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§6.2反常积分判敛法复习：1．反常积分⎪⎩⎪⎨⎧无界函数的反常积分无穷限的反常积分2．P 积分⎰∞+ apxdx 当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
3. q 积分⎰-baqa x dx )(及)()( b a x b dx baq<-⎰当1<q 时收敛；当1≥q 时发散。
6.2.1无穷区间反常积分判敛法定理1(比较判别法)设),[)( ),(+∞∈a C x g x f ，且)()(0x g x f ≤≤（),[+∞∈a x ）， 则（1）当⎰∞+ )(a dx x g 收敛时，⎰∞+ )(a dx x f 也收敛； （2）当⎰∞+ )(adxx f 发散时，⎰∞+ )(adxx g 也发散。
证明：设⎰∞+ )(adxx g 收敛A 于，∵)()(0x g x f ≤≤，∴a b ≥∀，有A dx x g dx x g dx x f b I ababa=≤≤=⎰⎰⎰∞+ )()()()(∵0)()(≥='b f b I ，∴)(b I 单调不减且有上界， 故⎰+∞→+∞→=bab b dxx f b I )(lim)(lim 存在，即⎰∞+ )(adxx f 收敛。
（2）用反证法由（1）即得。
例1．判别反常积分的敛散性： （1）dxex⎰∞+-12解：∵xxee--<<20，而eedx ex x111=-=∞+-∞+-⎰，∴dxex⎰+∞-1收敛，故dxex⎰∞+-12也收敛， （2）⎰∞++0sin 1xx dx解：∵011sin 11>+≥+xxx ，而+∞=+=+∞+∞+⎰)1ln(1x xdx ，∴⎰∞++01xdx 发散，故⎰∞++0sin 1xx dx 也发散。
由于反常积分)0( >⎰∞+a xdx ap当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
因此在定理1中取pxx g 1)(=，即可得反常积分的极限判别法。
定理2(极限判别法)设),[)(+∞∈a C x f ，0)(≥x f ，且l x f x p x =+∞→)(lim ，则当（1）当1>p ，+∞<≤l 0时，⎰∞+ )(a dx x f 收敛； （2）当1≤p ，+∞≤<l 0时，⎰∞+ )(adxx f 发散。
XX财经大学本科学年堆文反常积分敛散牲的判定方法作者陈志强学院统廿与数学学院专世数学与应用数学年级2012级学号122094102 指导教师魏运导师职称蟄授最终成绩摘要 (1)关鍵词 (1)弓I 言一、预备知识......1•无穷限反常枳分2.暇枳分3•反常枳分的性质二、反常积分的收敛判别法1无穷枳分的收敛判别⑴•定义判别法(2)•比较判别法⑶嗣西圳别法⑷阿贝尔判别法.⑸•放利克雷判别法2瑕枳分的收敛判别⑴•定义列别法(2)•定理判别法(3)・比较判别法⑷•柯西判别法• ••••••...4卑屿01参考文献......在很多实际间题中，要突破枳分区同的有穷11和被枳函数的有界性，由此得到了定枳分的两种形式的推广：无穷限反常枳分和瑕枳分。
我们将这两种枳分貌称为反常枳分。
因为反常枳分涉及到一个收敛问题，所以反常枳分的敛散性判定就显得非常重要了。
本文将对反常枳分的敛散性判定进行I月纳总结，并给出了相关定理的込明，举例说明其应用，这样将有MTKffl灵活的运用各种等价定理利Bi反常枳分的敛散性。
关键词：反常枳分陨枳分极限敛散性引言近些年以来，一些数学工作者对反常枳分敛散性的判别方法做了研究并取得了许名重要的进展。
如华东IMX大学数学系编，数学分析（上IB ）,对反常枳分枳分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。
华中科枝大学出版的数学分折理论方法与技H,也对反常枳分敛散性判别做了库细的讲解，连用图形的方法说明其直义。
引申岀反常枳分敛散II的等价定义，并通ii例题说明其应用。
众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，逆对我现所研究的论文题目提fftTt量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文冷对其8H亍归纳总给,举例说明其应用。
一、预备知识1.无穷限反常秋分定义1.1设函数于（X ）在［a, +00）有定义，若/（X）在［a, A］上可枳（A>a ）rA 『8目当A-+OO时，［im［fZx存在，称反常枳分［fZx收敛，否则4—>oo Ja J a称反常枳分£/U^^£/（A>/X发散。
