18巩固练习_解三角形应用举例_提高

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考点18 解三角形应用举例一、填空题1. (2013·福建高考理科·T13)如图,在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin ∠BAC=3,AB=则BD 的长为 .【解题指南】显然,sin ∠BAC=cos ∠BAD,用余弦定理.【解析】sin ∠22=sin()2+∠BAD π=cos ∠BAD,在△BAD 中,BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos ∠BAD=18+9-2×3=3, 所以【答案】二、解答题2.（2013·重庆高考理科·Ｔ20）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c ++=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）设cos cos A B =，2cos()cos()cos A B ααα++=，求tan α的值．【解题指南】直接利用余弦定理可求出C 的值，由和差公式及C 的值通过化简可求出tan α的值.【解析】（Ⅰ）因为222a b c += 由余弦定理有.22222cos 222-=-=-+=ab ab ab c b a C 故43π=C . （Ⅱ）由题意得.52cos )cos cos sin )(sin cos cos sin (sin 2=--αααααB B A A 因此.52)cos sin )(tan cos sin (tan =--B B A A αα .52)cos sin )(tan cos sin (tan =--B B A A αα .52cos cos )sin(tan sin sin tan 2=++-B A B A B A αα① 因为43π=C ,,4π=+B A 所以22)sin(=+B A 因为,sin sin cos cos )cos(B A B A B A -=+即,22sin sin 523=-B A 解得.10222523sin sin =-=B A 由①得04tan 5tan 2=+-αα,解得1tan =α或4tan =α.3. （2013·重庆高考文科·Ｔ18）在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且a 2=b 2+c 2（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）设为△ABC 的面积,求S+3cosBcosC 的最大值,并指出此时B 的值.【解题指南】直接利用余弦定理可求出A 的值，再利用正弦定理求解S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B 的值.【解析】（Ⅰ）由余弦定理得.23232cos 222-=-=-+=bc bc bc a c b A 又因为π<<A 0,所以.65π=A （Ⅱ）由（Ⅰ）得,21sin =A 又有正弦定理及3=a 得 ,sin sin 3sin sin sin 21sin 21C B C a A B a A bc S =∙∙== 因此,).cos(3)cos cos sin (sin 3cos cos 3C B C B C B C B S -=+=+所以,当C B =,即1212ππ=-=AB 时, 3cos cos S BC +取最大值.34. （2013·山东高考理科·Ｔ17）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+c=6，b=2，cosB =97.（1）求a ，c 的值；（2）求sin （A-B ）的值.【解题指南】（1）先由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=可得到ac 的关系式，再和已知a+c=6联立方程，可得a ，c 的值；（2）由()B A B A B A sin cos cos sin sin -=-知，需先求出sinA,sinB,cosA,cosB 的值，可先利用同角三角函数基本关系式求出sinB,然后由正弦定理求出sinA ，进而求得cosA ，从而本题得解.【解析】（1）由与余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=，得()()B ac c a b cos 1222+-+= 又a+c =6，b=2，cosB=97，所以ac =9，解得a =3,c=3.（2）在△ABC 中，924cos 1sin 2=-=B B , 由正弦定理得322sin sin ==b B a A . 因为a=c ，所以A 为锐角. 所以31sin 1cos 2=-=A A .因此()272109243197322sin cos cos sin sin =⋅-⋅=-=-B A B A B A . 5.（2013·福建高考文科·Ｔ21）如图,在等腰直角OPQ ∆中,90∠=POQ , OP =点M 在线段PQ 上.（I ）若OM =求PM 的长;（II ）若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值.【解题指南】由等腰知45P ∠=，此时，OPM ∆可解；第(II)问,按“求什么设什么”列式求解，将面积表达式写出，利用三角函数计算公式求解。

【巩固练习】一、选择题1．如果三条线段的比是：①1:3:4；②1:2:3；③1:4:6；④3:3:6；⑤6:6:10；⑥3:4:5，其中可构成三角形的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2015•北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（）A．内心B．外心C．中心D．重心3．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为 ( )A．2个 B．4个 C．6个 D．8个4．如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在边AB上的点E处，那么折痕(线段AD)是△ABC 的( )A．中线 B．角平分线 C．高 D．既是中线，又是角平分线5．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是 ( )A．在△ABC中，AC是BC边上的高B．在△BCD中，DE是BC边上的高C．在△ABE中，DE是BE边上的高D．在△ACD中，AD是CD边上的高6．用3cm、5cm、7cm、9cm、11cm的五根木棒可组成不同的三角形的个数是 ( ) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个7．给出下列图形：其中具有稳定性的是( )A．① B．③ C．②③ D．②③④8．(台湾全区)如图所示为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为214平方公分，则此方格纸的面积为( )平方公分A ．11B ．12C ．13D ．149．(四川绵阳)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再订上几根木条?( )A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根二、填空题10．若a 、b 、c 表示△ABC 的三边长，则|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|＝________．11．三角形的两边长分别为5 cm 和12 cm ，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________．12．一个三角形中最少有 个锐角，最多有 个钝角．13．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的任意一点，AH⊥BC 于H ，图中以AH 为高的三角形的个数为______个．14.在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值(结果用n 表示)，设计了如图所示的几何图形．请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +＝________．15．（2015•朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 ．