函数的最值与导数教案

函数的极值与导数教案教案标题：函数的极值与导数教案目标：1. 了解函数的极值概念及其与导数的关系。

2. 掌握求函数极值的方法和应用。

3. 培养学生的分析和解决问题的能力。

教案步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾函数的概念和图像表示。

2. 提问：你们对函数的极值有什么了解？导入（10分钟）：1. 通过一个简单的例子引出函数的极值概念。

2. 解释函数的极大值和极小值的定义。

3. 引导学生思考函数极值与导数的关系。

讲解（15分钟）：1. 解释导数的定义和作用。

2. 介绍函数极值与导数的关系，即函数在极值点处的导数为0。

3. 解释为什么导数为0的点可能是极值点。

示范（15分钟）：1. 通过一个具体的例子演示如何求函数的极值。

2. 使用导数的方法计算极值点，并验证结果的正确性。

3. 强调求解极值时要注意区间的选择和边界条件。

练习（15分钟）：1. 分发练习题，要求学生独立完成。

2. 鼓励学生尝试不同类型的函数和问题。

3. 提供适当的提示和指导。

总结（5分钟）：1. 回顾本课所学的内容，强调函数极值与导数的关系。

2. 概括求解函数极值的方法和步骤。

3. 鼓励学生在实际问题中运用所学知识。

拓展（5分钟）：1. 提供一些拓展问题，让学生思考更复杂的情况。

2. 引导学生探索其他与函数极值相关的概念和应用。

教学辅助工具：1. 教材或课件，用于讲解和示范。

2. 白板或黑板，用于演示计算过程和解题思路。

3. 练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

教学评估：1. 在练习环节中观察学生的解题过程和答案。

2. 提供及时的反馈和指导，纠正学生的错误或不完整的理解。

3. 鼓励学生在课后继续思考和实践相关问题。

教案扩展：1. 可以引入更复杂的函数类型，如三角函数、指数函数等。

2. 可以探讨函数的凹凸性和拐点等相关概念。

3. 可以引导学生在实际问题中应用函数的极值概念，如最优化问题等。

导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[做一做]1．设函数f(x)＝x e x，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点2．函数y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________．3．已知x＝3是函数f(x)＝a ln x＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________．1．辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．2．明确两个条件一是f′(x)>0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．二是对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．考点一__函数的极值问题(高频考点)____________函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[规律方法] 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤： (1)先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点．1.(1)已知函数f (x )＝x 3－2x 2e x.求f (x )的极大值和极小值．(2)已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． ①求a 和b 的值；②设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．考点二__函数的最值问题______________________已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0.(1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值.[规律方法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2.设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值．方法思想——转化与化归思想求解曲线间交点问题已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0. 所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．[名师点评] (1)本题求解利用了转化与化归思想，把证明曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点问题转化为证明方程f (x )－kx ＋2＝0只有一个根，分x ≤0和x >0两情况给予说明．(2)转化与化归原则：一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．设L 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1，0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 解：(1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且 g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．课后作业1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－6432．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( )A ．c <14B ．c ≤14C ．c ≥14D ．c >143. 已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－235．函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．6．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )7．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是__________．8．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，求a 的取值范围．课后作业答案1解析：选′(x )＝x 2＋2x －3， 令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0，2]上的最小值是f (1)＝－173.2．解析：选′(x )＝x 2－x ＋c .因为函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则方程x 2－x ＋c ＝0有两个不同的实根，所以Δ＝1－4c >0⇒c <14.3．解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0<x <9时，y ′>0.所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是该函数的极大值点，又该函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以该函数在x ＝9处取得最大值．4．解析：选A.由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9满足题意，故a b ＝－23.5．解析：y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，y ′＞0；当－1<x <0时，y ′＜0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3. 答案：－36． 解析：选C.由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(b >－2)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.所以函数y ＝xf ′(x )在区间(a ，－2)(a <－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )(－2<b <0)内的函数值为负，由此可排除选项A ，B ，D.7．解析：令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ，则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：从而⎩⎨⎧（－a ）3－3a （－a ）＋b ＝6（a ）3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4，所以f (x )的单调递减区间是(－1，1)． 答案：(－1，1)8．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x.①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a .因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a >1，解得－1<a <0.综合①②得a 的取值范围是a >－1.。

函数的极值与导数(教案)第一章：极值的概念教学目标：1. 理解极值的概念；2. 能够找出函数的极值点；3. 能够判断函数的极值类型。

教学内容：1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的判断方法；3. 举例讲解如何找出函数的极值点；4. 讲解极大值和极小值的概念；5. 举例讲解如何判断函数的极大值和极小值。

教学活动：1. 引入极值的概念，引导学生思考什么是极值；2. 通过示例讲解如何找出函数的极值点，引导学生动手尝试；3. 讲解极大值和极小值的概念，引导学生理解极大值和极小值的区别；4. 通过示例讲解如何判断函数的极大值和极小值，引导学生进行判断。

作业布置：1. 练习找出给定函数的极值点；2. 练习判断给定函数的极大值和极小值。

第二章：导数的基本概念教学目标：1. 理解导数的概念；2. 能够计算常见函数的导数；3. 能够利用导数判断函数的单调性。

教学内容：1. 引入导数的概念；2. 讲解导数的计算方法；3. 举例讲解如何利用导数判断函数的单调性；4. 讲解导数的应用。

教学活动：1. 引入导数的概念，引导学生思考什么是导数；2. 通过示例讲解如何计算常见函数的导数，引导学生动手尝试；3. 讲解导数的应用，引导学生理解导数在实际问题中的应用；4. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生进行判断。

作业布置：1. 练习计算给定函数的导数；2. 练习利用导数判断给定函数的单调性。

第三章：函数的单调性教学目标：1. 理解函数单调性的概念；2. 能够利用导数判断函数的单调性；3. 能够找出函数的单调区间。

教学内容：1. 引入函数单调性的概念；2. 讲解如何利用导数判断函数的单调性；3. 举例讲解如何找出函数的单调区间；4. 讲解函数单调性的应用。

教学活动：1. 引入函数单调性的概念，引导学生思考什么是函数单调性；2. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生动手尝试；3. 讲解如何找出函数的单调区间，引导学生理解单调区间的概念；4. 通过示例讲解如何找出给定函数的单调区间，引导学生进行判断。

