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计算机图形学_第十一章_三维形体的表示分解

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17春《计算机图形学》

17春《计算机图形学》

17春《计算机图形学》作业_1一、单选题1. 按照所构造的图形对象来分，点、曲线、平面、曲面或实体属于___，而山、水、云、烟等自然界丰富多彩的对象属于___。

A. 规则对象、不规则对象B. 规则对象、属性对象C. 不规则对象、几何对象D. 不规则对象、属性对象答案A2. Bezier特征多边形的第一条边表示了Bezier曲线（）A. 在终点处的切矢量方向B. 在起点处的切矢量方向C. 在任意点处的切矢量方向D. 以上说法都不对答案B3. Bezier曲线不具备的性质有___。

A. 对称性B. 几何不变性C. 局部控制性D. 凸包性答案C4.答案B5. 在直角坐标系下，平面曲线f(x,y)=0可将平面分为___个点集，当f(x,y) 大于0时，表示的点集为其正侧，至于是曲线的外部还是内部则依赖于曲线的方向。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案C6. 在判断由P1,P2,P3三个点构成的折线的方向时，可以通过计算___的符号来判断其方向，若其符号为负，则表示折线方向为正。

A. |P1×P2×P3|B. |(P1-P2) ×(P2-P3)|C. |(P2-P1) ×(P3-P1)|D. |(P1-P2)·(P2-P3)|答案B7. 由空间的n+1个控制点生成的k次准均匀B样条曲线是由若干段B样条曲线逼近而成的, （）A. 每个曲线段的形状仅由点列中的k个顺序排列的点所控制B. 每个曲线段的形状仅由点列中的k+1个顺序排列的点所控制C. 每个曲线段的形状仅由点列中的k+2个顺序排列的点所控制D. 每个曲线段的形状仅由点列中的k+3个顺序排列的点所控制答案B8. 用转角法判别点在区域的内外。

将点M与边界上一点P连接，当P沿边界移动一周时，M点处于区域外的是___。

A. MP与给定的某条直线夹角变化值为0B. MP与给定的某条直线夹角变化值为2πC. MP与给定的某条直线夹角的变化值为πD. MP与给定的某条直线夹角的变化值为3π答案A9.答案C10. 以下哪一个不是绘制一个象素宽的直线的常用算法（）A. 数值微分法B. 中点分割算法C. Bersenham算法D. 中点画线法答案B11.答案B12. Bezier曲线上各点均落在（）A. 均落在相应Bezier特征多边形构成的凸包之中B. 均落在相应Bezier特征多边形构成的凸包之外C. 既可落在相应Bezier特征多边形构成的凸包之中，也可落在相应Bezier特征多边形构成的凸包之外D. 均落在相应Bezier特征多边形上答案A13. 下列有关平面几何投影的叙述，错误的是___。

计算机图形学(三维几何变换)

计算机图形学(三维几何变换)
• 设备坐标系：在输出设备上建立的坐标系是设备坐标系， 输出设备如果是屏幕就是屏幕坐标系。有可能是三维的 如机械手运动轨迹的三维坐标系。我们常用的是屏幕坐 标系。
有些图形系统，对设备坐标系进行了规范化，将坐标 范围限定在区间{x, y, z | 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}内，称为 标准化设备坐标系
Y
P’(x’,y’,z’) P(x,y,z)

sin cos 0 0 x 0 y (3) 1 z
X
x cos y sin z 0
Z
旋转的图示
2009-2010-2:CG:SCUEC
以图形中心为中心进行缩放的步骤
2009-2010-2:CG:SCUEC
18
以图形中心为中心的缩放变换
以图形中心为中心的缩放 然后再对每一点按照式(*)作变换. 最后再沿x, y和z方向平移xp, yp和zp,把经过缩放 的图形移回原处.
(xp,yp,zp)
以图形中心为中心进行缩放的步骤
2009-2010-2:CG:SCUEC
A
放缩
17
2009-2010-2:CG:SCUEC
以图形中心为中心的缩放变换
为了使缩放变换后的图形仍在原位臵附近，可另 以图形中心为中心的缩放 外定义一个相似中心点(xp,yp,zp). 先把整个图形沿x, y和z方向平移–xp, –yp和–zp, 相似中心就移到了坐标原点.
(xp,yp,zp)
视口
2009-2010-2:CG:SCUEC
8
Yv
世界坐标系
Y
y2 o x y z x2
观察坐标系
y1
X

