函数的奇偶性和对称性讲义和练习

第6讲 函数的奇偶性通关一、函数奇偶性的定义和性质1. 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称;2. ()f x 是偶函数()f x ⇔的图像关于y 轴对称;()f x 是奇函数()f x ⇔的图像关于原点对称;3. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.4. ()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=.5. 若奇函数()f x 的定义域包含0 ,则(0)0f =. 通关二、函数奇偶性的运算通关三、一些重要类型的奇偶函数 1. 函数()xxf x a a-=+为偶函数, 函数()x xf x a a-=-为奇函数.2. 函数221()(01x x x xxx a a a f x a a a a ----==>++且1)a ≠为奇函数 3. 函数1()log (01axf x a x-=>+且1)a ≠为奇函数.4. 函数(()log (0a f x x a =>且1a ≠ )为奇函数.结论一、定义域优先函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.【例1】若函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数,定义域为[1,2]a a -, 则a =__________.b =__________.【变式】已知偶函数32()(1)1f x a x mx =-++的定义域为 ()238,m m m --, 则2m a +=_________.结论二、函数的构造任何一个定义域关于原点对称的函数()F x , 总可以表示为一个奇函数()f x 和 一个偶函数()g x 的和, 其中()()()()(),()22F x F x F x F x f x g x --+-==. 【例2】已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,且22()()1x xf xg x x ++=+, 则()f x =_________.()g x =_________.【变式】已知()f x 是奇函数, ()g x 是偶函数,且1()()1f xg x x -=+, 则()f x =_________. ()g x =_________.结论三、奇函数特性1. ()f x 是奇函数 ()()()()()()01f x f x f x f x f x f x -⇔-=-⇔-+=⇔=-2. 若 ()f x 是奇函数,且 (0)f 有意义,则 (0)0f =. 【例3】若函数 2()()1x af x x x +=∈+R 是奇函数,则a 的值为（ ）.A.1B. 0C.1- D.1±【变式】若函数 2()()21xf x a x =-∈+R 为奇函数,则实数a 的值（ ）.A .等于 0B. 等于 1C. 等于2D. 不存在结论四、偶函数特性1. ()f x 是偶函数()()()()()01()f x f x f x f x f x f x -⇔-=⇔--=⇔= 2. 若()f x 是偶函数,则 ()()(||)f x f x f x -==.3. 如果偶函数()f x 在y 轴左侧区间是递减的,右侧区间是递增的,则自变量1x ,2x ，谁距离y 轴近,谁的函数值小, 即若 12x x <, 则()()12f x f x <; 反之,若()1f x <()2f x ,则 12x x <;4. 如果偶函数()f x 在y 轴左侧区间是递增的,右侧区间是递减的,则自变量1x ,2x ，谁距离y 轴近, 谁的函数值大, 即若12x x <,则()()12f x f x >; 反之,若 ()1f x ＜()2f x ,则 12x x <.【例4】 设()f x 为定义在[2,2]-上的偶函数, 且()f x 在[2,0]-上是增函数,若(1)()0f m f m --<,则实数 m 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭В. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间(0,)+∞上单调递增.若实数a 满足 ()212log log 2(1)f a f a f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 则a 的最小值是（ ）A.32B. 1C.12D. 2结论五、奇偶性与单调性关系1. 如果奇函数 ()y f x = 在区间 (0,)+∞ 上是递增的,那么函数 ()y f x = 在区间(,0)-∞ 上也是递增的;2. 如果偶函数 ()y f x = 在区间 (0,)+∞ 上是递增的,那么函数 ()y f x = 在区间(,0)-∞ 上是递减的.【例5】设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数,且(1)0f =, 则不等式()()0f x f x x--<的解集为_________.【变式】已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]- , 且在区间[2,0]- 上单调递减,则满足()2(1)10f m f m -+-<的实数m 的取值范围为_________.