数学《必修2》同步练习---2.3.4 平面与平面垂直的性质(1)

2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质【选题明细表】1.已知两个平面垂直,下列说法:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是( C )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:如图在正方体ABCD A1B1C1D1中,对于①AD1⊂平面AA1D1D,BD⊂平面ABCD,AD1与BD是异面直线,成角60°,①错误;②正确.对于③,AD1⊂平面AA1D1D,AD1不垂直于平面ABCD;对于④,如果这点为交线上的点,可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直,④错误.故选C.2.(2018·陕西西安一中月考)在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是( A )(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:过点A作AH⊥BD于点H,由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC ⊥AB,即△ABC为直角三角形.故选A.3.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么( A )(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ解析:由m⊂α,m⊥γ得α⊥γ,由l=β∩γ,得l⊂γ,所以m⊥l.故选A.4.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( D )(A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行(C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析:若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.5.(2018·沈阳检测)如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD.沿BD将△ABD 折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为平面ABD⊥平面BCD,又AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD,AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCD.同理,平面ACD⊥平面ABD.故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对.故选C.6.(2018·河北邢台调研)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出四个命题:①若l⊥α,α⊥β,则l⊂β;②若l∥α,α∥β,则l⊂β;③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.则正确命题的个数为.解析:①错,可能有l∥β;②错,可能有l∥β;③正确;④错,也可能有l∥β,或l⊂β或l与β相交.答案:17.如图所示,三棱锥P ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是.解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC.所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A,B两点).答案:以AB为直径的圆(除去A,B两点)8.(2018·江苏启东中学月考)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.(1)求证:BD⊥AA1;(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.证明:(1)在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AE⊥BC, 又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥CD.因为CD⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,故得AE∥平面DCC1D1.9.(2018·甘肃嘉峪关期末)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D ABC 是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( B )(A)①②④(B)①②③(C)②③④(D)①③④解析:设等腰直角△ABC的腰长为a,则斜边BC=a,①因为D为BC的中点,所以AD⊥BC,又平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,BD⊥AD,BD⊂平面ABD, 所以BD⊥平面ADC,又AC⊂平面ADC,所以BD⊥AC,故①正确;②由A知,BD⊥平面ADC,CD⊂平面ADC,所以BD⊥CD,又BD=CD=a,所以由勾股定理得BC=·a=a,又AB=AC=a,所以△ABC是等边三角形,故②正确;③因为△ABC是等边三角形,DA=DB=DC,所以三棱锥D ABC是正三棱锥,故③正确.④因为△ADC为等腰直角三角形,取斜边AC的中点F,则DF⊥AC,又△ABC为等边三角形,连接BF,则BF⊥AC,所以∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角,由BD⊥平面ADC可知,∠BDF为直角,∠BFD不是直角,故平面ADC与平面ABC不垂直,故④错误.综上所述,正确的结论是①②③.故选B.10.(2018·宿州市高二期中)设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列命题:①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.上述命题中,其中假命题的序号是.解析:①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行都可能,故①不正确;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确;④若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知m∥n,故④正确.答案:①③11.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE 的位置,得到四棱锥A1BCDE.(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a 的值.