三维形体的表示

三维形体的表示

将形体按某种规则分解为小的更易于描述的部 分，每一小部分又可分为更小的部分，这种 分解过程直至每一小部分都能够直接描述为 止。
2019/2/11
浙江大学计算机学院
28
分解表示-空间位置枚举表示

形体空间细分为小的均匀的立方体单元。 用三维数组C[I][J][K]表示物体，数组中的元素与 单位小立方体一一对应 当C[I][J][K] = 1时，表示对应的小立方体被物 体占据 当C[I][J][K] = 0时，表示对应的小立方体没有 被物体占据


形体输入，即把形体从用户格式转换成计算机内部格式；
图形数据的存储和管理； 图形控制，如对形体进行平移、缩放、旋转等几何变换；
图形修改，如应用集合运算、欧拉运算、有理B样条操作及其 交互手段实现对形体局部或整体修改；
图形分析，如形体的容差分析，物质特性分析等； 图形显示输出，如消隐、光照、颜色的控制等；
2019/2/11 浙江大学计算机学院 17
实体的定义

实体的定义—可计算的条件


正则点集 表面是二维流形 其上任意一点存在充分小的领域与圆盘同构 （存在连续的一一映射）

二维流形

2019/2/11
浙江大学计算机学院
18
一些非正则形体的实例

一些非正则形体的实例
(a)有悬面
(b)有悬边
（c）一条边有两个以上 的邻面（不连通）

正则集合运算的定义
A

op
*
B r (A B r (A B r (A B r (A
op
B) B) B) B)
正则并
A

计算机图形学3D图形表示方式

计算机图形学3D图形表示方式
uQ ( d / n p ) u p vQ (d / n p ) v p n ( d / n ) n d p p Q
1 0 M ' per 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1/ d 0 0 0 0
观察坐标系中的简单一点透视
One-point perspective projection
Under the viewing-reference coordinate of uvn,
Suppose :projection plane n=0,projection reference point (0,0,d),point p(up,vp,np) of three dim space,it’s projection point Q, Line Parameter Eq:
Projection plan (side view)
Three Orthographic Projections(三视图）
V Z Z
主视图
侧视图
Y
X 俯视图
Y
X
Y
U
正平行投影（三视图）
V 主视图 Z 侧视图
tx X tz ty t x
(a,b)
ty tz
Y
பைடு நூலகம்
俯视图
Y
U
V
主视图 Z 侧视图
Front Elevation
U
Perspective Projection

Vanishing Point.
The perspective projections of any set of parallel lines that are not parallel to the projection plane converge to a vanishing point.

计算机图形学_第十一章_三维形体的表示

计算机图形学_第十一章_三维形体的表示
• 数据结构不仅记录了全部的几何信息，而且还记录了所有 的点、线、面、体的拓扑信息。这就是实体模型与线框模 型或表面模型的根本区别。实体模型的构造方法通常使用 体素，经集合论中的交、并、差运算构成复杂形体。
实体的定义
• 实体就是有效的物体，亦即客观世界中确实存在的物体 。比如，下图所示的带有悬挂面的立方体就不是实体，在 客观世界中也不存在这样的物体。
• 边界点就是指那些不具备此性质的点集中的点。 • 三维物体A可表示为：
• bA为物体A的边界点集，iA为物体A的内部点集。
A bA,iA
实体的定义
• 定义点集的正则运算r如下：
rA ciA
• i为取内点运算；c为取闭包运算；A为一个点 集。那么i·A即为A的全体内点组成的集合，称为 A的内部，它是一个开集。c·i·A为A的内部的闭包 ，是i·A与其边界点的并集，它本身是一个闭集。
实体的定义
• 作为实体或者有效的物体应该满足以下的条件 ：
• ①刚性。一个实体必须具有一定的形状（流体不 属于实体造型技术描述的对象）。
• ②维数一致性。在三维空间中，一个实体的各个 部分必须都是三维的，不能存在悬挂的、孤立的 边界。
• ③有限性。一个实体必须占有有限的空间。
• ④边界的确定性。根据实体的边界可以确定实体 的内、外部。
正则集合运算
• 在正则集合运算中，要考虑如何消除或不产生悬点，悬 边和悬面，在实体造型中，实现正则集合运算有两种方法 ：间接法和直接法。
• 间接法是先按普通集合运算求出结果，后用一些规则判断 ，消除不符合正则几何定义的部分(即悬边、悬面等)，从 而得到正则几何体；
– 计算机辅助制造时，可以引用几何造型的结果，直接规划 数控加工的刀具轨迹；

