高一数学同步测试——不等式的性质

不等式的性质1. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( )A.ba 11<. B.22b a >. C .1122+>+cb ca . D.||||cbc a >.2. 已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是（ ）A ．ab ac >B ．c b a ()-<0C .cb ab 22< D ． 0)(<-c a ac 3. 对于实数，下命题正确的是 ( )A.若a<b,则ba 11>. B.若b a <,则ba ab >.C .若0<<b a ,则22b ab a >>. D.若a>b>0,d>c>0,则a b cd<4. 已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，ac－bd ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 A.0B.1C.2 D .35. 对于10<<a ，给出下列四个不等式①)11(log )1(log aa a a +<+②)11(log )1(log aa a a +>+③a aa a 111++<④aaaa111++>其中成立的是_________6. “0>>b a ”是“222ab a b <+”的 ( )A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不允分也不必要条件 7. 若0,0a b >>,则不等式1b a x-<<等价于（ ）A.1100x x ba-或<<<< B. 11x ab-<< C. 11x x a b -或<> D . 11x x ba-或<>8. (2004湖北)若011<<ba ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+ba ab 中，正确的不等式有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 已知a ＞2，b ＞2，则a +b 与ab 的大小关系是___∵ab －（a +b ）=（a －1）（b－1）－1＞0.∴ab ＞a +b ._______.10. 已知－1＜2a ＜0，A =1+a 2，B =1－a 2，C =a+11，D =a-11则A 、B 、C 、D 按从小到大的顺序排列起来是___ D ＜B ＜A ＜C ._____.11. a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则a b ，ba ，ma mb ++，nb n a ++的由大到小的顺序是____ba ＞nb n a ++＞ma mb ++＞ab _. 12. 如果R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件．解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a abab b a 13. 已知Rc b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证：0111>++cba证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab 又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab∵abccabc ab c b a ++=++111 0<abc 且0<++bc ac ab∴0111>++cba14. 已知||||,0b a ab >> 比较a1与b1的大小．解：a1-b1aba b -=当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a >0<-a b 0>ab ∴0<-aba b ∴a1<b1当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-aba b ∴a1>b115. 设f(x)=ax 2+bx,且1≤f(－1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求f(－2)的取值范围解：由已知1≤a －b ≤2, ①, 2≤a+b ≤4 ② 若将f(－2)=4a －2b 用a －b 与a+b,表示，则问题得解设4a －2b=m(a －b)+n(a+b), (m,n 为待定系数) 即4a －2b=（m+n ）a －(m －n)b,于是得{42=+=-n m n m 得：m=3, n=1 由①×3+②×1得5≤4a-2b ≤10即5≤f(－2)≤10, 另法：由{(1)(1)a b f a b f -=-+=得1[(1)(1)]21[(1)(1)]2a f fb f f =+-=--⎧⎨⎩ ∴f(－2)=4a －2b=3 f(－1)+f(1)……16. 已知函数f(x)=ax2-c 满足-4<＝f(1)<=－1，-1<=f(2)<=5,求f(3)的取值范围。

3.1.2 不等式的性质一、解答题。

1. 判断下列各说法的正确性，并说明理由．若ac2>bc2，则a>b，反之也成立．若a>b，则1a <1b.若a<b，c<0，则ca <cb．若a>b，c>a，则a−c>b−d．若a>b>0，a>c，则a2>bc．若a>b，m∈N+，则a m>b m．2. 设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是（）A.a2<b2B.ab2<a2bC.1ab2<1a2bD.ba<ab3. 若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是（）A.b a >b+1a+1B.a+1a>b+1bC.a+1b>b+1aD.2a+ba+2b>ab4. 对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题：①若a>b，c>d，则a+c>b+d；②若ac2>bc2，则a>b；③若a>b，则1a <1b；④若a>b，c>d，则ac>bd，其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.45. 如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是（）A.b a >caB.c(b−a)>0C.cb2<ab2D.ac(a−c)<06. 设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ca >cb；②a c<b c；③log b(a−c)>log a(b−c)．其中所有正确结论的序号是（）A.①B.①②C.②③D.①②③7. 如果30<x<42，16<y<24，分别求x+y，x−2y及xy的取值范围．8. 若α，β满足−π2<α<0<β<π3，则α−β的取值范围是（）A.(−π2,−π3) B.(−5π6,0) C.(−π2,π3) D.(−π6,0)9. 已知1<a<3，2<b<6，则2a+b的范围是________；a−2b的范围是________；ab的范围是________；ba的范围是________．10. 已知−1<a+b<3且2<a−b<4，求2a+3b的取值范围．11. 设f(x)=ax2+bx，1≤f(−1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(−2)的取值范围．12. 解答下列小题：如果a>b，能否得出1a <1b？证明：如果a>b，ab>0，那么1a <1b；如果a>b，ab<0，那么1a>1b．13. 已知下列三个不等式：①ab>0；②ca >db；③bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题．14. 若1a <1b<0，则下列不等式：①a+b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④a2<b2中，正确的不等式有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15. 若c>x>y>0．证明：xc−x >yc−y．参考答案与试题解析 3.1.2 不等式的性质一、解答题。

