可得a－1＝1，即a＝2,f(x)＝2x＋1－x ln x，f′(x）＝1－ln x，当0〈x<e时f′（x)〉0，当x〉e时,f′（x)＜0，所以f（x)在（0，e)上递增，在（e,＋∞）上递减，可得f（x）在x＝e处取得极大值为f(e)＝e＋1，无极小值．（2）设x1〉x2>0，若错误!＞m(x1＋x2），可得f(x1)－f（x2)＞mx错误!－mx错误!，即f（x1)－mx错误!＞f（x2)－mx错误!,设g(x)＝f(x)－mx2在（0,＋∞)上为增函数，即g′(x）＝1－ln x－2mx≥0在（0,＋∞)上恒成立,可得2m≤错误!在（0,＋∞）上恒成立，设h（x)＝错误!，所以h′(x）＝错误!，h(x)在（0，e2）上递减，在(e2，＋∞）上递增，h(x）在x＝e2处取得极小值为h（e2)＝－错误!，所以m≤－错误!.2．（2019·石家庄一模)已知函数f(x）＝a e x－sin x，其中a∈R,e 为自然对数的底数．（1）当a＝1时，证明：对x∈[0,＋∞），f(x）≥1；（2）若函数f（x)在错误!上存在极值，求实数a的取值范围．［解］(1)当a＝1时，f（x)＝e x－sin x，于是，f′(x)＝e x－cos x.又因为当x∈(0，＋∞)时，e x>1且cos x≤1.故当x∈（0，＋∞）时，e x－cos x〉0，即f′（x)>0。

第2讲 导数及其应用「考情研析」 1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点． 2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.核心知识回顾1.导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在□01x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，即k ＝□02f ′(x 0)． (2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为□03y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数的单调性(1)在某个区间(a ，b )内，如果□01f ′(x )＞0(f ′(x )<0)，那么函数y ＝f (x )在这个区间内□02单调递增(单调递减)．(2)利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： ①确定函数□03f (x )的定义域； ②求□04导数f ′(x )； ③在函数f (x )的定义域内□05解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0； ④根据③的结果确定函数f (x )的□06单调区间． 3．导数与极值函数f (x )在x 0处的导数□01f ′(x 0)＝0且f ′(x )在x 0附近“□02左正右负”⇔f (x )在x 0处取得□03极大值；函数f (x )在x 0处的导数□04f ′(x 0)＝0且f ′(x )在x 0附近“□05左负右正”⇔f (x )在x 0处取得□06极小值． 4．求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值的一般步骤 (1)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内的□01极值； (2)比较函数y ＝f (x )的□02各极值与□03端点处的函数值□04f (a )，f (b )的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．热点考向探究考向1 导数的几何意义例1 (1)(2019·唐山市高三第二次模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x ＞0为奇函数，则f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( )A ．6B ．－2C ．－6D ．－8答案 B解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝x 2－2x ，又f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x ，f ′(x )＝－2x ＋2，则f ′(2)＝－2，故选B.(2)设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．ln 2－1B ．ln 2－2C ．2ln 2－1D ．2ln 2－2答案 A解析 设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝12，即x 0＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，又切点在直线y ＝12x ＋b 上，∴ln 2＝1＋b ，即b ＝ln 2－1.(3)已知曲线y ＝13x 3＋43，则曲线在点P (2,4)处的切线方程为_____________；曲线过点P (2,4)的切线方程为__________________________．答案 4x －y －4＝0 4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0 解析 ①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.②设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 2(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.函数在某点的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率，这是导数的几何意义，所以与导数有关的问题常涉及求导数、求斜率、求切点坐标、求切线方程、求参数值等．注意切点既在原函数的图象上又在切线上这一条件的应用．1．(2019·南阳市六校高二下学期第一次联考)曲线y ＝e x上的点到直线y ＝x －2的最短距离是( )A. 2 B ．2 C ．322D ．1答案 C解析 设与y ＝x －2平行的直线与y ＝e x相切，则切线斜率k ＝1.∵y ＝e x，∴y ′＝e x，由y ′＝e x ＝1得x ＝0，当x ＝0时，y ＝e 0＝1，即切点坐标为(0,1)，则点(0,1)到直线y ＝x －2的距离是曲线y ＝e x上的点到直线y ＝x －2的最短距离，∵点(0,1)到直线的距离为d ＝|0－1－2|12＋(－1)2＝322，∴曲线y ＝e x 上的点到直线l ：y ＝x －2的距离的最小值为322，故选C. 2．若点P 是函数f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线x －y －2＝0的最小距离为( ) A.22B ． 2C ．12D ．3答案 B解析 由f ′(x )＝2x －1x＝1得x ＝1(负值舍去)，故曲线f (x )＝x 2－ln x 上切线斜率为1的切点是(1,1)，所以点P 到直线x －y －2＝0的最小距离为|1－1－2|2＝2，故选B.3．(2019·山西大学附属中学高二下学期模块诊断)函数f (x )＝ax 2＋sin x 的图象在x ＝π2处的切线方程为y ＝x ＋b ，则b 的值为( )A ．1＋π4B ．1－π4C ．1＋4πD ．1－4π答案 B解析 ∵f (x )＝ax 2＋sin x ，∴f ′(x )＝2ax ＋cos x .由题意，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2a ×π2＋cos π2＝a π＝1，解得a ＝1π，∴f (x )＝1πx 2＋sin x .∴当x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1π×⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＋sin π2＝π4＋1，故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π4＋1，将切点坐标代入切线方程得π4＋1＝π2＋b ，解得b ＝1－π4.故选B. 考向2 利用导数研究函数的单调性例2 (1)已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)答案 C解析 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x＝2x 2－5x ＋2x ＝(x －2)(2x －1)x ＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)．(2)(2019·山西大学附属中学高二下学期3月模块诊断)已知函数f (x )＝ln x x，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(0,1)B ．(0，e)C ．(1，＋∞)D ．