计算机图形学三维造型技术

计算机图形学三维造型技术
特征向下细分需要几何建模提供产品的几何形状信息 向上则反映工程语义的高层次信息 基于特征造型的产品设计方法是随着 CAD/CAM一体
化要求而产生的，是建立在实体造型方法基础之上， 更适合于计算机集成制造系统的产品设计方法
2022/6/3
58
特征模型 vs. 设计意图
特征的引用直接体现了设计意图
Brep也称为边界模型－Boundary Model表示了点边 面等几何信息及其相互连接关系
用于表示物体边界的有--平面多边形(三角网格是其特例)、 曲面片
边界表示的数据结构
翼边结构
半边结构
2022/6/3
7
翼边结构
由Baumgart引入
精简的、基于边的边界模型 表示出体素的面、边、点的信息，并可检索
什么是客观存在（有效）—实体的定义
具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通 占据有限的空间 经过运算后，仍然是有效的物体
2022/6/3
28
关于实体（2）
内点 边界点 取内点运算i 取闭包运算c
正则运算r r • A c •i • A
2022/6/3
29
关于实体（3）
推移表示
实体模型
构造实体几何表示
特征表示
空间分割表示
非传统造型技术
分形造型
粒子系统
2022/6/3
53
特征造型系统举例
2022/6/3
54
什么是特征(Feature)
由工作中的面、边及顶点围成的一个特定几何外形/ 一个具有一定工程含义的特定形状
用于论证设计、工程和制造的任何实体
根据边的方向，将新的边界面分类为：in和 out
根据布尔操作类型，将in/out类边界面恰当 组合，构造结果实体：拼合边表和顶点表

三维形体的表示


实体的定义（2）
❖ 将三维物体看作一个点集, 由内点 与边界点共同组成
❖ 内点：是指点集中的这样一些点, 点集的正则它 小运们 的算r：具 领有 域完全包含于i：该取内点点集运算的充分
❖ 边r •界A点：c •指i •那A些不具c：备取此闭包性运算质的点
集中的点。
(a) 带有悬挂边、孤立边、 (b) 物体的内部 孤立点的二维物体
偶数个多边形共享。 简单多面体
与球拓扑同构的多面体，即它可以连续变换成一个球。
二、欧拉公式 v-e+f=2
其中：V--顶点数 e--边数 f--面数
欧拉公式是一个多面体是简单多面体的 必要条件
广义欧拉公式
v-e+f-r=2(s-h)
r: 多面体表面上孔的个数 s: 相互分离的多面体数 h: 贯穿多面体的孔洞个数
象，不适合真实感显示
❖ 表面模型
将形体表示成一组表面的集合 形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
实体模型
用来描述实体，主要用于CAD/CAM 包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信息、拓扑信 息
过程模型
❖ 以一个过程和相应的控制参数描述
例如： 用一些控制参数和一个生成规则描述的植物
❖ 以一个数据文件和一段代码的形式存在
包括----粒子系统、L系统、迭代函数系统等
2 实体的定义
❖ 抽象带来的问题(数学中的点线面是一 种抽象)
计算机中以数学方法描述的物体是无效的 不能够客观存在
❖ 为什么要求客观存在
CAD/CAM的需求
❖ 什么是客观存在(有效)—实体的定义
具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通的三维点集 占据有限的空间
个子立方体，对每一个子立方体进行同样的处理

