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9-4几种常见的二次曲面

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常用的二次曲面方程及其图形

常用的二次曲面方程及其图形

这些交线都是椭圆。
3） 再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4） 如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2） 当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4） 当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义 图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。

几种二次曲面及其标准方程

几种二次曲面及其标准方程

第九节几种二次曲面及其标准方程
我们把三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面，平面叫一次曲面。

怎样了解三元二次方程所表示的曲面的形状呢？方法之一是用坐标面和平行
于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。

利用截痕法我们讨论了几种特殊的二次曲面。

一、椭球面
当时，表示球心在原点的球面。

二、抛物面
，（椭圆抛物面）
当时，开口朝上；时，开口朝下。

当时，方程表示面上的抛物线绕轴旋转而成的旋转抛物面。

，（双曲抛物面，又称马鞍面）
三、双曲面
单叶双曲面
双叶双曲面
四、锥面
椭圆锥面
当时，方程表示圆锥面. 例1 指出下列方程在空间表示什么曲面？
（1）
（2）
（3）
（4）
解（1）椭球面，半轴分别为。

（2）顶点在，开口朝下的抛物面。

（3）顶点在原点，开口朝上的上半个圆锥。

（4）顶点在，开口朝下的下半个圆锥。

第八节二次曲面

第八节二次曲面

z
(c z1 )
2
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 的截痕
x2 y2 z2 椭球面的伸缩法： 2 2 2 1 a b c
x 2 y2 （1）将xoy面上的椭圆 2 1 2 a b
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)
5 柱面
x 2 y2 2 1 椭圆柱面 2 a b
双曲柱面
抛物柱面 母线平行于 z 轴
x2 y2 2 1 2 a b
x2 a y
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
内容小结
( p, q 同号)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
y x 1
高数A
c
a
x
O
b y
2. 抛物面
x2 y2 (1) 椭圆抛物面 2 2 z a b
x2 由xoz面上的抛物线： 2 z a 2 2 x y z 绕z轴旋转，得一旋转抛物面： 2 a b a 再将其沿y轴方向伸缩 倍： y y, b a
即得椭圆抛物面：
x2 y2 z 2 p 2q ( p , q 同号)

结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩 倍而得到平面曲线C´的平面方程为： y F ( x, ) 0

高等数学常用二次曲面图形.ppt

高等数学常用二次曲面图形.ppt

围成的图形如下：
y 0,
y2
12024/9/27
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
z x2 y2 , z x2 y2
22024/9/27
图31：由 z x2 y2 , x2 y2 1, z 0
围成的图形：
图32： 32024/9/27
图14：函数 函
z
1 ey
cos x yey
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 ey cos x yey
图15： 62024/9/27
抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
图16： 72024/9/27
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 在
点
3 a, 3
x2 y2 2x
02024/9/27
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
12024/9/27
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
图41： 22024/9/27
62024/9/27
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
图2： 72024/9/27
（2）、曲线
xyz 1
y
21
处的切线
图3： 82024/9/27
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
图46：曲线 x2 y2 z2 1 y z 0
的图形如下：

几种常见的二次曲面共36页文档

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几种常见的ห้องสมุดไป่ตู้次曲面
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5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴

常用的二次曲面方程及其图形

常用的二次曲面方程及其图形

双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
具体步骤：
1） 列出平面曲线（母线）方程，比如
f (x0 , y0 ) 0
2） 旋转，根据旋转曲面与平面方程（母线）的关系，列 出空间旋转曲面等式 3） 当 z 0 =z，带入平面曲线方程。
M0 (x0 ,0, z0 )
M (x, y,z)
x0 z0 1 a2 c2
2 2
x 2 y 2 x0
图形
标准方程
x2 y 2 1a 0，b 0 a2 b2
y2 x2 1a 0，b 0 a2 b2
F1 c， 0
焦点坐标
a, b, c
F2 c， 0
F1 0， c
F2 0，c
c 2 a 2 b 2 c a 0，c b 0
4）
如果 a=b,那么方程变为：
x2 y2 z2 2 2 1 a2 a c x2 y2 z2 2 1 a2 c
根据旋转曲面的知识：
----------------------（2）
（2）式表示在 xoz 平面上的椭圆
x2 z2 2 1 围绕 z 轴的而行程的 a2 c
旋转曲面，它与一般椭圆球不同之处在于，其用 z= z1 平面截得的平面为一个 圆点在 z 轴上的圆。
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 2 1 a2 b
2）
当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
Z= z1
z1 2 x2 y2 1 a2 b2 c2
-------------椭圆