反常积分的阿贝尔判别法当我们在解析某个函数的积分或者在应用积分的定理时，会遇到一些函数，它们在无穷远处或者某一点的不可积性。
这种不可积的函数被称为反常积分。
反常积分在应用中是十分重要的。
比如在计算物理问题时，我们经常需要求解反常积分，并且很多数学物理问题都可以归结为反常积分的求解。
然而，反常积分的求解过程往往会出现一些问题，比如无穷大的发散，点奇异性等，这就需要我们寻找一些有效的方法来分析和求解反常积分。
在本文中，我们将介绍反常积分的一个重要判断性质——阿贝尔判别法，并且通过一些例子来帮助大家更好的理解和掌握这一方法。
反常积分的定义在介绍反常积分的判别法之前，我们先来回顾一下反常积分的定义。
对于函数$f(x)$，如果它的原函数存在，那么就称$f(x)$在区间$I$上可积。
则$f(x)$在$I$上的定积分定义为$\int_{I} f(x) dx=$ $\lim_{t \rightarrow b^{-}} \int_{a}^{t} f(x) dx+$ $\lim_{t \rightarrow a^{+}} \int_{t}^{b} f(x) d x$其中，$a$和$b$是区间$I$的端点。
如果其中一个极限存在，则称该积分是一个反常积分。
阿贝尔判别法是用于判断反常积分的敛散性的一种方法。
它是以法国数学家Abel的名字命名的。
阿贝尔判别法的原理是，如果积分中的函数在一个极限处单调，则它的反常积分一定是收敛的，否则它的反常积分可能是发散的。
具体来说，阿贝尔判别法的三个抽象定义如下：定义1：设函数$f(x)$在区间 $[a,b)$ 上连续，此外，设$G(x)$ 是一个单调连续函数，则积分$\int_{a}^{b} f(x) G(x) d x$满足下列条件之一时，反常积分收敛：$\int_{a}^{b} f(x) d x$ 收敛且 $\left|\int_{a}^{t} G(x) d x\right|$ 有界或单调递减；上述三个定义的意义是相同的，只是针对不同的积分形式做了区分。
反常积分阿贝尔判别法例题反常积分的求解是高等数学课程中的重要内容，其中阿贝尔判别法是反常积分的常用判断方法之一。
下面将通过例题来详细介绍反常积分阿贝尔判别法的具体应用。
例题：判断反常积分$I=\int_1^{+\infty}\frac{\sinx}{x^\alpha}dx$的敛散性，其中$\alpha>0$。
解析：1. 首先明确，当$\alpha=1$时此积分为反常积分$\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx$，为瑕积分，需要利用凑微分法进行求解。
2. 当$\alpha\neq1$时，我们可以利用阿贝尔判别法来判断该反常积分的敛散性。
具体步骤如下：（1）若$\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$收敛，则$I$绝对收敛；若$\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$发散，则考虑第二个条件；（2）设$f(x)=\sin x$，$g(x)=\frac{1}{x^\alpha}$，则$f(x)$满足：（i）在$[1,+\infty)$上连续；（ii）在$[1,+\infty)$上单调有界；（iii）在$[1,+\infty)$上有界；（3）$g(x)$满足：（i）在$[1,+\infty)$上单调递减；（ii）$\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=0$；根据阿贝尔判别法可知，当$\alpha>1$时，$\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^\alpha}dx$收敛；当$0<\alpha\leq1$时，$\int_1^{+\infty}\frac{\sinx}{x^\alpha}dx$发散。
综上所述，当$\alpha>1$时，反常积分$I=\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^\alpha}dx$绝对收敛；当$0<\alpha\leq1$时，反常积分$I=\int_1^{+\infty}\frac{\sinx}{x^\alpha}dx$发散。