《计算机图形学》07 三维形体的表示


表示，则:
V－E+F=2
V=8
E = 12
F=6
对于非简单多面体则应满足广义欧拉公式： V － E + F － H = 2( C － G ) 其中 V 、E 、F 的含义与前相同；
H 表示多面体表面上孔的个数；
C 表示独立的不相连接的多面体的个数； G 表示贯穿多面体的孔的个数。
V = 24
E = 36 F = 15
这些域的状态为空。 八叉树表示的特点： ① 定义形式简单。 ② 易于实现物体间的集合运算(并、交、差)。 ③ 可简化消隐算法，便于计算物体的体积、质量等。 ④ 存储量大。 改进：线性八叉树，前例可表示为 ： {1，2，3，4，51，53，55，565，566}，
2.表面模型 把线模型中棱线包围的部分定义为面，所形成的模型就是表 面模型。
采用表面模型，物体的边界确实可以全部定义，但是物体的
实心部分在边界的哪一侧是不明确的，因为它只定义了单个的 表面块，而且由于它们没有被结合在一起，所以边界面不能明 确地定义其所包围的实心部分，使设计者对物体缺乏整体的概 念。
v4
f1 e3 e 2 e1 v2
e1 e2 e3 v1 v2
(x1,y1,z1) (…) (…)
2. 多面体及欧拉( Euler )公式
组成平面多面体的基本元素是：顶点、棱边和面。
一个实体的表面必须满足闭合性，即构成实体的基本元素 之间必须满足一定的条件，其简单的检验方法就是欧拉公式。 设简单平面多面体的顶点数、 棱边数和面数分别用V 、 E 、 F来
E →{E}
F E
F
E →{F}
v
v
F
v v
F →{v}
v
E E F E E

chapter03_3_三维形体的表示


2019/7/6
17
一些非正则形体的实例
一些非正则形体的实例
(a)有悬面
(b)有悬边
（c）一条边有两个以上 的邻面（不连通）
图3.2.1 非正则形体实例
2019/7/6
18
正则集合运算
为什么需要正则集合运算
正则集合运算是构造复杂物体的有效方法 普通的集合运算会产生无效物体
(b):A∩B (c):普通A∩B (d)：正则A∩B
2019/7/6
29
分解表示-八叉树表示
八叉树表示
对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进：均 匀分割 自适应分割
八叉树建立过程
•八叉树的根节点对应整个物体空间 •如果它完全被物体占据，将该节点标记为F(Full)， 算法结束； •如果它内部没有物体，将该节点标记为E(Empty)， 算法结束； •如果它被物体部分占据，将该节点标记为P(Partial)， 并将它分割成8个子立方体，对每一个子立方体进行 同样的处理
2019/7/6
12
实体的定义
将三维物体看做一个点集，它由内点和 边界点共同组成。
内点：具有完全包含于该点集的充分小 的邻域
边界点：不具有内点性质的点集
2019/7/6
13
实体的定义
A是一个点集，定义点集的正则运算如下： i：取内点运算 c: 取闭包运算
正则运算r r A c i A
2019/7/6
2
形体
体素 具有有限个参数定义，且简单 的连续封闭的形体称为体素， 如长方体、圆柱体、圆锥、球、环等。
半空间 集合{P|F(P)≤0}成为半空间，其中P为R3中的一点，F为一个平面， 当F=0时，表示一个平面，这个平面的半空间可以由 F(P)=ax+by+cz+d定义的平面加上在平面某一侧的所有点组成。显 然一个长方体可以看成是6个平面半空间的交。

计算机图形学2010_06三维图形变换

第六章 三维图形变换第一节 三维图形变换基础一、三维坐标系xyzxyz右手坐标系左手坐标系三维图形学中习惯上通常是采用右手坐标系。

xy 平面对应于视平面，z 轴垂直于视平面，指向视平面之外。

二、三维齐次坐标及变换矩阵三维图形变换也是基于矩阵运算进行。

矩阵运算的维数被扩展为四维。

三维坐标点采用4元齐次坐标表示：(x , y , z , 1)，三维坐标与三维齐次坐标的相互转换如下：三维坐标(x , y ,z )——齐次坐标(x , y ,z , 1) 齐次坐标(x , y ,z , h )——二维坐标(x /h , y /h ,z /h ) 变换矩阵则为4X4的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s nm kr j i h q f e d p c b a 其中：平移变换第二节 三维几何变换一、三维基本变换 1. 平移变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010000100001nmk T )1,,,()1,,,(n z m y k x T z y x +++=⋅2. 比例变换)1,,,()1,,,(1000000000000jz ey ax T z y x j e a T =⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 3. 旋转变换三维的基本旋转变换分为三种，即绕三个坐标轴的旋转变换。