函数最大(小)值与导数教案一、教学目标1. 让学生理解函数的极值概念，掌握函数的极大值和极小值的求法。

2. 引导学生理解导数与函数单调性的关系，能够运用导数判断函数的单调性。

3. 培养学生运用导数解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。

二、教学内容1. 函数的极值概念2. 函数的极大值和极小值的求法3. 导数与函数单调性的关系4. 运用导数解决实际问题三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的极值概念，函数的极大值和极小值的求法，导数与函数单调性的关系。

2. 教学难点：运用导数解决实际问题。

四、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 教学手段：利用多媒体课件辅助教学，结合板书进行讲解。

五、教学安排1课时教案一、导入新课通过复习导数的基本概念，引导学生回顾导数的计算公式，为新课的学习做好铺垫。

二、讲解函数的极值概念1. 定义：如果函数在某一区间内的任意一点的导数都小于（或大于）0，在这个区间内函数是单调递减（或单调递增）的。

2. 极值：在函数的单调区间内，如果函数在某一点取得局部最大值或最小值，这一点称为函数的极大值点或极小值点。

三、讲解函数的极大值和极小值的求法1. 求极值的方法：求出函数的导数，令导数为0，解方程得到可能的极值点。

2. 判断极值点的性质：根据导数的符号变化来判断极值点的性质。

如果导数从正变负，函数在这一点取得极大值；如果导数从负变正，函数在这一点取得极小值。

四、讲解导数与函数单调性的关系1. 单调性判断：如果函数的导数大于0，函数是单调递增的；如果函数的导数小于0，函数是单调递减的。

2. 单调区间：函数的单调递增区间为导数大于0的区间，单调递减区间为导数小于0的区间。

五、运用导数解决实际问题1. 问题提出：如何求解函数在实际问题中的最大值和最小值？2. 方法指导：建立函数模型，求出函数的导数，分析导数的符号变化，找出函数的极值点，根据实际意义选取合适的极值点作为最大值或最小值。

函数的极值与导数一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义2. 学会求函数的导数3. 理解函数的极值概念4. 学会利用导数研究函数的极值二、教学内容1. 导数的定义和几何意义2. 常见函数的导数3. 函数的极值概念4. 利用导数研究函数的单调性5. 利用导数求函数的极值三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义和几何意义，常见函数的导数，函数的极值概念，利用导数求函数的极值2. 难点：导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义、常见函数的导数及函数的极值概念2. 利用例题解析法讲解利用导数研究函数的单调性和求函数的极值3. 组织学生进行小组讨论和互动，巩固所学知识五、教学过程1. 导入：复习导数的定义和几何意义，引导学生思考如何求函数的导数2. 新课：讲解常见函数的导数，引导学生掌握求导数的方法3. 案例分析：利用导数研究函数的单调性，求函数的极值，引导学生理解和应用所学知识4. 练习与讨论：布置练习题，组织学生进行小组讨论，解答练习题5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生思考如何利用导数研究更复杂的函数极值问题六、课后作业1. 复习导数的定义和几何意义，常见函数的导数2. 练习求函数的导数3. 利用导数研究函数的单调性，求函数的极值七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态2. 练习与讨论：评估学生在练习题和小组讨论中的表现，检验学生对知识的掌握程度3. 课后作业：检查课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度六、教学策略的调整1. 根据学生的课堂反馈，适时调整教学节奏和难度，确保学生能够跟上教学进度。

2. 对于学生掌握不够扎实的知识点，可以通过举例、讲解、练习等多种方式加强巩固。

3. 鼓励学生提出问题，充分调动学生的主动学习积极性，提高课堂互动性。

七、教学案例分析1. 通过分析具体案例，让学生理解导数在实际问题中的应用，例如在物理学中的速度、加速度的计算。

数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。

2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。

3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。

(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。

(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。

二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。

2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。

3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。

(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。

(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。

三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。

2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。

3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。

(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。

(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。

四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。

2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。

3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。

(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。

《函数的最大(小)值与导数》参考教案章节一：函数的导数与最大值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。

让学生学会使用导数来求函数的最大值。

2. 教学内容：导数的定义和性质。

利用导数求函数的最大值。

3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。

介绍利用导数求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。

章节二：函数的导数与最小值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。

让学生学会使用导数来求函数的最小值。

2. 教学内容：导数的定义和性质。

利用导数求函数的最小值。

3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。

介绍利用导数求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。

章节三：函数的单调性与最大值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。

让学生学会利用函数的单调性来求函数的最大值。

2. 教学内容：函数的单调性。

利用函数的单调性来求函数的最大值。

3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。

介绍利用函数的单调性来求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。

章节四：函数的单调性与最小值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。

让学生学会利用函数的单调性来求函数的最小值。

2. 教学内容：函数的单调性。

利用函数的单调性来求函数的最小值。

3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。

介绍利用函数的单调性来求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。

章节五：实际问题中的最大(小)值问题1. 教学目标：让学生学会将实际问题转化为函数的最大(小)值问题。

让学生学会利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。

2. 教学内容：实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法。

利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。

3. 教学步骤：介绍实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。

介绍利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。

章节六：利用导数求函数的最大值和最小值1. 教学目标：让学生能够熟练运用导数求解函数的最大值和最小值。

函数的最大小值与导数的教学设计与反思
一、教学设计
1、教学前准备
(1)教学准备:课件、课文《微积分基础》
(2)教学活动准备:多媒体课件、白板、笔。

2、教学过程
（一）活动一:理解二元函数的最大值与最小值
1.板书函数y=f(x)，并用图示阐释函数的含义
2.引导学生探讨函数y=f(x)的最大值和最小值，阐释定义：在函数f(x)的定义域内，存在一个实数m，使得f(m)≥f(x)∀x∈D，则m叫函数f(x)的极大值，f(m)叫函数f(x)的最大值。

（二）活动二:求二元函数的最大值与最小值
1.指导学生了解求最大最小值的四种方法：（1）图像法；（2）极值点法；（3）反函数法；（4）利用导数法。

2.指导学生学习利用导数法求最大最小值，并强调：由二元函数的导数大小可以判断函数的最大最小值；由二元函数的导数与切线的方向关系可以决定函数的极值点在哪个区间上。

（三）活动三:练习
1.用导数法求函数y=x^2-2x+4的极大值
2. 用导数法求函数y=2cosx-sinx的极小值
3.导出开口为2的双曲线x^2/4-y^2/9=1的极值点的坐标
（四）活动四:总结
1.复习前面内容，板书导数法求最大最小值的基本过程
2.总结本节课学习内容，梳理求极值点的方法
二、反思
本次教学中，我采用活动教学的方法。

