离散频谱校正技术

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第二章离散信号频谱的窗谱校正方法

A/2
t
X (f )
A/2
f
T0
-f 0
0
f0
时域波形
傅里叶变换模函数
(c)单频率谐波的时域波形和频谱模函数
xT ( t ) A
Y yK
yK−1
0
T
t
n 0 k-2 k-1 f0 k k+1 k+2
时域波形
离散频谱模函数
(d)单频率谐波离散频谱模函数图2-2 单频率谐波离散频谱的误差产生原因
12
华中理工大学博士学位论文
根据傅氏变换的奇偶性质，当 w( t ) 是实偶函数时，W ( f ) 此时也为实偶函数。又由傅氏变换的时移特性可知（如图2-2b），
F [ wT ( t )] = W ( f ) e − jπ⋅ f ⋅T ........................................................................................(2.4) 设有一周期信号 x ( t ) = ACos ( 2 π ⋅ f 0 ⋅ t + ϕ ) ,则其傅氏变换结果为（如图2-2c）：
∞
F [ x ( t ) ⋅ wT ( t )] =
−∞
∫ x( t ) ⋅ w
T
( t )e − j 2π ⋅ f ⋅t dt .............................................................(2.1)
其中， wT ( t ) 由对称窗 w( t ) 在时间上平移 T / 2 得到，即
函数，其 G ( v ) 是不同的。如果在同样的采样频率和同样的信号分析样本长度的情况下，对加窗信号的频域抽样位置也就确定下来了，由于信号频率 f 0 的位置固定，即信号频域峰值位置固定，则可得不管信号加了何种窗，所产生的频率误差都是一样的。 (2) 幅值校正设窗函数的频谱模函数为W ( f ) ，则图2-4中主瓣函数为∶

离散频谱最优校正方法选择策略的仿真研究

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离散频谱校正方法在诸多领域 (如机械振
动测试 [１] 、谐波检测 [２] 和感应电机转子故障诊
断
[３]
等)有着广泛的应用. 目前,常用的离散频
谱校正方法有: 比值法
不相同, 其中信噪比 (SNR ) 和频率分辨率
(Δf＝fs)是信号环境中影响校正性能的关键
N
[１０]
因素 . 信噪比可以通过信噪比估计方法 [１１]
法的选择策略.该策略以校正方法的性能指标作为最优校正方法选择的主要依据,将校正方
法选择问题转化为优化问题,通过计算优化函数获取选择结果.蒙特卡洛仿真实验的结果表
明,在不同信噪比情况下,经选择策略产生的校正方法与其他４种单一校正方法(相位差法、
比值法、能量重心法和全相位法)相比,校正精准度和实时性均有提高,因此证明了校正方法
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通用的离散频谱相位差校正方法

［!%］频率和相位，这种方法进一步发展成为时移相位差法，平［!"］移的点数是可以选择的；第二种做法是只采样一段时域信
!
（!）
其中，由对称窗 C（在时间上平移 B A " 得到，即 CB（ ! &） ! &））（）（"） CB（ & Z C & R B A " ! ! 设 C（的傅立叶变换为： ! &）［ C（］ D Z E（ ! &） ! *）（*）
%$ "
上式中，必须保证（&&） ,& , & ,! $ !"+ 上面所有推导没有具体利用哪一种窗函数，所以通用的相位差校正方法适用于所有的对称窗函数 % 时域平移相位差法、改变窗长的相位差法实际上分别是通用相位差当 ,& " ! 和 ,! " + 的特例 %
#
通用相位差法的离散频谱校正实现方法
摘要：现有三种离散频谱相位差校正法的基本原理是一致的，通过时移和加不同的对称窗进行两次 ++, 分析，并利用离散频谱对应峰值谱线的相位差以求得频率和相位校正量 - 在此基础上提出了通用离散频谱相位差校正方法：时域平移 . 改变窗长 . 改变窗函数，即第二段时域序列比第一段滞后 / 点，采用不同窗函数对两段时域分别作 0 点和 1 点的 ++, 分析 - 文献［!%］、文献［’］和文献［!!］提出的校正方法是此法改变不同参数的三个特例 - 仿真结果表明，该方法实现方便，精度较高，适合各种对称窗函数，抗噪声能力强关键词：频谱分析；校正；信号处理；相位差 ,0’’!#) 文献标识码： 2 文章编号： %*$"3"!!"（"%%*）%!3%!&"3%& 中图分类号：