第7讲 函数的对称性对称轴 : 0x = 对称轴 : x a =对称轴 :每个点关于对称轴对称之后还在图像上. 偶函数中两自变量的中点是中间的 0 ,两函数值相等,有 ()()f x f x =-. 因为轴 对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上,所以若 ()()22,x f x 和 ()()11,x f x 两点关于 x a = 轴对称, ()()12f a x f a x +=-, 则两自变量满足 122(x x a += 因为中点在对称轴上). 通关二、中心对称对称中心:每个点绕着对称中心旋转 180︒后还在图像上. 奇函数中两自变量的中点是中间的0, 两函数值中点是0 ,有 ()()0f x f x +-=. 若将对称中心移到点(,)a b , 可同理,从a 出发,向左向右距离相等,使其自变对称,则它们对应的函数值的中点应为b , 所以()()2f a x f a x b ++-=.当自变量关于a 对称时, 函数值关于b 对称.通关三、常见对称性结论结论一、()()f a x f a x +=-型对函数(),()()y f x f a x f a x =+=-成立()y f x ⇔=的图像关于直线x a =对称. 【例1】如果函数2()f x x bx c =++对任意的实数x ,都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么（ ）A ．(0)(2)(2)f f f <<-B ．(0)(2)(2)f f f <-<C ．(2)(0)(2)f f f <<-D ．(2)(0)(2)f f f -<<【变式】 若函数||()2()x a f x x -=∈R 满足(2)(2)f x f x +=-,且()f x 在[,)m +∞上单调递增,则实数m 的最小值等于_______.对函数(),()()y f x f a x f b x =+=-成立()y f x ⇔=的图像关于直线2a bx +=对称. 【例2】 对于函数()f x ,若存在常数0a ≠ ,使得x 取定义域内的每一个值,都有()(2)f x f a x =-,则称()f x 为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是（ ）A ．()f x =B ．2()f x x =C ．()tan f x x=D ．()cos(1)f x x =+【变式】若函数2()f x x bx c =++对任意x ∈R 都有(1)(3)f x f x -=- ,则以下结论中正确的是（ ）A ．(0)(2)(5)f f f <-<B ．(2)(5)(0)f f f -<<C ．(2)(0)(5)f f f -<<D ．(0)(5)(2)f f f <<-结论三、()y f x a =+为偶函数型()y f x a =+为偶函数()y f x ⇔=的图像关于x a =对称.【例3】函数()y f x =在[0,2]上单调递增,且函数(2)f x +是偶函数,则下列结论成立的是（ ）A ．57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式】已知定义域为R 的函数()f x 在(8,)+∞上为减函数,且函数(8)y f x =+为偶函数,则（ ）A ．(6)(7)f f >B ．(6)(9)f f >C ．(7)(9)f f >D ．(7)(10)f f >结论四、()()f a x f a x +=--型对函数(),()()y f x f a x f a x =+=--成立()y f x ⇔=的图像关于点(,0)a 对称. 【例4】 若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x ++-=,则()f x 的图像的对称中心为_______.【变式】已知函数()f x 当4x >时,()2013f x x =-,且(4)(4)0f x f x -++=恒成立,则当4x <时,()f x =____.对函数(),()()y f x f a x f b x =+=--成立()y f x ⇔=的图像关于点,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭对称.【例5】定义域在(,)-∞+∞上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=--,函数()f x 关于________对称.【变式】已知定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+ ,且函数()f x 在区间(2 ,)+∞上单调递增.如果122x x <<,且124x x +<,则()()12f x f x +的值（ ）A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0结论六、()()f a x f b x c ++-=型对函数(),()()y f x f a x f b x c =++-=成立()y f x ⇔=的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭对称.【例6】已知()y f x =满足(1)(1)2f x f x ++-+=,则以下四个选项一定正确的是（ ）A ．(1)1f x -+是偶函数B ．(1)1f x -+-是奇函数C ．(1)1f x ++是偶函数D ．