用于波动方程模拟的Chebshev谱元法

谱方法求解偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学和物理领域中广泛使用的一类方程，描述了多个变量之间的关系。

求解偏微分方程是一项重要的数学问题，可以帮助我们理解自然界中的物理现象，并为工程和科学研究提供数学模型。

目前，已经发展出了多种谱方法用于求解偏微分方程。

谱方法是一类基于函数空间中的谱近似基函数来逼近方程解的方法。

谱方法具有许多优点，如高精度、快速收敛等，适用于各种类型的偏微分方程，并且可以处理边界和初值问题。

谱方法的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为一组谱基函数的线性组合。

常用的谱基函数有Chebyshev多项式、Legendre多项式、Fourier级数等。

通过选择合适的基函数，可以将偏微分方程离散化为一组代数方程，从而求得数值解。

谱方法的求解过程主要包括以下几个步骤：1.选择适当的谱基函数。

根据偏微分方程的特点，选择适当的谱基函数是非常重要的。

常用的谱基函数有Chebyshev多项式、Legendre多项式等，它们具有良好的逼近性能和数值稳定性。

2.建立离散方程。

通过将偏微分方程中的未知函数表示为谱基函数的线性组合，将偏微分方程离散化为一组代数方程。

这需要将空间域和时间域进行离散化，可以选择均匀或非均匀的离散点。

3.求解代数方程。

得到离散方程后，可以通过求解线性方程组来获得解。

由于谱方法的高精度特性，通常可以直接使用求解稠密线性方程组的方法，如LU分解、Cholesky分解等。

4.验证数值解。

对于偏微分方程的数值解，通常需要进行验证，确保其满足物理约束条件和数学性质。

可以通过计算数值解的误差、比较与已知解的差异等方式进行验证。

谱方法在偏微分方程的求解中具有广泛的应用。

例如，在流体力学中，可以使用谱方法求解Navier-Stokes方程来模拟流体运动；在量子力学中，可以使用谱方法求解薛定谔方程来计算量子系统的波函数；在热传导中，可以使用谱方法求解热传导方程来分析物体的温度分布等。

谱方法解微分方程谱方法（Spectral methods）是一种用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）或者离散余弦变换（Discrete Cosine Transform）等频域方法来求解微分方程的一类数值方法。

它在数学与工程领域被广泛应用，特别是用于解决具有周期性和高度光滑解的微分方程。

谱方法的优点包括高精度、快速收敛和适用于多维问题。

它可以在整个定义域内提供高度准确的解，而其他传统的常用差分法和有限元法则只在特定位置或单个点上提供近似解。

这使得谱方法具有广泛的应用领域，例如流体力学、量子力学、天体物理学等领域中的一维、二维和三维研究等。

谱方法主要包含三个主要步骤：离散化、求解以及逆变换。

首先，对微分方程进行空间离散化，通常使用Chebyshev多项式或者傅里叶基函数等等。

采用Chebyshev多项式进行离散化时，可以使用Chebyshev-Gauss-Lobatto（CGL）或Chebyshev-Gauss（CG）点进行节点选择。

对于一维问题，可以使用一维的Chebyshev系数，而对于二维和三维问题，需要扩展为二维或三维的Chebyshev系数。

其次，利用傅里叶变换或者离散余弦变换将微分方程转化为频域的代数方程。

通过数值求解这个代数方程，可以得到频域上的解。

最后，采用逆变换将频域的解转化为时域上的解。

这个逆变换可以是傅里叶逆变换或者离散余弦逆变换等。

谱方法的收敛性和精度主要依赖于离散化的方式以及选择的基函数。

在实践中，经验表明使用Chebyshev基函数的谱方法在解决光滑和非光滑问题时都能提供很高的精度和收敛性。

然而，谱方法的缺点也不能被忽视。

首先，谱方法对边界条件的处理相对复杂。

在实际应用中，可以通过使用特殊的基函数来处理这个问题。

其次，谱方法随着问题的维度增加，计算量会成指数级增加。

因此，尽管谱方法在一维和二维问题上表现出色，但在三维问题上的应用相对有限。

谱方法(spectrum method),伪谱法（pseudoospectrum method）及谱元法（spectrum element method）2012年04月11日星期三12:47谱方法（spectrum method）Spectral methods are a class of techniques to numerically solve certain Dynamical Systems, often involving the use of the Fast Fourier Transform. Where applicable, spectral methods have excellent error properties, with the so called "exponential convergence" being the fastest possible. Spectral methods were developed in a long series of papers by Steven Orszag starting in 1969 including, but not limited to, Fourier series methods for periodic geometry problems, polynomial spectral methods for finite and unbounded geometry problems, pseudospectral methods for highly nonlinear problems, and spectral iteration methods for fast solution of steady state problems.Partial differential equations (PDEs) describe a wide array of physical processes such as heat conduction, fluid flow, and sound propagation. In many such equations, there are underlying "basic waves" that can be used to give efficient algorithms for computing solutions to these PDEs. In a typical case, spectral methods take advantage of this fact by writing the solution as its Fourier series, substituting this series into the PDE to get a system of ordinary differential equations (ODEs) in the time-dependent coefficients of the trigonometric terms in the series (written in complex exponential form), and using a time-stepping method to solve those ODEs.从上面可以看到谱方法的思路：对PDE方程进行FFT变换，得到只对时间微分的常微分方程组。