(e ，＋∞)答案 B解析 ∵f (x )＝ln x x (x >0)，∴f ′(x )＝1－ln x x2. 由f ′(x )＝1－ln x x2>0，得ln x <1，解得0<x <e. ∴函数f (x )的单调递增区间为(0，e)．故选B.(3)若函数f (x )＝x 2＋1＋ax 2x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫253，＋∞解析 由已知得，f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，若函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数，则当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞时，2x ＋a －1x 2≥0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立，即a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x max，设u (x )＝1x 2－2x ，则u ′(x )＝－2x 3－2＜0，即函数u (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上单调递减，所以当x ＝13时，函数u (x )取得最大值u ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝253，所以a ≥253.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫253，＋∞.(1)大多数试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号．(2)研究函数单调性时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的定义域．1．函数f (x )＝e x－e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1) D ．(1，＋∞)答案 D解析 由题意知，f ′(x )＝e x－e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D.2．(2019·新疆乌鲁木齐高三第二次质量检测)f (x )的定义域是(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )，若f ′(x )－f (x )x＝1－ln x ，且f (e)＝e 2(其中e 是自然对数的底数)，则( )A ．f (2)<2f (1)B ．4f (3)<3f (4)C ．当x >0时，f (x )>0D ．当x >0时，f (x )－e x ≤0 答案 D 解析 设h (x )＝f (x )x ，则h ′(x )＝f ′(x )x －f (x )x 2＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ′(x )－f (x )x ＝1x－ln x x ，则h (x )＝ln x －12(ln x )2＋c (c 为常数)，又f (e)＝e 2得h (e)＝f (e )e ＝ln e －12(ln e)2＋c ＝e ，即1－12＋c ＝e ，∴c ＝e －12，即h (x )＝ln x －12(ln x )2＋e －12，∵h ′(x )＝1x －ln x x ＝1－ln x x，x >0，∴由h ′(x )>0得1－ln x >0，得0<x <e ，此时函数h (x )为增函数．由h ′(x )<0得1－ln x <0，得x >e ，此时函数h (x )为减函数．则h (2)>h (1)，即f (2)2>f (1)1，则f (2)>2f (1)，故A 错误．h (3)>h (4)，即f (3)3>f (4)4，则4f (3)>3f (4)，故B 错误．由h (x )的表达式可得，当x →＋∞时，h (x )→－∞，而h (x )＝f (x )x，故当x >0时，f (x )>0不成立，故C 错误．由h (x )的单调性可知，当x >0时，h (x )≤h (e)，即f (x )x≤h (e)＝e ，故f (x )－e x ≤0.故选D.3．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调增区间，则a 的取值范围为________．答案 a ＞－19解析 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19，所以，当a ＞－19时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间．考向3 利用导数研究函数的极值、最值例3 (1)(2019·鞍山一中高三三模)已知函数f (x )＝x e x－13ax 3－12ax 2有三个极值点，则a 的取值范围是( )A ．(0，e)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC ．(e ，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 答案 C解析 由题意，函数的导数f ′(x )＝e x ＋x e x －ax 2－ax ，若函数f (x )＝x e x－13ax 3－12ax2有三个极值点，等价于f ′(x )＝e x＋x e x－ax 2－ax ＝0有三个不同的实根．(1＋x )e x－ax (x ＋1)＝0，即(x ＋1)(e x－ax )＝0，则x ＝－1，所以e x－ax ＝0有两个不等于－1的根，则a ＝exx.设h (x )＝e x x ，则h ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x(x －1)x2，则由h ′(x )>0得x ＞1，由h ′(x )<0得x <1且x ≠0，则当x ＝1时，h (x )取得极小值h (1)＝e ，当x <0时，h (x )＜0，作出函数h (x )＝e xx的图象如图．要使a ＝exx有两个不同的根，则满足a ＞e ，即实数a 的取值范围是(e ，＋∞)．故选C.(2)已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]答案 D解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：又f (－3)＝28，f (1)＝－4，f (2)＝3，f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，所以k ≤－3. (3)已知函数f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数，x ＝12是f (x )的一个极值点． ①求a 的值；②当b >12时，求函数f (x )在[b ，＋∞)上的最小值．解 f ′(x )＝(ax 2－2ax ＋1)ex(1＋ax 2)2. ①因为x ＝12是函数y ＝f (x )的一个极值点，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，因此14a －a ＋1＝0，解得a ＝43.经检验，当a ＝43时，x ＝12是y ＝f (x )的一个极值点，故所求a 的值为43. ②由①可知，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 2－83x ＋1e x⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋43x 22，令f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝32.f (x )与f ′(x )随x 的变化情况如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.当12<b <32时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b ，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增．所以f (x )在[b ，＋∞)上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝e e 4；当b ≥32时，f (x )在[b ，＋∞)上单调递增，所以f (x )在[b ，＋∞)上的最小值为f (b )＝e b1＋ab 2＝3eb3＋4b2.(1)求函数的极值需先研究函数的单调性，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点．(2)函数的极值的重要应用是研究函数对应方程的根(或函数零点)，求解此类问题时可画出函数草图，结合图形分析．(3)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值需先研究函数极值，函数的最值点必在以下各点中取到：区间的端点、极值点或导数不存在的点．