频谱校正方法

频谱校正方法
温馨提示：文档内容仅供参考
频谱校正是指对频谱信号进行校正以消除信号中的误差或非线性响应。

下面介绍几种常见的频谱校正方法：
线性插值法：该方法适用于频谱信号中的离散点不均匀分布的情况。

线性插值法通过在频率域上的两个离散点之间线性插值，获得一条直线，从而对频谱信号进行插值。

多项式拟合法：该方法适用于频谱信号中的误差具有一定的规律性。

多项式拟合法通过将原始信号拟合成一个多项式函数，从而对频谱信号进行校正。

傅里叶变换法：该方法适用于频谱信号中的非线性响应较为明显的情况。

傅里叶变换法通过将原始信号进行傅里叶变换，将频域中的非线性响应转换为时域中的线性响应，从而对频谱信号进行校正。

平滑法：该方法适用于频谱信号中存在噪声的情况。

平滑法通过对频谱信号进行平滑处理，从而减少噪声对频谱信号的影响。

需要根据实际情况选择适当的频谱校正方法进行使用。

离散频谱时移相位差校正法

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收稿日期： &"""#"%#&%；修订日期： &""&#",#&) 基金项目：国家自然科学基金资助项目（)""%)",’）；国家教育部高等学校骨干教师资助计划项目（教技司［&"""］ *) 号）作者简介：丁康（!’)%—），男，浙江天台人，教授，硕士（ D#A35;： E=546F C?GH <=GH B4） H
表 . ? - 分别是当 & 取 ./ 点、在没有噪声和加噪声情况下校正前后数据 .// 点和 ./*0 点，对比・从图表中可以得出以下结论：如本例中的 *+:9+12 和 ,:*9:12，这种相位差法对频率、幅值 .）对间隔较远的频率成分，万方数据
图!
两段信号加窗作谱后相位比较
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离散频谱分析误差产生的原因及离散频谱校正技术【建筑工程类独家文档首发】

离散频谱分析误差产生的原因及离散频谱校正技术【建筑工程类独家文档首发】离散频谱校正理论和技术，不知道大家对这个名词熟不熟悉。

近来在声振论坛上看到一些帖子讨论为何经FFT得到的幅值、频率和相位不准的。

其实前面我也发过一篇介绍离散频谱校正的综述性的文章，可能大家都忙，没时间去看，呵呵，这里我就我的理解，把离散频谱分析的误差来源和校正方法做个简单的介绍。

离散频谱分析的误差产生的原因主要来自两方面，一方面是由于时域加窗截断产生的频域连续化，另一方面是由于计算机只能对有限的离散的频率进行计算，也即是频域离散化的结果。

其中，加窗截断的影响使一个无穷长单频率信号在频域对应的一根谱线，变成一个连续谱，以加矩形窗为例，则是变成一个sinc型函数的形状，其峰值对应的频率即为单频信号的频率。

但是由于频域的离散化，我们用FFT计算的频率一般都不会刚好会落在峰值处，这就是我们平时常说的泄露，这时我们就只能把计算得到的峰值谱线对应的频率做为估计的频率，如果以频率分辨率fs/N做归一 (即把频率分辨率看成1)的话，这个估计的频率的最大绝对值误差就是0.5，而幅值误差则依赖于加的窗的类型，由于矩形窗主瓣宽度为2，频谱开状较尖，幅值误差也就大。

至于相位的最大误差则会相应的达到正负90度，已经完全不能用了。

离散频谱校正就是针对这种误差提出的各种校正出实际的频率、幅值和相位的一门理论和技术。

国内现在比较常用的方法有比值(插值)法、能量重心法、FFT FT法和相位差法，都有其各自的特点和优缺点。

这里我给出一个比值校正法的程序供大家一起研究下。

当然，对于多频率成分的信号来说，离散频谱分析的另一个误差是来自于频率之间的相互干涉，这也是由于泄露所引起的，这个误差则主要靠加窗抑制旁瓣和减小频率分辨率、拉大频率间的距离(可通过ZFFT实现)来尽量减小。

