《素材》《一元二次不等式的解法》(北师大版)题型总结学案

2．1 一元二次不等式的解法学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图像法解一元二次不等式.3.体会数形结合、分类讨论思想．知识点一一元二次不等式的概念思考我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么你能写出不等式x2>1的解集吗？梳理(1)形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．(3)一元二次不等式所有解组成的集，叫作一元二次不等式的解集．知识点二“三个二次”的关系思考分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系．梳理一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表．Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集∅知识点三一元二次不等式的解法思考根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x.梳理解一元二次方程的步骤解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；(3)由图像得出不等式的解集．类型一一元二次不等式的解法命题角度1 二次项系数大于0例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集．反思与感悟当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像．跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集．命题角度2 二次项系数小于0例2 解不等式－x2＋2x－3>0.反思与感悟将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本题关键之处．跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集．命题角度3 含参数的二次不等式例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.反思与感悟解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．跟踪训练3 解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.类型二“三个二次”间对应关系的应用例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．反思与感悟给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．跟踪训练4 已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，求a ，b 的值．1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜1 B ．{x |x ＞1}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－12或x ＞12．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥12D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－323．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．不等式x 2＋x －2<0的解集为_________________________________________________． 5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围．1．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图； ③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ； 若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n . 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.答案精析问题导学 知识点一思考 不等式x 2>1的解集为{x |x <－1或x >1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集． 知识点二思考 x 2－1>0――→y >0y ＝x 2－1――→y ＝0x 2－1＝0.梳理 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a{x |x <x 1或x >x 2} {x |x 1<x <x 2} ∅ 知识点三思考 先化为x 2－3x ＋2>0.∵方程x 2－3x ＋2＝0的根x 1＝1，x 2＝2， ∴原不等式的解集为{x |x <1或x >2}． 题型探究例1 解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠12.跟踪训练1 解 ∵2x 2－3x －2＝0的两解为x 1＝－12，x 2＝2，且a ＝2>0，∴不等式2x 2－3x －2≥0的解集是 {x |x ≤－12或x ≥2}．例2 解 不等式可化为x 2－2x ＋3<0. 因为Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无实数解， 而y ＝x 2－2x ＋3的图像开口向上， 所以原不等式的解集是∅.跟踪训练2 解 不等式可化为3x 2－6x ＋2<0，∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0， ∴x 1＝1－33，x 2＝1＋33， ∴不等式－3x 2＋6x >2的解集是 {x |1－33<x <1＋33}． 例3 解 当a ＜0时，不等式可化为 (x －1a)(x －1)＞0，∵a ＜0，∴1a＜1，∴不等式的解集为{x |x ＜1a或x ＞1}．当a ＝0时，不等式即－x ＋1＜0，解集为{x |x ＞1}． 当a ＞0时，不等式可化为 (x －1a)(x －1)＜0.当0＜a ＜1时，1a ＞1，不等式的解集为{x |1＜x ＜1a}．当a ＝1时，不等式的解集为∅. 当a ＞1时，1a＜1，不等式的解集为{x |1a＜x ＜1}．综上，当a ＜0时，解集为{x |x ＜1a或x ＞1}；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}； 当0＜a ＜1时，解集为{x |1＜x ＜1a}；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为{x |1a＜x ＜1}．跟踪训练3 解 当a ＜0或a ＞1时，有a ＜a 2，此时，不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2}； 当0＜a ＜1时，有a 2＜a ，此时，不等式的解集为{x |a 2＜x ＜a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解．综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2}； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为 {x |a 2＜x ＜a }；当a ＝0或a ＝1时，解集为∅. 例4 解 由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，∴不等式bx 2＋ax ＋1>0，即2x 2－3x ＋1>0. 由2x 2－3x ＋1>0，解得x <12或x >1.∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜12或x ＞1.跟踪训练4 解 方法一 由题设条件知a >0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝b a，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.方法二 把x ＝1,2分别代入方程ax 2－bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a －2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.当堂训练1．D 2.B 3.C 4.{x |－2<x <1}5．解 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0， 所以a ＝2时解集为R . 当a －2≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4a －22－4a －2－4<0，解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围为(－2,2]．。

§2 一元二次不等式 2．1 一元二次不等式的解法1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(难点)2．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系，会解一元二次不等式．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 一元二次不等式的有关概念 阅读教材P 78例1以上，完成下列问题．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式ax 2＋x －1＞0一定是一元二次不等式．( ) (2)2x 2＋3y 2＋1≠0是一元二次不等式．( ) (3)一元二次不等式的解集可能有无穷多个．( )(4)一元二次不等式的解可能是空集．()【解析】(1)当a＝0时，不是一元二次不等式．(2)2x2＋3y2＋1≠0中的未知数个数有两个．(3)如x2－4＞0的解有无穷多个．(4)如x2＋4＜0的解集为空集．【答案】(1)×(2)×(3)√(3)√教材整理2一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的关系阅读教材P78例1以下至P79小资料以上部分，完成下列问题．一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设一元二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．()(2)不等式f(x)＝ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则f(x)＝0无零点．()(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合．()【解析】(1)当a＜0时，解集为{x|x1＜x＜x2}．(2)解集为空集说明二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点，即方程f(x)＝0无零点．(3)结合二次函数图像可知． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√[小组合作型]0； (3)x (7－x )＞0.【导学号：47172035】【精彩点拨】 按照解一元二次不等式的步骤来解． 【尝试解答】 (1)原不等式可化为2x 2－x ＋6＞0. ∵方程2x 2－x ＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6＜0， ∴函数y ＝2x 2－x ＋6的图像开口向上，与x 轴无交点． 如图所示，由图像知不等式的解集为R .(2)原不等式可化为(2x －1)2≤0，方程(2x －1)2＝0的根为x ＝12，图像如图所示，由图像得4x 2－4x ＋1≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12. (3)原不等式可化为x (x －7)＜0，方程x (x －7)＝0的两根是x 1＝0，x 2＝7，函数y ＝x (x －7)的图像如图所示，观察图像可知不等式的解集为{}x |0＜x ＜7.。