函数的最值与导数的教学设计教学设计：函数的最值与导数一、教学目标：1.理解函数的最值的概念和意义；2.掌握求解函数最值的方法；3.理解导数的概念和意义；4.掌握使用导数求解函数极值的方法。

二、教学准备：1.教师准备：教材、黑板、彩色粉笔、示意图；2.学生准备：课本、笔、纸。

三、教学过程：1.引入（10分钟）教师先在黑板上画一个函数的图像，然后进行以下提问：（1）你知道什么是函数的最值吗？可以举一个例子吗？（2）如何求解函数的最大值和最小值呢？引导学生回忆起求解函数极值时的方法。

2.探究函数的最值（15分钟）教师通过示意图和具体例子引导学生进行研究，步骤如下：（1）首先，给定一个函数的图像，让学生思考如何确定函数的最值。

（2）引导学生观察函数图像的上升和下降趋势，从而找到最大值和最小值对应的点。

（3）让学生根据所给示意图中的函数图像进行练习，求解函数的最值。

3.总结求解函数最值的方法（10分钟）让学生自己总结求解函数最值的方法，教师进行点评和补充，强调以下几点：（1）函数最值是指函数图像中的最高点和最低点沿y轴的坐标；（2）找到函数图像上升和下降的趋势，根据趋势确定最值对应的点；（3）通过观察函数图像的凹凸性，判断最值的位置。

4.引入导数的概念（15分钟）（1）教师先在黑板上写出函数的定义：y=f(x)。

（2）然后，引导学生思考如果函数在特定点处的斜率可以表示函数在该点的特性。

（3）通过几个具体例子，教师解释导数的概念和含义：导数描述了函数图像在特定点处的斜率或变化率。

5.导数与函数的极值（15分钟）（1）引导学生思考是否可以通过求导数的方法来确定函数的极值。

（2）教师给出一组函数的图像，并让学生通过观察导数的变化情况来确定函数的极值点。

（3）通过几个具体例子，教师讲解使用导数求解函数极值的方法：a.求导，找到导函数的零点，即函数的驻点；b.比较函数的驻点和定义域的端点，确定函数的最值。

6.总结导数求解函数极值的方法（10分钟）让学生自己总结导数求解函数极值的方法，教师进行点评和补充，强调以下几点：（1）导数可以用来判断函数在特定点的增减性，从而确定极值点；（2）导数为0的点称为驻点，驻点可能是函数的极值点；（3）比较驻点和定义域的端点，确定最值位置。

函数的极值与导数第一章：函数极值概念的引入1.1 教学目标让学生了解极值的概念，理解极大值和极小值的区别。

学会通过图像来观察函数的极值。

掌握利用导数求函数极值的方法。

1.2 教学内容函数极值的定义利用图像观察函数极值利用导数求函数极值1.3 教学步骤1. 引入极值的概念，让学生通过具体的例子来理解极大值和极小值。

2. 通过图像来观察函数的极值，引导学生学会从图像中找出极大值和极小值。

3. 讲解利用导数求函数极值的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。

1.4 作业布置f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1g(x) = x^2 4x + 4第二章：函数的单调性2.1 教学目标让学生理解函数单调性的概念，学会判断函数的单调性。

掌握利用导数来判断函数的单调性。

2.2 教学内容函数单调性的定义利用导数判断函数单调性2.3 教学步骤1. 引入函数单调性的概念，让学生通过具体的例子来理解函数单调性。

2. 讲解利用导数来判断函数单调性的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。

2.4 作业布置h(x) = x^3 3xk(x) = x^2 4x + 3第三章：函数的极值定理3.1 教学目标让学生了解函数的极值定理，学会应用极值定理来解决问题。

3.2 教学内容函数的极值定理3.3 教学步骤1. 讲解函数的极值定理，让学生理解极值定理的意义。

2. 通过例题让学生学会应用极值定理来解决问题。

3.4 作业布置求函数f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1 的极大值和极小值。

第四章：函数的拐点4.1 教学目标让学生了解拐点的概念，学会通过导数来找函数的拐点。

4.2 教学内容拐点的定义利用导数找拐点4.3 教学步骤1. 引入拐点的概念，让学生通过具体的例子来理解拐点。

2. 讲解利用导数来找拐点的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。

4.4 作业布置m(x) = x^3 3xn(x) = x^2 4x + 4第五章：函数的单调性与极值的应用5.1 教学目标让学生学会运用函数的单调性和极值来解决实际问题。

数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用一、教学目标：1. 理解函数的极值与最值的概念，掌握求解函数极值与最值的方法。

2. 熟练运用导数性质，解决实际问题中的最值问题。

3. 提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和数学素养。

二、教学内容：1. 函数的极值与最值概念。

2. 求解函数极值与最值的方法。

3. 导数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的极值与最值的概念，求解方法及实际应用。

2. 教学难点：导数在实际问题中的综合运用。

四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数极值与最值的问题。

2. 利用多媒体课件，展示函数图像，直观地引导学生理解极值与最值的概念。

3. 结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。

五、教学过程：1. 导入新课：复习函数的极值与最值概念，引导学生回顾求解方法。

2. 知识讲解：讲解求解函数极值与最值的方法，结合实例进行分析。

3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

4. 案例分析：结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。

教案将继续编写后续章节，敬请期待。

六、教学评估：1. 课堂练习环节，通过学生解答练习题的情况，评估学生对函数极值与最值概念的理解以及求解方法的掌握程度。

2. 案例分析环节，通过学生分析实际问题、运用导数求解最值问题的过程，评估学生的应用能力和逻辑思维。

3. 课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度和自主学习能力。

七、教学反思：1. 根据教学评估的结果，反思教学过程中是否存在不足，如有需要，调整教学方法，以提高教学效果。

2. 针对学生的掌握情况，针对性地进行辅导，解决学生在学习过程中遇到的问题。

3. 结合学生的反馈，优化教学内容，使之更符合学生的学习需求。

八、课后作业：1. 复习本节课所学的函数极值与最值的概念及求解方法。

一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握函数的最大值和最小值的求解方法。

2. 让学生掌握导数的定义，了解导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。

2. 利用导数求函数的最大值和最小值。

3. 函数的单调性及其与导数的关系。

4. 函数的极值及其与导数的关系。

5. 实际问题中的最大值和最小值问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。

2. 教学难点：利用导数求函数的最大值和最小值的具体步骤，理解导数与函数单调性、极值之间的关系。

四、教学方法与手段1. 采用讲解、例题、练习、讨论相结合的教学方法。

2. 使用多媒体课件，直观展示函数图像，帮助学生理解函数的最大值、最小值和导数之间的关系。

五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如购物、optimization problems等，引导学生思考函数的最大值和最小值问题。

2. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的概念，介绍利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 例题：挑选典型例题，引导学生运用导数求解函数的最大值和最小值。

4. 练习：学生自主练习，巩固求解函数最大值和最小值的方法。

5. 讨论：分组讨论，分享解题心得，互相学习。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数在研究函数单调性、极值等方面的重要性。

7. 作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：监测学生在课堂上的学习效果，通过练习题目的完成情况了解学生对函数最大值和最小值概念以及导数应用的掌握程度。

2. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的吸收情况，作业应包括不同难度的题目，以检测学生的理解力和应用能力。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，以及他们能否运用所学知识解决实际问题。

§3.3导数与函数的极值、最值考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．知识梳理1．函数的极值(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有①f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值；②f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点就是在其附近函数值最大的点，极小值点就是在其附近函数值最小的点．(2)一般地，如果x0是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有f′(x0)＝0.(3)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义域，求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(√)(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(×)(3)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(√)教材改编题1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4答案A解析由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个．2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．答案(－∞，－6)∪(6，＋∞)解析f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>6或a<－ 6.x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.3．若函数f(x)＝13答案4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max ＝f(0)＝4，所以m＝4.题型一利用导数求解函数的极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是()A．当x＝－1时，f(x)取得极小值B.f (x )在[－2,1]上单调递增C ．当x ＝2时，f (x )取得极大值D.f (x )在[－1,2]上不具备单调性答案AC解析由导函数f ′(x )的图象可知，当－2<x <－1时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减；当x ＝－1时，f ′(x )＝0；当－1<x <2时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；当x ＝2时，f ′(x )＝0；当2<x <4时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减；当x ＝4时，f ′(x )＝0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值，故选项A 正确；f (x )在[－2,1]上有减有增，故选项B 错误；当x ＝2时，f (x )取得极大值，故选项C 正确；f (x )在[－1,2]上单调递增，故选项D 错误．命题点2求已知函数的极值例2(2022·西南大学附中模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋2ax 2＋2(a ＋1)x (a ≠0)，讨论函数f (x )的极值．解因为f (x )＝ln x ＋2ax 2＋2(a ＋1)x ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋4ax ＋2a ＋2＝(2ax ＋1)(2x ＋1)x，若a <0，则当x f ′(x )>0；当x －12a，＋f ′(x )<0，故函数f (x )－12a，＋故f (x )在x ＝－12a 处取得唯一的极大值，且极大值为f －12a－1.若a >0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0恒成立，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值．综上，当a <0时，f (x )的极大值为－12a －1，无极小值；当a >0时，f (x )无极值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2023·福州质检)已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则c 的值为()A ．2B ．4C ．6D ．2或6答案A解析由题意，f ′(x )＝(x －c )2＋2x (x －c )＝(x －c )·(3x －c )，则f ′(2)＝(2－c )(6－c )＝0，所以c ＝2或c ＝6.若c ＝2，则f ′(x )＝(x －2)(3x －2)，当x ∞f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，函数f (x )在x ＝2处有极小值，满足题意；若c ＝6，则f ′(x )＝(x －6)(3x －6)，当x ∈(－∞，2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2,6)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，函数f (x )在x ＝2处有极大值，不符合题意．综上，c ＝2.(2)(2023·威海模拟)若函数f (x )＝e x －ax 2－2ax 有两个极值点，则实数a 的取值范围为()－12，答案D解析由f (x )＝e x －ax 2－2ax ，得f ′(x )＝e x －2ax －2a .因为函数f (x )＝e x －ax 2－2ax 有两个极值点，所以f ′(x )＝e x －2ax －2a 有两个变号零点，令f ′(x )＝0，得12a ＝x ＋1ex ，设g (x )＝x ＋1e x，y ＝12a ；则g ′(x )＝－xex ，令g ′(x )＝0，即－xe x ＝0，解得x ＝0，当x >0时，g ′(x )<0；当x <0时，g ′(x )>0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．分别作出函数g (x )＝x ＋1ex 与y ＝12a 的图象，如图所示，由图可知，0<12a <1，解得a >12，所以实数a 的取值范围为12，＋∞思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a ＋b 的值为()A ．－1或3B ．1或－3C ．3D ．－1答案C解析因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a ，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为函数f (x )在x ＝1处取得极大值10，所以f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，①f (1)＝1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，②联立①②，解得a ＝－2，b ＝1或a ＝－6，b ＝9.当a ＝－2，b ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)，f (x )－∞，13(1，＋∞)上单调13，1上单调递减，故f (x )在x ＝1处取得极小值10，不符合题意；当a ＝－6，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝(x －1)(3x －9)，f (x )在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f (x )在x ＝1处取得极大值10，符合题意．