考研数学(二)真题解析反常积分敛散性的判定

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有,在 处无定义，且 所以 是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在， ，于是，存在，此时.当 时， ，=不存在， ，因此，在 连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点 外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。

虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，函数 在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

2017考研数学二之计算反常积分反常积分是考研数学二的一个必考知识点，每一年至少会出一道题.关于这个知识点，可以理解成定积分的极限运算，记住第一章极限的相关知识和定积分的相关知识就可以解答。

首先一起来看一下今年的考题：以上是反常积分所有可能考到的知识点。

当然，有一年是个例外，2010年的一道选择题则考到了反常积分的审敛法。

对于这一点，有超纲的嫌疑，可以先不用管它。

好了，现在我们来看看。

所以,，①收敛，②发散，选B。

总结：对于反常积分的计算，一般来讲，把被积函数写出来，然后再求极限，极限存在那么就收敛，极限不存在就发散，并不需要用到反常积分的审敛法来出来。

当然了，立志于考130分以上的同学，可以学习一下反常积分的审敛法。

When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heart To dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数().若(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出再有于是，存在此时.当，，=因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题与答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x2 (B)∫lnxx+∞2dx(C)∫1xlnx+∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x2=2√x|2+∞=+∞；∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞；∫x e x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx =2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=e lim t→0x 2t (1+sin tx−1)=e x lim t→0sint t=e x(x≠0),f(x)在x=0处无定义，且limx→0f(x)=limx→0e x=1,所以 x=0是f(x)的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f(x)={xαcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,β>0).若f′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x)={αxα−1cos 1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有 f+′(0)=limx→0+f(x)−f(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，f−′(0)=0于是，f′(0)存在⟺α>1，此时f′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。

XX财经大学本科学年堆文反常积分敛散牲的判定方法作者陈志强学院统廿与数学学院专世数学与应用数学年级2012级学号122094102 指导教师魏运导师职称蟄授最终成绩摘要 (1)关鍵词 (1)弓I 言一、预备知识......1•无穷限反常枳分2.暇枳分3•反常枳分的性质二、反常积分的收敛判别法1无穷枳分的收敛判别⑴•定义判别法(2)•比较判别法⑶嗣西圳别法⑷阿贝尔判别法.⑸•放利克雷判别法2瑕枳分的收敛判别⑴•定义列别法(2)•定理判别法(3)・比较判别法⑷•柯西判别法• ••••••...4卑屿01参考文献......在很多实际间题中，要突破枳分区同的有穷11和被枳函数的有界性，由此得到了定枳分的两种形式的推广：无穷限反常枳分和瑕枳分。

我们将这两种枳分貌称为反常枳分。

因为反常枳分涉及到一个收敛问题，所以反常枳分的敛散性判定就显得非常重要了。

本文将对反常枳分的敛散性判定进行I月纳总结，并给出了相关定理的込明，举例说明其应用，这样将有MTKffl灵活的运用各种等价定理利Bi反常枳分的敛散性。

关键词：反常枳分陨枳分极限敛散性引言近些年以来，一些数学工作者对反常枳分敛散性的判别方法做了研究并取得了许名重要的进展。

如华东IMX大学数学系编，数学分析（上IB ）,对反常枳分枳分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。

华中科枝大学出版的数学分折理论方法与技H,也对反常枳分敛散性判别做了库细的讲解，连用图形的方法说明其直义。

引申岀反常枳分敛散II的等价定义，并通ii例题说明其应用。

众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，逆对我现所研究的论文题目提fftTt量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文冷对其8H亍归纳总给,举例说明其应用。

一、预备知识1.无穷限反常秋分定义1.1设函数于（X ）在［a, +00）有定义，若/（X）在［a, A］上可枳（A>a ）rA 『8目当A-+OO时，［im［fZx存在，称反常枳分［fZx收敛，否则4—>oo Ja J a称反常枳分£/U^^£/（A>/X发散。