16．如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，使AB 固定，转动AD ，当∠DAB＝_____时，四边形ABCD 的面积最大，最大值是________．三、解答题17.（2015秋•潮南区期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．18．取一张正方形纸片，把它裁成两个等腰直角三角形，取出其中一张如图①，再沿着直角边上的中线AD按图②所示折叠，则AB与DC相交于点G．试问：△AGC和△BGD的面积哪个大?为什么?19．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，（1）求∠BAC的度数．（2）△ABC是什么三角形．20．如图，一个四边形木框，四边长分别为AB＝8cm，BC＝6cm，CD＝4cm．AD＝5cm，它的形状是不稳定的，求AC和BD的取值范围．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B；【解析】根据两边之和大于第三边：⑤⑥满足.2. 【答案】D .3. 【答案】B；【解析】5+9＝14，所以第三边长应为偶数，大于4而小于14的偶数有4个，所以4. 【答案】B；【解析】折叠前后的图形完全相同.5. 【答案】C；【解析】三角形高的定义.6. 【答案】C；【解析】从这些数据中任取三个，并且满足三角形三边关系的有7种:3，5与7、3，7与9、3，9与11、5，7与9、5，7与11、7，9与11、5,9与11.7. 【答案】C ；【解析】均是由三角形构成的图形，具有稳定性. 8. 【答案】B ；【解析】设每个小正方形的边长为a ，则有16a 2－4 a×2 a÷2－3 a×2 a÷2－4 a×a÷2＝214，解得a 2＝34，而整个方格纸的面积为16a 2＝12（平方公分）. 9. 【答案】B ； 二、填空题10. 【答案】a b c ++；【解析】根据三角形的三边关系可以去掉绝对值，再对原式进行化简． 11.【答案】29cm ； 12.【答案】2；1； 13.【答案】6； 14．【答案】112n -； 【答案】解：如图所示，设大三角形的面积为1，然后不断地按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++ (1)2n +表示组成面积为1的大三角形的n 个小三角形的面积之和，因此23411112222++++ (1)2n+＝112n -．15.【答案】8．【解析】设第三边长为x ，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x ＜3+2，即：1＜x ＜5， ∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为2+3+3=8，故答案为：8．16.【答案】90°， 48 cm 2； 三、解答题 17.【解析】解：设∠1=∠2=x ，则∠3=∠4=2x ． 因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°， 所以x=39°；所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°． 18.【解析】解：∵ BD＝CD ，∴ ABD ACD S S =△△． ∴ ABD ADG ACD ADG S S S S -=-△△△△． ∴ ADG BGD S S =△△． 19.【解析】解：（1）当高AD在△ABC的内部时(如图(1))．因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°．当高AD在△ABC的外部时(如图(2))．因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°．综上可知∠BAC的度数为90°或50°．（2）如图(1)，当AD在△ABC的内部时，因为∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°，所以△ABC是直角三角形．如图(2)，当AD在△ABC的外部时，因为∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°，∠ABC＝90°-∠BAD＝90°-70°＝20°，所以∠ACB＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-50°-20°＝110°．所以△ABC为钝角三角形．综上可知，△ABC是直角三角形或钝角三角形．20.【解析】：解：连接AC，在△ADC中，1cm＜AC＜9cm；在△ABC中2cm＜AC＜14cm，综合这两个取值范围，所以 2cm＜AC＜9cm；连接BD，在△ABD中3cm＜BD＜13cm；在△BCD中2cm＜BD＜10cm，所以综合这两个取值范围，3cm＜BD＜10cm.。

【巩固练习】一、选择题1．在ABC ∆中，已知=4a ，6b =，C =120°，则sin A ＝( )A B C D2．设a ，b ，c 为ABC ∆的三条边长，且关于x 的方程22()10a bc x +++=有两个相等的实数根，则A 的大小是( )A ． 120°B ．90°C ．60°D ．30°3．ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，2ABC S =△，则ABC ∆外接圆的直径为( )A ．B ．5C ．D ．4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a 、b ，c ．若∠C ＝120°，c =，则( )A ．b >cB ．b <cC ．b =cD ．a 与b 的大小关系不能确定5．已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ＝4，b +c ＝5，tan tan tan B C B C +=，则ABC ∆的面积为( )A B ． C D ．34 6．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°处，灯塔B 在观察站C 南偏东30°处，则两灯塔A 、B 间的距离为 ( )A ．400米B ．500米C ．800米D ．700米7．已知ABC ∆中，2222sin()sin()c b C B c b C B ++=--，那么ABC ∆的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a 、b ，c ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A ．725B ．725-C ．725±D ．2425二、填空题9． 在ABC ∆中，已知a =1cos 3C =，ABC S =△b ＝________．10．在ABC ∆中，已知sin A :sin B ，22c b =，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________．11．要测量对岸A ，B 的C D 、两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A 、B 之间的距离为________．12. 下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？【题】在ABC ∆中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是（ ）A.()2,+∞B.（0，2）C.(2,D.)2【解法1】ABC ∆有两解，sin a B b a <<，sin 2x x <<, 即2x << 故选C.【解法2】,sin sin abA B = sin sin 452sin .24a Bx A b ===ABC ∆有两解，sin a B b a <<， 22,4x ⨯<< 即0<x <2, 故选B.你认为 是正确的（填“解法1”或“解法2”）.三、解答题13．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a 、b ，c ，已知cos()cos 12A C B a c -+＝，＝，求C ．14. 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？15. 