不等式的性质(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立的是( ) A ．1a －b ＞1aB ．1a ＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 2【解析】选A.取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＞1a不成立． 2．若1a <1b<0，有下面四个不等式：①|a |＞|b |；②a ＜b ；③a ＋b ＜ab ；④a 3＞b 3，不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】选C.由1a <1b<0，可得0＞a ＞b ，所以|a |＜|b |，故①②不成立；所以a ＋b ＜0＜ab ，a 3＞b 3都成立，故③④一定正确．【补偿训练】(多选)已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b成立的有( )A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】选ABD.运用倒数性质，由a >b ，ab >0可得1a <1b，②，④正确．又正数大于负数，①正确，③错误．3．(多选题)已知实数a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．ac ()a －c <0D ．cb 2<ab 2【解析】选ABC.因为实数a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0，由b >c ，a >0，得ab >ac ，故A 正确；由b <a ，c <0，得c ()b －a >0，故B 正确；由a >c ，ac <0，得ac ()a －c<0，故C 正确；由a >c ，b 2≥0，得cb 2≤ab 2，当b ＝0时，等号成立，故D 错误． 4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0B ．－2<α－β<－1C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1【解析】选A.由－1<β <1，得－1<－β<1，又－1<α<1，所以－2<α－β<2，而α<β，所以－2<α－β<0.5．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >b dD ．若a 2>b 2，则－a <－b【解析】选B.选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才成立．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.6．(多选题)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc .(2)a d ＋b c＜0.(3)a －c ＞b －d .(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的是( ) A ．(1) B ．(2) C ．(3) D ．(4)【解析】选B 、C 、D.因为a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，所以ad ＜0，bc ＞0，所以ad ＜bc ，所以(1)错误．因为a ＞0＞b ＞－a ，所以a ＞－b ＞0，因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0， 所以a (－c )＞(－b )(－d )， 所以ac ＋bd ＜0，所以a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，所以(2)正确． 因为c ＜d ，所以－c ＞－d ，因为a ＞b ，所以a ＋(－c )＞b ＋(－d )，即a －c ＞b －d ，所以(3)正确． 因为a ＞b ，d －c ＞0，所以a (d －c )＞b (d －c )，所以(4)正确． 二、填空题(每小题5分，共10分) 7．给出下列命题：①若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b；②若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d ； ③对于正数a ，b ，m ，若a ＜b ，则a b <a ＋mb ＋m.其中真命题的序号是________．【解析】对于①，若ab ＞0，a >b ，则a >b >0或0>a >b ，所以1a ＜1b，所以①正确；对于②，不妨令a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－3，则a －c ＝3，b－d ＝4.所以a －c ＞b －d 不成立，②错误； 对于③，对于正数a ，b ，m ，若a <b ，则am <bm ，所以ab ＋am <ab ＋bm ，即a (b ＋m )<b (a ＋m )，所以a b <a ＋mb ＋m.综上，正确的命题序号是①③. 答案：①③8．已知60<x <84，28<y <33，则x －y 的取值范围为________，x y的取值范围为________．【解析】x －y ＝x ＋(－y )，所以需先求出－y 的范围；x y＝x ×1y，所以需先求出1y的范围．因为28<y <33，所以－33<－y <－28，133 <1y <128.又60<x <84，所以27<x －y <56，6033 <x y <8428 ，即2011 <xy<3.答案：{}（x －y ）|27<x －y <56 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x y |2011<x y <3【补偿训练】已知a ，b ，c 为实数，判断以下各结论的对错． ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ④若c >a >b >0，则ac －a >b c －b； ⑤若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.【解析】①c 是正、负或为零未知，因而缺少判断ac 与bc 的大小依据，故该结论错误； ②由ac 2>bc 2知c ≠0，所以c 2>0，所以a >b ，故该结论正确； ③⎭⎪⎬⎪⎫a <b a <0 ⇒a 2>ab ；又⎭⎪⎬⎪⎫a <b b <0 ⇒ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故该结论正确；④因为a >b >0，所以－a <－b ，所以c －a <c －b ，又因为c >a >b >0，所以1（c －a ）（c －b ） >0，在c －a <c －b 两边同乘1（c －a ）（c －b ） ，得1c －a >1c －b >0，又a >b >0，所以a c －a >bc －b.故该结论正确； ⑤由已知条件知a >b ⇒a －b >0， 又1a >1b ⇒1a －1b >0⇒b －a ab>0，因为a －b >0，所以b －a <0，所以ab <0. 又a >b ，所以a >0，b <0，故该结论正确． 三、解答题(每小题10分，共20分)9．若不等式0≤x ＋1≤2成立时，关于x 的不等式x －a －1>0也成立，求实数a 的取值范围． 【解析】由0≤x ＋1≤2，得－1≤x ≤1，则不等式0≤x ＋1≤2成立时，关于x 的不等式x －a －1>0也成立，即－1≤x ≤1时，x >a ＋1成立，所以－1>a ＋1，解得a <－2， 故实数a 的取值范围是{a |a <－2}．10．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e （a －c ）2 >e（b －d ）2 .【证明】因为c <d <0，所以－c >－d >0. 又因为a >b >0，所以a －c >b －d >0. 所以(a －c )2>(b －d )2>0. 所以0<1（a －c ）2 <1（b －d ）2 .又因为e <0，所以e （a －c ）2 >e（b －d ）2 .。

