中考数学复习-二次函数-教案

第 1 页 中考数学专题复习五 二次函数

【教学笔记】

考点一：求二次函数的解析式

1、用待定系数法求二次函数的解析式，要根据给定点的特性选择适宜的式子来求解.

2、已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设顶点式y=a(x-h)²+k.

3、已知抛物线及x轴两交点坐标或已知抛物线及x轴一交点坐标及对称轴，可通过设交点式y=a(x-x1)(x-x2)来求解；

4、所给的三个条件是任意三点时，可设一般式y=ax²+bx+c，然后组成三元一次方程组来求解.

考点二：根据二次函数图象及性质判断代数式的符号

1、二次函数图象及系数的关系.

2、注意二次函数的系数及其图象的形状、对称轴、特殊点的关系.

3、二次函数及x、y轴的交点问题，根据题意得出抛物线对称轴.

考点三：二次函数及实际问题

1、如物体的运动 规律问题、销售利润问题、几何图形的变更问题、存在性问题等.

2、最值问题

3、函数及方程结合

考点四：二次函数的综合应用

1、动点问题

2、数形结合

3、分类讨论

4、及几何图形结合、勾股定理等 第 2 页 【典型例题】

考点一：求二次函数的解析式

【例1】例1：（2016•四川攀枝花）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ C ）

A．y=﹣2（x+1）2 B．y=﹣2（x+1）2+2

C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2+1

【例2】（2016•资阳）已知抛物线及x轴交于A（6，0）、B（﹣，0）两点，及y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作MN⊥x轴于点N，连接OM．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，将△OMN沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′及直线AC分别交于点E、F．

①当点F为M′O′的中点时，求t的值；

②如图2，若直线M′N′及抛物线相交于点G，过点G作GH∥M′O′交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入即可求出a，进而解决问题．

（2））①如图1中，AC及OM交于点G．连接EO′，首先证明△AOC∽△MNO，推出OM⊥AC，在RT△EO′M′中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．

②由△GHE∽△AOC得==，所以EG最大时，EH最大，构建二次函数求出EG的最大值即可解决问题．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入得a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+），

∴y=﹣x2+x+2．

（2）①如图1中，AC及OM交于点G．连接EO′．

∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，∴==3，∴=，

∵∠AOC=∠MON=90°，∴△AOC∽△MNO，∴∠OAC=∠NMO，

∵∠NMO+∠MON=90°，∴∠MON+∠OAC=90°，∴∠AGO=90°，∴OM⊥AC， 第 3 页 ∵△M′N′O′是由△MNO平移所得，∴O′M′∥OM，∴O′M′⊥AC，

∵M′F=FO′，∴EM′=EO′，

∵EN′∥CO，∴=，∴=，∴EN′=（5﹣t），

在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′=（5﹣t），EO′=EM′=+t，

∴（+t）2=1+（﹣t）2，∴t=1．

②如图2中，

∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，∴GH⊥AC，∴∠GHE=90°，

∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，

∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，∴△GHE∽△AOC，∴==，∴EG最大时，EH最大，

∵EG=GN′﹣EN′=﹣（t+1）2+（t+1）+2﹣（5﹣t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣2）2+．∴t=2时，EG最大值=，∴EH最大值=．

∴t=2时，EH最大值为．

【例3】（2013•资阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），及x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；

（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．

考点： 二次函数综合题

分析： （1）根据平行四边形的性质可求点C的坐标，由待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）连结BD交对称轴于G，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，根据待定系数法即可求出直线BD的解析式，根据抛物线对称轴公式可求对称轴，由此即可求出点N的坐标； 第 4 页 （3）过点M作直线交x轴于点P1，分点P在对称轴的左侧，点P在对称轴的右侧，两种情况讨论即可求出直线的解析式．

解答： 解：（1）∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，∴点C的坐标为（5，4），

∵过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），∴，解得．

故抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．

（2）连结BD交对称轴于G，在Rt△OBD中，易求BD=5，∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，

又∵∠DCB=∠CBE，∴∠DBC=∠CBE，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，

易证GH=HN，∴点G及点M重合，故直线BD的解析式y=﹣x+4

根据抛物线可知对称轴方程为x=，则点M的坐标为（，），即GF=，BF=， ∴BM==，又∵MN被BC垂直平分，∴BM=BN=，∴点N的坐标为（，0）；

（3）过点M作直线交x轴于点P1，易求四边形AECD的面积为28，四边形ABCD的面积为20，由“四边形AECD的面积分为3：4”可知直线P1M必及线段CD相交，设交点为Q1，四边形AP1Q1D的面积为S1，四边形P1ECQ1的面积为S2，点P1的坐标为（a，0），

假设点P在对称轴的左侧，则P1F=﹣a，P1E=7﹣a，

由△MKQ1∽△MFP1，得=，

易求Q1K=5P1F=5（﹣a），∴CQ1=﹣5（﹣a）=5a﹣10，∴S2=（5a﹣10+7﹣a），

根据P1（，0），M（，）可求直线P1M的解析式为y=x﹣6，

若点P在对称轴的右侧，则直线P2M的解析式为y=﹣x+．

第 5 页 点评： 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：平行四边形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，抛物线对称轴公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．

【课后练习】

1、（2016•四川成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ A ）

A．y=（x+2）2﹣3 B． y=（x+2）2+3 C． y=（x﹣2）2+3 D． y=（x﹣2）2﹣3

2、(2014年四川资阳)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c及x轴的一个交点为A（3，0），及y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形及△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

分析：（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c及x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．

（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．

解答： 解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c及x轴的另一个交点为（﹣1，0），则 ，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）①当MA=MB时，M（0，0）；

②当AB=AM时，M（0，﹣3）；

③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．

所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．

（3）平移后的三角形记为△PEF．

设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．

则直线AB的解析式为y=﹣x+3．

△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF， 第 6 页 易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．

设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．

则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．

在△AOB沿x轴向右平移的过程中．

①当0＜m≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m， 联立，解得，即点M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF•h =﹣（3﹣m）2﹣m•2m=﹣m2+3m． ②当＜m＜3时，如图2所示．设PE交AB于K，交AC于H．

因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，得y=6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．

故S=S△PAH﹣S△PAK=PA•PH﹣PA2=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．

综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．

3、(2015年四川资阳)已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，及x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴及y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为_____________________．

解析：先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，﹣4），则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，

然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．

解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A点坐标为（﹣1，0），解方程组得或，

∴点C′的坐标为（1，4），∵点C和点C′关于x轴对称，∴C（1，﹣4），

设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，

∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案为y=x2﹣2x﹣3．