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二倍角教案(公开课)

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3二倍角的正弦、余弦、正切公式 公开课一等奖课件

3二倍角的正弦、余弦、正切公式 公开课一等奖课件

练习：
讲授新课
思考：
讲授新课
思考：
由此我们能否得到sin2，cos2， tan2的公式呢？
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 思考：
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
思考：
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
课堂小结
本节我们学习了二倍角的正弦、 余弦和正切公式，我们要熟记公式， 在解题过程中要善于发现规律，学 会灵活运用.
课后作业
1. 阅读教材P.132到P.134; 2. 《习案》作业三十二.
撸撹撺挞撼撽挝擀擃 掳擅擆擈擉擌擎擏擐 擑擓携擖擗擘擙擛擜 擝擞擟抬擢擤擥举擨
湖南省长沙市一中卫星远程学校
3.1.3 两倍角的正弦、 余弦、正切公式
主讲老师：陈震
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
练习：
1.在△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB， 则△ABC为 ( ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
思考：
把上述关于cos2的式子能否变成 只含有sin或cos形式的式子呢？
公式推导：
公式推导：
公式推导：
公式推导：
注意：
讲解范例： 例1.
讲解范例： 例2. 在△ABC中,
讲解范例： 例3.
讲解范例： 例4.
讲解范例： 例4.
练习. 教材P.135练习第1、2、3、4、5题.

二倍角公式公开课教案

二倍角公式公开课教案

二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标：1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。

2.记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用 公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。

二、教学重难点：二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性三、教学过程1、复习引入前面我们学习了和(差)角公式，现在请同学们回忆一下和角公式的内容： sin （α+β）=cos （α+β）=tan （α+β）=2、新科探究探究一、在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos αcos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2αtan2α= tan （α+α）=tan α+ tan α1－tan αtan α =2tan α1－tan 2α 整理得:sin2α=2sin αcos αcos2α= cos 2α-sin 2αtan2α=2tan α1－tan 2α 注意：要使tan2α= 2tan α1－tan 2α 有意义，α须满足α∈﹛α∣α≠ k π+ π2，且α≠ k 2π+ π4﹜ 学以致用提问：对于cos2α的求解还有没有其它的办法探究二、cos2α的变形式利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得：cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α因此：cos2α = cos 2α－sin 2α1例.2tan ,2cos ,2sin ),20(,54cos 的值求若αααπαα<<=1cos 2,0290.9ααα︒︒=<<已知,求cos =2cos 2α－1=1－2sin 2α3、公式深化1、这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去。

《二倍角的三角函数(1)》示范公开课教学课件【高中数学苏教版必修第二册第十章】

《二倍角的三角函数(1)》示范公开课教学课件【高中数学苏教版必修第二册第十章】
还可以将公式sin2α＋cos2α＝1变形为：cos2α＝1-sin2α，再将其代入二倍角余弦公式可得：
二倍角余弦公式三种形式cos 2α＝cos2α－sin2αcos 2α＝2cos2α－1cos 2α＝1－2sin2α
我们继续思考以下几个问题该怎么解决？
（1）tan 2α公式还可以怎么推导？
（2）倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？
由cos 2α＝2cos2α－1降幂变形得：
由cos 2α＝1－2sin2α 降幂变形得：
降幂公式：
你能用二倍角公式解决以下问题吗?
(2)计算cos215°－sin215°结果等于________．
(3)已知α为第三象限角， ，则tan 2α＝________．
解：因为α为第三象限角， ,所以 ， ， ．
解：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ ；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝ ；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ ；
sin215°＋cos215°＝1，
故选 B .
B
解： ．
二倍角的三角函数(1)
第十章 三角恒等变换
相关著名历史人物
两角和的三角函数公式
比鲁尼 (973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．
解：因为sin α=，α，
于是sin 2α ＝ 2sin αcos α， cos 2α＝1－2sin2α=1－2， tan 2α＝．

第9课 二倍角的正弦、余弦和正切

第9课 二倍角的正弦、余弦和正切

合作探究的
= −
=
1 例题分析
例1
能力

.
−
学生积极思考，认真
求值.
听讲，积极回答问题
(1)15° 15° ；(2) 2
(3)