上海理工大学附属中学高一数学上册《不等式的基本性质》练习 沪教版2.1不等式的性质1.掌握比较法的基本原理：0,0,0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<2.掌握不等式基本性质。

会利用基本原理推导其性质。

3.思想方法的重点是掌握比较法、推出法。

介绍基本原理：不等式性质：性质1.（传递性） 如果,a b b c >>，那么a c >性质2. （可加性）如果a b >，那么a c b c +>+性质3.（可乘性）如果,0a b c >>，那么ac bc > 如果,0a b c ><，那么ac bc <推论1.如果,a b c d >>，那么a c b d +>+推论2.如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >推论3.如果0a b >>，那么*()n n a b n N >∈推论4. 如果0a b >>*(,1)n N n >∈>（引导学生利用比较法基本原理证明，也可以使用上述性质证明）例1.（1）若610,320x y <≤≤<，则x y +的范围是_________________，x y -的范围是________；（2）已知0,0a b c d >>>>，求证：22a cbc >；（3）已知0,0a b d c >>>>，求证：2222a b c d>例2．下列命题中，,,,a b c d 均为实数，则真命题的个数是__________________（1）b d bc ad a c<⇒<；（2）0a b a b <<⇒>；（3）22(1)(1)a b a c b c >⇒+>+ 例3.已知,a b 都是实数，比较“225a b +”与“224ab a a --”的大小。

高一不等式专题训练一、不等式的基本性质1. 知识点回顾不等式的基本性质：对称性：a>bLeftrightarrow b < a。

传递性：a > b,b > cRightarrow a>c。

加法性质：a > bRightarrow a + c>b + c；a>b,c > dRightarrow a + c>b + d。

乘法性质：a>b,c>0Rightarrow ac > bc；a > b,c < 0Rightarrow ac < bc；a>b>0,c>d>0Rightarrow ac>bd。

乘方性质：a > b>0Rightarrow a^n>b^n(n∈N,n≥slant1)。

开方性质：a > b>0Rightarrowsqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。

2. 例题例1：已知a < b < 0，比较下列各数大小：(1)/(a)与(1)/(b)。

解析：因为a < b < 0，给a < b两边同时除以ab（ab>0），根据不等式的乘法性质，得到(a)/(ab)<(b)/(ab)，即(1)/(b)<(1)/(a)。

例2：已知a>b，c < d，求证：a c>b d。

解析：因为c < d，根据不等式的性质，c>-d。

又因为a>b，再根据不等式的加法性质，将两个不等式相加，得到a+( c)>b+( d)，即a c>b d。

二、一元二次不等式及其解法1. 知识点回顾对于一元二次不等式ax^2+bx + c>0(a≠0)（或<0），先求出一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根（判别式Δ=b^2-4ac）。

高一数学同步测试——不等式的性质一、课堂目标：理解不等式的性质定理及其证明。

不等式的性质的简单应用。

二、要点回顾：1. 两个实数比较大小的作差法的依据是：.0,0,0⇔<-⇔=-⇔>-b a b a b a2. 不等式的基本性质： ①对称性： ；②传递性： ；③加法单调性： ；同向不等式可加性： ；④乘法单调性：若0,>>c b a 则 ；若0,<>c b a 则 。

