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分析：主要考查两集合之间的关系的判断能力． 解析：A＝{(x，y)|y＝x－1(x≠－1)}． 即集合A的元素是直线y＝x－1上去掉了点(－1，－2)后剩余的 所有点，而集合B的元素是直线y＝x－1(x∈R)图象上所有的点，显 然有A⊆B，而集合A≠B，故有A B，即A是B的真子集．
栏 目 链 (3)补集的几个特殊性质：A∪∁SA＝S，∁SS＝∅，∁S∅＝S，∁S(∁SA) 接
90° 的菱形}；当S＝{矩形}时，∁SA＝{邻边不相等的矩形}．
＝A.
三、重要结论 (1)空集是任何集合的子集． (2)空集是任何非空集合的真子集． (3)任何一个集合都是它自身的子集．
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5．若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集 合 ， 叫 做 A 在 U 中 的 补 集 ， 记作 ∁ UA ，即 ∁ UA ＝ {x|x∈U ， 且 x∉A}． {1,3} 例1：若U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4,5}，则∁UA＝_________.
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(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．
2>－1， a 2 当a<0时，若A⊆B，则 1 －a≤2
⇒a<－4.
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－1≥－1， a 2 当a>0时，若A⊆B，则 2 a≤2
⇒a≥2.
综上可知：此时a的取值范围是{a|a＜－4或a≥2}．
(2)当a＝0时，显然B⊆A.
1．如果集合 A中的每一个元素都是集合 B中的元素，那
么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
例 如 ： A ＝ {0,1,2} ， B ＝ {0,1,2,3} ， 则 A 、 B 的 关 系 是
_____________________________ ． A⊆B(或B⊇A)
2．如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A叫做集合B的真子 集，记作A B或B A.
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C． S
P＝M
D．S
P＝M
变式 训练
解析：∵M＝{x|x＝3(k－1)＋1，k∈Z}，而P＝ {y|y＝3n＋1，n∈Z}，∴M＝P. 而6m＋1＝3×2m＋1∈P，故S P＝M. 答案：C
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题型二
集合中包含关系的应用
例2
1 已知集合A＝{x|0<ax＋1≤3}，集合B＝x－2<x≤2
.
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(1)若A⊆B，求实数a的取值范围； (2)若B⊆A，求实数a的取值范围．
分析：集合A是含有字母的不等式，需要对 a分情况讨论，再 利用有关子集的概念进行运算． 解析：对于集合A： ①若a＝0，则A＝R .
1 2 ②若a>0，则A＝ x －a<x≤a 2 1 ③若a<0，则A＝ x a≤x<－a . .
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点评：判断A是否为B的真子集应严格执行两步：一是A⊆B， 即A的元素全在B中，二是A≠B，即B中至少有一个元素不在A中， 二者缺一不可．
变式 训练
1．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋ 1，n∈Z}，S＝{y|y＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是 ( ) A． S P M B．S＝P M
x|x＞3}, 例2：若U＝{x|x＞0}，A＝{x|0＜x≤3}，则∁UA＝{ ______.
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一、对子集概念的理解
理解子集的概念，应注意以下几点： (1)“A是B的子集”的含义是：集合A的任意一个元素都是集合 B的元素． (2)当A不是B的子集时，一般记作“A⃘ B”． (3)任何一个集合都是它本身的子集． (4)规定空集是任意一个集合的子集，即∅⊆A.当然空集是任意 一个非空集合的真子集． (5)在子集的定义中，不能理解为子集 A是集合B中的部分元素 所组成的集合，要注意空集对概念的影响；子集和真子集均有传递 性．
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例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是 A B(或B A) ________________________________ ．
3．若A⊆B且B⊆A，则称集合A与集合B相等，记作A＝
B. 例 如 ： 若 A ＝ {0,1,2} ， B ＝ {x,1,2} ， 且 A ＝ B ， 则 x ＝ ________. 0 4．没有任何元素的集合叫空集，记为∅. 例如：方程x2＋2x＋3＝0的实数解的集合为________ ∅ ．
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二、对补集概念的理解
(1)要正确应用数学的三种语言表示补集：①普通语言：
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元 素组成的集合叫做S中子集A的补集；②符号语言：∁SA＝
{x|x∈S，且x∉A}；③图形语言：
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(2)理解补集概念时，应注意补集 ∁SA是对给定的集合A和S(A⊆S) 相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合S，补集 不同．如：集合A＝{正方形}，当S＝{菱形}时，∁SA＝{内角不等于
(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.
(5)若A (6)若A B，B C，则A C. C.
B，B⊆C，则A
(7)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
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题型一
判断集合之间的关系
例1
判断集合之间的关系．
，
x2－1 集合A＝x，yy＝ x＋1
集合B＝{(x，y)|y＝x－1}． 问集合A、B有什么关系？
2≤－1， a 2 当a<0时，若B⊆A，则 1 －a>2 －1≤－1， a 2 当a>0时，若B⊆A，则 2 a≥2
1 ⇒－ <a<0. 2
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⇒0<a≤1.
第1章
集合
1.2 子集、全集、补集
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1. 了解集合之间包含与相等的含义，能判断给定集合的 子集. 2.理解子集、真子集概念的区别与联系., 3. 会用 Venn 图表示集合间的关系，体会直观图示对理解 抽象概念的作用. 4.了解空集的含义，注意空集的重要性质.
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