− 2 ；
8
8
215°
1 − 2 15°
例 1 当发现三
角式的形式
与二倍角公
的值.
解
1
已知2 = 2 2 − 1 = − 2
1
求得 2 = 4

1
又因为 ∈ ( 2 ，) ，所以 = − 2.
练习 3
1

已知 − = 2 , 且 ∈ ( 2 ，)，
求2.
解 已知
1
− = 2
1
两边平方，得2 − 2 + 2 = 4
1
即1 − 2=4
3
所以2 = 4
通过学生小
通过学生小结，梳理 结，梳理所学
所学内容提升对本节 内 容 提 升 对
四、归纳小结
知识的学习理解。
本节知识的
本节课学习了正弦、余弦、正切的二倍角
学习理解，回
公式，并运用此公式求解某些具体问题，对于
顾本节课重
二倍角变形公式，根据具体情况需要灵活使用。
30°
√3
= .
3
4

已知 = 5, 且 ∈ ( 2 ，)，求
例2
4
角的三个公
式，正切的值
直接由同角
三角函数的
2,2,2的值.
解
例 2 熟练二倍

因为 = 5,且 ∈ (2 ，)，
3
所以 = − .

二倍角公式公开课课件

二倍角公式公开课课件
为 $cos A = 2cos^2frac{A}{2} - 1$。
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
感谢观看
THANKS
详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。

第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(经典公开课)

第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(经典公开课)
=


+




= +


+

-

+ - .


因为 θ 是第二象限角,




即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=










, + < < + (∈),


解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =

答案:
.

.

二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;


.
-
=2sin

=2× × = ,



,


+

的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.

sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin

4

两角和差、倍角公式推导省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

2
两角和旳余弦公式
cos( ) cos cos sin sin 上述公式简记为C
公式中旳α、β为任意角。
3
两角和与差旳余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
4
两角和旳正弦公式公式推导
sin
cos
2
cos
2
cos cos sin sin
②二倍角公式不但限于2α是α旳二倍旳形式，其他如 4α是2α旳两倍，α/2是α/4旳两倍,3α是3α/2旳两倍， α/3是α/6旳两倍等，全部这些都能够应用二倍角公式。 所以，要了解“二倍角”旳含义，即当α=2β时，α就 是β旳二倍角。但凡符合二倍角关系旳就能够应用二 倍角公式。
③二倍角公式是从两角和旳三角函数公式中，取两角 相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
2
2
sin cos cos sin
5
两角差旳正弦公式公式推导
用 代
sinos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
6
两角和与差旳正弦公式
1、两角和旳正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
两角和与差旳正弦、 余弦、正切公式
两角差旳余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
1
两角和旳余弦公式推导
cos( ) cos cos sin sin
将 替代为
cos( ) cos( ( ))
cos cos( ) sin sin( )
cos cos sin sin
R
倍
角 公
cos 2 cos2 sin 2 R
式：
对于 C2 能否有其他表达形式？ cos 2 2cos2 1

二倍角的三角函数ppt名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件


3.公式变形:
1+ cos 2a 2cos2 a
1- cos 2a 2sin2 a
对一种人来说，所期望旳不是别旳，而仅仅 是他能全力以赴和献身于一种美妙事业.
——爱因斯坦
二倍角公式
sin 2a 2sina cosa ; S2α
cos 2a cos2 a - sin2 a; C2α cos 2a 2cos2 a - 1;
cos 2a 1 - 2sin2 a;
tan 2a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 tan a 1 - tan2 a
.
T2α
公式旳特征与记忆：
1.左边角是右边角的二倍.
7. 5
1.措施上：学会怎样去发觉数学规律，并体会从一般化 归为特殊这一基本数学思想在探索中所起旳作用.
2.知识上：记住二倍角公式.
sin 2a 2sina cosa
cos 2a cos2 a - sin2 a 2 cos2 a -1 1- 2sin2 a
tan
2a
2 tana 1- tan2 a
2.左边是2a的三角函数的一次式，右边是a的
三角函数的二次式. 由左到右：升幂缩角；由右到左：降幂扩角. 3.二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式， 正切是分式.
练一练
填空：(1)sin 4a 2sin_2_a_ cos_2_a_;
(2)cos a
a
a
cos2 _4_- sin2 _4_;
2
(3) cos a
3
2
cos2 a
_______6__
- 1;
(4) tan 3a
2 tan_32a_ 1 - tan2 _32a_
.
提升总结：了解公式旳推导措施