%SpectrumCorrect_Test.mclose all;clear all;clc;fs=1024;N=1024;t=(0:N-1)/fs;x=4*cos(2*pi*80*t 30*pi/180) 3*cos(2*pi*150.232*t 80*pi/180)1*cos(2*pi*253.5453*t 240*pi/180);xf=fft(x);xf=xf(1:N/2)/N*2;XfCorrect=SpectrumCorrect(xf,3,1);XfCorrect(:,1)=XfCorrect(:,1)*fs/N;XfCorrectw=hann(N,’periodic’);xfw=fft(x.*w’);xfw=xfw(1:N/2)/N*4;XfCorrectW=SpectrumCorrect(xfw,3,2);XfCorrectW(:,1)=XfCorrectW(:,1)*fs/N;XfCorrectW%离散频谱比值校正法%by yangzj 2007.4.28%%xf为FFT后的复数谱%CorrectNum为校正的谱线条数%即校正最大的CorrectNum条%WindowType为加窗类型%1为矩形窗，2为Hanning窗%%SpectrumCorrect.mfunction XfCorrect=SpectrumCorrect(xf,CorrectNum,WindowType) XfCorrect=zeros(CorrectNum,3);for i=1:CorrectNumA=abs(xf);[Amax,index]=max(A);phmax=angle(xf(index));%比值法%加矩形窗if (WindowType==1)indsecL=A(index-1)>A(index 1);df=indsecL.*A(index-1)./(Amax A(index-1))-(1-indsecL).*A(index 1)./(Amax A(index 1));XfCorrect(i,1)=index-1-df;XfCorrect(i,2)=Amax/sinc(df);XfCorrect(i,3)=(phmax pi*df)*180/pi;xf(index-2:index 2)=zeros(1,5);end%比值法%加Hanning窗if (WindowType==2)indsecL=A(index-1)>A(index 1);df=indsecL.*(2*A(index-1)-Amax)./(AmaxA(index-1))-(1-indsecL).*(2*A(index 1)-Amax)./(Amax A(index 1)); XfCorrect(i,1)=index-1-df;XfCorrect(i,2)=(1-df )*Amax/sinc(df);XfCorrect(i,3)=(phmax pi*df)*180/pi;xf(index-4:index 4)=zeros(1,9);endXfCorrect(i,3)=mod(XfCorrect(i,3),360);XfCorrect(i,3)=XfCorrect(i,3)-(XfCorrect(i,3)>180)*360;end运行结果：XfCorrect =80.0014 4.0016 29.8261150.2333 2.9981 79.7127253.5397 0.9996 -118.7272XfCorrectW =80.0000 4.0000 30.0000150.2320 3.0000 80.0000253.5453 1.0000 -120.0002本文由声振论坛会员yangzj原创，结语：任何一个人，都要必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。

计及负频率的极高频信号离散频谱校正新方法

（基频５，００５０Ｈｚ，近奈奎斯特频０Ｈｚ１ ×５Ｈｚ０）接
号 ”将“ 低频信号” 极高频信号” 极和“ 统称为“ 极端频
率信号” 。该类极端频率信号的共性是负频率成分对
正频率谱峰存在较严重的干涉作用［］５。对这些信
析与校正精度，目前已开展了一些研究，在普适但
性、正精度、算复杂度等方面都有待进一步发展校计
和完善［１引。为此，在文献［，—６针对极低频、５９１］极短
时信号研究的基础上，者针对同样受负频率干涉笔
关键词频谱校正；负频率；Ｂｋｎ窗；高频；端频率；奎斯特Ｍｃｍａ极奈ＴＮ９１６０３９１．；２
中图分类号
如何消除负频率影响，高此类信号的频谱分提
引言
直接从ＦＴ得到的离散频谱，频率、Ｆ其幅值和相位等参数均可能产生较大的误差［。】为降低误差，］
毛育文，涂亚庆，张海涛，肖玮
（勤工程学院信息工程系重庆，０３１后４１１）
摘要
对于机械振动与故障诊断等领域中常见的极高频（近奈奎斯特频率）接信号，传统的离散频谱校正方法存在
＝Ｂａｋｎ窗，据离散频谱的周期性并利用局部ｔｌｍａ：ｃ依
着较大误差，负频率成分干涉严重是影响其频谱分析精度的重要因素。为提高极高频信号的频谱分析与校正精度，

fft算法离散频谱校正

fft算法离散频谱校正FFT（Fast Fourier Transform）算法是一种快速计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）的算法。