116第十二章 反常积分与含参变量的积分一、 反常积分：内容提要：1、 反常积分收敛的定义：● 无穷积分： ():lim ()AaaA f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰● 瑕积分： 0():lim ()b b a af x dx f x dx δδ+-→=⎰⎰b 为瑕点若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ● 绝对收敛与条件收敛： 若|()|a f x dx +∞⎰收敛，则称()af x dx +∞⎰绝对收敛.若()af x dx +∞⎰收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛.2、 反常积分的敛散性判别：● 比较判别法：若0()()[,)f x c x x a ϕ≤≤∀∈+∞()a x dx ϕ+∞⎰收敛⇒()a f x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰发散⇒()ax dx ϕ+∞⎰发散若0()()[,]f x c x x a b ϕ≤≤∀∈()bax dx ϕ⎰收敛⇒()ba f x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰发散⇒()bax dx ϕ⎰发散若()()()ax f x g x f x dx +∞→+∞⎰收敛()ag x dx +∞⇔⎰收敛● Dirichlet 判别发： ·若()f x 满足()().[,),0Aaaf x f x dx M A a dx x λλ+∞≤∀∈+∞⇒>⎰⎰收敛. ·若()f x 满足().[,)()(),0xbaaf x dx M x a b x b f x dx λλ≤∀∈⇒->⎰⎰收敛.● ·()f x 满足：().[,)Aaf x dx M A a x ≤∀∈+∞→+∞⎰时()g x 单调趋于0 ()()af xg x dx +∞⇒⎰收敛.117·()f x 满足：().[,)xaf x dx M x a b x b -≤∀∈→⎰时()g x 单调趋于0()()baf xg x dx ⇒⎰收敛.3、学习提示：注意在方法、思路、结果方面比较无穷级数、无穷积分、瑕积分的敛散性判别法.4、 重要结果： 11:1p ap dx x p ∞>⎧⎨<⎩⎰收敛发散b a 11:(x-a)1dx λλλ≥⎧⎨<⎩⎰发散收敛典型例题：例1：讨论下列反常积分的敛散性： 1）1+∞⎰2）2π⎰ 3）21x m ()dx x m x 1∞-++⎰4）10⎰ 解：1）521()f x x=512p =>. 故1∞⎰收敛 2）此积分瑕点为0.0x +→时121x, 故2π⎰收敛. 3) 2222(1)()1()(1)x m m x x m f x x m x x m x -+-=-=+++-. 1m = 时 21()f x x , 所以积分收敛. 1m ≠ 时 1()f x x, 所以积分发散.4) 此积分瑕点为0. 0x +→ 时141()o x = ∴原积分收敛. 例 2. 讨论积分2sin x dx x∞⎰的敛散性:若收敛,它是条件收敛还是绝对收敛？118解:作变量代换 2x t =则x =20sin sin 2x t dx dt x t∞∞=⎰⎰此积分有两个瑕点：0,∞.0x →时sin 1tt10sin tdt t∴⎰绝对收敛. 又:1sin 2[1,)A tdt A ≤∀∈+∞⎰ 1t单调1lim 0t t →∞=由Dirichlet 判别法,10sin tdt t⎰收敛.2sin sin cos 212t t t t t t+≥= 再由Drichilet 判别法1cos 22tdt t∞⎰收敛.但112dt t ∞⎰发散，20sin t dt t ∞∴⎰发散. 从而原级数条件收敛.例3 讨论如下反常积分的收敛性:0ln(1)p x dx x ∞+⎰ 解:此积分有两个瑕点:0,+∞0x →时1ln(1)1p p x x x -+112p p ∴-<<即时 10ln(1)p x dx x +⎰收敛,2p ≥发散. 1p ≤ 时 1ln(1)ln(1)lim .p p px x x x dx x x ∞→∞++=∞∴⎰发散. 1p > 时121ln(1)1ln(1)p p px x o dx x x x +∞⎛⎫++=∴ ⎪⎝⎭⎰ 收敛. 综上所述:仅当 12p << 时原级数收敛.