综上可得，a ＝－6，b ＝9.则a ＋b ＝3.(2)(2022·哈师大附中模拟)已知函数f (x )＝e xx 2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是()A ．(0,2]B ．[2，＋∞)C.－∞，e2 D.－∞，e 24答案D解析由题意，f (x )＝e xx2＋2k ln x －kx (x >0)，f ′(x )＝x －2x ·令f ′(x )＝0得x ＝2或k ＝e xx 2，令φ(x )＝e xx 2(x >0)，∴φ′(x )＝e x (x －2)x 3，∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(2)＝e 24，又当x →＋∞时，φ(x )→＋∞，∴若φ(x )＝k 无实数根，则k <e 24，∵当k ＝e 24时，φ(x )＝k 的解为x ＝2，∴实数k ∞，e 24.题型二利用导数求函数最值命题点1不含参函数的最值例4(2022·全国乙卷)函数f (x )＝cos x ＋(x ＋1)sin x ＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为()A ．－π2，π2B ．－3π2，π2C ．－π2，π2＋2D ．－3π2，π2＋2答案D解析f (x )＝cos x ＋(x ＋1)sin x ＋1，x ∈[0,2π]，则f ′(x )＝－sin x ＋sin x ＋(x ＋1)·cos x ＝(x ＋1)cos x ，x ∈[0,2π]．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1(舍去)，x ＝π2或x ＝3π2.因为f cos π2＋π2＋1＝2＋π2，f cos 3π2＋3π2＋1＝－3π2，又f(0)＝cos0＋(0＋1)sin0＋1＝2，f(2π)＝cos2π＋(2π＋1)sin2π＋1＝2，所以f(x)max＝f2＋π2，f(x)min＝f ＝－3π2.故选D.命题点2含参函数的最值例5已知函数f(x)＝x－ax－ln x(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在1e，e上的最大值g(a)．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－x x2，①若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当0<x<a时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．(2)f′(x)＝a－xx2，当a≤1e时，f(x)在1e，e上单调递减，所以f(x)max＝f2－a e；当1e<a<e时，f(x)在1e，a上单调递增，在[a，e]上单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝－ln a；当a≥e时，f(x)在1e，e上单调递增，所以f(x)max＝f(e)＝－a e，综上，g(a)－ae，a≥e，ln a，1e<a<e，－a e，a≤1e.思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2(1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案1解析函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x ，当12<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x ，12上单调递减，所以f (x )min ＝f 2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1.(2)已知函数h (x )＝x －a ln x ＋1＋ax(a ∈R )在区间[1，e]上的最小值小于零，求a 的取值范围．解由题意得，h ′(x )＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －(1＋a )x 2＝[x －(1＋a )](x ＋1)x 2，且定义域为(0，＋∞)，①当a ＋1≤0，即a ≤－1时，h ′(x )>0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上单调递增，则h (x )在[1，e]上单调递增，故h (x )min ＝h (1)＝2＋a <0，解得a <－2；②当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，a ＋1)上，h ′(x )<0，在(a ＋1，＋∞)上，h ′(x )>0，所以h (x )在(0，a ＋1)上单调递减，在(a ＋1，＋∞)上单调递增，若a ＋1≤1，求得h (x )min >1，不合题意；若1<a ＋1<e ，即0<a <e －1，则h (x )在(1，a ＋1)上单调递减，在(a ＋1，e)上单调递增，故h (x )min ＝h (a ＋1)＝2＋a [1－ln(a ＋1)]>2，不合题意；若a ＋1≥e ，即a ≥e －1，则h (x )在[1，e]上单调递减，故h (x )min ＝h (e)＝e －a ＋a ＋1e<0，得a >e 2＋1e －1>e －1，综上，a 的取值范围为(－∞，－2)课时精练1．(多选)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A ．f (x )在区间(－2,3)上有2个极值点B ．f ′(x )在x ＝－1处取得极小值C ．f (x )在区间(－2,3)上单调递减D ．f (x )在x ＝0处的切线斜率小于0答案BCD解析根据f ′(x )的图象可得，在(－2,3)上，f ′(x )≤0，∴f (x )在(－2,3)上单调递减，∴f (x )在区间(－2,3)上没有极值点，故A 错误，C 正确；由f ′(x )的图象易知B 正确；根据f ′(x )的图象可得f ′(0)<0，即f (x )在x ＝0处的切线斜率小于0，故D 正确．2．函数f (x )＝12x －sin x 在0，π2上的极小值为()A.π12－32B.π12－12C.π6－12D.π6－32答案D解析由f (x )＝12x －sin x ，得f ′(x )＝12－cos x ，当x f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以π3是函数f (x )的极小值点，且极小值为f ＝π6－32.3．已知x ＝2是f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 的极值点，则f (x )在13，3上的最大值是()A ．2ln 3－92B ．－52C ．－2ln 3－1718D ．2ln 2－4答案A解析由函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x ，可得f ′(x )＝2x ＋2ax －3，因为x ＝2是f (x )的极值点，可得f ′(2)＝1＋4a －3＝0，解得a ＝12，所以f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，x >0，当13≤x <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当1<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当2<x ≤3时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，由f (1)＝－52，f (3)＝2ln 3－92，又由f (3)－f (1)＝2ln 3－92＋52＝2ln 3－2>2ln e －2＝0，所以f (1)<f (3)，所以当x ＝3时，函数f (x )取得最大值，最大值为2ln 3－92.4．(2022·全国甲卷)当x ＝1时，函数f (x )＝a ln x ＋bx 取得最大值－2，则f ′(2)等于()A ．－1B ．－12C.12D ．1答案B解析因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，1)＝－2，(1)＝0，而f ′(x )＝a x －bx 2，＝－2，－b ＝0，＝－2，＝－2，所以f ′(x )＝－2x ＋2x2，因此函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x ＝1时取最大值，满足题意．所以f ′(2)＝－1＋12＝－12.故选B.5．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋ln x 有两个不同的极值点x 1，x 2，则实数a 的取值范围为()D ．(0,2)答案C 解析由f (x )＝ax 2－2x ＋ln x (x >0)，得f ′(x )＝2ax －2＋1x ＝2ax 2－2x ＋1x(x >0)，若函数f (x )＝ax 2－2x ＋ln x 有两个不同的极值点x 1，x 2，则方程2ax 2－2x ＋1＝0有两个不相等的正实根，＝4－8a >0，1＋x 2＝1a >0，1x 2＝12a>0，解得0<a <12.6．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3－x ＋1，则()A ．