达标检测
①是什么实数时关于的方程 无实根
②解关于的不等式
学习反思
若解集是非空
②若解集是一切实数
的取值范围又是什麽？
三、达标训练：
①若方程 的两根为2，3，那么 的解集为
②不等式 的解集为 ，则=
③关于的不等式 的解集是空集，那么的取值范围是
④ 的解集为 则与的值分别为
学习小结
对含字母的一元二次不等式讨论分为四类①二次项系数是否为零进行分类②若不为零，按其符号进行分类③按判别式符号进行分类④按两根大小进行分类
一元二次不等式的解法
学习目标
掌握一元二次不等式含参数的解法
学习重难点
参数的讨论
学习过程
一、自主学习：
不等式 的解集是
探究问题：解关于的不等式
此方程是否有解？若有，分别为，其大小
例1．设关于的不等式 的解集是 ，求
例2． 若 ，求的取值范围
例3若关于的不等式 的解集是空集，求的取值范围

2．1一元二次不等式的解法明目标、知重点 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图像法解一元二次不等式的方法.3.培养应用数形结合、分类讨论思想方法的能力．1．一元二次不等式的有关概念(1)一元二次不等式：形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解．(3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式的解集设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1、x2，且x1<x2，则ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2}；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}．3．不等式的恒成立问题(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0；(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.(3)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立k≤f(x)min.[情境导学]对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若令y＝0，就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若令y>0或y<0，就得到不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0.如何解不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0？这就是本节所要学习的主要内容．探究点一一元二次不等式的概念问题1甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40 km/h以内，由于突发情况，两车相撞了，交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m，乙车的刹车距离刚刚超过10 m，又知这两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：s甲＝0.01x2＋0.1x；s乙＝0.005x2＋0.05x，谁的车速超过了40 km/h，谁就违章了．试问：哪一辆车违章行驶了？思考1你能想出一种办法找出哪一辆车违章行驶吗？答只需分别解出不等式0.01x2＋0.1x≤12和不等式0.005x2＋0.05x>10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶．思考2在思考1中得到的不等式有什么特点？答(1)含有一个未知数x；(2)未知数的最高次数为2.小结形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．探究点二一元二次不等式的解法问题2如何解一元二次不等式x2－2x－3<0?思考1一元二次方程x2－2x－3＝0的根与一元二次函数y＝x2－2x－3的零点有怎样的关系？答二次方程有两个实数根x1＝－1，x2＝3，二次函数有两个零点：x1＝－1，x2＝3.于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．思考2画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，你能通过观察图像，确定满足不等式x2－2x －3<0的x的取值范围吗？答画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，如图，观察函数图像可知：当－1<x<3时，函数图像位于x轴下方，此时，y<0，即x2－2x－3<0，所以满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围是－1<x<3.思考3根据思考2确定满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围的思路，怎样确定满足一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0(a>0)的x的取值范围？答先求出一元二次方程的根，再根据函数图像与x轴的相关位置，确定满足一元二次不等式的x 的取值范围．小结 (1)一般地，使某个一元二次不等式成立的x 的值叫这个一元二次不等式的解． (2)一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．思考4 设相应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2且x 1≤x 2，Δ＝b 2－4ac ，根据以上讨论，请将下表填充完整.Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或 x >x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅小结 (1)一元二次不等式ax 22边，小于取中间．(2)当一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的二次项系数a <0时，可以转化为a >0. 思考5 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间存在怎样的联系？答 二次函数的图像与x 轴交点的横坐标为相应一元二次方程的根，也就是一元二次方程的根为相应二次函数的零点；二次函数的图像在x 轴上方或下方的部分所对应x 的范围是不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集． 例1 解不等式：3x 2＋5x －2>0.解 方程3x 2＋5x －2＝0的两解是x 1＝－2，x 2＝13.函数y ＝3x 2＋5x －2的图像是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－2,0)和⎝⎛⎭⎫13，0(如图所示)．观察图像可得，不等式的解集为{x |x <－2或x >13}．思考6 根据不等式3x 2＋5x －2>0的解集，你能得出不等式3x 2＋5x －2≤0的解集吗？ 答 集合{x |x <－2或x >13}在实数集中的补集{x |－2≤x ≤13}，即为不等式3x 2＋5x －2≤0的解集．反思与感悟 在具体求解一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像来确定不等式的解集． 跟踪训练1 解不等式9x 2－6x ＋1>0.解 方程9x 2－6x ＋1＝0有两个相同实数解：x 1＝x 2＝13.函数y ＝9x 2－6x ＋1的图像是开囗向上的抛物线，与x 轴仅有一个交点(13，0)．所以不等式的解集是{x |x ≠13}．例2 解不等式：－2x 2＋x ＋1<0.解 方法一 方程－2x 2＋x ＋1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.函数y ＝－2x 2＋x ＋1的图像是开口向下的抛物线，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0和(1,0)，如图所示．观察图像可得，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.方法二 在不等式两边同乘－1，可得2x 2－x －1>0. 方程2x 2－x －1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.画出函数y ＝2x 2－x －1的图像简图(如图所示)．观察图像，可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.反思与感悟 当所给一元二次不等式为非一般形式时，应先化为一般形式，对于二次项系数a <0的一元二次不等式，一般有两种解法，通常采用方法二，即通过对不等式两边同乘－1将二次项系数变为正数再解． 跟踪训练2 解不等式－x 2＋4x －4>0. 解 不等式可化为x 2－4x ＋4<0. 方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2.而y ＝x 2－4x ＋4的图像开口向上，函数的值域为y ≥0，所以原不等式的解集是∅. 探究点三 含参数的一元二次不等式的解法 例3 解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a <0. 解 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a . 函数y ＝x 2＋(1＋a )x －a 的图像开口向上，所以 (1)当a <－1时，原不等式的解集为(a ，－1)； (2)当a ＝－1时，原不等式的解集为∅； (3)当a >－1时，原不等式的解集为(－1，a )． 反思与感悟 含参数的一元二次不等式的求解步骤：(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 跟踪训练3 设m ∈R ，解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3<0. 解 (1)m ＝0时，－3<0恒成立，所以x ∈R . (2)m >0时，不等式变为(mx ＋3)(mx －1)<0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0，解得－3m <x <1m.(3)m <0时，原不等式变为⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0， 解得1m <x <－3m.综上，m ＝0时，解集为R ；m >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3m <x <1m； m <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m<x <－3m . 探究点四 不等式的恒成立问题 例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立． 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0， ∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6， ∴m <0. 综上所述：m <67.方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：①考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；②若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．跟踪训练4 当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－5]解析 由于当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤04＋2m ＋4≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5m ≤－4⇔m ≤－5.1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 答案 D解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)， ∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由题意可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.4．不等式x 2＋x －2<0的解集为________． 答案 {x |－2<x <1}解析 由x 2＋x －2<0得－2<x <1， 故其解集为{x |－2<x <1}．5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0， 所以a ＝2时解集为R .当a －2≠0时，由题意得⎩⎨⎧a －2<0，Δ<0.即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4(a －2)2－4(a －2)(－4)<0.解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围为－2<a ≤2. [呈重点、现规律]1．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图； ③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ； 若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n . 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、基础过关1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}答案 D解析 由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t答案 D解析 ∵0<t <1，∴1t >1，∴1t>t .∴(t －x )(x －1t )>0⇔(x －t )(x －1t )<0⇔t <x <1t .3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析 原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析 由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.5．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________． 答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.6．若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． 答案 －2<m <2解析 由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图像在x 轴的上方， 所以Δ＝(m )2－4×1×1<0，所以－2<m <2.7．解不等式：x 2－3|x |＋2≤0.解 x 2－3|x |＋2≤0⇔|x |2－3|x |＋2≤0⇔(|x |－1)(|x |－2)≤0⇔1≤|x |≤2.当x ≥0时，1≤x ≤2；当x <0时，－2≤x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}．二、能力提升8．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是()A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2)答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ，∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，解得－2<m <2.此时，x ∈R .综上所述，－2<m ≤2.9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．10．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧－13＋2＝－b a－13×2＝c a ，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0.又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，解得－12＜x ＜3，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0.∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }．当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．三、探究与拓展13．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a，x 2＝2. ①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}； ③当a >1时，2a<2，所以原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2.。