常见曲面方程

常见曲面方程常见曲面方程曲面是三维空间中的一种图形，它可以用数学方程来描述。

在实际应用中，我们经常需要用到各种曲面方程来建立模型，进行计算和分析。

本文将介绍一些常见的曲面方程及其特点。

一、二次曲面1. 球面球面是以某个点为圆心，在空间中任意半径的圆所围成的几何体。

它的方程为：$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$$其中 $(a,b,c)$ 是球心坐标，$r$ 是半径。

球面具有以下特点：① 对称性：球面对称于以其圆心为中心的任意平面。

② 等距性：从球心到球面上任意一点的距离都相等。

③ 曲率：球面上任意一点处的曲率半径都相等。

2. 椭球面椭球面是一个类似于椭圆形状的三维几何体。

它的方程为：$$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}+\frac{(z-c)^2}{c^2}=1$$其中 $(a,b,c)$ 是椭球中心坐标，$a,b,c$ 分别是椭球在 $x,y,z$ 轴上的半轴长度。

椭球面具有以下特点：① 对称性：椭球面对称于以其中心为中心的任意平面。

② 等距性：从椭球中心到表面上任意一点的距离都相等。

③ 曲率：椭球面上不同点处的曲率半径不同。

3. 椭圆抛物面椭圆抛物面是一个类似于抛物线形状的三维几何体。

它的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$$其中 $a,b$ 分别是抛物线在 $x,y$ 轴上的半轴长度。

椭圆抛物面具有以下特点：① 对称性：椭圆抛物面对称于以其顶点为中心的平面，且对称轴与$z$ 轴平行。

② 焦点性质：椭圆抛物线具有焦点性质，即从焦点出发的光线经过反射后汇聚于另一个焦点。

③ 曲率：不同位置处曲率半径不同，但沿着其主轴方向曲率半径相等。

4. 双曲抛物面双曲抛物面是一个类似于双曲线形状的三维几何体。

它的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$$其中 $a,b$ 分别是双曲线在 $x,y$ 轴上的半轴长度。

常见的二次曲面


用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
x2 y2 1, 2 ph 2qh z h.
当h<0时，是实轴与y轴平行的双曲线.
用Oxz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
2 x 2 pz, y 0. 它是以z轴为对称轴，开口朝上的抛物线.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
因此，椭球面介于 a x a .
二、单叶双曲面
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 a b c
所确定的曲面称为单叶双曲面.
(2)
用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截 痕为椭圆
x2 y2 h2 1 2 , 2 2 a b c z h.
当|h|=a时，截痕为一个点；
当|h|<a时为虚椭圆，即无图形. 可见所给图形介于| x | a 的范围内，因此图形为
两支. 常称(a,0,0)和(–a,0,0)为双叶双曲面的顶点.
用Oxz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 z 2 2 2 1, a c y 0.
用平面y=h截所给曲面，得截痕为双曲线
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , a c b y h.
由上述截痕的分析，可画出双叶双曲面的图形.
四、二次锥面
x2 y2 z 2 方程 2 2 0 2 a b c 所确定的曲面称为二次锥面. (4)
五、椭圆抛物面
当|h|<a时，截痕为双曲线.它的实轴平行于y轴， 虚轴平行于z轴.
当|h|>a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，
虚轴平行于y轴.
当|h|=a时，截痕为两条直线
y z y z 0, 0. b c b c

几种常见的二次曲面

注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.