设ABC ∆是锐角三角形，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，并且22sin sin sin sin 33A B B B ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ． (1)求角A 的值；(2)若12ABAC =，a =b ，c （其中b <c )．【答案与解析】1．【答案】 A【解析】2222cos 76c a b ab C =+-=，c =或c =-（舍去），又sin sin c a C A=，4sin A =，∴ sin A = 2．【答案】C【解析】 ∵ △＝4(b 2+C 2)-4(a 2+bc)＝0，∴ b 2+c 2-a 2＝bc ，∴ 2cosA ＝1，∴ A ＝60°．3．【答案】C【解析】 ∵ 1s i n 22ABC S ac B ==△，∴ c = 由余弦定理，得2222cos 25b a c ac B =+-=，所以b ＝5或b ＝-5(舍去)．由正弦定理，得2sin b R B ==为△ABC 外接圆的半径)，故选C ． 4．【答案】A【解析】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，又∠C ＝120°，c =，∴ 2222a a b a b =++，∴ 222a b a b b =+>，∴ a b >，故选A ．5．【答案】C【解析】∵ t a n a n 33tB BC +=，tan tan tan()1tan tan B C B C B C++=-，∴ t a n ()3B C += B+C ＝120°，A ＝60°． ∵ 2222c o s a b c b A =+-，而5b c +=， ∴ 22252b c bc +=-，∴ 16＝25-2bc-2bc cos60°＝25-3bc ，∴ bc ＝3．∴ 1s i n 2ABC S bc A ==△． 6．【答案】D【解析】由题意知∠ACB ＝120°，AC ＝300米，BC ＝500米，在△ABC 中，cos AB BC ACB =∠=＝700(米)．故选D ．7．【答案】D【解析】 由已知条件及正弦定理得2222sin sin sin()sin sin sin()C B C B C B C B ++=-- sin cos cos sin sin cos cos sin C B C B C B C B+=-， ∴ 3223s i n c o s s i n c o s s i n s i n s i n c o s c o s s i n C B C C B C B B C B +-- 3223sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin C B C C B B C B C B =-+-，∴ sin2C ＝sin2B ．又由题设可知，B≠C ，．∴ 2C ＝π－2B ，∴ 2B C π+=．∴ △ABC 为直角三角形．8．【答案】A【解析】由正弦定理得sin sin b c B C =，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得85sin sin 2b b B B=， 化简得815sin 2sin cos B B B=，则4cos 5B =． 所以2247cos cos 22cos 121525C B B ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭，故选A ． 9．【答案】【解析】sin 3C ==，1sin 2ABC S ba C =△， ∴2sin ABC S b a C==△ 10．【答案】 45°，30°，105°【解析】由已知条件可得a =，又∵ 2222c o s a b c b A =+-， ∴ 22222c o s b b c b c A =+-，又22c b =， ∴c o s 2A =，A ＝45°，1sin 2B =，B ＝30°，∴C ＝105°． 11．【解析】 如下图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°．∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴ AC ＝CD．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，∴2BC == △ABC 中，由余弦定理，得2222cos75AB=+-⎝⎭°325=+．∴AB=．∴A、B．12. 【答案】解法1【解析】已知a，b和B，用正弦定理求A时出现两解得情况是a sin B<b<a，而不是b sin A<a<b.13．【解析】由B＝π－(A+C)，得cos B＝-cos(A+C)．于是cos(A-C)+cos B＝cos(A-C)-cos(A+C)＝2sin A sin C，由已知得sinA sin C＝12．①又由a＝2c及正弦定理得sin A＝2sin C．②由①、②得21sin4C=，于是1sin2C=-(舍去)或1sin2C=．又a＝2c，所以6Cπ=．14. 【解析】解法一：设相遇时小艇航行的距离为S海里，则3020cos(90S t=-°400==．故当13t=时，minS=此时13v==即小艇以330海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在Rt△OAC中，20cos3010OC==AC ＝20 sin30°＝10．又AC ＝30t ，OC ＝vt ．此时，轮船航行时间313010==t ． 33031310==v ． 即，小艇以330海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．15．【解析 】(1)因为2211sin sin sin sin 2222A B B B B B ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222313cos sin sin 444B B B =-+=，所以sin A =．又因为△ABC 为锐角三角形，所以3A π=． (2)由12ABAC =可得cos 12cb A =． 由(1)知3A π=，所以cb ＝24． ②由余弦定理知2222cos a c b cb A =+-，将a =2252c b +=， ③③+②×2，得2()100c b +=，所以c+b ＝10或c+b ＝-10(舍去)．因此，c ，b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根．解此方程并由c ＞b 知c ＝6，b ＝4．。

解三角形及其应用一、解三角知识点分析总结1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba 。

2．斜三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． （3）余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-． 余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=． 3．三角形面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； （3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A B A c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。