它的主要思想是通过对称性将N点的DFT分解为两个N/2点的DFT，再通过重组得到最终结果。

该算法的时间复杂度为O(NlogN)，相较于传统的DFT算法，其计算速度更快，因此广泛应用在信号处理、图像处理、通信等领域中。

离散频谱校正是指在频域中对信号进行处理，以消除或校正频谱中的不良效应。

在进行频域处理时，可能会出现混叠效应（频谱重叠）或频率偏移等问题，这会导致信号的失真或干扰。

离散频谱校正的目的就是通过一系列算法和技术，对频谱进行调整和修正，以恢复信号的原始特性。

离散频谱校正的方法有很多种，下面将简要介绍几种常见的方法。

1. 频谱外插频谱外插是一种常见的频谱校正方法，它通过在频谱中插入一定数量的零值来改变信号的频谱特性。

这样可以使频谱变得更加平滑，并且减小混叠效应。

频谱外插在FFT算法中很容易实现，只需要将原始信号补零到2的幂次方长度即可。

2. 频谱滤波频谱滤波是指通过滤波器对频谱进行处理，以去除或衰减不需要的频率分量。

常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。

滤波器可以选择不同的截止频率、通带宽度和阻带宽度，以满足不同的要求。

3. 频谱修正频谱修正是一种校正频谱幅度和相位的方法。

通常在进行频域分析时，频率响应对于不同频率的信号可能有不同的增益和相位差，这就需要进行补偿和修正。

频谱修正的方法包括经验修正和数学模型修正等，可以根据信号的特性进行选择。

4. 非线性变换非线性变换是一种通过对频谱进行非线性操作，以改变频谱特性的方法。

常见的非线性变换包括幂律变换、对数变换、绝对值变换等。

非线性变换可以改变频谱的动态范围和分辨率，从而提取出信号的细节或增强信号的特征。

5. 频率域插值频率域插值是指通过对频谱进行插值，以增加频率的分辨率或减小频率的间隔。

离散密集频谱细化分析与校正方法研究进展

振　动　与　冲　击第３１卷第２１期ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＶＩＢＲＡＴＩＯＮＡＮＤＳＨＯＣＫＶｏｌ．３１Ｎｏ．２１２０１２　基金项目：国家自然科学基金（６０８７１０９８，６１２７１４４９）；重庆市自然科学基金（ＣＳＴＣ２０１１ＢＡ２０１５）收稿日期：２０１１－０７－１８　修改稿收到日期：２０１１－１１－０４第一作者毛育文男，博士生，１９８２年１１月生离散密集频谱细化分析与校正方法研究进展毛育文，涂亚庆，肖　玮，杨辉跃（后勤工程学院信息工程系，重庆　４０１３１１）摘　要：对近年来频谱校正领域中离散密集频谱细化分析与校正方法的理论研究和发展现状进行了回顾。

根据信号所包含的频率分量的数目，将密集频谱细化分析与校正方法分为两类：一类是包含两个密集频率成分信号的频谱细化方法，另一类是包含三个及以上密集频率成分信号的频谱细化方法。