练习题:研究下列积分的敛散性1) 10ln dx x ⎰ 2) 2201x dx x x +∞++⎰ 3) 10ln p x xdx ⎰ 4) 0+∞⎰ 5) 2sin cos p q dx x xπ⎰ 6) 0p q dx x x ∞+⎰ 7) 1ln p q dxx x ∞⎰ 8) 0()()m n p x dx P x +∞⎰. ()()m n P x P x 分别为m 及 n 次互质的多项式.1199) 0sin 1p q x x dx x +∞+⎰10) 10n⎰二、 含参变量的积分:内容提要:1、 含参变量的有限积分：● 定义： ():(,)ba u f x u dx ϕ=⎰(,)f x u 在[,][,]R a b αβ=⨯上定义 .0[,]u αβ∀∈，0(,)f x u 在[,]a b 上可积．● 性质：1) 连续性: (,)f x u 在R 上连续()u ϕ⇒在[,]αβ上连续 . 2) 可微性: (,)f x u 与fu∂∂在R 上连续⇒()u ϕ在[,]αβ上可导且: ()(,)(,)bb a a d d u f x u dx f x u dx du du uϕ∂==∂⎰⎰ 3) 可积性: (,)f x u 在R 连续⇒()u ϕ在[,]αβ上可积且:()(,)(,)bb aau du du f x u dx dx f x u du βββαααϕ==⎰⎰⎰⎰⎰2 . 含参变量的无穷积分● 收敛与一致收敛 称0():(,)u f x u dx ϕ+∞=⎰收敛若(,)f x u 在[,)[,]D a αβ=+∞⨯上定义,0[,]u αβ∀∈0(,)af x u dx +∞⎰收敛.称():(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ上一致收敛.如果:000,0,[,]A A A u εαβ∀>∃>∀>∀∈有:(,).Af x u dx ε+∞<⎰● 一致收敛的无穷积分的性质:1) 连续性: (,)f x u 在[,)[,]D a αβ=+∞⨯上连续 ()(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ上一致收敛，则()u ϕ在[,]αβ上连续 .即：00lim (,)lim (,)aau u u u f x u dx f x u dx +∞+∞→→=⎰⎰.2）可微性：(,)f x u 与(,)u f x u '在D 上连续且(,)af x u dx +∞⎰在[,]αβ120收敛, (,)u af x u dx +∞'⎰在[,]αβ一致连续，则()(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ可导,且()(,)u a d u f x u dx duϕ+∞'=⎰. 3） 可积性在：(,)f x u 在D 上连续 0()(,)u f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ一致收敛 .则()u ϕ在[,]αβ可积且0()(,)u du dx f x u du ββααϕ+∞=⎰⎰⎰.● 一致收敛的判别法：1) Cauchy 准则： (,)af x u dx +∞⎰在区间I 一致收敛⇔01200,A A A A u ε∀>∃∀>∀有21(,)A A f x u dx ε<⎰2）Weierstrass 判别法： (,)(,)().x y f x y g x ∀<且()ag x dx +∞⎰收敛(,)af x u dx +∞⇒⎰一致收敛 .3）Dirichlet 判别法: ,(,)AaA a u If x u dx M ∀>∀∈≤⎰.,(,)u I g x u ∀∈关于u 单调，且0(,)g x u x u I →∞∈且则(,)(,)af x ug x u dx +∞⎰在I 上一致收敛 .典型例题： 例1、研究122()()yf x F y dx x y =+⎰的连续性. 其中()f x 在[0,1] 上是正的连续函数： 解：0y ∀∈.00y ≠时，取0y δ<，则000[,]y y δδ∉-+.显然函数22()yf x x y+在00[0,1][,]y y δδ⨯-+上连续 .根据含参变量积分的连续性，()F y 在00[,]y y δδ-+上连续 .00y =时 0()0F y =.因()f x 在[0,1]是正的连续函数 .[0,1]:min ()0x m f x ∈=>(0,1)y ∈时 12201()4ym F y dx marctg m x y y π≥=>+⎰121(1,0)y ∈-时 1221()4ym F y dx marctg m x y y π≤=<-+⎰lim ()0y F y ±→∴≠ ()F y ∴在(,0)(0,)-∞∞上连续 .