(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,AD∥BC,所以BE⊥AC,BE∥CD,即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,且OA1∩OC=O,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1BCDE的高.由题图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.从而四棱锥A1BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36得a=6.12.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:AD⊥PB;(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.因为△PAD为等边三角形,所以PG⊥AD.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD. 证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF.则EF∥PB,所以可得EF∥平面PGB.在菱形ABCD中,GB∥DE,所以可得DE∥平面PGB.而EF⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.。

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．a∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF ＝DE，AD＝6，则EF＝________．7．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．8．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．三、解答题9.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.10.(2015·广东卷)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD.B级能力提升1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④2．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．3.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N 分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.参考答案第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．答案：D2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③解析：①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误．答案：D3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．a∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．答案：D4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：由线面垂直的性质可得．答案：B5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析：如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE ⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE.答案：B二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF ＝DE，AD＝6，则EF＝________．解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.答案：67．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊄α，可得出b∥α，①正确；②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，②正确；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a⊂α，③正确；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正确．答案：48．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC.因为二面角α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，α∩β＝l，所以AC⊥β.又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝ 2.答案：2三、解答题9.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.证明：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.10.(2015·广东卷)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD.证明：(1)因为在长方形ABCD中，BC∥AD，BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)取CD的中点H，连接PH.因为PD＝PC，所以PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH ⊂平面PDC.所以PH⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PH⊥BC.因为在长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，所以BC⊥平面PDC.又PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.B级能力提升1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A.答案：B2．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.答案：273.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N 分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.11因为N 为PC 的中点，E 为PD 的中点，所以NE ∥CD 且NE ＝12CD . 而AM ∥CD ，且AM ＝12AB ＝12CD ， 所以NE ∥AM 且NE ＝AM ，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以MN ∥AE .又PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD .又因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD .而AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥AE .又AE ∥MN ，所以MN ⊥CD .(2)由(1)可知CD ⊥AE ，MN ∥AE .又∠PDA ＝45°，所以△PAD 为等腰直角三角形．又E 为PD 的中点，所以AE ⊥PD ，所以AE ⊥平面PCD .又AE ∥MN ，所以MN ⊥平面PCD .。