用动力学CHEETAH程序和DYNA程序模拟PBXW－115炸药Jing Ping Lu David L.KennedyDSTO-TR-1496摘要含能材料中单单依靠试验和跟踪法来评估新炸药的性能及其作用的方法已不再是一种有效的技术。

因为其费用昂贵，且未经实践，甚至对复杂结构根本不可能。

所以，可靠的数值模拟作为另一种替代工具是一直需要的。

PBXW－115炸药是一种用于水下爆炸高度非理想炸药，其成分为AP 43％、Al 25％、RDX 20％和12％的HTPB粘结剂，这是一种前景很好的模拟炸药。

本报告首先根据W－K爆轰理论，在与压力有关的速率定律中取压力指数为2，利用动力学CHEETAH程序着手一系列的模拟，从而发现CHEETAH程序能够预示爆速与装药直径相关的趋势。

但是对爆速估计过高，通过调整参数如减少压力指数由2降到1.0再到0.5时，可使爆速得到显著改善。

在装药直径较宽的范围内，反应区宽度也作了计算。

由动力学CHEETAH程序计算的初步结果表明，爆速和临界直径对所假设的AP 分解速率较敏感。

这可以设想，美国和澳大利亚炸药之间的差别是由于AP的颗粒度不同，而不是RDX。

所假设的AP分解速率对爆速与装药直径关系影响的进一步研究可在将来进行。

目录1 引言 (3)2 动力学计算 (5)3 流体动力学程序模拟 (9)3.1 LS-DYNA程序中的点燃－成长模型 (9)3.2 CPeX反应模型 (11)3.3 爆轰波阵面曲率的模拟 (11)3.4 带壳装药的模拟 (14)3.5 水箱法试验的模拟 (14)3.6 中等尺度水中爆炸试验模拟 (15)4 结论与发展方向 (18)5 感谢（略）6 参考文献（略）1引言自从研制PBXW－115（43/25/20/12/AP/Al/RDX/HTPB）以来，业以通过鉴定并作为水下爆炸作用的炸药称为PBXN－111。

美国海军认为这是一种不敏感的弹药，可装备部队（1985年Anderson和Leahy），许多研究者已进行了10年以上的研究和开发。

摘要薛定谔方程是物理系统中量子力学的基础方程，它可以清楚地说明量子在系统中随时间变化的规律。

通过求解微观系统所对应的薛定谔方程，我们能够得到其波函数以及对应的能量，从而计算粒子的分布概率，进一步来了解其性质。

在化学和物理等诸多科学研究领域当中，薛定谔方程求解的结果都与实际很相符。

近年来，很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程，解释了很多重要的物理现象，因此对薛定谔方程的求解具有相当重要的意义。

本文主要是用Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程。

首先运用Galerkin-Chebyshev谱方法来对空间导数进行近似，离散二维薛定谔方程，从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组。

然后用边界值法求解该方程组，所求得的数值解即为原问题的解，之后进行误差分析。

最后利用Matlab进行数值模拟，给出数值解的图像以及误差曲面图像，结果显示此方法精度高且具有很好的稳定性。

关键词：薛定谔方程；Galerkin-Chebyshev谱方法；边界值法；数值解；精度高；稳定AbstractThe Schrödinger equation is the basic equations of quantum mechanics in the physical system. It can clearly describe the regular of the quantum evolves over time. By solving the Schrödinger equation which the micro system correspond, we can get the wave function and energy, and thus calculate the probability distribution of the particles, further understand the nature of it.In chemistry, physics and other fields of scientific research, the results of solving the Schrodinger equation are basically consistent with the actual.In recent years, many researchers used a variety of methods to investigate the Schrödinger equation with complex potential function, and explained a lot of important phenomena.Thus solving the Schrödinger equation has very important significance.The main purpose of this paper is to solve the two dimensional Schrödinger equation through the Galerkin-Chebyshev spectral method and the boundary value method. First we use the spectral method to approximate the spatial derivation, discretize the two dimensional Schrödinger equation，and transform the original problem into a set of linear ordinary differential equations in the complex number field.Then by using the boundary value method to solve the equations, that the numerical solutions is the solutions of the original problem, and then analyze the error. Finally we use Matlab to conduct the numerical simulation, and give the images of the numerical solutions and errors, which show that the methods have high precision and good stability.Keywords: Schrödinger equation, Galerkin-Chebyshev spectral method, boundary value method, numerical solutions, high precision, stability目录摘要 (I)Abstract (II)第1章绪论 (4)1.1课题研究的背景和意义 (4)1.2国内外研究现状 (5)1.3本文的主要研究内容 (5)第2章预备知识 (7)2.1克罗内克积的简介 (7)2.2Chebyshev多项式介绍及其性质 (8)2.3Chebyshev正交逼近的性质 (9)2.4投影算子的性质 (10)2.5本章小结 (11)第3章Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法 (12)3.1用Galerkin-Chebyshev谱方法求解椭圆型方程 (12)3.2用边界值法求解常微分方程 (13)3.3本章小结 (17)第4章求解二维薛定谔方程 (18)4.1区域和边界条件的处理 (18)4.1.1 区域的处理 (18)4.1.2 边界条件的处理 (20)4.2二维薛定谔方程的求解 (23)4.3误差分析 (24)4.4本章小结 (29)第5章数值模拟 (30)结论 (35)参考文献 (36)哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明 .....错误！未定义书签。