例2、求()F y '1） sin ()b y a yxy F y dx x++=⎰2） 22()y x yy F y e dx -=⎰解：1） sin ()sin ()()cos b y a y y b y y a y F y xydx b y a y++++'=-+++⎰ 1111sin ()sin ()y b y a a y y b y y a y ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2） 222222()()y x yxy x yyx y x yF y y ey ee dx y---==∂'''=--∂⎰253222y y y x y yyeex e dx ---=--⎰例3、设2sin()()sin xy xy F x dy y yπ=-⎰ 求 10()F x dx ⎰解：因函数sin()sin y xy y y-在[0,1][,2]ππ⨯上连续，由含参变量积分的积分性质：11200sin()()sin y xy F x dx dx dy y yππ=-⎰⎰⎰21sin()sin y xy dy dx y yππ=-⎰⎰21cos sin ydy y yππ-=-⎰2l n sin ln 2y yππ=-=例4、应用对参数的微分法计算积分：222220ln(sin cos )a x b x dx π+⎰解： 视b 为常数 . a 为参变量 .若00a b >>222220()ln(sin cos )I a a x b x dx π=+⎰1222222202sin ()sin cos a xI a dx a x b xπ'=+⎰若a b = 2202()sin 2I b xdx b b ππ'==⎰若a b ≠作变量代换 t tgx =2222202()(1)()b a t dtI a a t t +∞'=++⎰ 2222222a b a at arctg t arctg a a b a b b b +∞⎛⎫=- ⎪--⎝⎭ a bπ=+()(0,)I a a a bπ'∴=∀∈+∞+积分得：()ln()(0,)I a a b c a π=++∈+∞ 令a b =，()ln(2)I b b c π=+而 22120()ln ln ln I b b dx b c πππ==∴=⎰ ()ln2a bI a π+∴= 若0a <或0b < 同理可得：||||()ln 2a b I a π+=例5、证明下列积分在指定区域一致收敛： 1） 00sin 0x e xdx ααα+∞-<≤<∞⎰2） 1cos xp xe dx xα+∞-⎰ 00p α≤<+∞> 解： 1） 0sin x x e x e αα--≤ 且 00x e dx α+∞-⎰收敛 故积分0sin x e xdx α+∞-⎰ 收敛 .2）由于1cos 2Axdx ≤⎰0α≥时 xp e xα-在1x ≥关于x 递减且10x p p e x x α-<<，故x →+∞ 时 x p e x α-一致趋于0 .由Dirichlet 判别法：1cos x p xe dx xα+∞-⎰在1230α≤<+∞一致收敛 . 练习题：1、求下列极限：1） 1220lim 1y yy dxx y+→++⎰2）10lim y -→⎰ 2、 求()F y ' 1） 0ln(1)()y xy F y dx x+=⎰2） 12()(,)(,)()yF y f x y x y dx f u v c =+-∈⎰3、 设()f x 是以2π为周期的连续函数，令1()()2x hx h F x f t dt h+-=⎰. 试求()F x 的Fourier 系数 . 4、 应用对参数的微分法求积分：20ln(12cos )a x a dx π-+⎰5、设()f x 连续、10()()()xn F x f t x t dt -=-⎰，求()()n F x .6、设2cos 0()cos(sin )xx F x e x d θθθ=⎰，求证：()2F x π≡.7、求下列积分的收敛域：1）201ax e dx x -+∞+⎰2） 20ln p dxx⎰ 8、研究下列积分在指定区间内的一致收敛性：1） 1x x e dx a b αα∞-≤≤⎰2） 0sin 0xx e dx xαα+∞-≤<∞⎰ 3）200x dx αα-≤<∞⎰4） 22(1)sin x e dx ααα+∞-+-∞<<+∞⎰9、 求函数20sin(1)()xF dx xαα+∞-=⎰的不连续点. 10、 设()f x 连续且()A f x A dx x +∞∀>⎰收敛 .试证：0()()(0)ln 00f ax f bx bdx f a b x a+∞-=>>⎰ 11、 利用第10题结果计算：0cos cos00 ax bxdx a bx+∞->>⎰12、利用对参量的微分法计算：2200 ax bxe edx a bx--+∞->>⎰124。