f (x )有两个极值点B ．f (x )有三个零点C ．点(0,1)是曲线y ＝f (x )的对称中心D ．直线y ＝2x 是曲线y ＝f (x )的切线答案AC 解析因为f (x )＝x 3－x ＋1，所以f ′(x )＝3x 2－1.令f ′(x )＝3x 2－1＝0，得x ＝±33.由f ′(x )＝3x 2－1>0得x >33或x <－33；由f ′(x )＝3x 2－1<0得－33<x <33.所以f (x )＝x 3－x ＋1在∞－33，f (x )有两个极值点，故A 正确；因为f (x )的极小值f－33＋1＝1－239>0，f (－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f (x )在R 上有且只有一个零点，故B 错误；因为函数g (x )＝x 3－x 的图象向上平移一个单位得函数f (x )＝x 3－x ＋1的图象，函数g (x )＝x 3－x 的图象关于原点(0,0)中心对称且g (0)＝0，所以点(0,1)是曲线f (x )＝x 3－x ＋1的对称中心，故C 正确；假设直线y ＝2x 是曲线y ＝f (x )的切线，切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，解得x 0＝±1；若x 0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y ＝2x 上；若x 0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y ＝2x 上，所以假设不成立，故D 错误．故选AC.7．(2023·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案sin x (答案不唯一)解析正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．甲、乙两地相距240km ，汽车从甲地以速度v (km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为v 36400元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h 的速度行驶．答案80解析设全程运输成本为y 元，由题意，得yv >0，y ′＝－160v 2＋令y ′＝0，得v ＝80.当v >80时，y ′>0；当0<v <80时，y′<0.所以函数y(0,80)上单调递减，在(80，＋∞)上单调递增，所以当v ＝80时，全程运输成本最小．9．设函数f (x )＝a ln x ＋3x＋2a 2x －4a ，其中a >0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若y ＝f (x )的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．解(1)f′(x)＝ax－3x2＋2a2＝2a2x2＋ax－3x2＝(2ax＋3)(ax－1)x2，x>0，∵a>0，∴－32a <0<1a.∴f′(x)<0，f(x)单调递减；f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，f(x)(2)由(1)可知，f(x)min＝f＝a ln 1a＋3a＋2a－4a＝a ln 1a＋a＝a(1－ln a)，∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，∴1－ln a>0，∴0<a<e.∴a的取值范围为(0，e)．10．(2023·张家口质检)已知函数f(x)＝e x＋e－x－ax2－2.(1)当a＝1时，证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；(2)若g(x)＝f(x)－e－x，讨论函数g(x)的极值点的个数．(1)证明当a＝1时，f(x)＝e x＋e－x－x2－2，f′(x)＝e x－e－x－2x.令φ(x)＝e x－e－x－2x，当x>0时，φ′(x)＝e x＋e－x－2>0，所以函数f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)解由题意知，g(x)＝e x－ax2－2，当a＝0时，g(x)＝e x－2单调递增，无极值点，当a≠0时，g′(x)＝e x－2ax，由g′(0)＝1，得x＝0不是极值点．令e x －2ax ＝0(x ≠0)，得2a ＝e x x，令h (x )＝e x x，则h ′(x )＝e x (x －1)x 2，当x <0时，h (x )<0，且h ′(x )<0，当a <0时，方程2a ＝e x x有唯一小于零的解，故函数g (x )存在一个极值点；当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故函数h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h (1)＝e 为函数h (x )的极小值，所以当0<a <e 2时，方程2a ＝e x x无解，函数g (x )无极值点；当a ＝e 2时，方程2a ＝e x x有一个解，但当0<x <1时，e x x>2a ，g ′(x )＝e x －2ax >0，当x >1时，e x x>2a ，g ′(x )＝e x －2ax >0，故函数g (x )无极值点．当a >e 2时，方程2a ＝e x x有两解，函数g (x )存在一个极大值点和一个极小值点．综上，当a <0时，函数g (x )存在一个极值点，当0≤a ≤e 2时，函数g (x )无极值点，当a >e 2时，函数g (x )存在一个极大值点和一个极小值点．11．(2021·全国乙卷)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则()A ．a <bB ．a >bC ．ab <a 2D ．ab >a 2答案D 解析当a >0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图1所示，观察可知b >a .当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图1图2综上，可知必有ab >a 2成立．12．已知函数f (x )－1x，x <0，ln x ＋1，x >0，若a <b ，且f (a )＝f (b )，则b －a 的最小值为()A ．1B.e 2C ．e －1D ．2答案D 解析令f (a )＝f (b )＝t (t >0)，因为f (x )－1x，x <0，ln x ＋1，x >0，且a <b ，所以－1a＝t ，ln b ＋1＝t ，所以a ＝－1t ，b ＝e t －1，因此b －a ＝e t －1＋1t，令f (t )＝e t －1＋1t (t >0)，则f ′(t )＝e t －1－1t2，当t ∈(0,1)时，f ′(t )<0，f (t )单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，f ′(t )>0，f (t )单调递增，所以f (t )在t ＝1处取得极小值，也是最小值，f (1)＝e 1－1＋11＝2，因此b －a 的最小值为2.13.如图所示，已知直线y ＝kx 与曲线y ＝f (x )相切于两点，函数g (x )＝kx ＋m (m >0)，则对函数F (x )＝g (x )－f (x )描述正确的是()A ．有极小值点，没有极大值点B ．有极大值点，没有极小值点C ．至少有两个极小值点和一个极大值点D ．至少有一个极小值点和两个极大值点答案C 解析由题意得，F (x )＝kx ＋m －f (x )，则F ′(x )＝k －f ′(x )，设直线y ＝kx 与曲线y ＝f (x )的两个切点的横坐标分别为x 1，x 2且x 1<x 2，所以F′(x)＝0的两个零点为x1，x2，由图知，存在x0∈(x1，x2)使F′(x0)＝0，综上，F′(x)有三个不同零点x1<x0<x2，由图可得在(0，x1)上F′(x)<0，在(x1，x0)上F′(x)>0，在(x0，x2)上F′(x)<0，在(x2，＋∞)上F′(x)>0，所以F(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x0)上单调递增，在(x0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．故F(x)至少有两个极小值点和一个极大值点．14．设函数f(x)＝mx2e x＋1，若对任意a，b，c∈[－3,1]，f(a)，f(b)，f(c)都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为________．答案－1 2e，解析设函数g(x)＝x2e x，x∈[－3,1]，则g′(x)＝x(x＋2)e x.当－3≤x<－2或0<x≤1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当－2<x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．又g(－3)＝9e3，g(0)＝0，g(－2)＝4e2，g(1)＝e，所以g(x)的值域为[0，e]．当m≥0时，2×1>m e＋1，解得0≤m<1 e；当m<0时，2(m e＋1)>1，解得－12e<m<0.综上可得，－12e<m<1e.。