综合阐明了各种离散密集频谱细化分析与校正方法的基本思想、算法原理、特点及其在工程中的应用。

分析了现有密集频谱细化分析与校正方法的优缺点，并对离散密集频谱细化分析与校正领域的发展前景进行了展望。

关键词：密集频谱；频谱校正；频谱细化；频率细化中图分类号：ＴＮ９１１文献标识码：ＡＡｄｖａｎｃｅｓａｎｄｔｒｅｎｄｓｏｆｓｔｕｄｙｏｎｄｉｓｃｒｅｔｅｉｎｔｅｎｓｉｖｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｓｐｅｃｔｒｕｍｚｏｏｍｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙＭＡＯＹｕｗｅｎ，ＴＵＹａｑｉｎｇ，ＸＩＡＯＷｅｉ，ＹＡＮＧＨｕｉｙｕｅ（ＤｅｐｔｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＬｏｇｉｓｔｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ４０１３１１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｓｔｕｄｙｉｎｇａｎｄｔｈｅｍｏｓｔｒｅｎｔａｄｖａｎｃｅｓｏｆｄｉｓｃｒｅｔｅｉｎｔｅｎｓｉｖｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｓｐｅｃｔｒｕｍｚｏｏｍｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙｗｅｒｅｒｅｖｉｅｗｅｄ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓｉｎｃｌｕｄｅｄｉｎａｓｐｅｃｔｒｕｍ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｗｅｒｅｃｌａｓｓｉｆｉｅｄｉｎｔｏｔｗｏｋｉｎｄｓ．Ｏｎｅｋｉｎｄｏｆｍｅｔｈｏｄｓｄｅａｌｅｄｗｉｔｈｓｐｅｃｔｒａｉｎｃｌｕｄｉｎｇｏｎｌｙｔｗｏｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ，ｔｈｅｏｔｈｅｒｗａｓｒｅｌａｔｅｄｔｏｓｐｅｃｔｒａｉｎｃｌｕｄｉｎｇｍｏｒｅｔｈａｎｔｈｒｅｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ．Ｔｈｅｄｅｔａｉｌｅｄｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓｗｅｒｅｍａｄｅｉｎｖｏｌｖｉｎｇｂａｓｉｃｔｈｅｏｒｙ，ａｌｇｏｒｉｔｈｍｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｅａｃｈｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｄｅｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｔｈｅｃｕｒｒｅｎｔｓｐｅｃｔｒｕｍｚｏｏｍｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｗｅｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ａｎｄｓｏｍｅｆｕｔｕｒｅｓｔｕｄｙｉｎｇｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓｉｎｄｉｓｃｒｅｔｅｉｎｔｅｎｓｉｖｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｓｐｅｃｔｒｕｍｚｏｏｍｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎａｒｅａｗｅｒｅｐｏｉｎｔｅｄｏｕｔ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｎｓｉｖｅｓｐｅｃｔｒｕｍ；ｓｐｅｃｔｒｕｍｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ；ｓｐｅｃｔｒｕｍｚｏｏｍ；ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｚｏｏｍ在数字信号处理领域及大量工程实践中，经常会遇到下述情况：被分析的信号频谱是一种密集型频谱，如电力系统谐波、语音、振动、噪声、心电图、雷达信号等，其频谱图上的频率成分间隔很小，但是频带分布又较宽。

离散频谱梯形窗幅度比值校正法的频率估计

１２０
２１第５第１（第６）０年３ｌ总３期１卷期１
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图3.1.1 窗函数的频谱函数三、离散频谱校正技术经FFT 得到的离散频谱其幅值、相位和频率都可能产生较大的误差。

从理论上分析，加矩形窗时单谐波频率的最大误差可达36.4％，即使加其它窗时，也不能完全消除此影响，如加Hanning 窗时，只进行幅值恢复时的最大误差仍高达15.3%，相位误差更大，高达90度。

目前国内外有四种对幅值谱或功率谱进行校正的方法：第一种方法是离散频谱能量重心校正法，第二种方法是对幅值谱进行校正的比值法，第三种方法是FFT+DFT 谱连续细化分析傅立叶变换法，第四种方法是相位差法，这些方法各有其特点。

在相位差校正法中，有时移法、缩短窗长法和综合法。

1．比值校正法这种方法利用频率归一化后差值为1的主瓣峰顶附近二条谱线的窗谱函数比值，建立一个以校正频率为变量的方程，解出校正频率，进而进行幅值和相位校正。

解方程求校正频率的方法是多样化的，直接导出公式的方法称比值公式法，利用迭代求解的方法称为比值迭代公式法，用搜索求解的方法称比值峰值搜索法。

研究表明，加Hanning 窗的比例校正法精度非常高，频率误差小于0.0001f ∆，幅值误差小于万分之一，相位误差小于1度。

（1）频率校正频率校正即求出主瓣中心的横坐标。

设窗函数的频谱函数为()x f ，()x f 对称于y 轴，见图3.1.1。

对于任一x ，窗谱函数为()x f ，离散频谱为y x ；对于任一()1+x ，窗谱函数为()1+x f ，离散频谱为y x +1，构造v 为间隔为1的两点()x f 、()1+x f 的比值函数，由()x f 、()1+x f 、y x 和y x +1就能求出x 。