1．(2019·南阳市六校高二下学期第一次联考)对于函数f (x )＝ln xx，下列说法正确的是( )A ．有极小值－1eB ．有最大值eC ．有最小值1eD ．有最大值1e答案 D解析 由题意得f ′(x )＝1－ln xx2，由f ′(x )>0得0<x <e ，由f ′(x )<0得x >e ，故f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以f (x )有极大值，也是最大值，最大值为f (e)＝1e，无极小值和最小值，故选D.2．(2019·白银市靖远县高三第四次联考)若x ＝1是函数f (x )＝x 3＋x 2＋ax ＋1的极值点，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为( )A ．－1B ．1C ．－5D ．5答案 C解析 由题意可知，f ′(x )＝3x 2＋2x ＋a ，则f ′(1)＝5＋a ＝0，解得a ＝－5，所以k ＝f ′(0)＝－5，故选C.3．(1)已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12上存在极值，则正实数a 的取值范围为________；(2)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (2)(－1，＋∞) 解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1－ln x x 2＝－ln xx2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．所以x ＝1为f (x )的极大值点，所以a ＜1＜a ＋12，故12＜a ＜1，即正实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .所以f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝(x －1)(－ax －1)x.①若a ≥0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a ＜0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a .因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a＞1，解得－1＜a ＜0，综合①②可得a 的取值范围是a ＞－1，即(－1，＋∞).真题押题『真题模拟』1．(2019·南阳市六校高二下学期第一次联考)设函数f (x )是R 上可导的偶函数，且f (3)＝2，当x >0，满足2f (x )＋xf ′(x )>1，则x 2f (x )>18的解集为( )A ．(－∞，－3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－3,3)答案 B解析 令g (x )＝x 2f (x )，∵函数f (x )在(－∞，＋∞)上是可导的偶函数，∴g (x )＝x 2f (x )在(－∞，＋∞)上也是偶函数，又当x >0时，2f (x )＋xf ′(x )>1，∴2xf (x )＋x 2f ′(x )>x >0，∴g ′(x )>0，∴g (x )＝x 2f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵f (3)＝2，由x 2f (x )>18，得x 2f (x )>18＝32f (3)，∴g (|x |)>g (3)，∴|x |>3，∴x ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)．故选B.2．(2019·淮南高三检测)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x (a ∈R )的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则以下结论正确的是( )A ．y ＝f (x )的极大值为1B ．y ＝f (x )的极大值为－2C ．y ＝f (x )的极小值为2D ．y ＝f (x )的极小值为－2 答案 D解析 由题意可得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3，又f ′(－x )＝f ′(x )，∴a ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，故f (x )在x ＝－1处取得极大值2，在x ＝1处取得极小值－2，选D.3．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 y ′＝a e x＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D.4．(2019·沈阳模拟)若函数f (x )＝x ＋b x(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)答案 D解析 由题意，知f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋b x(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－b x2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )>0，解得x <－b 或x >b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.『金版押题』5．已知函数f (x )＝x e ax －1－ln x －ax ，a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1e 2，函数f (x )的最小值为M ，则实数M 的最小值是( )A ．－1B ．－1eC ．0D ．－1e3答案 C解析 求得f ′(x )＝e ax －1＋ax eax －1－a －1x ＝e ax －1(1＋ax )－ax ＋1x＝(1＋ax )⎝ ⎛⎭⎪⎫e ax －1－1x .考查y ＝eax －1－1x 是否有零点，令y ＝0，可得a ＝1－ln x x ，记φ(x )＝1－ln x x ，φ′(x )＝ln x －2x2，故φ(x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，所以φ(x )min ＝ φ(e 2)＝－1e 2，即1－ln x x ≥－1e 2，因为a ≤－1e 2，所以a ≤1－ln x x ⇔e ax －1－1x ≤0，故可知，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，1＋ax >0，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，＋∞时，1＋ax <0，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．由上知f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1ae －2＋1－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .设－1a＝t ∈(0，e 2]，M ＝1－ln t ＋e －2t＝t e 2－ln t ＋1(0<t ≤e 2)，记h (t )＝t e 2－ln t ＋1(0<t ≤e 2)，h ′(t )＝1e 2－1t≤0，h (t )在(0，e 2]上单调递减，∴h (t )≥h (e 2)＝0，∴M 的最小值为0.故选C.6．已知函数f (x )＝e x－ln x ，则其图象在点(1，f (1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．答案12(e －1)解析 因为f ′(x )＝e x－1x，故f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ，故切线方程为y －e ＝(e －1)(x－1)，整理得切线方程为y ＝(e －1)x ＋1，故其与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×1×1e －1＝12(e －1).7．若函数f (x )＝x (x －a )2在x ＝2处取得极小值，则a ＝________. 答案 2解析 求导函数可得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2，所以f ′(2)＝12－8a ＋a 2＝0，解得a ＝2或a ＝6，当a ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(x －2)(3x －2)，函数在x ＝2处取得极小值，符合题意；当a ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，函数在x ＝2处取得极大值，不符合题意，所以a ＝2.