反常积分的比较判别法
反常积分的比较判别法，即判断反常积分的敛散是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。
如下：
1、第一类无穷限
而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛。
2、第二类无界函数
而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大。
且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。
反常积分的快速判断
首先如果积分限出现∞，便知道该积分是反常积分。
其次如果积分区间有限，则需判断积分在该区间是否存在瑕点。
第一要看基本函数（l n x，a r c t an x等，注意这些函数的瑕点）；第二要看分母，如果分母存在0点，通过求极限判断是否属于无穷间断点。
XX财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作者陈志强学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012级学号122094102指导教师魏运导师职称教授最终成绩75分目录摘要 (1)关键词 (1)引言----------------------------------------------------------------------------------------2一、预备知识 (2)1.无穷限反常积分 (2)2.瑕积分 (3)3.反常积分的性质 (3)二、反常积分的收敛判别法 (4)1无穷积分的收敛判别 (4)(1).定义判别法 (4)(2).比较判别法 (4)(3).柯西判别法 (5)(4)阿贝尔判别法 (6)(5).狄利克雷判别法 (7)2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8)(1).定义判别法 (8)(2).定理判别法 (9)(3).比较判别法 (9)(4).柯西判别法 (9)(5).阿贝尔判别法 (10)(6).狄利克雷判别法 (10)参考文献 (11)摘要在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。
我们将这两种积分统称为反常积分。
因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。
本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。
关键词：反常积分瑕积分极限敛散性引言近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得了许多重要的进展。
如华东师X 大学数学系编，数学分析（上册），对反常积分积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。
华中科技大学出版的数学分析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解，还用图形的方法说明其意义。
引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用。
众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文将对其进行归纳总结，举例说明其应用。
一 、 预备知识1.无穷限反常积分定义1.1设函数()f x 在[ａ，＋∞）有定义，若()f x 在[ａ，A]上可积（A>a ）且当A →＋∞时，lim ()AaA f x dx →∞⎰存在，称反常积分()af x dx ∞⎰收敛，否则称反常积分 ()af x dx -∞⎰与()f x dx ∞-∞⎰发散。
对反常积分()af x dx -∞⎰与()f x dx ∞-∞⎰可类似的给出敛散性定义。
注意：只有当()af x dx -∞⎰和()f x dx ∞-∞⎰都收敛时，才认为()f x dx ∞-∞⎰是收敛的。