高一数学人教A版必修2同步课时作业2.3.4平面与平面垂直的性质一、选择题1.已知两个平面垂直，下列命题( )①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.32.已知平面α⊥平面β,则下列命题正确的个数是( )①内的直线必垂直于β内的无数条直线;②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线;③α内的任何一条直线必垂直于β;④过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α.A.4B.3C.2D.13.如图,在直角梯形ABCD中,190,//,12A AD BC AD AB BC∠=︒===，将ABD△沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD.在四面体A BCD-中,下列说法正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ACD⊥平面ABCC.平面ABC⊥平面BCDD.平面ACD⊥平面BCD4.如图，在三棱锥D ABC-中，若AB CB=，AD CD E=，是AC的中点，则下列正确的是( )A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED.平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE5.在正四面体ABCD 中,已知,E F 分别是,AB CD 上的点(不含端点),则( ) A.不存在,E F ,使得EF CD ⊥ B.存在E ,使得DE CD ⊥C.存在E ,使得DE ⊥平面ABCD.存在,E F ,使得平面CDE ⊥平面ABF6.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点F 是1BC 上的动点,则下列说法正确的是( )A.无论点F 在1BC 上怎么移动,都有11A F DB ⊥B.三棱锥1A D FC -的体积不变C.异面直线1DB 与BF 所成的角小于45D.平面1FDB ⊥平面1ACD7.已知两个平面,αβ，直线,a b α⊂，直线,m n β⊂.下列叙述正确的是( ) A.若////a m b n ,，则平面//αβB.若a b ，相交，m n ，相交，a b ，与m n ，均不相交，则平面//αβC.若m a ⊥，n b ⊥，则αβ⊥D.若a b ，相交，//m n 且m a ⊥，n b ⊥，则αβ⊥8.如图所示，四边形ABCD 中，//AD BC ，,45AD AB BCD =∠=︒，90BAD ∠=︒.将ADB △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC二、填空题9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A 、C 不重合），则下列结论正确的是____________.①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得//DM 平面11B CD ；③1A DM △； ④若12,S S 分别是1A DM △在平面1111ABCD 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S =.10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题： ① 1D P ∥平面11A BC ； ② 11D P B D ⊥；③ 平面1PDB ⊥平面11A BC ； ④ 三棱锥11A BPC -的体积不变.则其中所有正确的命题的序号是 ______ ．11.设α,β是两个不同的平面, l ,m 是两条不同的直线,且l α⊂,m β⊂,下面命题正确的是_____. ①若l β⊥,则αβ⊥;②若αβ⊥,则l m ⊥;③若//l β,则//αβ;④若//αβ,则//l m 三、解答题12.如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于,C D 的点.(1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由参考答案1.答案：C解析：对于①，由于两平面垂直，则若一个平面内的已知直线垂直另一平面内的任意一条直线，则该直线垂直于另一个平面，且必垂直于它们的交线，可已知直线不一定垂直于交线，故①错； 对于②，一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线，比如都是平行线，故②对； 对于③，由于两平面垂直，则一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一平面，只有它垂直于交线，才成立，故③错；对于④，在一个平面内一定存在直线平行于另一平面，只要改直线平行于交线即可，故④对。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第3课时两平面垂直的性质【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a⊄α，a⊥β，那么__________(a与α的位置关系)．一、填空题1．平面α⊥平面β，a⊂α，b⊂β，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．2．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的命题是________(填序号)．3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．4．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．①a与b可能垂直，但不可能平行；②a 与b 可能垂直，也可能平行； ③a 与b 不可能垂直，但可能平行； ④a 与b 不可能垂直，也不可能平行．5．如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么①AD ⊥MN ；②MN ∥平面CDE ；③MN ∥CE ；④MN 、CE 异面．其中结论正确的是________(填序号)． 6．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝________．7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，PD/∈l ，则下列命题中正确的为________．