《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n-条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.（2016•长沙模拟）一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a的值可能是( )．A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.【答案】B【解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6,∴21 219 aa-⎧⎨-⎩＞3＜解得：2＜a＜5，则整数a的值可能是3,4，故选B.【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键. 举一反三：【变式】（2014秋•孝感月考）已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．【答案】解：∵a、b、c是三角形三边长，∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b．2.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【高清课堂：与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.（2015春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BAC（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EP F=是否成立，并说明理由．【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出∠1的度数，进而得到∠3的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3计算即可．【答案与解析】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，∴∠1==36°，∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，∴∠2=90°，∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．（2）成立．如图2，∵AE平分∠BAC，∴∠1===90°﹣，∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又∵PF⊥BC于F，∴∠2=90°，∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．【总结升华】本题考查了三角形的内角以及角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．举一反三：【高清课堂：与三角形有关的角练习（3）】【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。

【巩固练习】 一、选择题1．已知ABC ∆中，a =b =，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45° D ．30° 2．ABC ∆中，已知2()()a c a c b bc +-+＝，则角A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 3.在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 4．在ABC ∆中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则ABC ∆的面积S 的值是 ( )A B 1 C ．11)2 D ．5． 在ABC ∆中，60A ∠=，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b c 、，且)cos cos c A a C -=，则cos A 的值等于( )A B C D 7．在ABC ∆中，若(cos )sin (cos )sin a a B B b c C A -=-，则这个三角形是( ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8. 在斜三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b c 、，且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--，则角A 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．45°或90°D ．120°二、填空题9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边a 、b c 、．若)cos cos c A a C -=，则cos A ＝________．10. 已知ABC ∆,则其最大角的余弦值为_________.11. 在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于_________，AC 的取值范围为 _________ 12. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是_____①若2ab c >;则3C <π②若2a b c +>;则3C <π③若333a b c +=;则2C <π④若()2a b c ab +<;则2C >π⑤若22222()2a b c a b +<;则3C >π三、解答题13．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2．BC ＝6，CD DA =＝4，求四边形ABCD 的面积．14. 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？15. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且s i n c o s 3c o s s i n ,AC A C =求b【答案与解析】1．【答案】 C【解析】由正弦定理sin sin a bA B==，可得sin A =，又a b =<=A ＜B ，所以A ＝45°． 2．【答案】C【解析】由(a+c )(a -c )＝b 2+bc ，得222a c b bc -=+，即222b c a bc +-=-，故2221cos 22b c a A bc +-==-，又因为0°＜A ＜180°，所以A ＝120°．3.【答案】C【解析】∵sin 2A+sin 2B ＜sin 2C ，由正弦定理可得，a 2+b 2＜c 2，由余弦定理可得cos 0C < ∴△ABC 是钝角三角形，故选C 4. 【答案】B【解析】 由正弦定理得sin sin a b A B =，所以sin 2sin105sin sin30a B b A ===°°∴ 11sin 2sin 45122S ab C ==⨯⨯⨯=°．5. 【答案】A【解析】因为60A ∠=，A 为锐角，又sin b A a =>=ABC ∆无解. 6．【答案】B【解析】由正弦定理得sin )cos sin cos B C A A C -=，∴s i nc o ss i n B A B =，∵ s i n 0B ≠，∴ c o sA =，故选B ． 7．【答案】D【解析】由正弦定理得sin sin a B b A =．故sin cos sin cos a B B c A C =， sin sin cos sin sin cos A B B C A C =，∴ sin2B ＝sin2C ，故B ＝C 或2B ＝π－2C ，即2B C +=π．∴ 这个三角形为直角三角形或等腰三角形． 8.【答案】A【解析】∵ 2222cos ,b a c B ac--=-cos()2cos ,sin cos sin 2A C BA A A +=-又∵ 222cos()sin cos b a c A C ac A A --+=， ∴ 2cos 2cos ,sin 2BB A--=而ABC ∆为斜三角形，∵cosB 0≠，∴sin2A=1. ∵(0,)A π∈，∴2,24A A ππ==. 故选A ．9．【答案【解析】由)cos cos c A a C -=，得222222)22b c a a b c c abc ab+-+--=，即2222b c a bc +-=cos A =．10.【答案】【解析】设最小边为a ,,2a ,由余弦定理得,最大角的余弦值为cos =α11. 【答案】2；【解析】: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故23045cos θθ<<⇒<<，2cos AC ∴=∈θ 12.【答案】①②③【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab +-->⇒=>=⇒<π②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab +-+-++>⇒=>≥⇒<π③当2C ≥π时,22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得:2C <π⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得:3C <π13．【解析 】 如下图，连结BD ，则四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD CBD S S S AB AD A BD DC C =+=+△△．