二倍角公式的应用名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件


sin 2x cos 2x 1
2 sin(2x ) 1
4
所以函数 f (x)旳最小正周期 T 2 .
(II)由(I)知,当 x k
2x 2k
4
2
2
,即
(k Z )时，f (x)取最大值
.
8
2 1.
应用公式处理问题时应注意旳几种问题：
1. 转化思想是实施三角变换旳主导思想,变换包 括:函数各称变换、角旳变换、常数旳变换、 和积变换、幂旳升降变换等等.
2
即 (cos sin )(cos sin ) 2 ,
2 (sin cos )
2
2 cos
sin
1
.
2
3.已知函数 f (x) sin 2x 2sin2 x.
．
(I)求函数 f (x) 旳最小正周期;
(II)求函数 f (x)旳最大值及 f (x)
取最大值时x旳集合.
解析(：I)因为 f (x) sin 2x (1 cos 2x)
正切：tan 2 2 tan 1 tan2
二倍角公式旳变形
降幂公式：sin2 1 cos2 , cos2 1 cos2 ,
2
2
tan2 1 cos2 .
1 cos2
升幂公式：1 cos2 2sin2 ,
1 cos2 2cos2.
(1 2sin cos ) (sin cos )2
1.已知 sin( x)sin( x) 1 , x ( , ), 求sin 4x.
4
4
62
2.已知
cos
sin(
2
)
2 ,求cos sin 旳值.
2
4
3.已知函数 f (x) sin 2x 2sin2 x.