(只填序号) ①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O ，空间一点P 到α、β、γ的距离分别是2 cm 、3 cm 、6 cm ，则点P 到O 的距离为________ cm ．9．在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在底面ABC 上的射影H 必在________．二、解答题10．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ． 求证：BC ⊥AB ．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD ⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求P点到平面ABCD的距离．1．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线，这样，就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．2．无论从判定还是从性质来看，线线垂直、线面垂直和面面垂直都是密切相关的，面对复杂的空间图形，要善于发现它们之间的内在联系，找出解决问题的切入点，垂直关系的转化为：第3课时 两平面垂直的性质 答案知识梳理1．垂直 交线 a ⊥β2．(1)第一个平面内 a ⊂α (2)a ∥α 作业设计 1．a ⊥β 2．②④ 3．0解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾． 4．③ 5．①②③ 6．2∶1解析 如图： 由已知得AA ′⊥面β， ∠ABA ′＝π6，BB ′⊥面α，∠BAB ′＝π4，设AB ＝a ，则BA ′＝32a ，BB ′＝22a ，在Rt △BA ′B ′中，A ′B ′＝12a ，∴AB A ′B ′＝21．7．①③④解析 由性质定理知②错误． 8．7解析 P 到O 的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm 为长、宽、高的长方体的对角线的长． 9．直线AB 上解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC1，又AC⊂面ABC，∴面ABC1⊥面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．10．证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB．11．证明(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．12．证明设AC∩BD＝O，连结EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．13．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．∴P点到平面ABCD的距离为23．。

2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质基础过关练题组一直线与平面垂直的性质1.(2019山东枣庄高一检测)△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.不确定2.(2019浙江高二期末)设α,β是两个不重合的平面,l,m是空间两条不重合的直线,下列命题不正确的是()A.若l⊥α,l⊥β,则α∥βB.若l⊥α,m⊥α,则l∥mC.若l⊥α,l∥β,则α⊥βD.若l⊥α,α⊥β,则l∥β3.(多选题)下面命题正确的是()A.过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条B.过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条C.过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个D.过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个4.如图,正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为H,则以下命题中,错误的命题是()A.点H是△A1BD的垂心B.AH垂直于平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45°5.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB.题组二平面与平面垂直的性质6.(2020甘肃静宁高一期末)已知平面α,β和直线m,l,则下列命题中正确的是()A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥βB.若α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥βC.若α⊥β,l⊂α,则l⊥βD.若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β7.若平面β⊥平面α,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则()A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直8.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,点C为垂足,B∈β,BD⊥l,点D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则CD的长为.9.(2019江西南昌高二检测)已知在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,SD=2,BC⊥BD,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.证明:(1)DE⊥平面SBC;(2)SE=2EB.题组三平行、垂直关系的综合应用10.(2019北京昌平一中高一期末)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E 在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中错误的是()A.FM∥A1C1B.BM⊥平面CC1FC.三棱锥B-CEF的体积为定值D.存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D11.(2019北京高一期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,当点E在线段B1D1(与B1,D1不重合)上运动时,总有:①AE∥BC1;②平面AA1E⊥平面BB1D1D;③AE∥平面BC1D;④A1C⊥AE.以上四个推断中正确的是()A.①②B.①④C.②④D.③④12.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A'不与A,F重合),则下列说法中正确的是()①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上;②BC∥平面A'DE;③三棱锥A'-FED的体积有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③13.