2．.瑕积分定义1：设f(x)在a 的任何邻域内均无界，则称a 为f(x)的一个瑕点 定义2：设f(x)在,a b内有定义，且b 为唯一瑕点，若lim ()b δaδf x dx +-→⎰存在，称瑕积分()baf x dx ⎰收敛定义3：设C (),a b ∈且为f(x)的一个瑕点，若()caf x dx ⎰和()dcf x dx ⎰均收敛，则称瑕积分()baf x dx ⎰3.反常积分的性质(1)Cauchy 收敛原理：()af x dx ∞⎰收敛⇔ε∀对>0，∃0A >a,当1A >2A >0A 时，有()A A f x dx ⎰21<ε(2)线性性质：若()af x dx ∞⎰与()ag x dx ∞⎰都收敛，则对任意常数,k k 12，[]()()akf x kg x dx ∞+⎰12也收敛，且有[]()()akf x kg x dx ∞+⎰12=k 1()af x dx ∞⎰()ak g x dx ∞+⎰2(3)积分区间可加性，若()af x dx∞⎰收敛，则∀b [),a ∈+∞,()a f x dx ∞⎰=()()ba bf x dx f x dx +∞+⎰⎰.(4)若()af x dx ∞⎰收敛，则()af x dx∞⎰≤()af x dx ∞⎰。
二、反常积分的敛散性判别法1.无穷积分的敛散性判别 （1）定义判别法设函数f 定义在无穷区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积.如果存在极限lim ()u a u f x dx J →+∞⎰=，则称()a f x dx +∞⎰收敛，否则发散，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不存在广义积分发散例1.1计算无穷积分 0pxxe dx +∞-⎰（p 是常数，且0p >）解：000022111px pxpx px x xe dx e e dx e pp pp+∞--+∞+∞--+∞⎰=-+⎰=-=式中 1lim limlim 0pxpx pxx x x x xee pe -→∞→∞→∞===(2).比较判别法的普通形式：(),()f xg x 在[),a +∞有定义，且()()()f x g x x a ≤≤≥0（a ）()ag x dx ∞⎰<+∞⇒()a f x dx ∞⎰<+∞（b ）()af x dx ∞⎰=+∞⇒()ag x dx ∞⎰=+∞例1.2 讨论sin xdx x∞+⎰21的收敛性 解：由于sin x x x ≤++22111 ，[),x ∈+∞0因为dx πx ∞=+⎰212为收敛，所以根据比较判别法sin x dx x ∞+⎰201为绝对收敛。
(3).比较判别法的极限形式：(),()f x g x 在[),a +∞有定义，且非负，且()lim ()x f x l g x →+∞=则： （a ）当l 0时，()a g x dx ∞⎰<+∞⇒()a f x dx ∞⎰<+∞（b ）l=∞+时，()a g x dx ∞⎰=+∞⇒()a f x dx ∞⎰+∞=（c ）0<l <+∞时，()ag x dx ∞⎰，()af x dx ∞⎰具有相同点敛散性。
证：（1)若()lim ()x f x l g x →+∞=<+∞，由极限的性质，存在常数A （A>a ）使得当xA ≥时成立()()f x lg x 1即()()()f x lg x 1 于是由比较判别法，当()a g x dx∞⎰收敛时()af x dx ∞⎰也收敛（2）若()lim()x f x lg x 0，由极限的性质，存在常数A （A a ≥），使得当xA ≥时成立'()()f x lg x 其中0'l l '()()f x l g x于是由比较判别法，当()ag x dx ∞⎰发散时()af x dx ∞⎰也发散例 1.3讨论∞⎰1的敛散性解：lim x →∞=1，而+∞⎰11收敛，所以∞⎰1收敛总结：使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确，同时又形成简单的函数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取px 1为比较对象的，因为它们正好能满足这俩个条件 (4).柯西判别法： 设()f x 在[),a +∞有定义，在任何有限区间,a u上可积，且()lim p x x f x λ→∞=则有：当,p λ>≤<+∞10时，()af x dx ∞⎰收敛当p ≤1，时，()af x dx ∞⎰发散(5).阿贝尔判别法：()()af xg x dx ∞⎰满足：（a ）()f x 单调有界（b ）()ag x dx ∞⎰收敛则()()af xg x dx ∞⎰收敛证：由于存在M>0，使()f x M≤()x a ≥再由（2）可知，ε对>0,a ∃>0A ,当210A >A A 时，有()()A A f x g x dx⎰21<ε又()()A A f x g x dx⎰21=()()()()ζA A ζf Ag x dx f A g x dx +⎰⎰2112M≤（ε+ε）=2M ε 再次由柯西准则知Abel 定理成立。