由于f(x)的函数表达式为已知，故可构造一函数v F x f x f x y y x x ==+=+()()()11(3.1.1)v 是间隔为1的两点的比值，是x 的函数，对上式解出其反函数：x g v =()(3.1.2)即求解谱线校正量x k x -=∆=∆，这种方法称为比值公式法。

校正频率为：Nf k k f sx )(∆+= (3.1.3)式中，()12/,,2,1,0-=N k k Λ为谱线号，N 为分析点数，s f 为采样频率。

（2）幅值校正设窗函数的频谱模函数为()x f ，主瓣函数为：)(0x x Af y -=(3.1.4)这就是信号频谱与窗函数卷积的结果，式中，A 为真实幅值，对应主瓣中心0x ，现将k y y =，k x =代入式(3.1.4)得：)(0x k Af y k -=(3.1.5)式中k x k -=-0∆，故可解出A 值：A y f k k=()∆ (3.1.6)（3）相位校正谱分析所用窗函数都不是对称于y 轴的，都要向右平移2/N 点，其频谱函数相对于y 轴来说有一个相移因子ei N -ω2，相移角为：πϕk -=(3.1.7)这表明窗函数的相位是线性的(图2.3.2)。

信号频谱函数与窗函数的频谱函数作复卷积时是复数相乘，相位角相加。

由图5.2.3可以看出，频率误差为半个谱线间隔时，相位误差将达到90︒，这说明FFT 的实部与虚部所得到的相位如果不加校正则完全是不能用的。

由频率校正得到谱线校正量后，相位校正量为：∆∆ϕπ=-k(3.1.8)当实部为k R ，虚部为k I 时，真实相位角为θϕ=⎛⎝⎫⎭⎪+-tan 1I R k k ∆ (3.1.9)窗函数都具有相同的相位校正公式。

（4）几种典型窗函数的比值校正 a. 矩形窗的比例公式校正方法矩形窗的定义为：1,,2,1,01)(-==N n n w Λ(3.1.10)其频谱函数为：ωωωω21 )2sin()2sin()(--=N j e N W (3.1.11)k 的取值范围为[-1,+1]区间，当1>>N ，01→N ，所以存在下列简化条件：sin()k N k N ππ≈(3.1.12)由以上简化条件，将归一化频率k Nπω2=，带入(3.1.11)，同时用x 替换k 得其频谱模函数为： f x x x ()sin()=ππ(3.1.13)根据式(3.1.10)和式(3.1.13)构造如下的修正比例函数：xx x x x x x f x f x F v 1)]1(sin[)1( ) sin()1()()(+-=++⋅=+==ππππ(3.1.14)由上式可以求出频率修正量：k vx ∆-=+=11(3.1.15)式(3.1.14)也可以直接变为：xf x x f x ()()()+++=110 (3.1.16)上式表明，在式(3.1.13)所代表的曲线上任取两点p x y 111(,)、p x y 222(,)，当112=-x x 时，两点都在主瓣内，就相当于谱线抽样的情形，见图3.1.2，于是可得矩形窗的重心定理：幅值谱主瓣内两条相邻谱线的重心为主瓣中心，对应的频率为信号的准确频率。

将式(3.1.15)代入式(3.1.6)，可得矩形窗的幅值校正公式：)sin( k ky A k∆∆=ππ(3.1.17)由式(3.1.9)可知矩形窗的相位角ωϕ21-=N ，当N 很大时，221NN ≈-，故仍可用式(3.1.8)和式(3.1.9)进行相位校正。

b. 哈宁(Hanning)窗的比例公式校正方法哈宁窗的定义为：) 2cos()1()(Nna a n w π--= (3.1.18)其频谱函数为：2 22sin22sin 22sin 22sin 212sin 2sin )(ωπωπωπωπωωωωN i eN N N N N N a N a W -⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++---+= (3.1.19)式中5.0=a ，将归一化频率k Nπω2=和式(3.1.12)的简化条件代入式(3.1.19)，并用x 替换k 得其频谱模函数为：221)21( sin )1( )]1( sin[)1( )]1( sin[21 sin )(x x a a x x x x x x a x x ax f --+⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++---+=ππππππππ (3.1.20)式(3.1.20)中，当x →0时，f x a ()→；当x →±1时，21)(ax f -→，其图形如图3.1.3所示，主瓣宽度为4个谱线间隔，(-2，+2)区间为主瓣。