几种常见的二次曲面


④ 当 c=b 时，此时为旋转曲面
x2 a2
y2 c2
z2 c2
1
2020年6月26日星期五
《高等数学》第九章
17
六、双曲面
1、单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
x
当 a=b 时为旋转单叶双曲面。
2020年6月26日星期五
《高等数学》第九章
o y
18
x2 y2 z2 a2 b2 c2 k
第四节 几种常见的二次曲面
一、问题的提出 二、柱面 三、锥面 四、旋转曲面 五、椭球面 六、双曲面 七、抛物面 八、一般的二次曲面 九、小结与思考判断题
2020年6月26日星期五
《高等数学》第九章
1
一、问题的提出 (Introduction)
三元二次方程表示的曲面，称为二次曲面。 如球面 ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 4
27
5)x2 y2 2 x
)z x y
z
)z x y )z x y
z
xo
y
(6)
o x (5)
z y
x
o
y (7)
x
2020年6月26日星期五
《高等数学》第九章
z
o
y
(8)
28
)z x y
11) y x2
z
z
)z x y x y
)
z
(9) o
y
x
z
o
例5 x2 y2 z2 1 是怎样形成的？
4 94
解：是由
xoy :
x y
绕 y 轴转成
或 yoz : z2 y2 1 绕 y 轴转成
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x2 y2 z2 1 2 2 a b
旋转椭球面
x2 z2 y2 2 1 旋转椭球面 2 a b
x2 z2 2 1 2 a b
绕z
x y z 轴转得曲面： a b 旋转单叶双曲面
x2 y2 z2 1 2 2 a b
绕 x 轴转得曲面：
《高等数学》第九章
21
2、 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 2 2 z a b
z o y
x
z xy 也是双曲抛物面。
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
22
八、一般的二次曲面
在研究一般的二次曲面时，要利用坐标变换 将其方程变为标准方程。 1、坐标系的平移
坐标系的平移只改变原点的位置，不改变坐 标轴的方向和单位长度。
z
解：母线平行于 y 轴，准线为
xoz 面上的曲线（抛物线）
x z
o
y
5
x z 的抛物柱面。
2014年6月8日星期日
x
《高等数学》第九章
3）一般地，只含 y, z 而缺 x 的方程 H(y, z)=0
在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱 面，其准线为 yoz 面上的曲线 H ( y, z ) 2、练习题: 下列方程在平面、空间直角坐标系中各表 示什么图形，并画出其草图。
绕x轴 绕y轴
f (x ,
y z )
f ( x z , y )
f ( x, z ) 0 3）zox 面上的曲线C ： y0
绕x轴
绕z轴
2014年6月8日星期日
f (x ,
y z )
f ( x y , z )
12
《高等数学》第九章
例 3 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一 周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫 圆锥面的顶点，两直线的夹角 ( ) 叫圆 锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转 轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥面方程．
解： yoz面上的直线 L的方程为 :
z y cot (0
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
23
设 Oxyz 为原始坐标系，O( x0 , y0 , z0 ) 是空 间一点，将原坐标系原点 O 平移到 O 得新坐标 系 OXYZ 。 Z z 若点P在原坐标系 下的坐标为（x, y, z）， 在新坐标系下的坐标为 o x0 （X, Y, Z），则
o
y
z
(2)
z
x
o
y
x
o
(1)
y
x
o
(4)
y
(3)
27
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
5) x y 2 x
2 2
) z x y