(1)1f x +-是奇函数【变式】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ,则()miiix y +=∑（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m结论七、()y f x a =+为奇函数型()y f x a =+为奇函数()y f x ⇔=的图像关于点(,0)a 对称.【例7】若函数(1)y f x =-是奇函数,那么函数()y f x =的图像关于________对称.【变式】已知函数(1)y f x =+是奇函数,当1x >时,2()41f x x x =-+ ,则当1x <时,()f x =________.结论八、()ax bf x cx d+=+型 简单分式函数()(0,0)ax b f x c ax b cx d +=≠+≠+,由变量分离法得对称中心,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【例8】函数21()1x f x x -=+的对称中心是（ ） A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)-【变式】函数()1x af x x a -=--的图像的对称中心是(4,1),则a =____.结论九、含绝对值的函数对称性1.()||f x x a =-的图像关于直线x a =对称，且函数的最小值为0;2.()||||f x x a x b =-+-的图像关于直线2a bx +=对称，且函数的最小值为||b a -; 3.()||||f x x a x b =---的图像关于点,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，且函数的值域为[||,||]a b a b ---,【例9】设函数()|1|||f x x x a =++-的图像关于直线1x =对称,则a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1-【变式】设函数()||||f x x a x b =---的图像关于点(1,0)对称,且函数的最大值为2,则a =______.结论十、两个函数的对称性若函数()y f x =定义域为R ,则函数()y f a x =+与()y f b x =-两函数的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-可得). 【例10】对任意的函数()y f x =在同一直角坐标系中,函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =--的图像恒（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于直线1x =对称C ．关于直线1x =-对称D ．关于y 轴对称【变式】函数(2)y f x =+的图像与函数(4)y f x =-的图像的关系为( )A ．关于1x =对称B ．关于3x =对称C ．关于(1,0)对称D ．关于(3,0)对称结论十一、对称轴斜率为1或－11.(,)a b 关于y x =对称的点的坐标为(,)b a .2.(,)a b 关于y x =-对称的点的坐标为(,)b a --.【例11】已知函数2()()g x f x x =+是奇函数,当0x >时,函数()f x 的图像与函数2log y x =的图像关于y x =对称,则(1)(2)g g -+-=（ ）A ．7-B ．9-C ．11-D ．13-【变式】设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称,且(2)(4)1f f -+-=,则a =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4结论十二、对称性与单调性结论1.如果函数()f x 在对称轴0x x =左侧区间是递减的,右侧区间是递增的,则自变量12,x x 谁距离对称轴0x x =近,谁的函数值小,即若1020x x x x -<- ,则()()12f x f x < ;反之,若()()12f x f x <,则1020x x x x -<-;2.如果函数()f x 在对称轴0x x =左侧区间是递增的,右侧区间是递减的,则自变量12,x x 谁距离对称轴0x x =近,谁的函数值大,即若1020x x x x -<- ,则()1f x ()2f x > ;反之,若()()12f x f x <,则1020x x x x ->-.【例12】已知函数()f x 的定义域为R ,且满足下列两个条件:①对任意的12,[4,8]x x ∈ ,当12x x <时,都有()()12120f x f x x x ->- ;②(4)y f x =+是偶函数.若(6),a f =-(11),()b f c f π== ,则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【变式】已知定义在R 上的函数()f x 满足(32)(21)f x f x -=-,且()f x 在[1,)+∞上单调递增,则（ ）A ．()()()0.3 1.130.2log 0.54f f f << B ．()()()0.3 1.130.24log 0.5f f f << C ．()()()1.10.3340.2log 0.5f f f <<D ．。