伪谱切比雪夫方法
伪谱切比雪夫方法（Pseudospectral Chebyshev method）是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程或优化问题。

该方法基于Chebyshev多项式的性质和伪谱方法的思想，能够高效地计算出精确的数值解。

伪谱切比雪夫方法的核心是将要求解的问题转化为一个代数问题。

首先，在定义域上选择一组Chebyshev多项式作为基函数，通常是Chebyshev多项式的零点。

然后，将未知函数表示为这些基函数的线性组合，并利用Chebyshev多项式的性质，将偏微分方程或优化问题转化为一个代数问题。

接下来，通过使用伪谱方法中的插值技术，将偏微分方程或优化问题离散化为一组代数方程。

这些代数方程可以通过求解矩阵方程或最小二乘问题得到数值解。

最后，通过逆变换将数值解转换为原始问题的数值解。

伪谱切比雪夫方法具有高精度和高效性的特点。

由于使用了Chebyshev多项式作为基函数，可以获得快速收敛的数值解。

此外，该方法还能处理边界条件和复杂的几何形状，适用于各种类型的偏微分方程和优化问题。

总结来说，伪谱切比雪夫方法是一种高精度、高效的数值计算方法，适用于求解偏微分方程或优化问题。

它通过将问题转化为一个代数问题，并利用Chebyshev多项式的性质，能够获得精确的数值解。

伪谱法分离波动方程弹性波模拟唐小平;白超英;刘宽厚【摘要】本文在一阶分离波动方程的基础上,推导出了相应的二阶分离波动方程的简单形式。

采用交错网格和常规网格伪谱法,实现了一阶及二阶波动方程波场P波和S波的分离模拟。

同时对一阶、二阶波场分离模拟结果,以及分离法与非分离法模拟结果进行了对比研究。

结果表明：一阶与二阶伪谱法分离的效果大致相当,一阶分离法在走时拾取上略占优势,但二阶分离法在振幅和子波形态保护及分离彻底性方面优势明显;实际计算中分离法比非分离法更为灵活多变。

【期刊名称】《石油地球物理勘探》【年(卷),期】2012(047)001【总页数】8页(P19-26)【关键词】分离法波场模拟;一阶伪谱法;二阶伪谱法;交错网格;规则网格【作者】唐小平;白超英;刘宽厚【作者单位】中国地质调查局西安地质调查中心,陕西西安710054;长安大学地测学院地球物理系,陕西西安710054;中国地质调查局西安地质调查中心,陕西西安710054【正文语种】中文【中图分类】P631地震波场数值模拟中，目前常用的波动方程方法主要有：有限差分法［1～4］、有限元法［5］、伪谱法［6～14］、边界元法［15］和谱元法［16］。

其中有限差分法因其数学概念直观、表达方式简单，在地震波场数值模拟中使用最为普遍，按计算网格可分为常规网格和交错（旋转）网格等形式。

伪谱法通过快速傅里叶变换（FFT）将空间域变换到了波数域，免去了波动方程求解过程中的空间求导，只需在时间域上作差分运算，理论上讲它是高阶有限差分法中空间差分的阶数达到无穷时的极限情况，由于该方法可有效地避免频散，计算精度较高，模型适应能力强而日趋流行。

相应地也有常规网格［7］、交错（错格）网格［8］及变网格［9］伪谱法之分，并已实现了弹性介质，各向同性介质，双向介质，各向异性介质及复杂介质的波场模拟［10～13］。

有限元法采用任意形状的网格来逼近模型不规则界面，在处理物性参数的变化问题以及地形的起伏问题时较为灵活，因此可以解决一些有限差分和伪谱法无法解决的复杂界面起伏问题［5］。