) z x y
z

பைடு நூலகம்
)z x y
z
x
o
z
o
y
(6)
y
z
x
(5)
o
x
2014年6月8日星期日
(7)
用平行于坐标面的平面去截曲面，由所得
截痕来勾画曲面的大体形状及如下一些特性。
1）对称性：关于坐标面，坐标轴
2）存在范围 3）曲面与坐标轴、坐标面的关系
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
2
二、柱面
1、柱面的定义：
一般地，平行于定直线并沿定曲线C移
动的直线L形成的轨迹叫做柱面。 动直线L叫做柱 面的母线，定曲线C 叫做柱面的准线。 C
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
30
思考判断题
指出下列方程在平面解析几何中和空
间解析几何中分别表示什么图形？
() y ;
() y x ;
作业： P40.
() x y ; () x y .
1（1）、8（2、3）
2014年6月8日星期日
的一次项。 解：将方程变形为：
( x 2) 2 y 2 ( z 4 ) 2 1 16 36 16
取平移变换：
X x 2 Y y Z z 4
2014年6月8日星期日
则方程变为：
X2 Y 2 Z2 1 16 36 16
为旋转椭球面
25
《高等数学》第九章
x
z y 0
z
x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
x
o
y
当 a=c 时为旋转双叶双曲面。
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
20
七、抛物面
x y 1、 椭圆抛物面 2 2 z a b
2 2
z
(0,0,0) x
y
a=b 时，成为旋转抛物面。
2014年6月8日星期日
2014年6月8日星期日
旋转双叶双曲面
14
《高等数学》第九章
例5
x2 y2 z2 1 是怎样形成的？ 4 9 4
x y 解：是由 xoy :
z2 y2 或 yoz : 1 4 9
绕 y 轴转成
绕 y 轴转成
z
思考：方程 x 2 y 2 R2 z 表示怎样的曲面？ 1、怎样形成？ 2、什么曲面？
《高等数学》第九章
y
o
y
x
(8)
28
)z
x y
2


) z x y
11) y x
z
z
x y )
z
(9)
x
o
z
y
o
x
(11)
o
y
y
o
x
y
(12)
29
x
2014年6月8日星期日
(10)
《高等数学》第九章
九、小结
二次曲面的识别
旋转曲面的概念及求法 常见的二次曲面
) x
z
) y x
z
) x z
z
x2 y2 4
o
o
y
x
y
o
y
x
x2
y x 1
x
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
6
三、锥面
椭圆锥面：
x2 y2 z2 2 2 0 2 a b c
2 2 2 x y t 不同大小的椭圆： 2 2 2 a b c
2014年6月8日星期日
0
y
x
15
《高等数学》第九章
五、椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
z y x
特殊情形：① 当 a=b=c 时，此时为球面
x y z a
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
16
② 当 a=b 时，此时为旋转曲面 x2 y2 z2 2 2 1 2 a a c
x
P
X
X

Y
O
y
X x x0 Y y y0 Z z z 0
2014年6月8日星期日
x
或
x X x0 y Y y0 zZz 0
坐标系平移时 坐标变换公式
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《高等数学》第九章
x2 y2 z2 例6 用坐标系的平移化去方程 x 2z 1 4 9 4
z
o x y
当 a=b 时为旋转单叶双曲面。
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
18
x y z 2 2 k 2 a b c
k0 k0 k0
2
2
2
z
x
o
y
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
19
2、双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
或者
《高等数学》第九章
31
得 f ( x y , z )
此即为所求旋转曲面的方程。
2014年6月8日星期日
z
d


M
o
M (0, y , z )
1 1 1
f ( y, z ) 0
y
x
10
《高等数学》第九章
注：求旋转曲面的方程的技巧：
f ( y, z ) 0 在曲线C 的方程 的第一个方程 x0
2 2 x y , z 不变，便得曲 中，只要将 y 改成
线C绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程。
同理，曲线C绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的
方程为：
f ( y , x z )
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
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f ( x, y ) 0 2）xoy 面上的曲线C ： z0
《高等数学》第九章
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2、 旋转曲面方程的求法 ： 1）设在
yoz 坐标平面上有一已知曲线C，
f ( y, z ) 0 方程为 x0
把该曲线绕 z 轴旋
转一周，得一个以 z 轴
为轴的旋转曲面。
设M (, y , z) 为曲线C上的任意一点，则有
f ( y , z )
z
o x
y
曲面与平面 z = t 相交，得截痕为不同高度、
特殊情形：当 a = b 时，此时为圆锥面。
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
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四、旋转曲面
1 、定义：以一条平面