专题1函数的奇偶性，周期性，对称性知识梳理【题型解读】【知识储备】一．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称二.关于函数对称性的结论扩充1.若函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔对定义域内任意x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )⇔对定义域内任意x 都有f (x )＝f (2a －x )⇔y ＝f (x ＋a )是偶函数。

2．函数y ＝f (x )的图象关于点(a,0)对称⇔对定义域内任意x 都有f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔y ＝f (x ＋a )是奇函数。

3．若函数y ＝f (x )对定义域内任意x 都有f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象的对称轴是x ＝a ＋b2。

4．若函数y ＝f (x )对定义域内任意x 都有f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数f (x )的图象的对称中心为22a b c+（，）。

5．函数y ＝f (|x －a |)的图象关于x ＝a 对称。

三．关于函数周期性的结论扩充1.若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)。

2．若满足f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝1f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)。

3．若函数满足f (x ＋a )＝－1f (x )，同理可得2a 是函数的一个周期(a ≠0)。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数局部的难点,也是大学高等数学函数局部的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比拟困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，那么称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，那么kT 〔,0k Z k ∈≠〕也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①假设为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②假设为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：〔1〕中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

第三讲 函数的奇偶性与对称性【知识清单】1．判断函数的奇偶性(1)函数的定义域要关于原点对称；(2)化简解析式，(3)根据f (－x )与f (x )的关系作出判断． 2．奇偶性类型：（1）奇函数（2）偶函数（3）即是奇函数也是偶函数（4）非奇非偶函数3.奇函数性质 （1）奇函数图像关于原点对称（2）若f (x )是奇函数且在x=0处有意义则(0)0f =4.偶函数性质 （1）偶函数图像关于y 轴对称（2）若函数f (x )是偶函数，则()()f x f x =5.分段函数奇偶性的判断(1)分类讨论：要分别从x ＞0或x ＜0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． (2)数形结合法[例1-1] (1)若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数(2)下列函数：①f (x )＝1－x 2＋x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝(x ＋1) 1－x1＋x；④f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)其中奇函数的________．【互动探究】若将本例(2)中①对应的函数改为“f (x )＝1－x ＋x －1”，试判断其奇偶性．【1-2】 判断下列各函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.[例2-1] (1)已知f (x )g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)已知函数f (x )＝ax 3＋b x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝( ) A ．－5 B ．－1 C ．3 D ．4(3)函数y ＝f (x )是R 上偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则a 的取值范围是________．【互动探究】若本例(3)中的f (x )为奇函数，求实数a 的取值范围．【变式训练2-2】若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )【变式训练2-3】设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【方法总结】1. 若对于R 上的任意x 都有f (a +x )＝f (b-x )成立，则y ＝f (x )的图象关于直线2a bx +=对称． 2. 对于函数y ＝f (x )，则y ＝f (a +x )与 y ＝f (b-x )关于直线2b ax -=成立 [例3-1] 函数()f x 关于直线2x =-对称，且f (x +2)＝f (x )，当[3,2]x ∈--时，2()(2)f x x =+，则5()2f = （ ） A ．0 B ．14 C ．116D ．1【通关指南】 对函数性质综合应用的考查主要有以下几个命题角度：(1)单调性与奇偶性相结合；(2) 单调性、奇偶性与周期性相结[例4-1] (1)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)(3)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数且f (x +2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.【通关训练】1．f (x )是满足 f (x +4)＝f (x )的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 2．已知函数f (x ＋1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不相等实数x 1、x 2， 不等式(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0恒成立，则不等式f (1－x )＜0的解集为________． 【易错警惕】【易错题4-2】若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.A 级 基础巩固练1．下面四个命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R)．其中正确命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且ƒ(x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数 B.||f （x ）g (x )是奇函数 C ．f (x )||g （x ）是奇函数 D.||f （x ）g（x ）是奇函数3．已知函数f (x )的定义域为(3－2a ，a ＋1)，且f (x ＋1)为偶函数，则实数a 的值为( )A.23B.2 C ．4 D.64．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图像关于直线x ＝13对称，则f ⎝⎛⎭⎫－23＝( ) A ．0 B.1 C ．－1 D.25．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，若f (－2)＝2，则f (2 014)等于( )A ．2 012 B.2 C ．2 013 D.－26．设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围____．7．若函数f (x )、g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)＜f (3)＜g (0)B ．g (0)＜f (3)＜f (2)C ．f (2)＜g (0)＜f (3)D ．g (0)＜f (2)＜f (3)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (a )－f (－a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.(－∞，1] C ．[－1,1] D.[－2,2]9．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，则x <0时，f (x )解析式为________．10．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是__________．11．已知集合M 是满足下列条件的函数f (x )的全体：(1)f (x )既不是奇函数也不是偶函数；(2)方程f (x )=0有实根．那么在函数①f (x )＝|x |－1，②f (x )＝2x －1，③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，④f (x )＝x 2－x －1＋ln x 中，属于M 的有________．12．函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明．13．设f (x )是定义域为R 的周期函数，对任意x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．B 级 能力提升练14．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则：①函数f (x )在(1,2)上_____，在(2,3)上_____．15．若函数(21)1()1a x f x x ++=++为奇函数，则a =________．16．已知函数)(x f 对任意R x ∈都有)2(2)()4(f x f x f =-+，若)1(-=x f y 的图象关于1=x 对称，且2)1(=f ，则=)2013(f （ ）A 、2 B 、3 C 、4 D 、617．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )在区间(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1＜a ，x 2＞a ，且|x 1－a |＜|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)＞f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)＜f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)18．下列函数中，与函数f (x )＝e x －e －x3的奇偶性、单调性均相同的是( )A ．y ＝ln(x ＋x 2＋1)B ．y ＝x 2C ．1y x=D ．y ＝e x19．已知函数y ＝f (2x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．520．定义在R 上的偶函数()f x 满足：(4)(2)0f f =-=，在区间(,3)-∞-与[]3,0-上分别递增和递减，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(,4)(4,)-∞-+∞ B ．(4,2)(2,4)--C ．(,4)(2,0)-∞--D ．(,4)(2,0)(2,4)-∞--21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．22．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，求m －n 的最小值．23．已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R.(1)试判断f (x )的奇偶性； (2)若－12≤a ≤12，求f (x )的最小值．24．已知函数()y f x ＝在定义域[－1,1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0； (2)若2(1)(1)0f a f a －＋－＜，求实数a 的取值范围．。