可压缩流动的Fourier谱-有限元解法
郭本瑜;曹卫明
【期刊名称】《应用数学和力学》
【年(卷),期】1992(13)8
【摘要】本文考虑n维(n=2,3)可压缩流动的带有单向周期边值条件问题的数值解.我们在周期方向采用Fourier谱方法,在非周期方向采用有限元方法,从而构造了一类谱-有限元格式.文中严格分析了计算误差,得到了收敛阶的估计.
【总页数】16页(P677-692)
【关键词】可压缩流动;傅氏谱法;有限元法
【作者】郭本瑜;曹卫明
【作者单位】上海科技大学
【正文语种】中文
【中图分类】O357
【相关文献】
1.二维粘性不可压缩流动的Fourier-Chebyshev拟谱逼近 [J], 郭本瑜;李健
2.具有运动边界不可压缩黏性流动的CBS有限元解法 [J], 孙旭;张家忠
3.不可压缩粘性流动的CBS有限元解法 [J], 孙旭;张家忠;周志宏;徐忠
4.转轮内全三维不可压缩流动问题有限元统一解法研究 [J], 张道方
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偏微分方程的chebyshev谱方法及地球物理应用概述说明1. 引言1.1 概述：在科学研究和工程应用中，许多实际问题可以通过偏微分方程的数值解来描述和求解。

而传统的数值方法面临着计算量大、精度不高等问题，因此需要寻找更有效的数值解法。

本文将重点介绍一种被广泛应用于偏微分方程求解的数值方法——Chebyshev谱方法，并结合地球物理学领域进行具体应用案例的介绍。

1.2 文章结构：本文共分为五个部分。

引言部分对文章整体进行概述，从概念上引出本文涉及的主题。

接下来，第二部分将对Chebyshev谱方法进行简要介绍，包括其基本原理和在偏微分方程中的应用。

第三部分将概述常见的偏微分方程类型及其特点，并对比各种数值解法的优势与局限性，并重点探讨了Chebyshev谱方法在偏微分方程数值解中的优势与局限性。

第四部分将从地球物理学角度出发，回顾地球物理学基础知识并说明偏微分方程在该领域中扮演着重要作用。

同时，还将通过实际案例介绍Chebyshev谱方法在地球物理学领域的应用。

最后，第五部分将对全文进行总结，展望Chebyshev谱方法及其应用的未来发展，并提出可能的未来研究方向建议。

1.3 目的：本文的目的是较为全面地介绍Chebyshev谱方法在偏微分方程数值解中的原理、优势与局限性，并通过地球物理学领域的具体应用案例，展示其实际效果和潜力。

通过本文的阐述，读者将对Chebyshev谱方法有一个深入了解，并且能够明确其在求解偏微分方程问题时的适应性和可行性。

最终，希望能够引起读者对该方法及其应用领域进一步研究与探索的兴趣。

2. chebyshev谱方法简介:2.1 chebyshev多项式及其性质:chebyshev多项式是指满足切比雪夫微分方程的一类特殊函数。

它们可以表示为T_n(x) = cos(n \arccos(x)), 其中n为非负整数，x为定义域在[-1, 1]上的变量。

chebyshev多项式具有许多重要的性质，如其具有正交性、极值点等。

波动方程有限元—差分法数值解有限元差分法是新兴的数值解法，可以用于计算复杂的波动方程。

本文研究了有限元差分法在解决波动方程的数值方面的应用，主要从以下几方面来探讨。

首先，介绍了波动方程的定义及其特性，简要介绍了波动方程模型的建立和求解，以及有限元差分法在求解波动方程中的应用。

其次，提出了三种典型的有限元差分法求解波动方程的算法：时间歉分差分法、时间步长变化差分法和双时间空间差分法。

之后给出了三种算法的实现过程，通过计算了实例，验证了有限元差分法的有效性。

最后，归纳总结了有限元差分法的特点和优点，指出除了有限元差分法外，还可以使用基于全时空的解析方法求解波动方程的有效性。

波动方程是用于描述物理系统的变化的常微分方程，例如用于描述热传导问题的拉普拉斯方程，用于描述电磁学场的马尔科夫方程，以及用于描述流体动力学问题的贝尔加拉里散度方程等。