课题
§3.2.2一元二次不等式及其解法
第2课时
课型
新授课
课时
备课时间
教学目标
知识与技能
巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
过程与方法
培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
情感态度与价值观
激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
重点
熟练掌握一元二次不等式的解法
难点
理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
教学方法
教学过程
1.课题导入
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格
2.讲授新课
[范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度x km/h有如下的关系：
例：设不等式 的解集为 ，求 ?
▲应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
例：设 ，且 ，求 的取值范围.
改：设 对于一切 都成立，求 的范围.
改：若方程 有两个实根 ，且 ， ，求 的范围.
随堂练习2
1、已知二次不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集.
2、若关于 的不等式 的解集为空集，求 的取值范围.
改1：解集非空
改2：解集为一切实数
4.课时小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系
5.评价设计
课本第89页的习题3.2[A]组第3、5题
教学反思
因为 ，所以方程 有两个实数根
由二次函数的图象，得不等式的解为：50<x<60

A． B． C． D．
3.在下列不等式中，解集是 的是（）.
A． B．
C． D．
4.不等式 的解集是.
5. 的定义域为.
四课后反思
（1）将原不等式化为一般式（ ）.（2）判断 的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.
五课后巩固练习
1.求下列不等式的解集
（1） ；（2） .
2.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
教案、学案用纸
年级高二
学科数学
课题
一元二次不等式及其解法
授课时间
撰写人
学习重点
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
学习难点
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系
学习目标
理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力
教学过程
一自主学习
二次函数
（ ）的图象
一元二次方程
二师生互动
例1求不等式 的解集.
练习.求下列不等式的解集.
（1） ；（2） .
例2求不等式 的解集.
练习1.求不等式 的解集.
2.求不等式 的解集.
三巩固练习

A．RB．
C． 或 D．无解
2.关于x的不等式 的解集是全体实数的条件是（）.