⑤同向正值不等式可乘性： ；⑥正值不等式可乘方： ； ⑦正值不等式可开方： ： ⑧倒数法则： 。

3. 判断下列各命题的真假：①如果b a >，那么c b c a ->-： ；②如果b a >，那么c b c a >： ； ③如果bc ac <，那么b a <： ；④如果22bc ac >，那么b a >： 。

⑤如果b a >，那么22b a >： ；⑥如果0,0>>>>d c b a ，那么db c a >： ⑦如果b a >，那么b a 11>： ；⑧如果b ax >，那么ab x >： 。

三、目标训练 1．设dc b a >>,，下列不等式成立是 （ ）A. d b c a ->-B.bd ac >C. c a d b +<+D. bc ac >2．下列命题成立是 （ ）A. 如果b a >，且b c >，那么c a >B. 如果b a >，且b c >，那么bc ac >C. 如果b a ->，那么b c a c +<-D. 如果b a >，那么bc ac >3．已知0,0<>>b b a ，下列不等式成立的是 （ ）A.b a b a ->->> B. a b b a ->>-> C. b b a a ->>-> D. b a b a >>->-4．已知22πβαπ≤≤<-，则βα-的取值范围是 （ ） A.0<-≤-βαπ B. 0≤-<-βαπ C. πβαπ<-<- D. πβαπ≤-≤-5．已知,c b a >>下列不等式成立的是 （ ）A.ac ab >B. c b c a >C.bc ab >D. )()(2222c b b c b a +>+6． 给出下列命题，其中正确的是 （ ）①若11>x，则1<x ②若y a x a 22>，则y x > ③011<<b a ，则2b ab < ④ ,0<<b a 则3322,b a b a <> A. ①② B. ②③ C. ②③④ D.①②③④7、已知24,31<<-<<b a 则b a -的取值范围是 。

高一数学不等式测试题1. 不等式的基本性质题目：请证明对于任意实数a、b、c，不等式\( a < b \) 时，\( a + c < b + c \) 成立。

2. 解一元一次不等式题目：解不等式 \( 5x - 3 > 2x + 7 \)。

3. 解绝对值不等式题目：解绝对值不等式 \( |x - 4| < 3 \)。

4. 解二次不等式题目：解不等式 \( x^2 - 4x + 3 > 0 \)。

5. 不等式与函数题目：已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，求函数值大于0的x的取值范围。

6. 不等式组的解集题目：解不等式组 \( \begin{cases} x + 2 > 0 \\ 3x - 7 < 0 \end{cases} \)。

7. 不等式的变换题目：将不等式 \( x^2 - 4x + 4 \geq 0 \) 转化为标准形式，并找出其解集。

8. 不等式的应用题目：一个矩形的长为 \( 2x + 3 \)，宽为 \( x - 1 \)，当x取何值时，矩形的面积最大？9. 不等式与数列题目：若数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} \leq 2a_n \) 对所有正整数 n 成立，证明数列 \( \{a_n\} \) 是递增的。

10. 不等式的证明题目：证明对于所有正实数 \( x \) 和 \( y \)，不等式\( \sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} \) 成立。

11. 不等式与几何题目：在三角形ABC中，如果 \( a + b > c \)，证明三角形ABC 是锐角三角形。

12. 不等式的综合应用题目：若 \( x, y \) 为正实数，且 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求\( x^2y + xy^2 \) 的最大值。

13. 不等式的解法题目：解不等式 \( \frac{2x}{x^2 - 1} < 1 \)。

高一数学不等式的性质试题答案及解析1.若则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得又有基本不等式可得，且，对不四个选项可得.【考点】基本不等式；不等关系与不等式.2.如果，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，不等式两边同时乘以，得，其他三项不一定正确，符号不确定，，.【考点】不等式的大小判定.3.,,则与的大小关系为．【答案】【解析】作差法比较大小，，,,所以p-q,【考点】利用不等式比较大小4.下列结论正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>bC．若a>b,c<0，则 a+c<b+c D．若<，则a<b【答案】D【解析】的正负不定，故A错；的正负不定，故B错；不等式两边加上同一个数，不等号方向不变，故C错。