由于波动方程的解一般是复杂的，有限元差分法可以利用有限个均匀分布的有限元素网格来模拟波动方程，然后采用差分法进行数值求解。

有限元差分法的使用可以使波动方程的解变得更加精确，同时由于其求解的过程是近似的，因此也可以节省计算时间，节约资源。

此外，有限元差分法还可以应用于并行计算，以提高计算速度。

由于近年来随着计算机性能的不断提高，有限元差分法在解决波动方程的数值解中逐渐被认可，逐渐被广泛应用。

综上所述，有限元差分法是一种新兴的数值解法，能够比较有效地求解复杂的波动方程，有助于深入研究物理系统的变化，在实际应用中有重要的意义。

因此，有关有限元差分法在波动方程求解中的应用，以及这种求解方法的特点和优点，应予以深入研究，以挖掘这种数值方法的潜力，为解决实际物理问题提供有效的数值支持。

Chebyshev谱元法求解含吸收边界的二维均匀稳定流场的声传播耿艳辉;秦国良【摘要】In this study, the Chebyshev spectral elements approximation was applied to solve the acoustic propagation problem in the subsonic uniform mean flow. From the group velocity, the first-order Eliane-Dan-Thomas absorbing boundary condition was derived for the boundaries of the solution domain. In this approach, the discretization of the wave equation is based on the spectral elements in space and the implicit Newmark method in time marching. The numerical results with higher-order spectral accuracy in space and second-order accuracy in time agree well with the benchmark solutions. Compared with the first-order Clayton-Engquist-Majda absorbing boundary condition for the same wave problem, the first-order Eliane-Dan-Thomas absorbing boundary condition proposed here can effectively reduce the numerical reflection on boundaries and avoid solution distortion.%从群速度的角度推导了包含均匀稳定来流的二维波动方程的1阶吸收边界条件,基于Chebyshev谱元法提出了二维均匀稳定来流波动方程的求解方法.在空间上采用谱元方法,在时间上采用隐式Newmark积分法,从而获得了波动方程的离散形式.经具体算例验证表明:与1阶Clayton-Engquist-Majda吸收边界条件相比,所推导的吸收边界条件能更有效地削弱边界上的数值反射,避免解的失真,求解方法在空间上具有谱精度,在时间上达到了2阶精度.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2012(046)003【总页数】7页(P100-106)【关键词】吸收边界条件;声传播;谱元法;隐式Newmark积分法;群速度【作者】耿艳辉;秦国良【作者单位】西安交通大学流体机械研究所,710049,西安;西安交通大学流体机械研究所,710049,西安【正文语种】中文【中图分类】O42气动声学是气体动力学和声学的交叉学科，是研究空气动力噪声的基础，该领域的开拓者是Lighthill［1］.计算气动声学（CAA）是在计算流体动力学（CFD）基础上发展起来的，即用数值方法来解决气动声学的问题.在实际中，声场量和流场量的数量级相差甚远，目前计算气动声学所使用的方法多为低阶精度方法，如有限元法、有限差分法等，它们在认识流动导致噪声的机理上有一定的局限性.Pa-tera ［2］利用谱精度的特点，结合有限元法，提出了谱元法.在无界或半无界区域上，数值方法的实际计算区域总是有限的，并且需要引入人工边界来限制计算范围，在这些边界上还要加入无反射人工边界条件，以确保所求得的解很好地逼近无界区域上的解.对波动方程来说，无反射人工边界条件会使人工边界上的非物理反射尽可能小，对区域内部的影响在允许的误差范围内，所以称之为吸收边界条件（ABC）.Clayton-Engquist-Majda（CEM）吸收边界条件［3-5］的使用最为普遍，它是由无来流的波动方程推导获得的.Renaut等［6］将其引入到伪谱法中，邵秀民等［7］将其引入到波动方程的差分格式中，许靖［8］将1阶CEM吸收边界条件引入到谱元法中，以计算静止介质中的波动方程.在有来流的情况下，CEM吸收边界条件不能很好地吸收人工反射，因此有必要研究来流下波动方程的吸收边界条件. Eliane等［9］从群速度和相速度入手，推导了各向异性-对流介质的波动方程所对应的下游边界的高阶吸收边界条件（简称EDT吸收边界条件），并给出了精度和适定性分析.群速度（波列）作为整体的传播速度，其携带了波的能量，揭示了波内能量转移的大小和方向；相速度是指波的相位在空间中传递的速度.群速度影响耗散，相速度影响色散.本文的吸收算子只依赖于群速度，有别于传统的依赖于相速度的算子.本文在推导二维均匀稳定流场中的矩形区域边界上的吸收边界条时利用了文献［9］的思想.1 数学模型平面矩形区域｝，∂Ω为区域边界，n为边界外法线方向，时域为（0，T）.各项同性且在x方向有均匀稳定来流的二维波动方程［10］为式中：c0为声速；p为广义声压；t为时间；x、y为平面点坐标；f为源项；为马赫数；U为均匀稳定来流速度.式（1）的初始条件为计算区域如图1所示.边界在边界上引入了1阶吸收边界条件.