计算机图形学-三维图形变换与投影

计算机图形学中的透视和投影变换计算机图形学是机器图像处理和计算机视觉的理论基础，主要研究计算机生成的三维图形的数学表示和渲染技术。

在计算机生成的三维图形中，透视和投影变换是非常重要的技术，它们可以使三维图形更加直观逼真地呈现出来。

本文将对透视和投影变换进行详细讲解。

一、透视变换透视变换是一种三维立体图像转换为二维平面图像的方法，它可以模拟出现实中的透视效果。

在透视变换中，被变换的三维场景需要经过以下几个步骤：1. 建立三维场景模型。

在建立三维场景模型时，需要确定物体的位置、大小、形状和材质等参数，并将这些参数用数学公式表示出来。

2. 确定观察点位置和视线方向。

观察点是放置在场景外的假想点，用于观察场景中的物体。

视线方向是从观察点指向场景中的物体。

3. 定义投影平面。

投影平面是垂直于视线方向的平面，它用于将三维物体投影到二维平面上。

4. 进行透视变换。

在透视变换中，需要用到透视投影矩阵，它可以将三维图形投影到二维平面上，并使得远离观察点的物体变得更小。

透视变换可以使得生成的二维平面图像更加逼真，同时也可以减少计算量，提高渲染效率。

但是透视变换也有一些缺点，例如不能完全保持原图像的形状和大小，因此在实际应用中需要进行调整。

二、投影变换投影变换是一种将三维物体投影到二维平面上的方法，它可以用于生成平面图像、制作立体影像和建立虚拟现实等应用。

在投影变换中，被变换的三维场景需要经过以下几个步骤：1. 建立三维物体模型。

在建立三维物体模型时，需要确定物体的位置、大小、形状和材质等参数，并将这些参数用数学公式表示出来。

2. 确定相机位置和视线方向。

相机位置是放置在场景外的假想点，用于观察场景中的物体。

视线方向是从相机指向场景中的物体。

3. 定义投影平面。

投影平面是垂直于视线方向的平面，它用于将三维物体投影到二维平面上。

4. 进行投影变换。

在投影变换中，需要用到投影矩阵，它可以将三维图形投影到二维平面上，并保持原图形的形状和大小。

第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。

难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。

课时安排：授课4学时。

图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。

为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。

有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。

例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。

点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。

所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。

例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。

将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。

常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。

采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。

图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。

新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。

图形的投影与变换在我们的日常生活中，图形无处不在。

无论是建筑物的外观，还是艺术作品的构图，图形都扮演着重要的角色。

而对于图形的投影与变换，我们或许并不陌生。

在本文中，我们将探讨图形的投影与变换的概念、应用以及相关的数学原理。

一、图形的投影图形的投影是指将三维物体在二维平面上的映射。

在现实生活中，我们经常会观察到物体在光线照射下产生的投影。

例如，太阳光照射在建筑物上，形成了建筑物在地面上的投影。

在数学中，我们可以通过投影矩阵来描述图形的投影过程。

图形的投影可以分为平行投影和透视投影两种形式。

平行投影是指在投影过程中，光线是平行于投影平面的。

透视投影则是指在投影过程中，光线是从一个点出发的，即观察者的位置。

图形的投影不仅在建筑设计中有着重要的应用，还在计算机图形学中扮演着关键的角色。

在计算机图形学中，我们可以通过投影矩阵将三维物体投影到二维屏幕上，从而实现虚拟现实、游戏等领域的应用。

二、图形的变换除了投影之外，图形的变换也是图形学中的重要概念。

图形的变换包括平移、旋转、缩放等操作，可以改变图形的位置、方向和大小。

平移是指将图形沿着平移向量的方向移动一定的距离。

旋转是指将图形绕着旋转中心旋转一定的角度。

缩放则是指改变图形的大小，可以放大或缩小图形。

图形的变换在计算机图形学中也有着广泛的应用。

例如，在三维建模中，我们可以通过平移、旋转和缩放来改变模型的位置和形状。

在计算机动画中，图形的变换可以实现物体的运动和变形。

三、图形的投影与变换的数学原理图形的投影与变换涉及到一些数学原理。

投影矩阵是描述图形投影的数学工具，可以将三维物体投影到二维平面上。

在计算机图形学中，投影矩阵可以通过矩阵乘法来实现。

图形的变换也可以通过矩阵来描述。

平移、旋转和缩放操作可以分别表示为平移矩阵、旋转矩阵和缩放矩阵。

通过矩阵乘法，我们可以将图形的变换表示为一个矩阵乘法的组合。

除了矩阵乘法之外，还有一些其他的数学原理与图形的投影与变换密切相关。

计算机形学中的几何变换与投影算法基础在计算机图形学中，几何变换与投影算法是实现三维对象表示、变换和可视化的基础。

通过对三维空间中的对象进行变换和投影，可以将其呈现在二维平面上，从而实现更直观的可视化效果。

本文将介绍计算机形学中的几何变换和投影算法的基本概念和应用。

一、几何变换几何变换是指通过对三维对象进行平移、旋转、缩放等操作，改变其在空间中的位置和形状。

在计算机图形学中，常用的几何变换包括平移、旋转、缩放和剪切。

1. 平移平移是指将对象沿着指定方向移动一定的距离。

在计算机图形学中，平移变换可以通过将对象的每个顶点坐标增加一个平移向量来实现。

平移变换公式如下：[x'] = [1 0 0 tx] [x][y'] [0 1 0 ty] [y][z'] [0 0 1 tz] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，(tx, ty, tz)表示平移向量。