函数的奇偶性习题及答案函数的奇偶性习题及答案函数是数学中非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。

在学习函数的过程中，我们经常会遇到一些关于函数奇偶性的习题。

函数的奇偶性是指函数的图像是否具有对称性。

在本文中，我们将探讨一些与函数奇偶性相关的习题，并给出详细的解答。

1. 判断函数的奇偶性题目：给定函数 f(x) = x^3 + x，判断该函数的奇偶性。

解答：要判断函数的奇偶性，我们需要观察函数的定义域和函数表达式中的幂次。

对于给定的函数 f(x) = x^3 + x，我们可以发现它的定义域是全体实数。

接下来，我们将分别考虑 f(-x) 和 f(x) 的取值。

当 x 为正数时，f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x，而 f(x) = x^3 + x。

我们可以发现，f(-x) 和 f(x) 的取值是相反的，即 f(-x) = -f(x)。

这意味着函数 f(x) 是一个奇函数。

2. 函数的奇偶性与图像的对称性题目：给定函数 g(x) = x^2 + 1，判断该函数的奇偶性，并画出其图像。

解答：对于给定的函数 g(x) = x^2 + 1，我们可以观察到它的定义域是全体实数。

接下来，我们将分别考虑 g(-x) 和 g(x) 的取值。

当 x 为正数时，g(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1，而 g(x) = x^2 + 1。