图3.1.2 矩形窗的重心定理令aac 21-=，则式(3.1.20)可写为： f x x x x c x a ()sin ()=⋅+-⋅-ππ 22112将上式代入式(3.1.1)构造如下修正函数：cx cx x x x f x f x F v +++⋅-+=+==22)1(12)1()()((3.1.21)由于哈宁(Hanning)窗5.0=a ，则∞→c ，上式右边第二项为1，这时有：xx x f x f x F v -+=+==12)1()()((3.1.22)解出)(x f 的反函数k v v v g x ∆=+-==12)( (3.1.23)这就是哈宁窗的频率校正函数。

式(3.1.22)也可写成：0)1()2()()1(=+++-x f x x f x(3.1.24)这表明哈宁窗的主瓣函数式(3.1.20)，有如下性质：在曲线上任取两点p x y 111(,)、p x y 222(,)，当两点x 坐标差为1时，将左边点左移一格，右边点右移一格，这时两点的重心在坐标原点，见图3.1.4。

图中的),2(1y x '+和),1(2y x '-点重心在坐标原点，对应到幅值谱中则重心处的频率为信号真实频率，这可称为哈宁窗的重心定理。

将式(3.1.23)代入式(3.1.6)，可得哈宁窗幅值校正公式：k y k k kA )1()sin( 22∆-⋅∆∆=ππ(3.1.25)相位校正同矩形窗。

(5) 仿真计算用计算机产生式(3.1.35)的函数，采样频率为1024Hz ，作1024点FFT 后，频率间隔为1Hz ，单边幅值谱的准确幅值为1，这样便于观察校正误差。

分析结果及校正结果见表图3.1.5、图3.1.6。

()()()()180/307.3852cos 180/204.1632cos 180/102.1432cos ππππππ+++++=t t t t y(3.1.35)当频率间隔较远时，如本例中383.4Hz 这个频率成分，采用哪种窗的校正精度都很高，频率和幅值的误差在0.2％以内，相位误差也较小。

当两频率越靠近，校正精度越差，本例中143.2和163.4Hz 这两个频率相隔20条谱线，频率和幅值的校正误差略有增大，不加窗时已超过0.5％，但加窗后的误差仍在1％以下。

从理论分析，当两个频率的间隔过小，由于主瓣重叠，此方法根本不适用。

2.能量重心校正法图3.1.3 Hanning 窗的频谱函数图3.1.4 Ha nning 窗的重心定理图3.2.2 Hanning 窗谱频率校正图3.2.1 Hanning 窗功率谱模函数(1) 常用窗函数的能量特性以下以Hanning 窗为例，研究频谱分析中窗函数的能量特性。

Hanning 窗的定义为：1,,2,1,0)/2cos(5.05.0)(-=-=N n N n n W Λπ(3.2.1)其频谱模函数为：)1(21)sin()(2x x x x y -⋅=ππ (3.2.2)令功率谱函数)()(2x y x G =，则有：22222)1(4)(sin )(x x x x G -=ππ (3.2.3)如图3.2.1所示。

对任意一确定值x ，)(x G 满足下式：∞==+⋅+∑-=,,1,00)()(Λn i x i x G nni(5.3.1)证：[]22222222222222222)1()(16)(sin )1()(16)(sin 12124)1(1)1(116)(sin )()(1)(4))((sin )()(+--++++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+-++++--+=+⋅+-++=+⋅+∑∑∑-=-=-=x n x n x x n x n x i x i x i x i x i x x i x i x i x i x i x i x G nn i nni nni ππππππππ(3.2.5)显然，当∞→n时，0)()(=+⋅+∑-=nni i x i x G 成立。

(5.3.1)式表明，Hanning 窗离散频谱的能量重心无穷逼近坐标原点。

由于Hanning 窗旁瓣的功率谱值很小，根据其能量重心的特性，若令]5.0,5.0[-∈x 范围内，就可以用主瓣内功率谱值较大的几条谱线精确地求得主瓣的中心坐标。

对于矩形窗、Hamming 窗、Blackman 窗、Blackman-Harris 窗等常用的窗函数而言，当n 足够大时，离散窗谱的能量重心都在原点附近，其数学证明繁琐，在此省去推导过程。

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