∵ A+C ＝180°， ∴ sinA ＝sinC ．∴ 1()s i n 16s i n2S A BA DBCD C A A =+=． 在△ABD 中，由余弦定理得，22224224cos BD A =+-⨯⨯ 同理，在△CBD 中，25248cos BD C =-， ∴ 20－16cosA ＝52－48cos C ．∵ cos C ＝－cos A ，∴ 1c o s 2A =-，∴ A ＝120°． ∴ S ＝16 sinA＝14.【解析】由题意知5(3AB =+（海里），∠DBA ＝90°-60°＝30°， ∠DAB ＝90°-45°＝45°，∴ ∠ADB ＝180°-(45°+30°)＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理得sin sin DB ABDAB ADB=∠∠， ∴ s i n 5(33)s i n 45s i n A B D A B DB ADB ∠+==∠°sin 45cos 45sin =°°103=（海里）， 又∠DBC ＝∠DBA+∠ABC ＝30°+(90°-60°)＝60°，BC =，在△DBC 中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-∠1300120029002=+-⨯=， ∴ CD ＝30（海里），则需要的时间30130t ==（小时）． 答：救援船到达D 点需要1小时．15.【解析】解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 解法二：由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。

数学高三复习解三角形的实际应用举例专项训练（带答案）由不在同不时线上的三条线段首尾依次衔接所组成的封锁图形叫做三角形，下面是查字典数学网整理的解三角形的实践运用举例专项训练，希望对考生温习有协助。

一、测量中的距离效果1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60,在不改动坡高和坡顶的前提下,经过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,那么坡底要延伸的长度(单位:m)是()A.5B.5C.10D.10答案:D解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,ACB=60.AB=5,BC=5,在Rt△A BD中,ADB=30,BD=15.CD=BD-BC=10.2.(2021福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东飞行,船在A处看到灯塔B在北偏东60行驶4 h后,船抵达C处,看到灯塔B在北偏东15处,这时船与灯塔的距离为km.答案:30解析:依据题意画出图形,如下图,可得B=75-30=45,在△ABC中,依据正弦定理得,,即,BC=30 km,即此时船与灯塔的距离为30 km.3.(2021福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20,一条蜿蜒公路AB,其中B在A城南偏东40,B与C相距31千米.有一人从B动身沿公路向A城走去,走了20千米后抵达D处,此时C,D之间的距离为21千米,那么A,C之间的距离是千米.答案:24解析:由得CD=21,BC=31,BD=20,在△BCD中,由余弦定理得cosBDC==-.设ADC=,那么cos =,sin =.在△ACD中,由正弦定理,得AC==24.二、测量中的高度与角度效果4.如图,D,C,B三点在空中同不时线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角区分是,(),那么A点距离空中的高度AB等于() A. B.C. D.答案:A解析:在△ACD中,DAC=-,DC=a,ADC=,由正弦定理得AC=,在Rt△ACB中,AB=ACsin =.5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角区分为60和30,第一排和最后一排的距离为10 m(如下图),那么旗杆的高A.10 mB.30 mC.10 mD.10 m答案:B解析:如下图,由题意知AEC=45ACE=180-60-15=105,EAC=180-45-105=30,由正弦定理知,AC==20(m),在Rt△ABC中,AB=ACsinACB=30(m).旗杆的高度为30 m.6.当甲船位于A处时得知,在其正西方向相距20 n mile的B 处有一艘渔船遇险等候营救,甲船立刻前往营救,同时把音讯告知在甲船的南偏西30,相距10 n mile C处的乙船,乙船立刻朝北偏东角的方向沿直线前往B处救援,那么sin 的值等于()A. B. C. D.答案:D解析:依据标题条件可作图如图:在△ABC中,AB=20,AC=10,CAB=120,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=202+102-22021cos 120=700, BC=10.再由正弦定理得,sinACB=无触礁的风险.8.如图,在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时辰测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)假定该船不改动飞行方向继续行驶,判别它能否会进入警戒水域,并说明理由.解:(1)由于AB=40,AC=10,BAC=,sin =,090,所以cos =.由余弦定理得BC==10,所以该船的行驶速度为v==15(海里/小时).(2)设直线AE与BC的延伸线相交于点Q.在△ABC中,由余弦定理得cosABC=所以sinABC=.在△ABQ中,由正弦定理得AQ==40.由于AE=5540=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P,那么EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中,PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin(45ABC)=15=37.故该船会进入警戒水域.(建议用时:30分钟)1.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A 在观察站C的北偏东40,灯塔B在观察站C的南偏东60,那么灯塔A在灯塔B的()的位置.A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10答案:B解析:由图可知,ACB=180-(40+60)=80.又AC=BC,CBA=(180-80)=50.∵CE∥BD,CBD=BCE=60,ABD=60-50=10.灯塔A在灯塔B的北偏西10的位置.2.如下图,为测一树的高度,在空中上选取A,B两点(点A,B 与树根部在同不时线上),从A,B两点区分测得树尖的仰角为30,45,且A,B两点之间的距离为60 m,那么树的高度为()A.(30+30) mB.(30+15) mC.(15+30) mD.(15+3) m答案:A解析:设树高为h,那么由题意得h-h=60,h==30(+1)=(30+30)(m).3.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30,之后它以32 n mile/h的速度继续沿正南方向匀速飞行,上午10:00抵达B处,此时测得船与灯塔S相距8 n mile,那么灯塔S在B处的()A.北偏东75B.东偏南75C.北偏东75或东偏南75D.以上方位都不对答案:C解析:依据题意画出表示图,如图,由题意可知AB=32=16,BS=8,A=30.在△ABS中,由正弦定理得,sin S=,S=45或135,B=105或15,即灯塔S在B处的北偏东75或东偏南75.4.一货轮飞行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30的方向飞行3 h后,又测得灯塔在货轮的西南方向,那么货轮的速度为()A.) n mile/hB.) n mile/hC.) n mile/hD.) n mile/h答案:B解析:如图,设货轮的时速为v,那么在△AMS中,AMS=45SAM=105ASM=30,SM=20,AM=3v.由正弦定理得,即v==)(n mile/h).解三角形的实践运用举例专项训练分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。