一元二次不等式的解法【复习目标】掌握一元二次不等式的解法；会解决含参一元二次不等式的问题；会解决由一元二次不等式的解求参数的值或范围的问题．【学习重点】一元二次不等式的解法；分类讨论的思想【学习难点】含参一元二次不等式的问题【考试要点】（1）一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系：（2）解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地： ①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外）②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内）说明：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．【课前预习】1．不等式1)3()2(+-<+x x x x 的解集是_____________________2．不等式0421≤+-x x 的解集是_______________________ 3．函数)23lg(2+-=x x y 的定义域是___________________________4．不等式0)21(||>-⋅x x 的解集是__________________________ 5．若不等式012>-+bx ax 的解集是}43|{<<x x ，则实数.__________,==b a 【典型例题】x x A例1 解下列不等式（1）03442>-+x x （2）42412-≥+x x （3）)2(3)3)(12(2+>-+x x x （4）21212≤-+≤-x x （5）0143<--+x x x例2 解关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x变式：（１）解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax（２）解关于x 的不等式12)1(>--x x a （0>a ）例3 （1）若不等式064)1(2>+--x x m 的解集是}13|{<<-x x ，求m 的值；（2）若)3,0(内的每一个数都是不等式0122<-+mx x 的解，求m 的取值范围；（3）若不等式0122<-+-m x mx 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求实数x 的取值范围．【命题展望】（06全国Ⅱ）设a R ∈，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围．一元二次不等式的解法（作业）1．不等式04432≤-<-x x 的解集是 （ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-231021|x x x 或 B ．}10|{≥≤x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2321|x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2321|x x x 或 2．不等式212>++x x 的解集是 （ ） A ．),1()0,1(+∞- B ．)1,0()1,( --∞C ．)1,0()0,1( -D ．),1()1,(+∞--∞3．若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．]2,(-∞B ．]2,2(-C ．)2,2(-D ．)2,(--∞4．已知x 的不等式01)(>⎪⎭⎫ ⎝⎛--a x a x a ，其中10<<a ，则它的解是 （ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x a x x 1|或 B ．}|{a x x > C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x a x x 或1| D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a x x 1| 5．二次函数)(2R x c bx ax y ∈++=部分对应值如下表：则不等式02>++c bx ax 的解集是____________________________6．若不等式11<-x ax 的解集为{}21|><x x x 或，则a =____________ 7．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧<->-a x a x 24,12解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________ 8．解关于x 的不等式)1(]1)1[(1)1(22≠+-≥+-a x a x a9．已知不等式4632>+-x ax 的解集为}1|{b x x x ><或（1）求a,b ;（2）解不等式0>--bax c x （c 为常数）10．若不等式012≥++ax x 对于一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 成立，求a 的取值范围．。

3.2.1一元二次不等式的解法【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式（a ＞0）的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P84“刹车距”问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到“一元二次不等式”模型。

2.讲授新课1）一元二次不等式的定义：形如220,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次不等式 。

2）探究一元二次不等式250x x -< …… （1） 的解集怎样求不等式（1）的解集呢？探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

（2）观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知：当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->；当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<；所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。

第三课时 3.2.《一元二次不等式的解法》导学案【学习目标】1.掌握一元二次不等式的解法；2.理解一元二次方程、一元二次不等式、二次函数图像之间的关系；3.掌握含参数的一元二次不等式的解法，注意分类讨论思想在解题中的灵活运用。

【导入新课】实例导入：某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家服务公司可供选择.公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则如图所示，即在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算).问：该同学选择哪家公司比较实惠？新授课阶段分析上面问题,你能得到什么结论？1.一元二次不等式的形式与解法：例1：解不等式24410x x -+> 解:例2 解不等式 2230x x -+-> 解：例3、某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速xkm/h 有如下关系：在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01km/h ）解（略）见投影 练习1. 不等式102x x +>-的解集是 . 解析：.18012012x x s +=练习2、已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b（1）解关于a的不等式f(1)>0；（2）当不等式f(x)>0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值。

解：练习3 若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈（0，12）成立，求a的取值范围解：课堂小结1、一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系：（1）方程的对应于函数图象与x轴的；(2) 不等式的解集对应于函数图象与x轴上方（或下方）部分的点的横坐标的集合.2、解一元二次不等式的基本步骤：（1）先把二次项系数化成；（2）再解对应的一元二次；（3）最后根据对应的的大致图象以及不等号的方向，写出不等式的解集。

作业见同步练习部分拓展提升1. 不等式x x x <--13的解集是 。

一元二次不等式及解法学案学习目标：通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图. 学习重点：一元二次不等式的解法，突出体现数形结合的思想.学习难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.学习过程：一、课前准备自主学习：阅读P 75问题情境，理解什么样的不等式是一元二次不等式？阅读P 75-77通过用图像形象直观地刻画三个二次之间的关系，掌握一元二次不等式解法及步骤。

二、新课导入①形如 或 不等式叫一元二次不等式其中②抛物线 y = ax 2 + bx + c 的与x 轴交点 是相应方程ax 2 + bx + c=0的③一元二次不等式解法及步骤：自主测评1、完成下列表格设2()(0),f x ax bx c a =++>判别式24b ac =-V2、判断下列不等式中哪些是一元二次不等式.2221(1)13(2)3(3)lg(2)41x x x x x x +>-+<-≤3、解下列不等式222(1)2310(2)440(3)2650x x x x x x -+>++>-+<三、巩固应用例1：解一元二次不等式 2230x x --<观察函数223y x x =--的图像探究下列问题：探究：1、是否存在x 的值，使得①y>0 ②y=0 ③y<0探究：２、当x 何值时，能使①y>0 ②y=0 ③y<0变式训练：画出下列函数的草图，回答下列问题：2(1)961;y x x =-+ 2(2)4 5.y x x =-+(1)以上两函数是否存在 x 的取值集合，使得①y>0 ②y=0③y<0为什么？(2)不等式2450x x -+> 的解集是_________⑶不等式29610x x -+>的解集是_________探究：３、一元二次不等式解法及步骤：练习：1、课本第78页练习1，12、解下列不等式.222(1)213200(2)7510(3)4410x x x x x x -+>++<-+≤例2：已知不等式 x 2 + ax + b < 0的解集为11{|}32x x <<试求a 、b 的值.探究：4、三个二次之间的关系：四、总结提升1、探究结论2、函数y = ax 2 + bx + c 的值可为正、可为负、可为零的充要条件是：3、当a ≠0时，不等式ax 2 + bx + c > 0 (≥0)对一切 x ∈R 都成立的充要条件是：五、能力拓展1. 对于一切实数 x ，不等式 ax 2 – (a – 2) x + a > 0恒成立，求 a 的取值范围.2解关于 x 的不等式2lg(32)0x x -<自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P 87 A 组5、7（1）（2）。