我们可以发现，f(-x) 和 f(x) 的取值是相同的，即 g(-x) = g(x)。

这意味着函数 g(x) 是一个偶函数。

根据函数的奇偶性，我们可以推断出函数的图像是否具有对称性。

对于偶函数，其图像关于 y 轴对称；对于奇函数，其图像关于原点对称。

3. 函数奇偶性的性质题目：给定函数 h(x) = x^4 - x^2，判断该函数的奇偶性，并说明奇偶性的性质。

解答：对于给定的函数 h(x) = x^4 - x^2，我们可以观察到它的定义域是全体实数。

专题20：函数奇偶性知识点与典型例题（解析版）知识梳理1. 奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数.（2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数.（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性.（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．（2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数．2．奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3. 判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．例题精讲题型一 判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）2()||(1)f x x x =+；（2）1()f x x x=； （3）()|1||1|f x x x =+--；（4）()22f x x x =--（5）22()11f x x x =--（6）22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩解：（1）2()||(1)f x x x =+的定义域为 R ，关于原点对称．∵22()||[()1]||(1)()f x x x x x f x -=--+=+=∴()()f x f x -=，即 ()f x 是偶函数．（2）1()f xx=的定义域为{|0}x x>由于定义域关于原点不对称故()f x既不是奇函数也不是偶函数．（3）()|1||1|f x x x=+--的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．（4）()f x={2}，由于定义域关于原点不对称，故()f x既不是奇函数也不是偶函数．（5）()f x=的定义域为{1，－1}，由(1)0f=且(1)0f-=，所以()0f x=所以()f x图象既关于原点对称，又关于y 轴对称故()f x既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；当x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．即22(),0 ()(),0x x xf xx x x⎧-+<⎪-=⎨-->⎪⎩即()()f x f x-=-∴()f x为奇函数．题型二利用函数的奇偶性求函数值【例2】若f(x)是定义在R 上的奇函数，f(3)＝2，求f(－3)和f(0)的值.解：∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.【例3】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，求g(1). 解：由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数得()()f x f x-=-，()()g x g x-=所以－f(1)＋g(1)＝2 ①f(1)＋g(1)＝4 ②由①②消掉f(1)，得g(1)＝3.题型三利用函数的奇偶性求函数解析式【例4】已知函数()f x是定义在R 上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x3－x2，当x>0 时，求f(x)的解析式.解：当0x>时，有0x-<所以3232()()()f x x x x x-=---=--又因为()f x在R 上为偶函数所以32()()f x f x x x =-=--所以当0x >时，32()f x x x =--.【例5】若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=，求()g x .解：因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-因为()()x f x g x e += ①所以()()x f x g x e --+-=所以()()x f x g x e -+-= ②由①②式消去()f x ，得()2x xe e g x --=. 类型四：根据奇偶性求参数【例6】若函数f(x)= xln （a=【解题指南】f(x)= xln （ln(y x =是奇函数，利用()()0f x f x -+=确定a 的值.【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +-=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.答案：1.【例7】.已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( )A.17B ．－1C ．1D ．7解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17. 【例8】若函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝______. （特殊值法）解析：由题意知，函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a ＝0.答案：0【例9】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ， x ≤0，ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.（待定系数法）解析：当x >0时，－x <0，由题意得f (－x )＝－f (x )，所以x 2－x ＝－ax 2－bx ，从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.答案：0类型五：利用奇偶性求范围问题【例10】.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x2＋2x ，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C ∵f(x)是奇函数，∴当x ＜0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R 上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a ，解得－2＜a ＜1.2.【例11】定义在R 上的奇函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f(x)>0的x 的集合为________．解析：由奇函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函数y ＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴f(x)>0时，x>12或－12<x<0.即满足f(x)>0的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x<0或x>12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x<0或x>12 【例12】已知函数g(x)是R 上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝⎩⎨⎧ x3，x ≤0，g x ，x>0，若f(2－x 2)>f(x)，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)解析：选D 设x>0，则－x<0.∵x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，∴g(－x)＝－ln(1＋x)．又∵g(x)是奇函数，∴g(x)＝ln(1＋x)(x>0)，∴f(x)＝⎩⎨⎧x3，x ≤0，ln 1＋x ，x>0.其图象如图所示．由图象知，函数f(x)在R 上是增函数． ∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x ，即－2<x<1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)．【例12】定义在R 上的奇函数f(x)，当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x ，则不等式f(x)＜－1的解集是__________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x<12，或x<－2解析：当x ＜0时，－x ＞0，∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)，∴f(x)＝⎩⎨⎧ log2x ，x>0，0，x ＝0，－log2(－x)，x<0.∴f(x)＜－1⇒⎩⎨⎧ x>0，log2x<－1或⎩⎨⎧ x ＝0，0<－1或⎩⎨⎧x<0，－log2(－x)<－1⇒0＜x ＜12或x ＜－2. 【例13】已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，又已知函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，都存在x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，那么实数m 的取值范围是____________． 解析 由题意知，当x ∈[－2,2]时，f (x )的值域为[－3,3]．因为对任意的x 1∈[－2,2]，都存在x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，所以此时g (x 2)的值域要包含[－3,3]．又因为g (x )max ＝g (－2)，g (x )min ＝g (1)，所以g (1)≤－3且g (－2)≥3，解得－5≤m ≤－2.类型六：奇偶性+周期性【例14】定义在R 上的偶函数f(x)满足对任意x ∈R ，都有f(x ＋8)＝f(x)＋f(4)，且x ∈[0,4]时，f(x)＝4－x ，则f(2 011)的值为__________．解析：f(4)＝0，∴f(x ＋8)＝f(x)，∴T ＝8，∴f(2 011)＝f(3)＝4－3＝1.。