人教版2021年中考数数学阶段复习巩固与提升微专题《解直角三角形》（实际问题专练）一．选择题。

1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是( )第1题图第2题图第3题图A.斜坡AB的坡度是10°B.斜坡AB的坡度是tan 10°米C.AC=1.2tan 10°米D.AB=1.2cos10°2.如图所示,河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°,堤高BC=5 m,则坡面AB的长度是( )A.10 mB.10√3 mC.15 mD.5 m3. 如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°,看这栋楼底部C处的俯角为60°,热气球A处与楼的水平距离为120m,则这栋楼的高度为 ( )A.160√3mB.120√3mC.300mD.160√2m4.如图,某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点,B在O点的正东方,且在A的正南方,则此时AB间的距离是( )第4题图第5题图第6题图A.10米B.10√3米C.10√2米D.20√3米35. 如图,为固定电线杆AC,在离地面高度为6m的A处引拉线AB,使拉线AB与地面上的BC的夹角为48°,则拉线AB的长度约为( )(结果精确到0.1m,参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)A.6.7mB.7.2mC.8.1mD.9.0m6. 轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是( )A.25√3海里B.25√2海里C.50海里D.25海里7.如图所示的是一垂钓示意图,其中钓鱼竿AC长6 m,露在水面上的鱼线BC长3√2 m,垂钓者想看鱼上钓的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为3√3 cm,鱼竿转过的角度是( )第7题图第9题图第10题图A.60°B.45°C.15°D.90°8. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量.如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,√3≈1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为( )A.47mB.51mC.53mD.54m9.如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5 m,则大树的高度为m(结果保留根号).10. 如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为米.11.如图,长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的为.第11题图第12题图第13题图第14题图12.某节目组预设计一个新游戏:如图所示,奔跑路线A、B、C、D四地,如图A、B、C三地在同一直线上,D在A的北偏东30°方向,在C的北偏西45°方向,C 在A北偏东75°方向,且BD=BC=40 m,从A地到D地的距离是m.13. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝.14. 全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外.如图,张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′,测得塑像顶部A处的仰角为45°,点D在观测点C正下方城墙底的地面上,若CD=10米,则此塑像的高AB约为米(参考数据:tan78°12′≈4.8).15.如图,某中学数学课外学习小组想测量教学楼DC的高度,组员小方在A处仰望教学楼顶端D处,测得∠DAC=α,小方接着向教学楼方向前进到B处,测得∠DBC=2α,已知∠DCA=90°,AC=24 m,tan α=12.(1)求教学楼CD的高度;(2)求cos∠DBC的值.16.如图,河的两岸l1与l2相互平行,A,B是l1上的两点,C,D是l2上的两点,某人在点A处测得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得∠DEB=60°,求C,D两点间的距离.17.如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求坡底C点到大楼距离AC的值；(2)求斜坡CD的长度．18.保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm,图1是一位同学的坐姿,把他的眼睛B,肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC,已知BC=30cm,AC=22cm,∠ACB=53°,他的这种坐姿符合保护视力的要求吗?请说明理由.(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.3)19.图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同(即AB＝CD)，将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离(结果保留一位小数)．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，2≈1.4)20如图,某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶.已知台阶总高1.5米,为了安全现要做一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D,C),且∠DAB=66.5°.(参考数据:cos66.5°≈0.40,sin66.5°≈0.92)(1)求点D与点C的高度差DH.(2)求所有不锈钢材料的总长度(即AD+AB+BC的长,结果精确到0.1米).21.太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业,如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同,均为300cm,AB的倾斜角为30°,BE=CA=50cm,支撑角钢CD,EF与底座地基台面接触点分别为D,F,CD 垂直于地面,FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D,F到地面的垂直距离相同),均为30cm,点A到地面的垂直距离为50cm,求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm(结果保留根号).。

《解三角形》全章知识复习与巩固 编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 通过对任意三角形边长和角度关系的度量，掌握正弦定理、余弦定理，并能解一些简单的三角形；2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的几何计算问题及相关的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】 要点一：正弦定理△ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b cA B C==要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径）. （2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角与一边，求其它；②已知两边与一边的对角，求其它. （3）在“已知两边与一边的对角，求其它”的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二：余弦定理 在△ABC 中，2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.变形为：222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=， 222cos 2a b c C ab+-=. 