§2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理1、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等式.2、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：图 5O y①判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量),(),(21+∞⋃-∞∈x x x 时，函数值 零；当),(21x x x ∈时，函数值 零；当21x x x 或=时，函数值 零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02><++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值 零；当0x x =时，函数值 零;对于任意实数x ，函数值都不会 零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02><++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：③判别式042<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，当自变量R x ∈时，函数值均 零；即对于任意实数x ，函数值都不可能 零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：3、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外） ②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内） 注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法． 基础练习一、解下列不等式1、3x 2+5x-2>02、9x 2-6x+1>03、x 2-4x+5>04、-x 2+x+1<05、-x 2+4x-4>0二、设A ，B 分别是不等式3x 2+6≤19x 与不等式-2x 2+3x+5>0的解集，试求A ∩B,A ∪B.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m＜0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.基础自测1.下列结论正确的是 （ ）A.不等式x 2≥4的解集为{x|x ≥±2}B.不等式x 2-9＜0的解集为{x|x ＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x ＜1+2}D.设x 1,x 2为ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2+bx+c ＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2}2.不等式12+-x x ≤0的解集是 （ ）A.（-∞,-1）(]2,1-YB.[]2,1-C.（-∞,-1）[)+∞,2YD.(]2,1-3.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<+-0,10,1x x x x 则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是( ) A.{}121|-≤≤-x x B. {}1|≤x x C.{}12|-≤x x D.{}1212|-≤≤--x x4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则 ( )A.-1＜a ＜1B.0＜a ＜2C.21-＜a ＜23D.- 23＜a ＜21 5. A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 . 例题讲解例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.例2 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集.例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式; (2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围.例4已知f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围.变式练习1.已知关于x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集.2.解关于x 的不等式2a x a x --＜0 （a ∈R ）.3.函数f(x)=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围;(2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围.练习作业一、选择题1.函数y=)1(log 221-x 的定义域是（ ） A.［-2,-1）∪（1，2］ B.［-2,-1］∪（1，2）C.［-2,-1）∪（1，2］D.（-2,-1）∪（1，2） 2.不等式412--x x ＞0的解集是 （ ）A.（-2,1）B.（2，+∞）C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.若(m+1)x 2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.m ＞1 B.m ＜-1 C.m ＜-1113 D.m ＞1或m ＜-1113 4.若关于x 的不等式：x 2-ax-6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 ( )A.-25≤a ≤1B.a ≤-25或a ≥1C.-25≤a ＜0或1≤a ＜24D.-25≤a ＜-24或0＜a ≤1 5. （10年全国高考（第2套试题第5题））不等式2601x x x ---＞的解集为：（ ） （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为 （ ）A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|0＜x ＜3}C.{x|0＜x ＜1}D.{x|-1＜x ＜3}二、填空题7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 .8.已知{x|ax 2-ax+1＜0}=∅,则实数a 的取值范围为 .三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax-a 2＜0.10.已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解集.11.若不等式2x-1＞m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.12.已知函数f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正， 而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-4k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F(x)的值恒为负值？§2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理2、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等式.3、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：图5Oy①判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量),(),(21+∞⋃-∞∈x x x 时，函数值大于零；当),(21x x x ∈时，函数值小于零；当21x x x 或=时，函数值等于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是：21x x 和; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：),(),(21+∞⋃-∞x x)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：),[],(21+∞⋃-∞x x )0(,02><++a c bx ax 的解集是：),(21x x )0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：],[21x x②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值大于零；当0x x =时，函数值等于零;对于任意实数x ，函数值都不会小于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是：0x ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：}:{0x x R x x ≠∈且)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：R )0(,02><++a c bx ax 的解集是：Φ)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是： }{0x x x =③判别式042<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，当自变量R x ∈时，函数值均大于零；即对于任意实数x ，函数值都不可能小于或等于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：R x ∈)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：R )0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：Φ4、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地： ①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外） ②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内） 注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．基础练习一、解下列不等式1、3x2+5x-2>02、9x2-6x+1>03、x2-4x+5>04、-x2+x+1<05、-x2+4x-4>0二、设A，B分别是不等式3x2+6≤19x与不等式-2x2+3x+5>0的解集，试求A∩B,A∪B.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m＜0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.基础自测1.下列结论正确的是（ C ）A.不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}B.不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x＜1+2}D.设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2} 2.不等式12+-x x ≤0的解集是 （ D ）A.（-∞,-1）(]2,1-YB.[]2,1-C.（-∞,-1）[)+∞,2YD.(]2,1-3.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<+-0,10,1x x x x 则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是(C ) A.{}121|-≤≤-x x B. {}1|≤x x C.{}12|-≤x x D.{}1212|-≤≤--x x4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则 ( C )A.-1＜a ＜1B.0＜a ＜2C.21-＜a ＜23 D.- 23＜a ＜21 5. A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 0 .例题讲解例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.解 原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-29-3x, 即2x 2-3x-7≤0. 解方程2x 2-3x-7=0,得x=4653±. 所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-|4654346543|x x . 例2 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集.解 方法一 由已知不等式的解集为(α,β)可得a ＜0, ∵α，β为方程ax 2+bx+c=0的两根，∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=00)(αββαac ab∵a ＜0,∴由②得c ＜0,则cx 2+bx+a ＜0可化为x 2+x cb +ca ＞0, ①÷②得cb =αββα)(+-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+βα11＜0, 由②得ca =αβ1=α1·β1＞0, ∴α1、β1为方程x 2+cb x+ca =0的两根.