函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于 （ ）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是 （ ）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有 （ ）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是 （ ） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的 是 （ ） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（ ）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

函数的奇偶性与对称性练习题1. 练习题一求下列函数的奇偶性，并对其进行简单的图像解释：a) f(x) = x^3 - xb) g(x) = sin(x)c) h(x) = x^2 + 1解答：a) 函数f(x) = x^3 - x首先，我们将f(x)进行奇偶性的判断。

对于任意实数x，有：f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)因此，当x取任意实数时，f(x) = -f(-x)，即函数f(x)为奇函数。

其次，我们对f(x)的图像进行解释。

根据函数的奇函数特点，可以得知当x取正值时，f(x)的取值和f(-x)相等但符号相反，即f(x)关于y 轴对称。

因此，f(x)的图像对称于原点。

b) 函数g(x) = sin(x)我们可以利用奇函数sin(x)的性质来简单判断g(x)的奇偶性。

对于任意实数x，有：g(-x) = sin(-x) = -sin(x) = -g(x)因此，当x取任意实数时，g(x) = -g(-x)，即函数g(x)为奇函数。

g(x) = sin(x)是一个周期为2π的函数，其图像是一条连续的曲线，通过原点，并以原点为中心，关于y轴对称。

c) 函数h(x) = x^2 + 1同样地，我们对h(x)进行奇偶性的判断。

对于任意实数x，有：h(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = h(x)因此，当x取任意实数时，h(x) = h(-x)，即函数h(x)为偶函数。

h(x) = x^2 + 1是一个开口向上的抛物线，关于y轴对称。

2. 练习题二给定函数f(x) = cos(x)，判断以下函数的奇偶性，并对其进行简单的图像解释：a) g(x) = f(x) + f(-x)b) h(x) = f(x) - f(-x)c) k(x) = f(x) * f(-x)解答：a) 函数g(x) = f(x) + f(-x)对于任意实数x，有：g(-x) = f(-x) + f(-(-x)) = f(-x) + f(x)如果g(x) = g(-x)成立，则函数g(x)为偶函数；如果g(x) = -g(-x)成立，则函数g(x)为奇函数。