图1 计算区域2 1阶EDT吸收边界条件对于任意波动方程若入射角为0，推导精度取Ο（K 22），文献［9］中Γ2 对应的1阶吸收边界条件为对应于式（1），则将式（6）代入式（5），可以得到有均匀稳定来流的Γ2的1阶吸收边界条件文献［9］仅推导了有来流的波动方程在下游边界上的吸收边界条件.下面，本文用文献［9］的方法，推导精度取Ο（K 22）后得到有均匀稳定来流的波动方程在上游边界Γ4上的1阶吸收边界条件式（1）是针对x方向均匀稳定来流的，推导精度取Ο（K 22）的吸收边界条件与推导精度取Ο（K 2）的边界条件是一致的，其中K 1、K 2为慢度.本文取Ο（K 1）推导得到的Γ1、Γ3的1阶吸收边界条件均为式（7）～式（9）的理论反射系数为0.本文慢度K定义如下式中为波数，λ为波长.由此，则有式中：T为周期；u为波速.可见，K为波速的倒数.慢度矢量定义为下文中推导的吸收边界条件简称为1阶EDT吸收边界条件.3 变分问题及空间谱元离散式（1）～式（3）和式（7）～式（9）相应的变分问题可以表述为：寻找p∈H 1，在t=0时满足p（x，y，并且对∀v∈H 1时，下式成立将式（6）代入式（5），可以得到有均匀稳定来流时Γ2的1阶吸收边界条件将式（7）、式（9）代入式（12）得对于上述变分问题，本文采用Chebyshev谱逼近进行离散.将求解区域Ω分解成N个互相不重叠的求解单元Ωi，即将第i个单元通过坐标变换转换为标准单元e，并在e内选取Chebyshev多项式的极值点作为插值点.分别以¨p、˙p 表示式（4）通过谱元离散后得到的单元方程为式中式（15）～式（19）中的表达式可参见文献［10］.当 Ma=0时，式（15）～式（17）与文献［8］中的表达式是一致的，即在静止介质中，2种吸收算子的吸收效果是一样的.将各单元矩阵合成为总体矩阵，便可得到一般形式的动力学运动方程式（20）即为关于时间的二阶常微分线性方程.4 算例在时域上求解微分方程组有隐式和显式2种积分法［11］.显式积分法一般是条件稳定，隐式积分法是绝对稳定.考虑到算法的稳定性，本文选择隐式Newmark方法，具体方法参见文献［11］.下面通过算例来验证1阶EDT吸收边界条件在均匀稳定流场中声传播应用的可靠性.在各项同性介质中，x方向有均匀稳定来流的声传播波动方程为［10］式中：Q（x，y，t）为单极子声源项；ε为声源振幅；α为衰减系数；ω为角频率；x s、y s为声源位置坐标.在单极子声源中0，c0=340.29 m／s，Ma=0.6.为了突出表现吸收边界的吸收效果，二维平面矩形区域Ω=｛（x，y）：-2.5 m≤x≤2.5 m，-20 m≤y≤20 m｝，∂Ω为边界，时域为（0，T），初始条件为并在边界∂Ω中加入1阶EDT吸收边界条件（式（7）～式（9））.本文在空间上进行谱元离散，在时间上采用隐式Newmark积分法.计算区域将划分为2×16个单元，每个单元采用4阶Chebyshev多项式进行离散，这样计算区域中共有585个节点.基准解的计算区域Ω=｛（x，y）：-20 m≤x≤20 m，-20m≤y≤20 m｝，将其划分为16×16个单元，在每个单元上采用4阶Chebyshev多项式进行离散，这样整个区域共有4 225个节点.取时间步长Δt=0.001 s，则均匀稳定流场中单极子声源辐射的声场在1阶CEM吸收边界条件和1阶EDT吸收边界条件下的辐射云图如图2所示.从图2可以看出，与1阶CEM吸收边界条件（CEM条件）相比，1阶EDT吸收边界条件（EDT条件）能更好地削弱边界上的数值反射.当t=0.005 s时，声波已传播至边界Γ2，通过与基准解对比可见，采用CEM条件的声波已经出现人工反射，表现为靠近Γ2处声波出现收缩，而采用EDT条件的声波在边界Γ2附近与基准解吻合良好.当t=0.01 s时，采用CEM条件的声波在Γ2附近收缩更加加明显，不再圆润，而采用EDT条件的声波，其外观特征表现良好.当t=0.02 s时，声波传播至边界Γ4，采用CEM条件的声波在靠近Γ4处出现轻微收缩，而在Γ2附近收缩更严重.当t=0.03 s～0.04 s时，采用CEM条件的声波在Γ2和Γ4附近失真更加明显，而采用EDT条件的声波在边界Γ2附近开始出现微小失真.当t=0.05 s时，2种边界条件的声波均出现失真，这可能是隐式Newmark积分法产生的耗散和色散随着时间的推移而增大造成的.总体来说，图2从直观上证明了EDT条件可应用于均匀稳定流场中的无界声传播计算，在吸收边界附近或穿越吸收边界时的声波，几乎没有出现数值反射的现象，也未影响计算区域内的传播，说明采用EDT条件基本上消除了数值反射带来的解的失真.图2 Ma=0.6时的声辐射云图对比沿x、y方向的声压型线分别如图3和图4所示.从图3可以看出：采用CEM条件的声波在t=0.01 s时已经出现微小反射，随着时间的推移，由人工反射引入的误差逐渐增大；采用EDT条件的声波在t=0.03 s时出现微小反射，在t=0.05 s时对主声场的影响比较明显.总体来说，对于均匀稳定流场中的声传播问题，EDT条件较之CEM条件能更有效地削弱人工反射.从图4可以看出，采用CEM条件的声波在t=0.03 s时出现人工反射，而采用EDT条件的声波在t=0.04 s时出现微小反射.随着时间的推移，特别是在t=0.05 s 时2种条件产生的人工反射对主声场的影响都比较明显.下面考查边界节点（-2.5，0.0）、（2.5，0.0）和内部节点（0.0，2.5）、（1.25，0.0）的声压解，其数值解p c与基准解p b的比较见表1～表4.由表中数据可以看出，EDT条件应用于均匀稳定流场的无界声传播中具有更好的吸收效果.