(1)绕z 轴旋转γ角旋转后z 值不变，x,y 值将发生改变，x,y 值的计算公式与平面旋转相同，即：zz y x y y x x ='+='-='γγγγcos sin sin cos 则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010000cos sin 00sin cos γγγγT 有：)1,1,cos sin ,sin cos ()1,,,(γγγγy x y x z y x +-=T(2)绕x 轴旋转α角则旋转后x 的坐标值不变，y 和z 的坐标值将改变，相当于在yz 平面上绕平面原点进行旋转变换。

平面转转变换的公式为：ααααcos sin sin cos y x y y x x +='-='对应而来，这里y 对应于x ，z 对应y ，有：ααααcos sin sin cos z y z z y y +='-='则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000cos sin 00sin cos 00001ααααT )1,cos sin ,sin cos ,()1,,,(ααααz y z y x z y x +-=T(3)绕y 轴旋转β角这时，z 对应于x ，x 对应于y 。

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实体的定义
有了二维流形的概念之后，我们可以这样来描述实 体：对于一个占据有限空间的正则点集，如果其表面是 二维流形，则该正则点集为实体(有效物体)。
正则集合运算
能产生正则几何体的集合运算称为正则集合运算。正则集合运算保证 集合运算的结果仍是一个正则形体，即丢弃悬边、悬面 。
正则集合运算与传统集合运算的区别主要是在对产生结果的边界面的 处理上，其内部点是一致的 。
Lecture 11
三维形体的表示
概述
三维造型技术是一项研究在计算机中，如何建立恰当 的模型来表示自然界中形态丰富的三维物体的技术。 三维造型技术根据造型对象分成三类：
•第一类是曲面造型，这种造型方法研究在计算机内如何
描述一张曲面。
•第二类是立体造型方法，它研究如何在计算机内定义、
表示一个三维物体。
实体的定义
实体就是有效的物体，亦即客观世界中确实存在的物 体。比如，下图所示的带有悬挂面的立方体就不是实体 ，在客观世界中也不存在这样的物体。
实体的定义
作为实体或者有效的物体应该满足以下的条件： ①刚性。一个实体必须具有一定的形状（流体不属于实体造型 技术描述的对象）。 ②维数一致性。在三维空间中，一个实体的各个部分必须都是 三维的，不能存在悬挂的、孤立的边界。 ③有限性。一个实体必须占有有限的空间。 ④边界的确定性。根据实体的边界可以确定实体的内、外部。 ⑤封闭性。经过一系列的刚体运动及任意序列的集合运算之后 ，仍然是有效的实体。
• 计算机辅助制造时，可以引用几何造型的结果，直接规划数控加工的刀 具轨迹；
• 运动分析方面，几何造型系统可以完成机械手的动作规划、运动模拟以 及零件间的干涉检查等。
概述
•计算机艺术、动画片制作、模拟仿真、计算机视觉、机器人
等领域都把几何造型作为基础。
•利用三维几何造型技术，既可产生已有物体的真实模型，也
•不能表示表面含有曲面的物体；
•不能明确地定义给定点与物体之间的关系，应用范围受到了很大的限制 •线框模型容易出现二义性，对于一个线框模型，可以有不同的理解。
表面模型
表面模型在线框模型的 基础上，增加了物体中的 面的信息，用面的集合来 表示物体，而用环来定义 面的边界.