配套作业一、选择题1．(2019·山西大学附属中学高二下学期模块诊断)若函数f (x )＝sin x －kx 存在极值，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．[－1,1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析 ∵f (x )＝sin x －kx ，∴f ′(x )＝cos x －k .∵函数f (x )＝sin x －kx 存在极值，∴f ′(x )＝cos x －k ＝0有变号零点，又－1≤cos x ≤1，∴－1<k <1，∴实数k 的取值范围是(－1,1)．故选A.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的递减区间为( )A ．(－∞，1)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 B解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1，故函数f (x )在(0,1)上递减．故选B.3．已知f (x )＝ln x x，则( )A ．f (2)＞f (e)＞f (3)B ．f (3)＞f (e)＞f (2)C ．f (3)＞f (2)＞f (e)D ．f (e)＞f (3)＞f (2)答案 D解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)，因为f ′(x )＝1－ln x x2，所以当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，故当x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)，而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96， ∴f (e)>f (3)>f (2)．故选D.4．(2019·汉中市高三年级教学质量第二次检测)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝e x(x ＋1)，给出下列命题：①当x >0时，f (x )＝e －x(x －1)； ②函数f (x )有3个零点；③f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)； ④∀x 1，x 2∈R ，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2. 其中正确命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 A解析 当x >0时，有－x <0，由奇函数定义可知f (x )＝－f (－x )，所以f (x )＝－e －x(－x ＋1)＝e －x(x －1)，命题①正确；当x <0时，f (x )＝e x(x ＋1)＝0，解得x ＝－1，即f (－1)＝0，根据奇函数的性质可知f (1)＝0，又因为定义域是R ，所以f (0)＝0，因此函数f (x )有3个零点，命题②正确；当x <0时，f (x )>0，即e x(x ＋1)>0，解得x >－1，∴－1<x <0；当x >0时，通过①的分析，可知f (x )＝－e －x(－x ＋1)＝e －x(x －1)，当f (x )>0时，即e －x(x －1)>0，解得x >1，∴x >1，命题③正确；当x <0时，f (x )＝e x (x ＋1)，f ′(x )＝e x (x ＋2)，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－∞，－2)，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，∴f (x )的极小值为f (－2)＝－1e2，当x →0时，f (x )→1，根据③可知，当－1<x <0时，f (x )>0，当x <－1时，f (x )<0，所以当x <0时，－1e 2≤f (x )<1，由于f (x )是奇函数，∴x >0时，－1<f (x )≤1e 2，而f (0)＝0，所以当x ∈R 时，－1<f (x )<1，即|f (x 1)－f (x 2)|<2恒成立，命题④正确．综上所述，这4个命题都是正确的，故选A.5．已知f (x )＝14x 2＋cos x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象大致为( )答案 A解析 因为f (x )＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x ，这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排除B ，D ；又f ′(1)＝12－sin1＜12－sin π4＜0，f ′(2)＝1－sin2＞0，所以f ′(x )的图象大致为A.6．(2019·遵义航天高级中学高三第四次模拟)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足：函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0.若a ＝0.76f (0.76)，b ＝(log 0.76)f (log 0.76)，c ＝60.6f (60.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析 由已知可知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，所以函数y ＝f (x )关于x ＝0对称，也就是关于y 轴对称，因此y ＝f (x )是偶函数，所以有f (－x )＝f (x )．构造函数g (x )＝xf (x )，g (－x )＝－xf (－x )＝－xf (x )＝－g (x )，所以g (x )是R 上的奇函数．当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，由已知可知f (x )＋xf ′(x )<0，即g ′(x )<0，所以当x ∈(－∞，0)时函数g (x )是减函数，由奇函数性质可知：g (0)＝0，∴g (x )是R 上的减函数．a ＝0.76f (0.76)＝g (0.76)，b ＝(log 0.76)f (log 0.76)＝g (log 0.76)，c ＝60.6f (60.6)＝g (60.6)，∵log 0.76<0<0.76<1<60.6，∴b >a >c ，故选B.7．(2019·东北三省四市高三第一次模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋ln x ，x ≥1，12x ＋12，x ＜1，若x 1≠x 2，且f (x 1)＋f (x 2)＝2，则x 1＋x 2的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[e －1，＋∞)C ．[3－2ln 2，＋∞)D ．[3－2ln 3，＋∞)答案 C解析 设x 1<x 2，若x 2>x 1≥1，则f (x 1)＋f (x 2)＝1＋ln x 1＋1＋ln x 2＝2＋ln (x 1x 2)＝2，∴x 1x 2＝1，不成立；若x 1<x 2<1，则f (x 1)＋f (x 2)＝12x 1＋12＋12x 2＋12＝12(x 1＋x 2)＋1＝2，∴x 1＋x 2＝2，不成立；若x 1<1≤x 2，则f (x 1)＋f (x 2)＝12x 1＋12＋1＋ln x 2＝12x 1＋ln x 2＋32＝2，∴x 1＝1－2ln x 2，∴x 1＋x 2＝1－2ln x 2＋x 2，设g (x )＝1－2ln x ＋x (x ≥1)，则g ′(x )＝－2x ＋1＝x －2x，当1≤x <2时，g ′(x )<0，则g (x )单调递减，当x >2时，g ′(x )>0，则g (x )单调递增．∴g (x )min ＝g (2)＝1－2ln 2＋2＝3－2ln 2，∴x 1＋x 2∈[3－2ln 2，＋∞)，故选C. 二、填空题8．(2019·福建龙岩市高三阶段性测试)已知函数f (x )＝e x－ax 在x ＝0处取得极小值，则a ＝________.答案 1解析 由题意得f ′(x )＝e x－a .因为函数f (x )在x ＝0处取得极小值，所以f ′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝e x －1，所以当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝0时，函数f (x )取得极小值．因此a ＝1即为所求．9．已知函数f (x )＝1＋ln x x .若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t ＋12(t ＞0)上不是单调函数，则实数t 的取值范围为________．答案 12＜t ＜1解析 f ′(x )＝－ln xx2(x ＞0)，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1；由f ′(x )＜0，得x ＞1.