要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角；②已知两边和一边的对角，求其它；③已知两边和夹角，求其它.（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别.（3）正、余弦定理可以结合使用. 要点三：三角形的面积公式(1) 111222a b c S ah bh ch ===，其中,,a b c h h h 分别为,,a b c 边上的高；(2) 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===；(3) S =2a b cp ++=. 要点四：三角形形状的判定方法设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ， 1. 解斜三角形的主要依据（1）角与角关系：由于A B C ++=π，由诱导公式可知， ()()()sin sin sin sin sin sin .A B C B C A A C B +=+=+=，， ()()()cos cos cos cos cos cos .A B C B C A A C B +=+=-+=-，， ； ()()()tan tan tan tan tan tan .A B C B C A A C B +=+=-+=-，，sincos ,cos sin 2222A B C A B C++==. （2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）边与角关系：正弦定理、余弦定理 2. 常用两种途径（1）由正余弦定理将边转化为角； （2）由正余弦定理将角转化为边. 3. 几种常见的判断方法（1）若sin sin A B =，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sin 2sin 2A B =，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形； （3）若()sin 0A B -=，则△ABC 为等腰三角形；（4）若()sin 22=0A B -，则△ABC 为等腰三角形或钝角三角形. 要点诠释：（1）化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.（2）在△ABC 中，熟记并会证明：角A ，B ，C 成等差数列⇔B =60°；△ABC 是正三角形的⇔A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 要点五：解三角形应用举例的分类1. 距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；2. 高度问题（最后都转化为解直角三角形）；3. 角度问题；4. 面积问题. 【典型例题】类型一：求解斜三角形中的基本元素 例1. 在ABC ∆中，2545,10,cos B AC C ∠=︒==. （Ⅰ）求BC 的值；（Ⅱ）若点D 是AB 的中点，求中线CD 的长度.【思路点拨】灵活运用正弦定理和余弦定理：作出图形，先根据条件求出sin A 的值，再由正弦定理求出边BC 和AB 的长度，最后在ABD ∆中由余弦定理求出CD 的长度.【解析】（Ⅰ）如图，由cos C 25，得sin C 5∴sin A =()sin B C +)2cos sin C C +31010. 由正弦定理可得，sin sin ACBC A B =⋅10310232（Ⅱ）ABC ∆中， sin sin ACAB C B =⋅2=. 在BCD ∆中，112BD AB ==，BC=45B ∠=︒， 由余弦定理知CD【总结升华】在求解三角形的基本元素的过程中，注意正弦定理和余弦定理的应用条件，少走弯路. 举一反三：【变式1】在ABC ∆中，若 1 b c =，23C π∠=，则a = .【答案】由正弦定理1sin B =，解得1sin 2B =，又23C π∠=，所以6A ∠=π， 所以a = b = 1【变式2】在ABC ∆中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b =___________.【答案】在ABC ∆中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得2,4,3a b c ===. 故答案为4. 类型二：判断三角形的形状（或求角）例2. 在ABC △中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos cos 2B bC a c=-+． （1）求角B 的度数；（2）若b +5a c ＝，求a 和c 的值．【思路点拨】本题第（2）题是三角形的求值问题，利用第（1）问的结果和余弦定理公式，可得a 和c 的一个方程，再加上条件+5a c ＝，易求出a 和c 的值. 所以本题的关键是解出第（1）题. 需要将题设cos cos 2B bC a c=-+中的边化为角的形式，利用三角的恒等变换求角B . 【解析】（1）因为cos cos 2B b C a c =-+，由正弦定理可知cos sin cos 2sin sin B bC a c=-+， 则sin cos 2cos sin cos sin B C B A B C ＝＋ ．即sin cos cos sin 2cos sin 0B C B C B A ＋＋＝， ∴sin()2cos sin 0B C B A ++＝，∴sin 2cos sin 0A B A +＝． ∵sin 0A >，∴1cos 2B ＝－，所以B ＝120o ．(2) ∵由（1）可知，B ＝120o，由余弦定理可得2222cos120a c ac ︒＝＋－，∴22+=19a c ac ＋．又∵+5a c ＝，可解得=3a ，=2c 或=2a 和=3c .【总结升华】本题中第（1）题也可以将题设转化为边的形式，再化为因式乘积的形式，最后求的角B . 举一反三：【变式1】已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（1）求边AB 的长； （2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．【答案】1；60（1）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（2）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C ⋅⋅=，得13BC AC ⋅=，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅ 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +-⋅-==⋅，所以60C =．【变式2】在ABC △中，若2222(+)sin()()sin(+)a b A B a b A B --＝，请判断ABC △的形状． 【答案】等腰或直角三角形∵2222sin()sin()a b A B a b A B ++--＝，∴2222sin cos sin cos sin sin a A B Ab A B B ＝＝，即cos sin cos sin B A A B ＝，所以sin2sin2A B ＝， ∴ABC △为等腰三角形或直角三角形【变式3】在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、．若(2) cos cos b c A a C －＝，则A ＝_______. 【答案】60︒类型三：解决与面积有关的问题例3. 在ABC △中，角A 、B 、C 分别是边a 、b 、c 的对角.已知,sin()sin()444A b C cB a =+-+=πππ.(1)求证:2B C -=π；(2)若a =ABC △的面积.【解析】(1)证明:由 sin()sin()44b Cc B a +-+=ππ及正弦定理得:sin sin()sin sin()sin 44B C C B A +-+=ππ，即sin )sin )B C C C B B +-整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=，所以sin()1B C -=，又30,4B C <<π 所以2B C -=π(2) 由(1)及34B C +=π可得5,88B C ==ππ，又,4A a ==π 所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8a B a Cbc A A ====ππ，所以三角形ABC 的面积为151sin sin cos 28888242bc A ===πππππ 【总结升华】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查. 