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列四个说法:①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.其中正确的个数为.14.如图所示,三角形PDC所在的平面与矩形ABCD所在的平面垂直,且PD=PC.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD.15.已知:如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,垂足为E.(1)求证:PA⊥平面ABC;(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.能力提升练一、选择题1.(★★☆)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC2.(2019山东高三月考,★★☆)设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列命题:①若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ;②若l上两点到α的距离相等,则l∥α;③若l⊥α,l∥β,则α⊥β;④若α∥β,l⊄β,且l∥α,则l∥β.其中正确的命题的序号是()A.①③B.③④C.②③D.①④3.(2019四川高考模拟,★★☆)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1、BC1的中点,下列结论中正确的是()A.EF⊥BB1B.EF⊥平面BCC1B1C.EF∥平面D1BCD.EF∥平面ACC1A14.(2019安徽高三开学考试,★★☆)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是棱A1D1上一动点,下列说法正确的是()A.对任意动点F,在平面ADD1A1内不存在与平面CBF平行的直线B.对任意动点F,在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线C.在点F从A1运动到D1的过程中,FC与平面ABCD所成的角变大D.在点F从A1运动到D1的过程中,点D到平面CBF的距离逐渐变小5.(2019湖北高一期中,★★☆)在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDE⊥平面ABCD.平面PDF⊥平面PAE二、填空题6.(2019山西太原高一检测,★★☆)已知平面α,β,γ,直线l,m满足:α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.由上述条件可推出的结论有.(请将你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题7.(★★★)如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥CD;(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.8.(★★★)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.(1)求证:C1C⊥BD;(2)当CD的值为多少时,可使A1C⊥平面C1BD?CC1答案全解全析基础过关练1.B因为直线l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,所以l⊥α,同理直线m⊥α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.2.D A选项中命题正确,垂直于同一条直线的两个平面平行;B选项中命题正确,垂直于同一个平面的两条直线平行;C选项中命题正确,因为平面β内存在直线m,使l∥m,若l⊥α,则m⊥α,∵m⊂β,∴α⊥β; D选项中命题不正确,有可能l⊂β.故选D.3.BC过一点和一条直线垂直的直线有无数条,故A不正确;过一点和一个平面垂直的平面有无数个,故D不正确;易知BC均正确.故选BC.4.D连接BH,A1H,DH,易知△A1BD为等边三角形,且AB=AA1=AD,又因为AH⊥平面A1BD,所以AH⊥BH,AH⊥A1H,AH⊥DH,所以易得BH=A1H=DH,即H到△A1BD各顶点的距离相等,所以H为△A1BD的外心,又因为等边三角形的三心合一,所以A中命题正确;易知CD1∥BA1,CB1∥DA1,又CD1∩CB1=C,BA1∩DA1=A1,所以平面CB1D1∥平面A1BD,所以AH⊥平面CB1D1,所以B中命题正确;连接AC1,则AC1⊥B1D1,因为B1D1∥BD,所以AC1⊥BD,同理,AC1⊥BA1,又BA1∩BD=B,所以AC1⊥平面A1BD,所以A,H,C1三点共线,所以C中命题正确,利用排除法选D.5.证明因为SA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AGFE,AE⊂平面AGFE,所以SC⊥AE.又因为BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC,所以AE⊥SB.6.D选项A缺少条件:l⊂α;选项B缺少条件:α⊥β;选项C缺少条件:α∩β=m,l⊥m;选项D具备面面垂直性质定理的全部条件.7.C当b=α∩β时,有a⊥β;当b不是α与β的交线时,直线a不一定垂直于平面β,如下图所示.故选C.8.答案√2解析如图,连接BC.∵二面角α-l-β为直二面角,AC⊂α,且AC⊥l,α∩β=l,∴AC⊥β.又BC⊂β,∴AC⊥BC,∴BC2=AB2-AC2=3.又BD⊥CD,∴CD=√BC2-BD2=√2.9.证明 (1)如图,因为SD ⊥平面ABCD,所以SD ⊥BC,又BC ⊥BD,BD ∩SD=D,所以BC ⊥平面BDS,所以BC ⊥DE.作BK ⊥EC,垂足为K,因为平面EDC ⊥平面SBC,平面EDC ∩平面SBC=EC,所以BK ⊥平面EDC.又DE ⊂平面EDC,所以BK ⊥DE.又因为BK ⊂平面SBC,BC ⊂平面SBC,BK ∩BC=B,所以DE ⊥平面SBC.(2)由(1)知DE ⊥SB,DB=√AD 2+BA 2=√2,所以SB=√SD 2+DB 2=√22+2=√6.在Rt △SDB 中,SD ·DB 2=SB ·DE 2, 所以DE=SD ·DB SB =2√33.EB=√DB 2-DE 2=√63,SE=SB-EB=2√63.所以SE=2EB.10.D 对于A,连接AC,易知FM ∥AC,AC ∥A 1C 1,故FM ∥A 1C 1,结论正确;对于B,易知△CDF ≌△BCM,∴∠CFD=∠BMC,∴∠DCF+∠BMC=90°,∴BM ⊥CF,又BM ⊥CC 1,∴BM ⊥平面CC 1F,结论正确;对于C,三棱锥B-CEF的体积等于三棱锥E-BCF的体积,此时E点到平面BCF的距离为1,底面积为1,故体积为定值,结论正确;2对于D,BF与CD相交,即平面BEF与平面CC1D1D始终有公共点,故二者相交,结论错误.