所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．因为函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫t ，t ＋12(t ＞0)上不是单调函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＜1，t ＋12＞1，解得12＜t ＜1.10．已知函数f (x )＝ax －ln x ，当x ∈(0，e](e 为自然常数)时，函数f (x )的最小值为3，则a 的值为________．答案 e 2解析 易知a ＞0，由f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ＝0，得x ＝1a，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，∴f (x )在x ＝1a 时取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1－ln 1a .①当0＜1a ≤e 时，由1－ln 1a ＝3，得a ＝e 2，符合题意；②当1a ＞e 时，x ∈(0，e]，f (x )min ＝f (e)，即a e －ln e ＝3，得a ＝4e，舍去．三、解答题11．(2019·云南省第二次高中毕业生复习统一检测)已知函数f (x )＝e x －ax 2. (1)证明：当a ＝1，x ≥0时，e x >x 2； (2)若f (x )有极大值，求a 的取值范围．解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2，f ′(x )＝e x－2x ， 令φ(x )＝f ′(x )，则φ′(x )＝e x－2.∴当0<x <ln 2时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减； 当x >ln 2时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增．∴当x ∈[0，＋∞)时，φ(x )min ＝φ(ln 2)＝2(1－ln 2)>0. ∴当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在[0，＋∞)上单调递增． ∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝1>0，即e x>x 2.(2)由题意得f ′(x )＝e x－2ax .由f (x )有极大值得f ′(x )＝0有解，且a >0. 令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x－2a . 由g ′(x )＝0得x ＝ln (2a )．∴当x <ln (2a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >ln (2a )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增． ∴g (x )min ＝g [ln (2a )]＝2a [1－ln (2a )]．当g (x )min ≥0，即0<a ≤e2时，g (x )≥0，即f ′(x )≥0，此时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值； 当g (x )min <0，即a >e2时，∴g (0)＝1>0，g [ln (2a )]＝2a [1－ln (2a )]<0. 由(1)知g (2a )＝e 2a－(2a )2>0， 即2a >2ln (2a )>ln (2a )．∴存在x 1∈(0，ln (2a ))，x 2∈(ln (2a )，2a )， 使g (x 1)＝g (x 2)＝0.∴当x ∈(－∞，x 1)时，g (x )>0，即f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，即f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，即f (x )单调递增． ∴x 1是f (x )唯一的极大值点．综上所述，所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞. 12．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋ax ＋23(a ∈R )．(1)若a ＝3，试求函数f (x )的图象在x ＝2处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若函数f (x )在区间[0,2]上的最大值为2，试求实数a 的值． 解 (1)因为a ＝3，所以f (x )＝－13x 3＋2x 2＋3x ＋23，所以f ′(x )＝－x 2＋4x ＋3， 所以f ′(2)＝－22＋4×2＋3＝7. 因为f (2)＝－83＋8＋6＋23＝12，所以切线方程为y －12＝7(x －2)，即y ＝7x －2.所以直线与坐标轴的交点坐标分别为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，所以该直线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×2×27＝27.(2)f ′(x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋a ＋4.若a ＋4≤0，即a ≤－4，则f ′(x )≤0在[0,2]上恒成立， 所以函数f (x )在[0,2]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (0)＝23<2，此时a 不存在．若a ≥0，则f ′(x )≥0在[0,2]上恒成立， 所以函数f (x )在[0,2]上单调递增，所以f (x )max ＝f (2)＝－83＋8＋2a ＋23＝2a ＋6＝2，解得a ＝－2，因为a ≥0，所以此时a 不存在．若－4<a <0，则函数f (x )在[0,2]上先单调递减后单调递增， 所以f (x )max ＝max{f (0)，f (2)}．当2a ＋6≥23，即－83≤a <0时，f (x )max ＝f (2)＝2a ＋6＝2，解得a ＝－2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，0，所以a ＝－2符合题意； 当2a ＋6<23，即－4<a <－83时，f (x )max ＝f (0)＝23<2，此时a 不存在．综上所述，a ＝－2.13．(2019·新疆乌鲁木齐地区高三第二次质量监测)已知函数f (x )＝e x＋xtx －1(其中e 是自然对数的底数)．(1)当t ＝0时，求f (x )的最值；(2)若t ≠0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，＋∞上的最小值为1，求实数t 的取值范围．解 (1)当t ＝0时，f (x )＝e x－x ，则f ′(x )＝e x－1， 令f ′(x )＞0，解得x ＞0，函数f (x )在(0，＋∞)是增函数； 令f ′(x )＜0，解得x ＜0，函数f (x )在(－∞，0)是减函数； 所以f (x )有最小值，无最大值，且f (x )min ＝f (0)＝1. (2)当t ＞0时，由x ＞1t，所以tx －1＞0，f (x )＝e x ＋x tx －1＝e x ＋1t ＋1t (tx －1)＞e x＋1t ＞1＋1t＞1，不符合题意； 当t ＜0时，f ′(x )＝e x－1(tx －1)2＝e x(tx －1)2[(tx －1)2－e －x]．令g (x )＝(tx －1)2－e －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＞1t，易知y ＝(tx －1)2，y ＝－e －x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，＋∞上均为增函数， 所以g (x )＝(tx －1)2－e －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＞1t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，＋∞上也为增函数，且g (0)＝0，当1t＜x ＜0时，f ′(x )＜0，当x ＞0时，f ′(x )＞0，故f (x )min ＝f (0)＝1，符合题意； 所以实数t 的取值范围为(－∞，0)．14．