【考点】不等式基本性质的应用。

5.已知不等式的解集是．（1）若，求的取值范围；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，说明元素2满足不等式，代入即可求出的取值范围；（2）由，是方程的两个根，由韦达定理即可求出，代入原不等式解一元二次不等式即可；（1）∵，∴，∴（2）∵，∴是方程的两个根，∴由韦达定理得解得∴不等式即为：其解集为．【考点】一元二次不等式的解法6.设，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，（舍去）；当时，；综上所述，不等式的解集为.【考点】不等式的解法、等价转换思想.7.如果, 设, 那么（）A．B．C．D．M与N的大小关系随t的变化而变化【答案】A【解析】,已知，所以，.【考点】比较大小.8.如果且，那么下列不等式中不一定成立的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】A是不等式两边同乘-1，正确；B，，C，由，得所以正确，D，不等式两边同乘，但不知道的符号，不一定成立.【考点】不等式的基本性质.9.若为实数，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】试题分析. A 若，则不成立；C 对两边都除以，可得，C不成立；D令则有所以D不成立，故选B.【考点】不等式的基本性质.10.函数，的值域为_________.【答案】【解析】,又，则，，可知.所以.【考点】本题主要考查分离变量法求函数的值域，不等式的性质.11.若，则下列不等式一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于，则根据倒数性质可知成立，对于对数函数性质，底数大于1是递增函数，故成立，对于D, 根据作差法可知成立，而对于C，应该是大于等于号，即左边大于等于右边，故选C。

ab ；⑥若a<b<0,贝贝—>—；cdab3.不等式一．不等式的性质：1■同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>b，c>d,则a+c>b+d(若a>b,c<d，则a-c>b-d)，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd(若a>b>0,0<c<d,则a>—)；3•左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0，则a n>—或%疮>n b;4.若ab>0,a>b,则1<1；若ab<0,a>b,则1>1。

如abab(1) 对于实数a,b,c中，给岀下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a<b<0,贝Ua2>ab>b2；④若a<b<0,贝』<—；⑦若c>a>b>0,贝卩a>b；⑧若a>b丄>,则a>0,b<0oc一ac一bab其中正确的命题是(答：②③⑥⑦⑧);(2) __________________________________________________ 已知-1<x+y<1,1<x一y<3，则3x一y的取值围是(答：1<3x-y<7)；c(3) 已知a>b>c，且a+b+c=0,则_的取值围是二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得岀结果2•作商(常用于分数指数幂的代数式)；3•分析法;4. 平方法；答：5. 分子(或分母)有理化；6. 利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。

典型例题一例1比较X3 3与3x的大小，其中x・R .解：(x23) -3x二x2_3x 3 ,2 3 2 3 2二[x -3x ()] -L) 3 ,2 23 2 3"2)4，_3 0,4x2亠3 3x .说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①a—b .0= a b ;② a — b = 0 ：= a = b :③ a — b ：： 0 ：= a ::: b .典型例题二例2比较x6 1与x4 x2的大小，其中R解：(x61)-(x4• x2)-X4 -X2 1= x4(x2-1)-(x2-1),= (x2-1)(x4-1),= (x2-1)(x2-1)(x21),= (x2-1)2(x21),二当X 二 1 时，x6x4 x2；当X 二1 时，x6 1 x4 x2.说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是:第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0,还是等于0,还是小于0.最后得结论.概括为“三步，一结论”，这里的“变形”一步最为关键.典型例题三例 3 X • R，比较(x 1)(x2 | 1)与(x 1) ( x2 x 1 )的大小.分析：直接作差需要将(x T)(x2• x• 1)与(x -) ( x2 x 1 )展开,2 2过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差.解：(x 1)(x2 x■ 1) = (x 1) ( X2 x —x 1 )=(x 1)(x2 x 1) -?(x 1),2A A(x -)(x2 X 1) =(X 1「—)(x2 X 1)2 22 1 2二(x 1)(x X 1) (x X 1),2x 1二(x 1)(X ■■■「1) -(x )(x x 1)2 21 2 1 1(x ■ x 1) x(x 1)0 .2 2 2则有x・ R时，(x 1)(x2•专T) • (x • 1)( x2 x 1 )恒成立.说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差.典型例题四161816解: 1618161/9、16硬珂8）1=1 —X ；1 x例4设x. R ，比较丄与1-x 的大小.1 x解:作差 11x-（^x ）=1/xX 21）当X =0时，即 0 ,1 + X2) 当 1 x ：：： 0，即 x -1 时，X 21 c1 —x ；3)当 1x0 但 x = 0，即-1 ：：： x ：：： 0 或 x 0 时，X 2说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字 母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号.此 号, 时要注意分类合理恰当.典型例题五例5比较1816与1618的大小分析：两个数是幕的形式，比较大小一般采用作商法。