1.3.3函数的最大 (小)值与导数 教学目标1.理解函数最值的特点。

2. 掌握函数存在最值的的条件及用导数求函数最值的方法。

教学重点：求函数最值的方法。

教学难点：函数存在最值的的条件；求函数最值的方法。

教学方法：探究式教学讲练结合法教学过程:一•复旧知新：问题一：函数极值概念 问题二：一般地，求函数 y=f(x) 的极值的方法是什么？二•讲授新课观察区间［a,b ］上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值，极小值吗？你能 找出它的最大值和最小值吗?最值特点:(1) 函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体概念；(2) 从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一个最大值或最小值；(3)最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。

探究问题1:开区间上的最值问题如图，观察(a, b )上的函数y=f(X)的图像，它们在(a, b )上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别在什么位置取到？点处取得。

探究问题2:闭区间上的最值问题如图，观察［a, b］上的函数y=f(x)的图像，它们在［a, b］上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？结论：一般地，如果在闭区间［a, b］上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。

特别地，若函数y=f(x)在区间［a，b］上是单调函数, 则最值则在端点处取得。

一般地，求函数y=f(x)在区间［a, b］上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值；⑵计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

1. 典例精讲例2求函数f(x)=48x-x3在区间［-3, 5］上的最值。

2 2解：f '(x)=48-3x = -3(x -16)= -3(x-4)(x+4)令f '(x)=0，得x=4 或x= -4 (舍)当-3< x < 4时，f '(x) >0,函数单调递增；当4< x <5时，f '(x)<0，函数单调递减;所以当x=4时，函数取得极大值，且极大值 f (4)=128;又f (-3)= -117, f (5)=115所以函数f(x)=48x-x3在区间［-3, 5］上最大值为128,最小值为-117. 练习：求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间［-2, 1］上的最值。

《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与定义1.1 极值的概念引入极值的概念，让学生了解函数在某一点取得局部最值的含义。

通过图像和实际例子来说明极值的存在和重要性。

1.2 极值的定义介绍极值的定义，包括局部极值和全局极值。

解释极值的必要条件和充分条件。

第二章：导数与极值的关系2.1 导数的定义与性质复习导数的定义和基本性质，包括导数的符号变化与函数单调性的关系。

2.2 导数与极值的关系引入导数与极值的关系，讲解导数为零的点可能是极值点的原理。

通过实例来说明导数在判断极值中的作用。

第三章：一元函数的极值判定3.1 判定极值的存在性介绍判定极值存在性的方法，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理。

3.2 判定极值的具体方法讲解利用导数符号变化判断极值的方法，包括导数单调性和零点存在性定理。

第四章：多元函数的极值4.1 多元函数极值的概念引入多元函数极值的概念，让学生了解多元函数在不同维度上的极值问题。

4.2 多元函数极值的判定讲解多元函数极值的判定方法，包括拉格朗日乘数法和海森矩阵。

第五章：实际应用中的极值问题5.1 应用背景介绍通过实际例子介绍极值在各个领域中的应用，如优化问题、物理学、经济学等。

5.2 实际应用案例分析分析具体案例，让学生了解如何运用极值理论和方法解决问题。

第六章：利用极值解决实际问题6.1 优化问题概述介绍优化问题的概念，解释最小值和最大值在优化问题中的作用。

举例说明优化问题在工程、经济等领域的应用。

6.2 利用极值解决优化问题讲解如何利用函数的极值解决优化问题，包括确定最优解的方法和步骤。

通过实际案例分析，让学生掌握优化问题的解决技巧。

第七章：函数极值的存在性定理7.1 拉格朗日中值定理复习拉格朗日中值定理的内容，解释其在函数极值存在性判断中的应用。

利用拉格朗日中值定理证明函数极值的存在性。

7.2 罗尔定理与极值存在性讲解罗尔定理的内容及其在函数极值存在性判断中的应用。

结合罗尔定理和拉格朗日中值定理，证明函数极值的存在性。

函数极值与导数的教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用本节是整个中学数学对函数研究的进一步深化。

在此之前学生已经掌握了导数的基本概念，初步具备了运用导数研究函数的能力，这为《函数的最值与导数》奠定了坚实的基础，具有承上启下的作用。

本节课用导数的方法来研究函数的性质，是对函数研究的深化与提升。

同时本节教材是贯彻实施素质教育，充分体现新课标精神，培养学生探究能力很好的教学载体，有利于培养学生用观察、比较、分析、归纳等方法解决一些实际问题。

2.教学目标：(1) 知识与能力：①掌握函数极值的定义,了解可导函数极值点的必要条件和充分条件；②掌握利用导数求不超过三次多项式函数极值的一般方法；③通过对比原函数的增减和导函数的正负，利用函数的图像，给函数的极值以直观的验证。

（2）过程与方法：培养学生观察,分析,探究,归纳得出数学概念和规律的学习能力。

（3）情感态度与价值观：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系.3.教学重、难点本着新课程标准的教学理念和考试大纲的要求，针对教学内容的特点，我确立了如下的教学重点、难点：教学重点：掌握求可导函数的极值的一般方法.教学难点：1、 0x 为函数极值点与)(0x f =0的逻辑关系2、将知识和方法内化为技能。

二、学情分析学生已经初步学习了运用导数去研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。

本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力,让学生体会导数的工具作用。

三、教法、学法分析（一）教法分析根据本节课的特点，为了提高教学效率，让学生在轻松的环境下获得直观的感受，使数学的课堂富有趣味性，采用师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。

由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.（二）学法分析1. 采用体验学习及问题探究的学习方式，通过学生亲历教师预设的各种问题情境，引导学生开展创造性的学习活动，不但使学生主动掌握知识，而且要培养的独立探究能力和态度。

高中数学教案——函数的极值和导数教案内容：一、教学目标1. 理解导数的概念，掌握导数的计算方法。

2. 掌握函数的单调性，能够判断函数的单调区间。

3. 理解函数的极值概念，能够求出函数的极值。

二、教学重点与难点1. 重点：导数的计算方法，函数的单调性，函数的极值。

2. 难点：导数的应用，函数的极值的求法。

三、教学方法采用讲解法、例题解析法、学生自主探究法。

四、教学准备1. 教学课件。

2. 相关例题及练习题。

五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性。

2. 讲解导数的概念：定义域内的函数在某一点的导数，即为该点的切线斜率。

引导学生理解导数的几何意义。

3. 导数的计算：讲解基本函数的导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。

4. 函数的单调性：通过例题，讲解函数单调性的判断方法，引导学生掌握如何判断函数的单调区间。

5. 函数的极值：讲解函数极值的概念，通过例题，引导学生掌握求函数极值的方法。

6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

8. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。

注意：在教学过程中，要注重引导学生主动思考，培养学生的动手能力及解决问题的能力。

要及时解答学生的疑问，确保学生能够掌握所学知识。

六、教学内容与要求1. 理解曲线的切线与函数导数的关系。

2. 掌握基本函数的导数求解方法。

3. 能够运用导数判断函数的单调性。

七、教学过程1. 复习导入：通过回顾上节课的内容，引导学生复习导数的基本概念和计算方法。

2. 讲解导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示曲线在某点的切线斜率。

3. 导数的计算：详细讲解和练习基本函数的导数求解，包括幂函数、指数函数、对数函数等。

4. 函数单调性的判断：利用导数的概念，解释如何判断函数的单调性。

5. 例题解析：通过具体例题，演示如何运用导数判断函数的单调区间和求极值。

八、教学策略1. 采用互动式教学，鼓励学生提问和参与讨论。

导数最值极值教案教案标题：导数最值与极值教案目标：1. 理解导数的概念及其在函数图像中的几何意义；2. 掌握求函数导数的基本方法；3. 能够利用导数的最值来求函数的极值。