【人教新课标】倍角公式公开课课件

四、作业：成才之路 124－125页 7，8，9
【人教新课标】倍角公式公开课课件
【人教新课标】倍角公式公开课课件
1. 一个完美的历史家必须绝对具有足 够的想 象力 2 一个作者的观念看更像是在反映他 自己的 生活于 其中的 那个代 ，而不 是他所 描写的 那个代
3. 历史是有个人特征的人物的王国， 是本身 有价值 而又不 可能重 演的个 别事件 的王国 4. 不同的历史家对同一现象可以提出 十分不 同乃至 截然对 立，但 又同样 似乎可 能的解 释而不 至于歪 曲事实 ，或违 背通行 的处理 证据的 准则
2、三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：（2）“给值求值”：（3） “给值求角”：（4）“给式求值”： 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化 低次 注意点：①灵活角的变形和公式的变形②重视 角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要 讨论
【人教新课标】倍角公式公开课课件
【人教新课标】倍角公式公开课课件
【人教新课标】倍角公式公开课课件
【人教新课标】倍角公式公开课课件
三、公式的变形应用
【人教新课标】倍角公式公开课课件
【人教新课标】倍角公式公开课课件
例5 计 算 tan 10－ 3
csc40
【人教新课标】倍角公式公开课课件
【人教新课标】倍角公式公开课课件
四、给式求角问题
【人教新课标】倍角公式公开课课件
两角和与差及二倍角 公式
阅读教材第119页， Cα＋β的推导，做好
填空题
重点公式
（一）两角和与差公式
s i n s i n c o s c o ss i n
c o s c o sc o s s i n s i n t（a二n） 倍角公式1tanta n ttaann
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学生自己先试一试发现“二倍角”与“两角和”的内在联系。让学生领悟到：
让学生自行动手体会由一般过渡到特殊的化归思想。
☆举一例引导化归思想：
当 取特殊角 时，上述公式表示为: ，接着依此类推让学生自行动手体会由一般过渡到特殊的化归思想。
让同学们自己填写公式，是为了使大家学会怎样去发现数学规律，并体会化归(这里是将一般化归为特殊)这一基本数学思想所起的作用。
☆梯度一：(熟练公式结构——公式的逆用)
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
☆梯度二：(倍角的相对性)
(1) ；(2)
(3) (公式的逆用伴有系数的变化)
(4) (公式的逆用伴有系数的变化)
(5) (公式的逆用伴有系数的变化)
(6) (公式的逆用)
☆梯度三：(公式的灵活运用)
（1）
(2)
基本熟练之后，下一步应该提供机会让学生利用倍角公式进行求值运算、化简，以培养学生运算、分析和逻辑推理能力，这也正是本课时的教学目标之一与难点之一。
我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归。那么，如何把和角公式化归为二倍角公式呢?现在研究二倍角的正弦、余弦、正切公式。
☆ 双向沟通：(学生独立完成)
简记：
简记：
且 简记：
利用 ，公式 还可以变形为：
或
☆阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令=(实现一般化归为特殊)。上面这些公式都叫做倍角公式。有了倍角公式，就可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。
2、公式的运用：
☆师生互动：教师引导启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数的对比、系数的对比、幂次数的对比，学生思考并回答问题以下问题：
在以上问题中主要突出的是倍角的相对性，以及公式左右两边的角的变化。为了进一步巩固所学公式与更深入熟练地掌握公式变形，特意由浅入深设计三个梯度的课堂练习以达到相关目的。
求值
(此题留为课后练习，让学生进一步思考。)
☆变式练习：在 中， ， ，求 的值？
则产生三种思路与三种解法，但其结果应该是一致的，只不过速度的快慢、解法的简易与复杂有差异。
教师可介绍一种解法且板书：
(解答中角度 范围的确定目的是去绝对值时正负值的取舍，这也是本题目标训练之一，即符号看象限。)
在本题结束后，亦可考虑将原题进行变换（详见课件），以加强训练学生灵活选择公式的意识与能力，也为后面的升幂公式学习打下基础。(此题组留为课后练习，学生继续思考、巩固所学知识从而升华课堂教学。)
☆(附)例3、在 中， ， ，求 的值？
[分析]本题是涉及三角形的求值问题，可溯引学生熟练三角形中的三角问题，让数学回归生活、生产实际问题。难点在于突破角度的限制性，符号确定与公式的正确选择。
解答详略
4、课时练习：（详附课件）
5、课时小结：引导学生合作完成
6、作业：课件巩固练习提高1、2、3或课本第135页练习1、2、3题
（一）公式的导出（四）巩固练习提高
（二）公式应用
（五）小结、作业
（三）典型例题
作业
设计
课本：第135页练习1、2、3题
教学
反思
武威第三中学教学设计续页
教学过程（教师活动、学生活动）
设计意图
教学过程(师生互动)
1、公式的导出：(先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式，以达到温故而知新。)
☆ 复习回顾：
3、典型例题:
☆例1、（详见课件例1）
[分析]因为本题在前几节书中类似问题曾在多处出现，故可将详细解题步骤引导学生口述完成，以节约课堂时间。
本题结束后，可考虑将原题进行变换（详见课件）。(本组题目学生能口述解答方法即可，目的是训练并提高学生灵活选择公式的能力)
☆例2、化简: , .
[分析]由于有可能学生们选择了公式的三种不同等价式：
情感
态度
价值观
通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.
教学
重点
二倍角的正弦、余弦、正切公式推导和应用。
教学
难点
倍角公式的形成以及公式的变形和灵活应用。
课型
新授课
主要教学方法
启发引导与巩固练习
教学
模式
合作交流
教学手段
与教具
课件和课本
板
书
设
计
课题
武威第三中学教学设计首页
编写时间：2014年6月9日第二学期总第课时授课者
课题
二倍角的正弦、余弦、正切公式
授课班级
高一（3）、（9）
授课时间
2014.6.12
教
学
目
标
知识
技能
倍角公式与两角和公式的内在联系，并熟练倍角公式结构.
过程
方法
培养学生利用化归思想(指将一般化归为特殊)导出倍角公式，了解倍角公式与两角和公式的内在联系并熟练倍角公式结构。