故选D.11.D①因为AD1∥BC1,AE与AD1相交,所以①错;②明显不对,只有当E在B1D1中点时才成立;③易得平面AB1D1∥平面BC1D,而AE⊂平面AB1D1,所以AE∥平面BC1D;④易知A1C⊥平面AB1D1,又AE⊂平面AB1D1,所以A1C⊥AE.故选D.12.C①中,由已知可得平面A'FG⊥平面ABC,所以点A'在平面ABC上的射影在线段AF上.②因为BC∥DE,BC⊄平面A'DE,DE⊂平面A'DE,所以BC∥平面A'DE.③当平面A'DE⊥平面ABC时,三棱锥A'-FED的体积达到最大.13.答案4解析①若a⊥b,a⊥α,可得出b∥α或b⊂α,又b⊄α,所以b∥α,①正确;②若a∥α,a⊥β,则由线面平行的性质定理可以得出在α内存在直线c⊥β,故可得出α⊥β,②正确;③由a⊥β,α⊥β,可得出a∥α或a⊂α,③正确;④由a⊥b,a⊥α,可得出b∥α或b⊂α,又b⊥β,所以α⊥β,④正确.14.证明(1)因为四边形ABCD是矩形,所以BC∥AD.又BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)取CD的中点H,连接PH.因为PD=PC,所以PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PH⊂平面PDC.所以PH⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以PH⊥BC.因为BC⊥CD,PH∩CD=H,所以BC⊥平面PDC.又PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.15.证明(1)在平面ABC内任取一点D,作DF⊥AC,交AC于点F,作DG⊥AB,交AB 于点G.因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,所以DF⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC,所以DF⊥PA.同理可证,DG⊥PA.因为DG∩DF=D,所以PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长,交PC于点H.因为E是△PBC的垂心,所以PC⊥BH.又因为AE是平面PBC的垂线,所以PC⊥AE.因为BH∩AE=E,所以PC⊥平面ABE,所以PC⊥AB.又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB.因为PA∩PC=P,所以AB⊥平面PAC.所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.能力提升练一、选择题1.C连接B1C,由题意易得BC1⊥B1C,∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1⊂平面B1BCC1,∴A1B1⊥BC1,∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1ECB1,∵A1E⊂平面A1ECB1,∴A1E⊥BC1.故选C.2.B①设正方体下底面为β,左右侧面分别为α、γ,满足α⊥β,β⊥γ,但α∥γ,故①不正确;②若l上两个点A、B满足线段AB的中点在平面内,则A、B到α的距离相等,但l 与α相交,故②不正确;③若l⊥α,l∥β,则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β,故③正确;④若α∥β且l∥α,可得l∥β或l在β内,而条件中有l⊄β,所以必定有l∥β,故④正确.故选B.3.D连接B1C,由于四边形BCC1B1是平行四边形,对角线互相平分,故F是B1C的中点.因为E是AB1的中点,所以EF是三角形B1AC的中位线,故EF∥AC,所以EF∥平面ACC1A1.故选D.4.C对于A选项,∵AD∥BC,AD⊄平面CBF,BC⊂平面CBF,∴AD∥平面CBF,又AD⊂平面ADD1A1,所以A选项中的命题错误;对于B选项,假设平面ABCD内存在直线a满足a⊥平面CBF,∵a⊂平面ABCD,由平面与平面垂直的判定定理可得平面CBF⊥平面ABCD,事实上,平面CBF与平面ABCD不垂直,假设不正确,所以B选项中的命题错误;对于C选项,由于F到平面ABCD的距离d不变且FC变小,设直线FC与平面,可知θ在逐渐变大,C选项中的命题正确;ABCD所成的角为θ,则sinθ=dFC对于D选项,由于点F到平面ABCD的距离不变,△BCD的面积不变,则三棱锥F-BCD的体积不变,即三棱锥D-BCF的体积不变,在点F的运动过程中,△BCF的面积不变,由等体积法可知,点D到平面BCF的距离不变,D选项中的命题错误.故选C.5.C∵在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,∴DF∥BC,∵DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,∴BC∥平面PDF,故A中结论成立;∵四面体PABC是正四面体,E是BC的中点,∴AE⊥BC,PE⊥BC,∵AE∩PE=E,∴BC⊥平面PAE,∵DF∥BC,∴DF⊥平面PAE,故B中结论成立;∵DF⊥平面PAE,DF⊂平面ABC,∴平面PAE⊥平面ABC,∵平面PAE∩平面PDE=PE,且PE与平面ABC不垂直,∴平面PDE与平面ABC不垂直,故C中结论不成立;∵DF⊥平面PAE,且DF⊂平面PDF,∴平面PDF⊥平面PAE,故D中结论成立,故选C.二、填空题6.答案②④解析因为γ∩β=l,所以l⊂γ,因为α⊥γ,γ∩α=m,l⊥m,所以l⊥α,又l⊂β,所以α⊥β.由于β可以绕l转动,位置不定,所以m⊥β和β⊥γ不一定成立,即②④正确,①③错误.三、解答题7.证明 (1)如图所示,取PD 的中点E,连接AE 、NE,∵N 为PC 的中点,∴NE ∥CD 且NE=12CD, 又AM ∥CD 且AM=12AB=12CD, ∴NE AM,∴四边形AMNE 为平行四边形.∴MN ∥AE.又PA ⊥平面ABCD,∴PA ⊥CD.又∵四边形ABCD 为矩形,∴AD ⊥CD.又AD ∩PA=A,∴CD ⊥平面PAD.又AE ⊂平面PAD,∴CD ⊥AE.又MN ∥AE,∴MN ⊥CD.(2)∵PA ⊥平面ABCD,AD ⊂平面ABCD,∴PA ⊥AD,又∠PDA=45°,∴△PAD 为等腰直角三角形,又E 为PD 的中点,∴AE ⊥PD.又由(1)知CD ⊥AE,且PD ∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.又AE∥MN,∴MN⊥平面PCD.8.解析(1)证明:如图,连接A1C1,AC,设AC和BD交于点O,连接C1O.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BC=CD.又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C是公共边,∴△C1BC≌△C1DC.∴C1B=C1D.∵DO=OB,∴C1O⊥BD.又∵AC∩C1O=O,∴BD⊥平面ACC1A1.又∵C1C⊂平面ACC1A1,∴C1C⊥BD.(2)由(1)知BD⊥平面ACC1A1.∵A1C⊂平面ACC1A1,∴BD⊥A1C.=1时,平行六面体的六个面是全等的菱形.当CDCC1同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1=B,∴A1C⊥平面C1BD.故CD=1时,A1C⊥平面C1BD.CC1。