图3 x方向的声压型线（y=0，Ma=0.6）表1 节点（-2.5，0.0）的声压解t／s p c／Pa EDT CEM p b／Pa EDT CEM绝对误差／Pa EDT CEM相对误差／%EDT CEM 0.01 0.023 494 0.043 391 0.031 899 0.040 842 0.008 405 -0.002 549 26.348 790-6.241 120 0.02 0.216 744 0.390 362 0.226 694 0.303 218 0.009 950 -0.087 144 4.389 177-28.739 700 0.03 0.690 500 1.114 038 0.651 768 0.808 652-0.038 732 -0.305 386-5.942 610-37.764 800 0.04 1.270 429 1.783 690 1.125 738 1.261 554-0.144 691 -0.522 137-12.853 000-41.388 400 0.05 1.641 308 1.981 561 1.370 326 1.392 976-0.270 982 -0.588 585-19.775 000-42.253 800图4 y方向的声压型线（x=0，Ma=0.6）表2 节点（2.5，0.0）的声压解t／s p c／Pa EDT CEM p b／Pa EDT CEM绝对误差／Pa EDT CEM相对误差／%EDT CEM 0.01 0.182 018 0.136 811 0.182 995 0.170 587 0.000 977 0.033 776 0.533 894 19.799 870 0.02 0.830 227 0.665 953 0.787 080 0.758 304-0.043 147 0.092 351 -5.481 910 12.178 620 0.03 1.493 084 1.267 309 1.338 956 1.300 409-0.154 128 0.033 100-11.511 100 2.545 353 0.04 1.838 278 1.674 310 1.541 995 1.502 582-0.296 282 -0.171 728-19.214 200-11.428 900 0.05 1.699 010 1.685 527 1.279 376 1.248 786-0.419 634 -0.436 742-32.799 900-34.973 300表3 节点（0.0，2.5）的声压解t／s p c／Pa EDT CEM p b／Pa EDT CEM绝对误差／Pa EDT CEM相对误差／%EDT CEM 0.01 0.083 987 0.089 932 0.084 989 0.090 334 0.001 003 0.000 402 1.179 619 0.444 657 0.02 0.521 8770.564 088 0.531 377 0.558 424 0.009 500 -0.005 664 1.787 734-1.014 301 0.03 1.115 811 1.176 055 1.135 427 1.148 163 0.019 617 -0.027 891 1.727 680-2.429 226 0.04 1.520 070 1.591 929 1.518 982 1.488 778-0.001 088 -0.103 151 -0.071 625-6.928 562 0.05 1.555 437 1.606 779 1.469 466 1.394 500-0.085 971 -0.212 279 -5.850 518-15.222 610表4 节点（1.25，0.0）上的声压解t／s p c／Pa EDT CEM p b／Pa EDT CEM 绝对误差／Pa EDT CEM相对误差／%EDT CEM 0.01 0.300 079 0.292 9370.300 795 0.294 402 0.000 715 0.001 465 0.237 786 0.497 671 0.02 1.048 154 0.992 188 1.056 814 1.033 004 0.008 660 0.040 816 0.819 434 3.951 211 0.03 1.702 607 1.606 111 1.680 312 1.633 233-0.022 295 0.027 122 -1.326 838 1.660 624 0.04 1.953 434 1.886 272 1.836 650 1.774 165-0.116 784 -0.112 107 -6.358 538-6.318 842 0.05 1.673 325 1.667 506 1.422 2751.360 313-0.251 051 -0.307 193-17.651 350-22.582 5185 结论本文从群速度角度推导了包含均匀稳定来流的声波动方程在二维矩形区域的4个边界上的吸收边界条件，在空间上进行谱元离散，在时间上采用隐式Newmark 积分法，在单元上采用4阶精度的Chebyshev谱函数进行逼近，在边界上分别采用EDT条件和CEM条件进行数值模拟.通过与基准解的对比看出，在有限的网格剖分下，采用4阶Chebyshev谱逼近在空间上达到了4阶精度，在时间上达到了2阶精度，表明隐式Newmark积分法具有绝对的稳定性.与CEM条件相比，在均匀稳定流场的无界声传播计算中，EDT条件在人工边界上有更好的吸收效果，算法的精度提高.基于均匀稳定来流的EDT条件在边界处的理论反射系数为0，但是实际算例表明，边界处仍然存在人工反射，这可能是由离散误差和求解矩阵方程时的算法精度不足引起的.今后的工作可以从以下几方面展开：加密网格并采用高阶的Chebyshev谱逼近；探索高精度的时间处理方法，如在时间上进行谱元离散；发展更高精度的吸收边界条件；寻找求解矩阵方程的高精度算法.【相关文献】［1］ LIGHTHILL M J.On sound generated aerodynamically：I General theory［J］.Proceedings of the Royal Society of London：Series A Mathematical Physical and Engineering Sciences，1952：564-587.［2］ PATERA A T.A spectral element：method for fluid dynamics：laminar flow in a channel expansion［J］.Journal of Computational Physics，1984，54（3）：468-488. ［3］ CLAYTON R，ENGQUIST B.Absorbing boundary conditions 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若干发展方程的谱方法和谱元法谱方法和谱元法在科学计算中广泛应用于求解偏微分方程和常微分方程问题。