∵0＜α＜β, ∴不等式cx 2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 方法二 由已知不等式解集为(α,β),得a ＜0,且α，β是ax 2+bx+c=0的两根， ∴α+β=-ab ,αβ=ac ,∴cx 2+bx+a ＜0⇔acx 2+ab x+1＞0⇔(αβ)x 2-(α+β)x+1＞0⇔(αx-1)(βx-1)＞0⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛-α1x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-β1x ＞0. ∵0＜α＜β,∴α1＞β1,∴x ＜β1或x ＞α1,∴cx 2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式; (2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)＞0. ①当a=0时,由-(x+1)＞0,得x ＜-1;②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1(x+1)＞0,解得x ＜-1或x ＞a1;③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x+1)＜0;若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a1＜x ＜-1;若a1=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;若a1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a1.综上所述,① ②a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11;a=-1时,原不等式无解;-1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11|x ax ;a=0时,解集为{x|x ＜-1};a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<a x x x 11或.(2)∵x=-a 时不等式成立,∴112+---a a＞0,即-a+1＜0,∴a ＞1,即a 的取值范围为a ＞1.例4已知f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围.解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a 2, 此二次函数图象的对称轴为x=a,①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知, f(x)在［-1，+∞）上单调递增， f(x)min =f(-1)=2a+3,要使f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a,即2a+3≥a,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1; ②当a ∈［-1，+∞）时，f(x)min =f(a)=2-a 2, 由2-a 2≥a,解得-2≤a ≤1,又a ≥-1,∴-1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为-3≤a ≤1.方法二 由已知得x 2-2ax+2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立， 即Δ=4a 2-4(2-a)≤0或⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆0)1(10f a , 解得-3≤a ≤1. 变式练习1.已知关于x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集. 解 ∵(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ,∴⎪⎩⎪⎨⎧>+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+.0,0)32(31)(b a b a b a 于是a=2b ＞0,b ＞0,不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0,即为-bx-3b ＞0,亦即-bx ＞3b,∴x ＜-3.故所求不等式的解集为{x|x ＜-3}. 2.解关于x 的不等式2a x a x --＜0 （a ∈R ）.解2ax a x --＜0⇔(x-a)(x-a 2)＜0,①当a=0或a=1时，原不等式的解集为∅； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，此时a ＜x ＜a 2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，此时a 2＜x ＜a.综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x|a ＜x ＜a 2}； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x|a 2＜x ＜a}; 当a=0或a=1时，原不等式的解集为∅. 3.函数f(x)=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围; (2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围. 解 (1)∵x ∈R 时,有x 2+ax+3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2-4(3-a)≤0,即a 2+4a-12≤0,所以-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g(x)=x 2+ax+3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示): ①如图(1),当g(x)的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.②如图(2),g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈［-2,+∞)时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆)2(,22gax即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--32422)3(42aaaaa⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥37462aaaa或解之得a∈∅.③如图(3),g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈(-∞,2］时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆)2(,22gax即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--32422)3(42aaaaa⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥7462aaaa或⇔-7≤a≤-6 综合①②③得a∈［-7，2］.练习作业一、选择题1.函数y=)1(log221-x的定义域是（ A ）A.［-2,-1）∪（1，2］ B.［-2,-1］∪（1，2）C.［-2,-1）∪（1，2］D.（-2,-1）∪（1，2）2.不等式412--x x ＞0的解集是 （ C ）A.（-2,1）B.（2，+∞）C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.若(m+1)x 2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( C )A.m ＞1 B.m ＜-1 C.m ＜-1113 D.m ＞1或m ＜-11134.若关于x 的不等式：x 2-ax-6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 ( D )A.-25≤a ≤1B.a ≤-25或a ≥1C.-25≤a ＜0或1≤a ＜24D.-25≤a ＜-24或0＜a ≤15. （10年全国高考（第2套试题第5题））不等式2601x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜ （C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为（ C ）A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|0＜x ＜3}C.{x|0＜x ＜1}D.{x|-1＜x ＜3} 二、填空题7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-8)8.已知{x|ax 2-ax+1＜0}=∅,则实数a 的取值范围为 .答案 0≤a ≤4三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax-a 2＜0.解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)＜0,即⎪⎭⎫⎝⎛+7a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8a x ＜0. ①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a ＜x ＜8a ;②当-7a =8a ,即a=0时,原不等式解集为∅;③当-7a ＞8a ,即a ＜0时,8a＜x ＜-7a .综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-87|a x a x ;当a=0时,原不等式的解集为∅;当a ＜0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78|a x a x .10.已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解集.解 ∵x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ,∴-21,31是方程x 2+px+q=0的两实数根，由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯-=-q p )21(312131,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==6161q p ,∴不等式qx 2+px+1＞0可化为-0161612>++x x,即x 2-x-6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx 2+px+1＞0的解集为{x|-2＜x ＜3}.11.若不等式2x-1＞m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解 方法一 原不等式化为(x 2-1)m-(2x-1)＜0. 令f(m)=(x 2-1)m-(2x-1)(-2≤m ≤2).则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f 解得271+-＜x ＜231+.方法二 求已知不等式视为关于m 的不等式，（1）若x 2-1=0，即x=±1时，不等式变为2x-1＞0,即x ＞21,∴x=1,此时原不等式恒成立.（2）当x 2-1＞0时，使1122--x x ＞m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＞2, ∴1＜x ＜231+.(3)当x 2-1＜0时，使1122--x x ＜m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＜-2.∴271+-＜x ＜1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217|x x . 12.已知函数f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正， 而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-4k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F(x)的值恒为负值？解 (1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=-=+-=-126224623aab a ,∴⎩⎨⎧-=-=84b a ,∴f(x)=-4x 2+16x+48. (2)F(x)=-4k (-4x 2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx 2+4x-2.当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值；当k ≠0时，若F(x)的值恒为负值，则有⎩⎨⎧<+<08160k k ,解得k ＜-2.。