例1.4 证sin arctan λxxdx x∞⎰1(0<λ≤1)收敛 利用阿贝尔判别法，因为sin λxdx x∞⎰1收敛，又arctan x 在[),+∞1上单调有界，故sin arctan λxxdx x∞⎰1是收敛的 (6). Dirichlet 判别法：()()af xg x dx ∞⎰满足（1）f(x)单调且趋于0（x →0） （2）()Aag x dx ⎰有界（a>A ）则()()af xg x dx ∞⎰收敛。
证：由于存在M>0，()Aag x dx ⎰有界，所以有()Aag x dx M≤⎰又由于f（x ）→0（x →∞)故对ε∀对>0,a ∃>0A ,当210A >A A 时，有()()f A f A 21ε即()f A 2ε，()f A 1ε，所以()()()ζζA A aaf x dxg x dx g x dx<-⎰⎰⎰2M≤2同理有()A ζg x dx M<⎰12，故当,A A A 210时，有()()()()()()A ζA A aζf xg x dx f A g x dx f A g x dx≤+⎰⎰⎰21121M ε≤4 例1.5 证积分sin xdx x∞⎰1收敛，但不绝对收敛 证：sin cos cos Axdx A =-≤⎰112，而x1单调且当x →+∞时趋于0，故由Dirichlet判别法知sin xdx x∞⎰1收敛；但()sin sin sin sin x x x x x x x=≥≤21=cos x x x1222 而cos sin sin Axdx A =-≤⎰1122112，x 12单调趋于0，故cos xdx x ∞⎰122收敛，而dx x∞⎰112发散，故sin Axdx⎰1发散例1.6 积分p x dx ⎰1的敛散性当p ≥0时是可积的；当p0时，它是不可积的，因为这时被积函数在,01上无界。
但作为反常积分，当p 1时收敛；当p ≤-1时发散；因为当p ≠-1时有lim lim p pδδδδx dx p +→→-==+⎰110011(){/,,p p +>-∞1111若若p<-而当p1时有()lim lim ln ln δδδx dx δ-→→=-=+∞⎰11001 例1.7 积分p x dx ∞⎰作为反常积分，当p1时它收敛；当p ≥-1时它发散。
这是因为当p ≠-1时有lim lim p pδδδδx dx p +→→-==+⎰11011(){/,,p p -+<-∞1111若若p>- 而当p=-1时有()lim lim ln ln δδδx dx δ-→→=-=∞⎰1112. 瑕积分的收敛判别 （1）定义判别法设函数f 定义在无穷区间(,]a b 上，在点a 的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间有限区间[,](,]u b a b ⊂上有界且可积.如果存在极限lim ()buu af x dx J +→⎰=，则称反常积分()a f x dx +∞⎰收敛.，否则发散 例2.1计算瑕积分10⎰的值解：被积函数()f x =[0,1)上连续，从而在任何[0,][0,1)u ⊂上可积，0x =为其瑕点.依定义求得1011lim lim(11u u x →-→-⎰=⎰=-=(2)定理判别法（柯西收敛原理） 瑕积分()baf x dx ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给ε0，存在δ，只要(),u u a a δ∈+12总有()()()b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=⎰⎰⎰2121=0<ε(3).比较法则 设f(x)定义于,a b，a 为其瑕点，且在任何[](),,u b a b ⊂上可积，如果()lim ()px x a f x λ+→-=0当,p λ>≤<+∞10时，()a f x dx ∞⎰收敛 当p ≤1，λ<≤+∞0时，()a f x dx ∞⎰发散(4).柯西判别法设x=a 是f(x)的瑕点，如果 ()()(),pcf x c p x a ≤><-01那么()ba f x dx ⎰绝对收敛；如果()()(),pcf x c p x a ≥>≥-01那么()baf x dx ⎰发散例2.2 讨论ln e pdx x x⎰1的敛散性（p R +∈） 解：x=0是其唯一奇点。