它们是一种基于频谱分析的数值方法，能够在频域上进行计算，具有较高的精度和稳定性。

下面将对谱方法和谱元法进行详细介绍，并比较它们的特点。

一、谱方法（Spectral Methods）谱方法是一种基于函数空间理论的数值方法，通过将问题的解表示为一组基函数的线性组合，进而利用这些基函数的频谱性质进行计算。

常用的基函数有Chebyshev多项式、Legendre多项式和Fourier 级数等。

谱方法的基本思想是把连续函数在一定范围内展开为函数基的级数形式，然后利用函数的频谱性质来计算函数的导数、积分和微分方程等。

通过选择合适的基函数，可以获得高精度的近似解。

谱方法的优点是具有高精度、快速收敛和数值稳定性好。

它可以有效地处理光滑和非光滑函数，适用于求解线性和非线性问题。

但谱方法对边界条件的处理相对复杂，且对于非周期问题需要引入特殊的技巧。

二、谱元法（Spectral Element Methods）谱元法是谱方法的一种扩展，它将求解区域划分为若干谱元，并在每个谱元上采用谱方法进行计算。

谱元法在每个谱元内利用高精度的基函数展开解，并通过连接各个谱元的插值函数保证解的连续性和光滑性。

谱元法可以根据不同的问题灵活选择谱元的数量和位置，从而获得更好的计算效果。

由于在每个谱元内使用了谱方法，它能够处理非光滑和非周期问题，并在复杂几何形状下也能保持高精度。

谱元法的优点是具有高精度、快速收敛和适应性强。

它能够处理各种类型的问题，并在悬殊尺度和复杂流动问题中表现出色。

但谱元法的实现相对复杂，需要对谱元的连接关系和插值函数进行精确的计算。

谱方法和谱元法在科学计算中广泛应用于物理学、流体力学、声学、地震学和天文学等领域。

它们能够处理多维问题，并在高性能计算和并行计算中也能发挥出色的计算效果。

综上所述，谱方法和谱元法是一种基于频谱分析的高精度数值方法。

虚谱法求解波动方程的算法改进
马德堂;朱光明
【期刊名称】《地球科学与环境学报》
【年(卷),期】2000(022)002
【摘要】虚谱法利用付里叶变换和有限差分求解波动方程,是地震波场正演模拟的重要方法之一, 但其常规算法运算量大,运算时间长.为此,我们在常规算法的基础上作了些改进,主要是提出了反付里叶变换的快速算法,并运用正反付里叶变换的快速算法和避免重复运算等手段,使运算量大大减少,可节省运算时间三倍多.
【总页数】4页(P63-66)
【作者】马德堂;朱光明
【作者单位】西安工程学院,基础部,陕西,西安,710054;西安工程学院,基础部,陕西,西安,710054
【正文语种】中文
【中图分类】P631.4
【相关文献】
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2.谱元方法求解波动方程及影响其数值精度的相关因素 [J], 朱昌允;秦国良;徐忠
3.谱元方法求解波动方程时显式与隐式差分方法的比较 [J], 朱昌允;秦国良;徐忠
4.虚谱法无反射速度-应力方程地震数值模拟 [J], 杜增利;李春红;傅雨濛;李永章
5.全波动方程虚谱法偏移 [J], 林小竹;辛向中
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