已知f (x )＝x 2－2ax ＋ln x . (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f ′(x )为f (x )的导函数，f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求2f (x 1)－f (x 2)的最小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋ln x (x >0)， f ′(x )＝2x －2＋1x ＝2x 2－2x ＋1x ＝(x －1)2＋x 2x>0，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． (2)f ′(x )＝2x －2a ＋1x ＝2x 2－2ax ＋1x，由题意得，x 1和x 2是方程2x 2－2ax ＋1＝0的两个不相等的正实根，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a 2>0，x 1x 2＝12，Δ＝4a 2－8>0，解得a >2，2ax 1＝2x 21＋1,2ax 2＝2x 22＋1.由于a 2>22，所以x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.所以2f (x 1)－f (x 2)＝2(x 21－2ax 1＋ln x 1)－(x 22－2ax 2＋ln x 2)＝2x 21－x 22－4ax 1＋2ax 2－ln x 2＋2ln x 1＝－2x 21＋x 22－ln x 2x 21－1＝－12x 22＋x 22－ln x 32(x 1x 2)2－1＝－12x 22＋x 22－32ln x 22－2ln 2－1.令t ＝x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫t >12，g (t )＝－12t ＋t －32ln t －2ln 2－1，则g ′(t )＝12t 2＋1－32t ＝2t 2－3t ＋12t 2＝(2t －1)(t －1)2t 2， 当12<t <1时，g ′(t )<0；当t >1时，g ′(t )>0. 所以g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g (t )min ＝g (1)＝－1＋4ln 22，所以2f (x 1)－f (x 2)的最小值为－1＋4ln 22.15．(2019·江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学高三联考)已知函数f (x )＝12ax －a ＋1－ln xx(其中a 为常数且a ∈R )．(1)若函数f (x )为减函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )有两个不同的零点，求实数a 的取值范围，并说明理由．解 (1)∵f (x )＝12ax －a ＋1－ln xx ，∴f ′(x )＝12a －1－ln xx 2，若函数f (x )为减函数，则f ′(x )≤0， 即12a ≤1－ln xx 2对x ∈(0，＋∞)恒成立． 设m (x )＝1－ln x x 2，∵m ′(x )＝2ln x －3x3，∴m (x )在区间(0，e 32 )上单调递减，在(e 32 ，＋∞)上单调递增．∴m (x )min ＝m (e 32 )＝－12e 3，∴12a ≤－12e 3，即a ≤－e －3，故实数a 的取值范围是(－∞，－e －3]． (2)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f (x )＝12ax 2－(a －1)x －ln x x，设h (x )＝12ax 2－(a －1)x －ln x ，则问题转化为函数h (x )有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．∵h ′(x )＝ax －(a －1)－1x ＝ax 2－(a －1)x －1x ＝(ax ＋1)(x －1)x，∴当a ≥0时，∵函数h (x )在区间(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴若函数h (x )有两个不同的零点，则必有h (1)＝－12a ＋1<0，即a >2.此时，在x ∈(1，＋∞)上有h (2)＝2a －2(a －1)－ln 2＝2－ln 2>0，在x ∈(0,1)上，∵h (x )＝12a (x 2－2x )＋x －ln x ，∵－1<x 2－2x <0，∴h (x )>－12a ＋x －ln x ，∴h ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12a >－12a ＋e－12a －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫e－12a ＝e －12a >0， ∴h (x )在区间(0,1)，(1，＋∞)上各有一个零点，故a >2符合题意；当a ＝－1时，h ′(x )＝－(x －1)2x≤0，∴函数h (x )在区间(0，＋∞)上单调递减， ∴函数h (x )至多有一个零点，不符合题意；当－1<a <0时，h ′(x )＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a (x －1)x，∴函数h (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1a 上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，∴函数h (x )的极小值为h (1)＝－12a ＋1>0，∴函数h (x )至多有一个零点，不符合题意；当a <－1时，∵函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，∴函数h (x )的极小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝12a ＋1a (a －1)－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝1－12a ＋ln (－a )>0，∴函数h (x )至多有一个零点，不符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(2，＋∞)．。

专题 函数与导数一、选择题1．函数2()14ln(31)f x x x =-+-的定义域为（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 2．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞+上递增的是（ ） A ．2x y = B ．ln y x =C ．1y x x=-D ．1y x x=+3．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．24．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭5．已知0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c a b <<6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（ ）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞ C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞7．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．128．已知函数(),()ln 1x f x e e g x x =-=+，若对于1x ∀∈R ，()20x ∃∈+，∞，使得()()12f x g x ＝，则12x x -的最大值为（ ）A ．eB ．1-eC ．1D ．11e-9．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ） A ．()()201920200f f +-= B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为[]1,1-10．曲线()3f x x x =-在点(1,(1))f --处的切线方程为（ ） A ．220x y ++= B ．220x y +-= C ．220x y -+=D ．220x y --=11．已知函数()f x 的导函数()f x ',且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '＝( ) A ．e -B ．1-C ．1D ．e12．已知,a b ∈R ，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4πx =-处相切，设()2xg x e bx a =++，若在区间[1，2]上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立．则实数m （ ） A ．有最大值1e + B ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e -二、填空题 13．函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为_____14．