2.3.4 平面与平面垂直的性质【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．1．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内________于________的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a⊄α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交D．以上都有可能2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )A．l∥γB．l⊂γC．l与γ斜交D．l⊥γ3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )A．0条B．1条C．2条D．无数条4．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么( )A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行5．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面A ．4B ．3C ．2D ．16．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，PD/∈l ，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P 垂直于l 的平面垂直于β；②过P 垂直于l 的直线垂直于β；③过P 垂直于α的直线平行于β；④过P 垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P 到α、β、γ的距离分别是2cM、3cM、6cM，则点P到O的距离为________．9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在__________．三、解答题10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA 的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理，应用时应注意：(1)两平面垂直；(2)直线必须在一个平面内；(3)直线垂直于交线．2．此定理另一应用：由一点向一个平面引垂线，确定垂足位置是求几何体高的依据．2．3．4 平面与平面垂直的性质答案知识梳理1．垂直交线a⊥β2．(1)第一个平面内a⊂α(2)a∥α作业设计1．D2．D[在γ面内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，由于β⊥γ，γ∩β＝m，所以OE⊥面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，OE∩OF＝O，所以l⊥γ．]3．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]4．C 5．B6．A[如图：由已知得AA ′⊥面β，∠ABA ′＝π6， BB ′⊥面α，∠BAB ′＝π4， 设AB ＝a ，则BA ′＝32a ，BB ′＝22a ， 在Rt △BA ′B ′中，A ′B ′＝12a ，∴AB A ′B ′＝21．] 7．①③④解析 由性质定理知②错误．8．7cm解析 P 到O 的距离恰好为以2cm,3cm,6cm 为长、宽、高的长方体的对角线的长．9．直线AB 上解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC1，又AC⊂面ABC，∴面ABC1⊥面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．10．证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB．11．证明(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．12．证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．13．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855， 此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24．∴V P —ABCD ＝13×24×23＝163．。

课后导练基础达标1已知直线l、m,平面α、β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α∥β,则l⊥m ②若l⊥m,则α∥β ③若α⊥β,则l∥m ④若l∥m,则α⊥βA.1个B.2个C.3个D.4个解析：若α∥β，∵l⊥α,∴l⊥β.又∵m⊂β,∴l⊥m，所以①正确.若l∥m,∵l⊥α,∴m⊥α.又m⊂β，∴α⊥β.所以④正确，而②③错误.答案：B2在下列关于直线m、l和平面α、β的命题中,真命题是（）A.若l⊂β,且α⊥β,则l⊥αB.若l⊥β,且α∥β,则l⊥αC.若l⊥β,且α⊥β,则l∥αD.若α∩β=m,且l∥m,则l∥α解析：A项中l与α可以平行或斜交，A项错.B项中，l⊥β且α∥β,∴l⊥α正确.C项中，l可在α内，C项错，D项中，l可在α内，D项错.答案：B3如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（）A.平行B.垂直相交C.异面且垂直D.相交但不垂直解析：∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC.又∵MC⊥面ABCD，∴MC⊥BD，∴BD⊥面MAC，∴BD⊥MA.答案：C4已知平面α、β、γ，则下列正确的是（）A.α⊥β,β⊥γ，则β∥γB.α∥β,β⊥γ，则α⊥γC.α∩β=a,β∩γ=b，则a⊥bD.α⊥β,α∩β=a，a⊥b，则b⊥α解析：如下，A项错，β与γ可平行，也可相交；B项正确.证明如下，设β∩γ=a，在γ内作直线l⊥α.∵β⊥γ,∴l⊥β.又α∥β,∴l⊥α.又l⊂γ,∴α⊥γ.C项显然错误，D项中缺少了b⊂β,∴D项错.答案：B5经过平面α外一点和α内一点与平面α垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个解析：当过这两点的直线l⊥α时，能作无数多个；当l与α斜交时，只能作一个.答案：D6对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个条件是（）A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,m⊥α,n⊥βD.m∥n,n⊥β,m⊂α解析：A项错，因为即使α∥β，也可以有符合m⊥n，且m∥α，n∥β的直线m、n存在；B 项错，因为二面角α-m-β无论是否为90°，均可找到符合题意的图形；C项错，因为m∥n 且m⊥α时，有n⊥α，又由n⊥β得α∥β，不会得到α⊥β.答案：D7在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过A、C、D的平面与过D、B1、B的平面的位置关系是（）A.