通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵，可以实现平移效果。

2. 旋转旋转是指将对象绕指定轴进行旋转。

在计算机图形学中，常用的旋转有绕X轴、Y轴和Z轴旋转。

旋转变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个旋转矩阵来实现。

旋转变换矩阵的形式如下：[x'] = [1 0 0 0] [x][y'] [0 cosθ -sinθ 0] [y][z'] [0 sinθ cosθ 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，θ表示旋转角度。

通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵，可以实现旋转效果。

3. 缩放缩放是指改变对象的尺寸大小。

在计算机图形学中，缩放变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个缩放因子来实现。

缩放因子分别作用于X、Y和Z轴的坐标，从而改变对象在各个轴上的尺寸。

缩放变换公式如下：[x'] = [sx 0 0 0] [x][y'] [0 sy 0 0] [y][z'] [0 0 sz 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，(sx, sy, sz)表示缩放因子。

二维与三维几何关系形的变换与投影几何关系形的变换与投影是数学中的重要内容，它们在二维和三维几何中起着至关重要的作用。

本文将探讨二维和三维几何关系形的变换与投影，并分析它们在实际应用中的意义。

一、二维几何关系形的变换与投影在二维几何中，形的变换是指通过平移、旋转、镜像等操作，改变二维图形的位置、方向和形状。

投影则是指将三维物体在一个平面上的投影结果。

这些变换和投影在计算机图形学、工程绘图等领域中扮演着重要的角色。

首先，平移变换是指将图形沿着指定的方向平行移动一定的距离，而不改变其形状和方向。

平移变换可以用矩阵运算表示。

对于一个二维平面上的点(x, y)，经过平移变换(Tx, Ty)后的坐标可以表示为：Tx = x + aTy = y + b其中a和b分别代表平移的距离。

通过平移变换，我们可以改变二维图形的位置，使其适应不同的要求。

其次，旋转变换是指将图形按照一定中心点旋转一定的角度，使其方向和形状发生变化。

旋转变换同样可以使用矩阵运算表示。

对于一个二维平面上的点(x, y)，经过旋转变换后的坐标可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中θ代表旋转的角度。

通过旋转变换，我们可以改变二维图形的方向，使其具有更灵活的表现形式。

此外，镜像变换是指将图形按照指定的轴线进行对称，使其形状和方向发生反转。

镜像变换同样可以使用矩阵运算表示。

对于一个二维平面上的点(x, y)，经过镜像变换后的坐标可以表示为：x' = xy' = -y通过镜像变换，我们可以在二维图形中实现左右翻转、上下翻转等操作，使其具有更多样的展示效果。

最后，在投影中，我们常用的有平行投影和透视投影两种方式。

平行投影是指将三维物体投影到一个平面上，形成二维图像。

透视投影则是指根据透视原理，将远近物体产生大小不同的投影效果。

这两种投影方式在艺术绘画、建筑设计等领域中被广泛应用。

计算机图形学中的三维变换与投影算法计算机图形学是研究计算机中图形的表示、生成、处理和显示的学科。

在计算机图形学中，三维变换和投影算法是非常重要的技术，它们可以用来对三维物体进行位置、姿态和尺寸的调整，并将其投影到二维画面上。

三维变换是指通过对三维物体的顶点进行一系列变换操作，来改变物体的位置、形状和方向。

常用的三维变换操作包括平移、旋转和缩放。

平移操作改变物体的位置，旋转操作改变物体的方向，而缩放操作改变物体的尺寸。

通过组合不同的变换操作，可以实现复杂的三维物体的变换。

平移是通过将物体的每个顶点按照指定的距离移动来改变物体的位置。

旋转是通过将物体的每个顶点绕着旋转中心按照指定的角度旋转来改变物体的方向。

缩放是通过将物体的每个顶点按照指定的比例因子进行缩放来改变物体的尺寸。

这些变换操作可以通过矩阵运算来进行计算，从而实现对三维物体的变换。

投影是将三维物体投影到二维画面上的操作。

在计算机图形学中，常用的投影算法有平行投影和透视投影。

平行投影是将物体的每个顶点沿着平行于视线的方向进行投影，得到二维画面上的对应点。

透视投影则考虑到物体离视点的距离，并根据投影面和视点的位置关系而调整投影结果。

通过投影操作，可以将三维物体在计算机屏幕上展示出来，从而实现真实感的图形显示。

在实际应用中，三维变换和投影算法被广泛应用于计算机游戏、虚拟现实、计算机辅助设计等领域。

通过三维变换，可以实现物体的动画效果，使得游戏或虚拟现实场景更加逼真。

而通过投影算法，可以实现对物体的观察和测量，帮助设计师更好地进行产品设计和展示。

总结来说，计算机图形学中的三维变换和投影算法是实现三维物体在计算机中显示和操作的关键技术。

通过对物体进行平移、旋转和缩放等变换操作，可以改变物体的位置、方向和尺寸；而通过投影操作，可以将三维物体投影到二维画面上展示出来。

这些技术在计算机游戏、虚拟现实和计算机辅助设计等领域发挥着重要的作用，推动了计算机图形学的发展。