一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式的定义：
象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，
，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)（
3. 分式不等式的解法：
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.。

2.1 一元二次不等式的解法学习目标核心素养1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(难点)2．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系，会解一元二次不等式．(重点、难点)1.通过学习一元二次不等式的解法培养数学运算素养．2．通过研究“三个二次”之间的关系提升逻辑推理素养.1．一元二次不等式的有关概念阅读教材P76例1以上，完成下列问题．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式．一元二次不等式形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式一元二次不等式的解使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解一元二次不等式的解集一元二次不等式的所有解组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集思考：(1)“2x2－3y＋1＞0”是一元二次不等式吗？[提示] 不是，因为不等式2x2－3y＋1＞0中含有两个未知数x和y.(2)“3ax2＋3x＋2≤0”是一元二次不等式吗？[提示] 不一定，当a＝0时，不是一元二次不等式；当a≠0时，是一元二次不等式．2．一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的关系阅读教材P76例1以下至P79小资料以上部分，完成下列问题．判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根 有两个不等的实根 x 1、2＝－b ±Δ2a(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实根不等 式的 解集f (x )＞0 {x |x ＜x 1或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2a R f (x )＜0{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅思考：(1)若不等式ax 2＋2x ＋b ＞0的解集为(x 1，x 2)，那么a 的符号如何？ [提示] a ＜0(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集为(x 1，x 2)，那么函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是什么？方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是什么？[提示] 函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是(x 1,0)，(x 2,0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是x 1和x 2.1．下列不等式中是一元二次不等式的是( ) A ．a 2x 2＋2≥0 B ．1x2<3C ．－x 2＋x －m ≤0 D ．x 3－2x ＋1>0[答案] C2．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么实数a 的值是________． 3 [由题知－7，－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两根．∴a ＝3.] 3．不等式2x 2＋5x －3＞0的解集是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－3或x ＞12 [2x 2＋5x －3＝(2x －1)(x ＋3)＞0，解得x ＞12或x ＜－3，故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－3或x ＞12.]4．不等式－6x 2－x ＋2≥0的解集是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12 [原不等式等价于6x 2＋x －2≤0,6x 2＋x －2＝0的两根为x 1＝－23，x 2＝12，所以6x 2＋x －2≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12.]一元二次不等式的解法(1)2x 2＋5x －3＜0； (2)－3x 2＋6x ≤2； (3)4x 2－4x ＋1>0； (4)－x 2＋6x －10＞0.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12，作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图像，如图所示，用阴影部分描出原不等式的解，由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12. (2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图像，如图所示， 由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33.(3)因为Δ＝0，所以方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x2－4x ＋1的图像如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12，x ∈R. (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，因为Δ＝－4<0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，所以原不等式的解集为∅.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零． (2)计算对应方程的判别式．(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)根据函数图像与x 轴的相关位置写出不等式的解集．1．(1)不等式(x ＋1)(2－x )≤0的解集为( ) A ．[－2,1] B ．[－1,2]C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) (2)解不等式：－2<x 2－3x ≤10. (1)C [由(x ＋1)(2－x )≤0， 得(x ＋1)(x －2)≥0，方程(x ＋1)(x －2)＝0的解为x ＝－1，x 2＝2，函数y ＝(x ＋1)(x －2)的图像是开口向上的抛物线，与x 轴的交点为(－1,0)和(2,0)．观察图像可得，不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}．] (2)[解] 原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x >－2， ①x 2－3x ≤10， ②不等式①可化为x 2－3x ＋2>0，解得x >2或x <1. 不等式②可化为x 2－3x －10≤0，解得－2≤x ≤5. 故原不等式的解集为[－2,1)∪(2,5]．三个二次之间的关系【例2】 若关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集． [解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得 16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)． 即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0， 所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}．三个“二次”问题的解法(1)已知一元二次方程的根，可以写出相应不等式的解集．反之，已知不等式的解集也可以写出相应二次方程的根，进一步可求得方程中的系数或得到系数之间的关系．(2)解决此类问题，要注意隐含条件的提取，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a ＜0”这一关键信息，并由此得c ＜0，从而解得不等式cx 2＋bx ＋a ＜0.2．已知不等式ax 2＋bx ＋2＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求a ，b 的值． [解] 法一：由题意知x 1＝1，x 2＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋2＝04a ＋2b ＋2＝0，解得a ＝1，b ＝－3.法二：由题意知x 1＝1，x 2＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－ba 1×2＝2a，解得a ＝1，b ＝－3.含参数的一元二次不等式的解法[探究问题]1．不等式(x －a )(x －a －1)＞0的解集是什么？ [提示] {x |x ＜a 或x ＞a ＋1}．2．不等式x (ax －1)＜0(其中a ≠0)的解集是什么？[提示] 当a ＞0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜1a ；当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a，或x ＞0.3．方程x 2＋ax ＋1＝0是否有根？[提示] 当Δ＝a 2－4≥0，即a ≥2或a ≤－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有根， 当Δ＝a 2－4＜0，即－2＜a ＜2时，方程x 2＋ax ＋1＝0无根． 4．不等式x 2＋ax ＋1＜0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －a －a 2－42＜x ＜－a ＋a 2－42吗？ [提示] 当Δ＝a 2－4＞0，即a ＞2或a ＜－2时，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－a －a 2－42＜x ＜－a ＋a 2＋42； 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式的解集是∅. 【例3】 解关于x 的不等式：ax 2－(a －1)x －1＜0(a ∈R )． [解] 原不等式可化为(ax ＋1)(x －1)＜0， 当a ＝0时，x ＜1；当a ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＜0，∴－1a＜x ＜1；当a ＝－1时，x ≠1；当－1＜a ＜0时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＞0，∴x ＞－1a或x ＜1；当a ＜－1时，－1a ＜1，∴x ＞1或x ＜－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集是{x |x ＜1}；当a ＞0时，原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，原不等式的解集是{x |x ≠1}；当－1＜a ＜0时，原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1或x ＞－1a .1．(变条件)把例3中的不等式换为：ax 2－x －1＜0(a ∈R )，解此不等式． [解] 当a ＝0时，不等式化为－x －1＜0，解得x ＞－1，当a ＞0时，方程ax 2－x －1＝0的Δ＝1＋4a ＞0，则该方程有两个根，x 1＝1－1＋4a 2a，x 2＝1＋1＋4a 2a ，且x 1＜x 2，故不等式的解为1－1＋4a 2a ＜x ＜1＋1＋4a2a ， 当a ＜0时，方程ax 2－x －1＝0的Δ＝1＋4a ， 若Δ＝1＋4a ＞0，即－14＜a ＜0时，方程ax 2－x －1＝0有两个根：x 1＝1－1＋4a 2a ，x 2＝1＋1＋4a 2a ，且x 1＞x 2故不等式的解为x ＜1＋1＋4a2a或x ＞1－1＋4a2a； 若Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝－14时，不等式化为x 2＋4x ＋4＞0，不等式的解为x ∈R 且x ≠－2，若Δ＝1＋4a ＜0，即a ＜－14时，方程ax 2－x －1＝0无解，则不等式ax 2－x －1＜0的解集为R .综上所述：当a ＞0时，原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1＋4a 2a ＜x ＜1＋1＋4a 2a ， 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ＞－1}，当－14＜a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1＋1＋4a 2a 或x ＞1－1＋4a2a ， 当a ＝－14时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－2}，当a ＜－14时，原不等式的解集为R .2．(变条件)把例3中的不等式换为：x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0，解此不等式． [解] 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)＞0，讨论a 与a 2的大小(1)当a2＞a即a＞1或a＜0时，x＞a2或x＜a．(2)当a2＝a即a＝0或a＝1时，x≠a．(3)当a2＜a即0＜a＜1时，x＞a或x＜a2.综上，当a＜0或a＞1时，解集为{x|x＞a2或x＜a}，当a＝0或1时，解集为{x|x≠a}，当0＜a＜1时，解集为{x|x＞a或x＜a2}．1．若一元二次不等式中的系数是含有字母的代数式，则需对参数进行分类讨论．一般从以下三个方面进行分类讨论：(1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准；(2)以判别式与零的大小关系作为分类标准；(3)若判别式大于零，但两根的大小不能确定，则再以两根的大小关系作为分类标准．2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．1．解一元二次不等式应注意，当二次项系数为负数时，一般先化成正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二次方程以及二次函数的图像．一元二次方程的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，对应不等式的解集，而方程的根就是不等式解集区间的端点．3．解不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)时要注意对参数分类讨论，讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即根的判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论.1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设一元二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．( )(2)不等式f(x)＝ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则f(x)＝0无零点．( )(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√[提示] (1)错误．当f (x )二次项系数小于0时，f (x )＞0的解集是{x |x 1＜x ＜x 2}，(2)(3)正确．2．(2x －1)(3x ＋1)>0的解集为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－13或x >12B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <12 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－13 A [由(2x －1)(3x ＋1)>0，得x >12，或x <－13.]3．若不等式ax 2－x ＋b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________. 75[由题意知x 1＝2，x 2＝3是方程ax 2－x ＋b ＝0的根， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2＋3ba ＝2×3，解得a ＝15，b ＝65，故a ＋b ＝75.]4．解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0.(a ∈R )[解] 不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0可化为(x －1)(x －a )≤0， 当a ＞1时，不等式的解集为{x |1≤x ≤a }； 当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}， 当a ＜1时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤1}．。