【变式1】在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝________由2222cos a b c bc A =+-可得3AC =，故面积1==2S AB AC ⨯.【变式2】．在△ABC 中，已知8,5BC AC ==，三角形面积为12，则cos2C = . 【答案】725三角形面积S =1sin 2BC AC C ⨯⨯，可得3sin =5C ，故2cos212sin C C = =725.类型四：三角形的综合应用例4. 已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=. （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B .【思路点拨】利用条件1m n ⋅=及三角恒等变换求角A ；运用倍角公式，将221sin 2cos sin BB B+-用tan B 表示，从而得到关于tan B 的方程，求解即可..【解析】（Ⅰ）m n ⋅=cos 1A A -=，即12sin cos 12A A ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π.∵50,666A A <<-<-<ππππ， ∴66A -=ππ，∴3A =π. （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B BB B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=， ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=， ∴tan 2B =或tan 1B =-，而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去， ∴tan 2B =，∴()tan tan C A B =-+⎡⎤⎣⎦π()tan A B =-+tan tan 1tan tan A BA B +=--==. 【总结升华】“以向量为背景，考查解三角形”的综合问题是现在考试的趋势和走向，而正确运用向量的有关公式与性质，使之正确的转化为解三角形问题是此类问题的关键. 在这类问题中，经常用到的向量知识有：已知两个非零向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，（1）1122//(0)(,)(,)a b a b b x y x y λλ→→→→→→⇔=≠⇔=； （2）121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=； （3）1212||||cos a b a b a b x x y y ⋅=<>=+，. 举一反三：【变式1】在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =. (1)求证:tan 3tan B A =；(2)若cos C =求A 的值. 【答案】 (1)∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B .由正弦定理，得=sin sin AC BCB A，∴sin cos =3sin cos B A A B . 又∵0<A B <+π，∴cos 0 cos 0A>B>，.∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =.(2)∵ cos 0C <C <=π，∴sin C =.∴tan 2C =. ∴()tan 2A B -+=⎡⎤⎣⎦π，即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=--.由 (1) ，得24tan 213tan A A =--，解得1tan =1 tan =3A A -，.∵cos 0A>，∴tan =1A .∴=4A π.类型五：利用正、余弦定理解决实际问题例5. 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．【思路点拨】首先根据题意利用已知条件确定相关的角度，将问题转化到三角形中，利用余弦定理求出BC 的长度之后，注意到所求角与∠ABC 是互余的关系，将所求cos θ转化为求sin ∠ABC.【解析】如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得：BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos120°＝402＋202－2×40×20×1()2-＝2 800，所以BC ＝7. 由正弦定理得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠， 2020721,sin sin sin12014ABC ABC ∴=∴∠=∠ 故21cos sin 14ABC =∠=θ 【总结升华】本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏西”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式进行求解．举一反三：【高清课堂：解三角形应用举例377493 变式演练3】【变式】如图所示，海中小岛A 的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东030，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东045，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC(或AB)，再算出A 到BC 所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.在ABC ∆中，30BC =，030ABC ∠=，00018045135ACB ∠=-=， ∴015A ∠=，由正弦定理知：sin sin BC AC A B =，∴30sin15sin30AC=︒︒∴30sin3060cos1515(62)sin15AC ︒==︒=︒于是A 到BC 所在直线的距离为sin 4531)40.98AC ⋅︒=≈(海里) 它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.。

3【巩固练习】、选择题1 .已知△ ABC 中，a =J2 , b =J3 , B = 60°,那么角 A 等于(22. △ ABC 中，已知(a+c)( a-c) = b +bc ，则角 A =(3.在^ ABC 中，若 sin 2A+sin 2Bv sin 2。

，则^ ABC 的形状是（C = n，贝y △ ABC 的面积是（3值等于（）C .逅 4D .逅67.在△ ABC 中，若(a-acosB)sin B = (b-ccosC)sin A .底角不等于45°的等腰三角形 B .锐角不等于45°的直角三角形 C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形|AD =(二、填空题8. (2016荆州校级一模）在 ^ABC 中， AB=2, AC=3, N BAC=6O 0, D 为 BC 边上的点且 2BD=DC 则A.2B.C. D.2/35 3A . 135B . 90°C . 45 30°A . 30B . 60C . 120 150°A .锐角三角形B .直角三角形 4. （2016 海南校级二模）在^ ABC 中，内角C .钝角三角形 A , B , C 所对的边分别是a , b ,D .不能确定C ,若 c 2= (a - b)2+ 6,C .3432D .3435.在MBC 中, N A =60,,a = ,b =3，则也ABC 解的情况（A.无解B.有一解C. 有两解D.不能确定6 .在△ ABC 中，角A 、 B 、C 所对的边分别为a 、b 、 c , 且(73b -c) Lcos A =a JcosC ，贝U cosA 的A .砸 2A ，则这个三角形是⑤若(a 2+b 2)c 2cZaV ;则 C三、解答题13.如图，在平面四边形 ABCD 中，AD = 1, CD = 2, AC =U 7,14.如图，A , B 是海面上位于东西方向相距 5+(3 + J 3)海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东45°,B 点北偏西60。