已知函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的导函数是()g x ，设1x 、2x 是方程()0g x =的两根．若0a b c ++=，()()010g g ⋅<，则12x x -的取值范围为 .15．若函数()22f x x ax b =++在区间[]1,2两个不同的零点，则+a b 的取值范围是_____16．已知定义域为的函数()y f x =，若对于任意x D ∈，存在正数K ，都有()f x K x ≤成立，那么称函数()y f x =是上的“倍约束函数”，已知下列函数：①()2f x x =；②()2sin()4f x x π=+； ③32()2f x x x x =-+； ④22()1x f x x x =++，其中是“倍约束函数”的是_____________．（将你认为正确的函数序号都填上）17．对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++ ()0a b c d R a ∈≠，，，，有如下定义：设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解m ，则称点()()m f m ，为函数()y f x =的“拐点”．若点()13-，是函数()325g x x ax bx =-+- ()a b R ∈，的“拐点”，也是函数()g x 图像上的点，则当4x =时，函数()()4log h x ax b =+的函数值是__________．参考答案1．B 【解析】 【分析】根据函数解析式，得到2140310x x ⎧-≥⎨->⎩，解出x 的取值范围，得到()f x 定义域.【详解】因为函数2()14ln(31)f x x x =-+-有意义，所以2140310x x ⎧-≥⎨->⎩，解得112213x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩所以解集为1132x <≤ 所以()f x 定义域为11,32⎛⎤⎥⎝⎦， 故选：B. 【点睛】本题考查求具体函数定义域，属于简单题. 2．C 【解析】 【分析】分析各选项中函数的奇偶性和这些函数在区间()0,∞+上的单调性，从而可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，设()2xf x =，定义域为R ，关于原点对称，()()22xxf x f x --===，该函数为偶函数，且当0x >时，()2xf x =，该函数在区间()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数ln y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，且该函数在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，设()1g x x x =-，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11g x x x g x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，由于函数y x =在区间()0,∞+上为增函数，函数1y x=在区间()0,∞+上为减函数， 所以，函数()1g x x x=-在区间()0,∞+上为增函数； 对于D 选项，设()1h x x x =+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11h x x x h x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，由双勾函数的单调性可知，函数()1h x x x=+在区间()0,1上为减函数，在区间()1,+∞上为增函数，则该函数在区间()0,∞+上不单调. 故选：C. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉一些基本初等函数的奇偶性与单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 3．B 【解析】∵y=x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）2﹣2 ∴当x=1时，函数取最小值﹣2， 当x=3时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选B 4．C 【解析】 【分析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围. 【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 求导得2()3(4)2g x x m x '=++-， 令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=，2(4)240m ∆=++>，由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根. 又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立，又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C.本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】根据特殊值0和1与指数函数对数函数的单调性逐一比较大小. 【详解】对于0.7log 0.8a =，0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=1.1 1.1log 0.9log 10b =<= 0.901.1 1.11c =>=所以：b a c << 故选：A 【点睛】此题考查指数对数的大小比较，关键在于根据函数单调性和特殊函数值的大小关系，利用不等式的传递性解题. 6．C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性结合图形找出使得函数()y f x =单调递减以及满足()0f x >的对应x 的取值范围即可. 【详解】 因为12log y x =在()0,∞+上为减函数，所以只要求()y f x =的单调递减区间，且()0f x >.由图可知，使得函数()y f x =单调递减且满足()0f x >的x 的取值范围是()[),50,1-∞-U . 因此，函数()()12log g x f x =的单调递增区间为(),5-∞-、[)0,1.故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，在利用复合函数法得出内层函数的单调区间时，还应注意真数要恒大于零. 7．C【分析】由()0h x =，得出()()f x g x =，转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可． 【详解】由于()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =的周期为2，且函数()y f x =为偶函数，由()0h x =，得出()()f x g x =，问题转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象如下图所示，由图象可知，()01f x ≤≤，当10x >时，()lg 1g x x =>， 则函数()y f x =与函数()y g x =在()10,+∞上没有交点，结合图像可知，函数()y f x =与函数()y g x =图象共有11个交点，故选C. 【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题． 8．D 【解析】 【分析】不妨设f(1x )=g(2x )＝a ，从而可得12x x -的表达式，求导确定函数的单调性，再求最小值即可． 【详解】不妨设f(1x )=g(2x )＝a ， ∴1x e e -＝21lnx +=a ， ∴1x ＝ln(a+e)，2x ＝1a e -， 故12x x -＝ln(a+e)-1a e -，（a ＞-e ）令h （a ）＝ln(a+e)-1a e -， h ′（a ）11a e a e-=-+， 易知h ′（a ）在（-e ，+∞）上是减函数， 且h ′（0）＝0，故h （a ）在a 0=处有最大值， 即12x x -的最大值为11e-； 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，考查了指对互化的运算，属于中档题． 9．A 【解析】 【分析】推导出当0x ≥时，()()2f x f x +=，结合题中等式得出()()100f f ==，可判断出A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；作出函数()y f x =在区间()1,1-上的图象，利用数形结合思想可判断C 选项的正误；求出函数()y f x =在[)0,+∞上的值域，利用奇函数的性质可得出函数()y f x =的值域，可判断出D 选项的正误. 