教学重点：1. 导数的定义及其几何意义；2. 导数最值的概念；3. 利用导数最值求函数的极值。

教学难点：1. 导数最值与函数极值的联系与应用。

教学准备：1. 教师：黑板、白板笔、教学PPT；2. 学生：教材、笔记本。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念：回顾函数的变化率与斜率的关系，引出导数的定义；2. 提问学生对导数的理解，激发学生的思考。

二、导数的计算方法（15分钟）1. 提醒学生掌握基本的导数计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；2. 针对不同类型的函数，通过示例演示导数的计算方法；3. 强调使用导数的定义进行计算时的注意事项。

三、导数最值的概念（10分钟）1. 引入导数最值的概念：解释导数最值与函数的极值之间的联系；2. 通过图像展示导数最值与函数极值的关系，引发学生的思考；3. 提问学生导数最值的定义和求解方法。

四、利用导数最值求函数极值（20分钟）1. 讲解利用导数最值求函数极值的步骤：求导、解方程、判断极值；2. 通过具体的例题演示求解过程；3. 强调求解过程中注意判断导数的正负与函数的增减性。

五、练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成；2. 针对练习题中的难点问题进行解答与讲解；3. 鼓励学生在解答过程中思考应用导数最值求极值的实际问题。

六、总结与拓展（5分钟）1. 总结导数最值与函数极值的关系；2. 引导学生思考导数最值在实际问题中的应用；3. 提出拓展问题，鼓励学生进一步思考与探索。

教学反思：本节课通过引入导数的概念，讲解了导数的计算方法，并结合导数最值的概念，教授了如何利用导数最值求函数的极值。

通过例题的演示和练习的巩固，学生对导数最值与函数极值的联系有了更深入的理解。

第2课时导数与函数的极值、最值一、选择题1下列函数中，既是奇函数又存在极值的是A＝3B＝n－C＝e－D＝＋错误!解析由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数＝3单调递增无极值，D选项中的函数既为奇函数又存在极值答案 D22021·石家庄质检若a>0，b>0，且函数f＝43－a2－2b＋2在＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为A2 B3 C6 D9解析f′＝122－2a－2b，则f′1＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6，又a>0，b>0，则t＝ab≤错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!a＝f错误!＝－n a－1＝－1，解得a＝1答案 D＝3＋a2＋a＋6＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A－1，2 B－∞，－3∪6，＋∞C－3，6 D－∞，－1∪2，＋∞解析∵f′＝32＋2a＋a＋6，由已知可得f′＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3×a＋6>0，即a2－3a－18>0，∴a>6或a则f的最大值为________解析当>0时，f＝－2021是增函数，当－10时，－e0，r>01求f的定义域，并讨论f的单调性；2若错误!＝400，求f在0，＋∞内的极值解1由题意可知≠－r，所求的定义域为－∞，－r∪－r，＋∞f＝错误!＝错误!，f′＝错误!＝错误!所以当r时，f′0因此，f的单调递减区间为－∞，－r，r，＋∞；f的单调递增区间为－r，r2由1的解答可知f′r＝0，f在0，r上单调递增，在r，＋∞上单调递减因此，＝r是f的极大值点，所以f在0，＋∞内的极大值为fr＝错误!＝错误!＝错误!＝100，f在0，＋∞内无极小值；综上，f在0，＋∞内极大值为100，无极小值102021·衡水中学二调已知函数f＝n ，g＝－2＋a－3e a为实数1当a＝5时，求函数＝g在＝1处的切线方程；2求f在区间[t，t＋2]t>0上的最小值解1当a＝5时，g＝－2＋5－3e，g1＝e又g′＝－2＋3＋2e，故切线的斜率为g′1＝4e所以切线方程为－e＝4e－1，即＝4e－3e2函数f的定义域为0，＋∞，f′＝n ＋1，当变化时，f′，f的变化情况如下表：错误!错误!错误!f′－0＋f 极小值①当t≥错误!时，在区间[t，t＋2]上f为增函数，所以f min＝ft＝t n t②当00，b0，d>0 B a>0，b0C a0，d>0D a>0，b>0，c>0，d0，f0＝d>0又1，2是函数f的极值点，且f′＝3a2＋2b＋c＝0，∴1，2是方程3a2＋2b＋c＝0的两根由图象知，1>0，2>0，∴错误!因此b0答案 A132021·陕西卷函数＝e在其极值点处的切线方程为________解析由＝e可得′＝e＋e＝e＋1，从而可得＝e在－∞，－1上递减，在－1，＋∞上递增，所以当＝－1时，＝e取得极小值－e－1，因为′|＝－1＝0，故切线方程为＝－e－1，即＝－错误!答案＝－错误!142021·山东卷改编设f＝n －a2＋2a－1常数a>01令g＝f′，求g的单调区间；2已知f在＝的取值范围1解由f′＝n －2a＋2a，可得g＝n －2a＋2a，∈0，＋∞所以g′＝错误!－2a＝错误!又a>0，当∈错误!时，g′>0，函数g单调递增，当∈错误!时，g′错误!错误!错误!错误!1，由1知f′在错误!内单调递增，可得当∈0，1时，f′错误!0 所以f在0，1内单调递减，在错误!内单调递增所以f在＝1处取得极小值，不合题意②当a＝错误!时，错误!＝1，f′在0，1内单调递增，在1，＋∞内单调递减，所以当∈0，＋∞时，f′≤0，f单调递减，不合题意③当a>错误!时，0错误!错误!0，f单调递增，当∈1，＋∞时，f′<0，f单调递减所以f在＝1处取极大值，符合题意综上可知，实数a的取值范围为错误!。