高一数学《一元二次不等式的解法》教案北师大版高一数学《一元二次不等式的解法》教案北师大版一元二次不等式是北师大版高中数学必修五第三章<<不等式>>第二节第一课. 一元二次不等式是学习了一元二次方程的解法及二次函数图像与性质后学生新接触的内容。

一元二次不等式是重要的数学模型。

它与一元二次方程、二次函数有着密切的关系，通过二次函数的图像刻画一元二次不等式表示的区域，能够体现数形结合的思想方法。

教材由交通事故分析哪辆车违章，引出一元二次不等式概念，贴合生活实际，体现了数学来源于生活，由生活问题抽象而来，易于学生接受。

教材通过一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系的分析，把“<<一元二次不等式的解法>>第一课时教学设计”转化为“<<一元二次不等式的解法>>第一课时教学设计”图像位于<<一元二次不等式的解法>>第一课时教学设计轴上方（下方）时，<<一元二次不等式的解法>>第一课时教学设计的取值范围；而一元二次方程方程的解就是相应的二次函数图像与<<一元二次不等式的解法>>第一课时教学设计轴交点的横坐标（即二次函数的零点）。

从而得到解一元二次不等式的解法步骤。

二、教学目标解读知识与技能：了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的区别与联系；能借助二次函数图像解形如 <<一元二次不等式的解法>>第一课时教学设计的不等式。

过程与方法：利用由特殊到一般、数形结合的思想方法，探究求解一元二次不等式的程序步骤。

情感、态度、价值观：认识三个“二次”之间的联系与转化。

三、重点与难点重点：利用二次函数图像求解一元二次不等式。

难点：一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的联系。

四、学情分析学生在初中和必修一已经学习了解一元二次方程、二次函数的图像与性质，学生对此比较熟悉，而从数到形，再从形到数是一次思想观念的升华。