表面模型
•表面模型克服了线框模型的很多缺点，比较完整地定义了三
•第三类造型方法是自然景物模拟，研究如何在计算机内
模拟自然景物，如云、水流、树等等。
概述
三维几何造型现已开始被广泛地应用在工业生产及艺术造 型的各个领域。
•机械行业
• 设计方面，几何造型方法可以逼真地反映物体的外观，检查零件之间的 装配关系，高效、准确地生成生产图纸； • 分析计算方面，它可以精确地计算出零件的质量、质心、转动惯量、表 面积等物性参数；
正则集合运算
在正则集合运算中，要考虑如何消除或不产生悬点，悬边和悬面，在 实体造型中，实现正则集合运算有两种方法：间接法和直接法。
•间接法是先按普通集合运算求出结果，后用一些规则判断，消除不符合 正则几何定义的部分(即悬边、悬面等)，从而得到正则几何体；
•直接法则是定义正则集合算子的表达式，用以直接得出符合正则几何体
实体的定义
从点集拓扑角度给出实体的定义。将三维物体看作是 空间中点的集合，它由内点与边界点共同组成。
•内点是指点集中的这样一些点，它们具有完全包含于该
点集的充分小的邻域。
•边界点就是指那些不具备此性质的点集中的点。
三维物体A可表示为：
A bA, iA
bA为物体A的边界点集，iA为物体A的内部点集。
可产生人们头脑中的某种设计想象或艺术模型。
形体的表示
在计算机中表示形体的方法通常有三种：
•线框模型 •表面模型 •实体模型
线框模型
线框模型采用三维形体的全部顶点及边的集合来描述 三维形体，即用三维形体的顶点表和边表两个表的数据 结构来表示三维模型。
线框模型
线框模型的主要优点是结构简单，处理容易，在CPU时间及存储方面 开销低 。线框模型也有非常显著的缺点。
实体模型
•实体模型使用有向边的右手法则来确定所在面的外法线方向，即用右手
沿边的顺序方向握住，大拇指所指的方向为该面的外法线方向。
•数据结构不仅记录了全部的几何信息，而且还记录了所有的点、线、面
、体的拓扑信息。这就是实体模型与线框模型或表面模型的根本区别。 实体模型的构造方法通常使用体素，经集合论中的交、并、差运算构成 复杂形体。
定义的结果。
物体的CSG树表示
物体的体素构造表示法 （ CSG ， Constructive Solid Geometry ）是用两个物体间的并、交、差正则集合运算 操作生成一个新的物体的方法。
实体的定义
定义点集的正则运算r如下：
r A c i A
i为取内点运算；c为取闭包运算；A为一个点集。那么i· A即 为A的全体内点组成的集合，称为A的内部，它是一个开集。 c· i· A为A的内部的闭包，是i· A与其边界点的并集，它本身是一
个闭集。
实体的定义
正则点集不一定是实体。如下图所示的物体，它是正则点集，但它 不是有效的物体。为了得到有效的物体，我们必须排除下图所示的情况 ，在此我们引入二维流形的概念。所谓二维流形是指对于实体表面上的 任何一点，都可以找到一个围绕着它的任意小的邻域，该邻域在拓扑上 与平面上的一个圆盘是等价的。
实体的定义
一个实体的表面必须具备以下的性质： ①连通性。实体表面上任意两点都可用该表面上的一条路径连接起来。 ②有界性。一个实体的表面把空间分为互不连通的两部分，其中实体内 的部分是有限的。 ③非自相交性。一个实体的表面不可自相交。 ④可定向性。一个实体的表面两侧可明确定义出实体的内侧和外侧。 ⑤封闭性。对多面体而言，一个实体表面的封闭性是由表面上多边形网 格各元素的拓扑关系确定的，即每条边连接且仅连接两个面，每条边有 且仅有两个端点。
维立体的表面，因而其造型体的覆盖面较广，无论解析的或非 解析的目标均可用表面模型来描述。
•表面模型又分为平面模型和曲面模型两种。前者以多边形网
格为基础。由上述顶点表、边表和面表就可构成平面立体的平 面模型。后者是以参数曲面块为基础。
•表面模型也存在一些不足，这主要是它只能表示物体的表面
边界，而没有表达出真实体属性。因此，也就无法切开表示物 体的内部结构。由此就很难确认一个表面模型表示的三维图形 是一个实体还是一个空壳 。