相交但不垂直 B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行解析：∵过A、C、D的平面即平面ABCD，过D、B1、B的平面即平面D1DBB1，又∵正方体中，B1B⊥平面ABCD，∴可得平面B1BDD1⊥面ABCD，故选C.答案：C8如图，P为△ABC所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点.求证：PC⊥AB.证明：∵AP=AC，BP=BC，D为PC中点.∴PC⊥AD，PC⊥BD.又∵AD∩BD=D，∴PC⊥平面ABD.又∵AB⊂平面ABD，故PC⊥AB.综合运用9设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是…（）①若m⊥α,n∥α，则m⊥n ②若α∥β,β∥γ,m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α,n∥α，则m∥n ④若α⊥γ,β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③.③④ D.①④解析：①正确.过n作平面γ作平面γ∩α=a，∵n∥α,∴n∥a,又m⊥α，a⊂α，∴m⊥a,∴m⊥n.②正确.∵m⊥α，α∥β，∴m⊥β.又∵β∥γ，∴m⊥γ.③错.m与n可能平行、相交或异面.④错.α∥β或α与β相交.答案：A10空间四边形SABC 中，SO ⊥平面ABC,O 为△ABC 的垂心. 求证：平面SOC ⊥平面SAB.证明：连结OC ，∵O 为△ABC 的垂心， ∴OC ⊥AB.又∵SO ⊥面ABC.AB ⊂面ABC ，∴SO ⊥AB. ∴AB ⊥面SOC ， 又AB ⊂面SAB.故平面SOC ⊥平面ABC.11如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上.已知：∠BAC 在平面α内，点P ∉α，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥α，垂足分别为E 、F 、O ，且PE=PF.求证：∠BAO=∠CAO. 证明：⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎩⎨⎧⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥⊥=⇒⎭⎬⎫⊥=AC OF AB OE AC PF AB PE PO OF OE PO PF PE αα∠BAO=∠CAO.拓展探究12(2006全国Ⅱ，7(理))如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α,β所成的角分别为4π和6π.过A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A′,B′,则AB ∶A′B′等于( )A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3解析：连结AB′,BA′,则∠ABA′=6π, ∠BAB′=4π. 在Rt △ABB′中,22='AB B A ,AB′=22AB.在Rt △AA′B 中,21='AB A A ,AA′=21AB. ∴在Rt △AA′B′中,A′B′=21AB.∴选A. 答案：A(文)如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α,β所成的角分别为4π和6π.过A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A′,B′,若AB=12,则A′B′等于( ) A.4 B.6 C.8 D.9解析:连结AB′,BA′,则∠ABA′=6π, ∠BAB′=4π.在Rt △ABB′中,∵AB=12,∴AB′=26.在Rt △AA′B 中,∵AB=12,∴AA′=6. ∴在Rt △AA′B′中,A′B′=6. ∴选B. 答案：B。

2.3.4平面与平面垂直的性质1. 下列命题错误的是（ ）.A. α不垂直β⇒α内一定存在直线平行于βB. αβ⊥⇒α内一定存在直线平行于βC. α不垂直β⇒α内不存在直线垂直βD. αβ⊥⇒α内所有直线都垂直于β2. 已知αβ⊥，,a b αβ⊂⊂，b 是α的斜线，a ⊥b ，则a 与β的位置关系是（ ）. A.a ∥β B. a 与β相交不垂直 C. a β⊥ D.不能确定3. 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（ ） A ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．０4. 若平面αβ⊥平面，直线a α⊂，则a 与β的位置关系为_____________________.5. 直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥,αβ⊥，则n 和β的位置关系为__________.6. 如图，已知平面α，β，直线a 满足αβ⊥，a β⊥，a α⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系．7. 已知平面α，β，γ且αγ⊥，βγ//，求证αβ⊥．8. 已知平面α，β，γ满足αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，求证：l γ⊥．9. 在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 与面ABC 垂直，3PA PB PC ===． （１） 求证：AB BC ⊥；（２） 设AB BC ==，求AC 与平面PBC 所成角的大小．参考答案1. 答案：D2. 答案：B3. 答案：Ｂ．4. 答案：相交或平行或a 在平面β内5. 答案：相交或平行或n 在平面β内6. 答案：解：在α内作垂直于α与β交线的直线b ，因为αβ⊥，所以b β⊥． 因为a β⊥，所以a b //．又因为a α⊄，所以a α//．即直线a 与平面α平行．7. 答案：证明：设l αγ=，在平面α内作直线a l ⊥．因为αγ⊥，所以a γ⊥．过a 作一个平面δ与平面β相交于直线b ， 由αβ//，得a b //．又b β⊂，所以βγ⊥．因为a γ⊥，所以b γ⊥．8. 答案：在平面γ内做两条相交直线分别垂直于平面α，β与平面γ的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线l γ⊥平面．αβba9. 答案：证明：如图（１）所示，取AC 中点D ，连结BD ，PD ．PA PC =∵，PD AC ⊥∴．又平面PAC ⊥平面ABC ，PD ⊥∴面ABC ．PA PB PC ==∵，DA DB DC ==∴．可知 AC 为ABC △的外接圆直径．∴AB BC ⊥．（２）解：如图（２），作CF PB ⊥于F ，连结AF ，PBC PBA ∵△≌△，AF PB ⊥∴，AF CF =． PB ⊥∴平面AFC ．∴面AFC ⊥面PBC，交线为CF ．∴直线AC 在平面PBC 内的射影为直线CF ． ∴ACF ∠为AC 与平面PBC 所成的角．在ABC Rt △中，AB BC ==，BD =∴ 在PDC Rt △中，DC =PD =．在PDB Rt △中，3PD DB DF PB ⨯===在FDC Rt △中，tan DF DCF DC ∠===． 30ACF ∠=∴þ．即AC 与平面PBC 所成角为30þ． AA图（２）。