【详解】Q 函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=，当0x ≥时，()()()21f x f x f x +=-+=，()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；当0x ≥时，()()1f x f x +=-，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4462555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，()()()20,1f x f x n =-∈，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-， 所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的值域为()1,1-，由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-， 由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误； 如下图所示：由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点， 当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点， 则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A. 10．C 【解析】 【分析】对函数进行求导,利用导数的几何意义求出切线的斜率,再用点斜式求出切线方程,最后化成一般式即可. 【详解】()2 '31x f x =-,故切线的斜率为()'12f -=.又()10f -=.所以曲线()3f x x x =--在点()()1,1f --处的切线方程为21)(y x =+.即220x y -+=.故选:C【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了求函数的切线方程,考查了直线的点作斜式方程以及一般方程.11．B【解析】【分析】对函数进行求导，然后把1x =代入到导函数中，得到一个方程，进行求解．【详解】 对函数进行求导，得''1()2(1)f x f x=+把1x =代入得， ''(1)2(1)1f f =+直接可求得'(1)1f =-．【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题．本题值得注意的是()1f '是一个实数．12．A【解析】【分析】求f （x ）导数，利用导数的几何意义可得a 和b 的值，求g （x ）的导数和单调性，可得函数g(x)的最值，然后解不等式min 2max )2)m g x m g x ≤⎧⎨-≥⎩（（即可得m 的最值． 【详解】 ∵sin ()tan cos x f x x x ==，∴222cos sin (sin )1()cos cos x x x f x x x-⋅-='=， ∴()24a f π'=-=，又点(,1)4π--在直线πy ax b 2=++上， ∴-1=2 ⋅()4π-+b+π2，∴b ＝﹣1， ∴g （x ）＝e x ﹣x 2+2，g'（x ）＝e x ﹣2x ，g''（x ）＝e x ﹣2，当x ∈[1，2]时，g''（x ）≥g''（1）＝e ﹣2＞0，∴g'（x ）在[1，2]上单调递增，∴g'（x ）≥g （1）＝e ﹣2＞0，∴g （x ）在[1，2]上单调递增，min 22max )(1)12)(2)2m g x g e m g x g e ≤==+⎧⎨-≥==-⎩（（ 解得m e ≤-或e≤m≤e+1，∴m 的最大值为e+1，无最小值，故选A.【点睛】本题考查导数的运用，考查利用导数求切线的斜率和单调区间，最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．13．【解析】试题分析：由题意可得：30{40x x -≠->，解得{}|43x x x <≠且．考点：本题函数的定义域，学生的基本运算能力．14．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】由题意得()232g x ax bx c =++，并且c a b =--，由()()()01320g g c a b c ⋅=++<， 可得2320b b a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，可得2b a <-或1b a >-，根据韦达定理得出12x x -的取值范围． 【详解】由题意得()232g x ax bx c =++，0a b c ++=Q ，c a b ∴=--， 又()()()01320g g c a b c ⋅=++<Q ，所以()()320a b a b a b ++-->， 整理得2320b b a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，解得2b a <-或1b a >-. 因为1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根，则1223b x x a +=-，121333c b x x a a==--，所以()2212121223433b b x x x x x x a a ⎛⎫-=+-=++ ⎪⎝⎭， 2320b b a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭Q ，所以，221223232321333b b b b x x a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=++=+++>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此，12x x -的取值范围是2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭，故答案为2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查韦达定理的应用，考查零点相关的取值范围问题，解决此类问题的方法是正确地利用韦达定理表示所求表达式，利用二次函数在定区间上求最值的方程求解即可，属于中等题．15．[)1,0-【解析】【分析】由二次函数的区间根问题可得：即210240 442a b a b a b a ++≥⎧⎪++≥⎪⎨>⎪⎪-<<-⎩，由与线性规划有关的问题，作出可行域，再求最值即可． 【详解】由()()2,f x x ax b a b R =++∈在区间[]1,2上有两个不同的零点， 得：()()21020 40122f f a b a ⎧≥⎪≥⎪⎪⎨->⎪⎪<-<⎪⎩，即210240 442a b a b a ba ++≥⎧⎪++≥⎪⎨>⎪⎪-<<-⎩， 则(),ab 满足的可行域如为点A ，B ，C 所围成的区域，目标函数z a b =+，由图可知，当直线z a b =+过点B 时，z 取最小值1-，当直线0a b z +-=过点A 时，z 的最大值趋近0，故10z -≤<，即+a b 的取值范围是[)1,0-，故答案为[)1,0-.【点睛】本题考查了二次函数的区间根问题及与线性规划有关的问题，属于中档题.16．①④【解析】【分析】对于任意x D ∈，存在正数K ，使得对于任意x D ∈，都有()f x K x „成立()f x k x ⇔„，对①②③④逐个分析判断即可.【详解】因为()2f x x =，所以存在正数2，都有()222f x x x x==„，因此①是“倍约束函数”； ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为0x +→时2sin ()4x f x x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=→+∞故不存在正数k 使得对于任意x D ∈，都有()f x K x „成立，所以②不是“倍约束函数”；③32()2=-+f x x x x ，当x →+∞时，2()21f x x x x=-+→+∞故不存在正数k 使得对于任意x D ∈，都有()f x K x „成立，所以③不是“倍约束函数”； ④22()1x x x x =++，20(0)()1||111x f x x x x x x x =⎧⎪⎪==⎨++⎪++⎪⎩而11131x x ++„，故存在正数13使得对于任意x D ∈，都有1()3f x x…成立，所以④是“倍约束函数”.故答案为①④17．2【解析】【分析】求函数g(x)的二次导数，利用拐点定义得到关于a，b的方程组，求出a，b值，即可得h（x）解析式，从而求出h（4）．【详解】g'（x）＝3x2﹣2ax+b，g″（x）＝6x﹣2a，由拐点定义知x＝1时，g″（1）＝6﹣2a＝0，解得：a＝3，而g（1）＝﹣3，即1﹣a+b﹣5＝0，解得：b＝4，所以h（x）＝log4（3x+4），h（4）＝log416＝2，故答案为2．【点睛】本题考查导数的应用以及求函数值，考查转化思想以及新定义的问题．。