反常积分收敛散性的判别
反常积分又叫广义积分。

广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性。

它不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。

反常积分收敛判别法规律：积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。

反常积分是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()()33123cos 1,ln 1,11a x x a x x a x =-=+=+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）反常积分①121,x e dx x -∞⎰②1201x e dx x+∞⎰的敛散性为 （A ）①收敛②收敛 （B ）①收敛②发散（C ）①收敛②收敛 （D ）①发散②发散（4）设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点(5)设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且''0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲率2()y f x =的曲率，则在0x 的某个邻域内，有12()()()()A f x f x g x ≤≤ 21()()()()B f x f x g x ≤≤ 12()()()()C f x g x f x ≤≤ 21()()()()D f x g x f x ≤≤（6）已知函数(,)x e f x y x y=-，则''''''''()0()0()()x y x y x y x y A f f B f f C f f fD f f f-=+=-=+=（7）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T A 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）T A A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（8）设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正负惯性指数分别为1,2，则（ ）（A ）1a > （B ）2a <- （C ）21a -<<（D ）1a =或2a =-二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9） 曲线()322arctan 11x y x x =+++的斜渐近线方程为 （10）极限2112limsin 2sin sin n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭（11）以2xy x e =-和2y x =为特解的一阶非齐次线性微分方程为 （12）已知函数()f x 在(),-∞+∞上连续，且()()()212xf x x f t dt =++⎰，则当2n ≥时，()()0n f =（13）已知动点P 在曲线3x y =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l 。

反常积分的判敛法，主要考查三类：1.直接计算法 2.比较判敛法的极限形式 3.极限审敛法第一步：先找出来所有的反常点，第一是无穷反常点，也就是积分限中含有+∞，-∞时，他们就是反常点。

第二，找到分母为零的点，注意分母为0的点a，还要分成a+,a-两个反常点，第三，找到ln(□)，使□＝0+的点。

第四，题目声明的反常点。

第二步，对每一个反常点，判断它是否收敛。

第二部的第一点：这里面最容易判别的就是反常点x=+∞，这里我们只讲利用极限比较判别法来进行判别的内容：这时我们找的标杆函数是g(x)=1/x^p，1/{x•(lnx)^p}，1/{x•(lnx)•[ln(lnx)]^p}，………这些标杆函数的收敛性也非常容易记下来，就是p＞1的时候是收敛的，其他的时候是发散。

那么有了这个标杆函数之后，我们就可以利用下列定理：如果lim[x→+∞]{f(x)/g(x)}=L，则（计算这个极限经常使用下面的一个结论就是指数增长快于幂增长，幂增长快于正数增长：好了，关于如何看待极限的速度就到此为止了，下面接的是我们的定理）(1)当L是一个非零常数的时候，两个反常积分在正无穷点的收敛性相同，也就是说p＞1时收敛，其他情况发散。

(2)当L＝0时，在x→＋∞时，|f(x)|≤g(x)，因此反常积分g(x)在正无穷敛收敛时（也就是p＞1时），f(x) 在正无穷大点绝对收敛。

(3)当L＝∞时，在x→＋∞时，|f(x)|≥g(x)，因此，反常积分g(x)在正无穷处发散时（也就是p≤1时），f(x)在正无穷大点是发散的（如果不是标杆函数，那它的发散性还是需要单独考虑）。

第二步的第二点，反常点是x=-∞，这时，只要做一个变换s=-x，就可以变成∫[a→＋∞]f(-s)ds也就是关于s的反常积分，而且反常点也变成了正无穷，这样也就可以用第二部的第一点解决问题了。

第二步的第三点，反常点x=0+（注意如果函数含有因子ln□，且□→1时，要用ln□～□-1），这时候的标杆函数，我们只推荐一个g(x)=1/x^p，不过要记住了，此时的收敛情况（与x＝+∞的情况正好相反）为p＜1，发散情况为p≥1（另外，其他的g(x)需要自己寻找，总的原则是找出来的函数要容易判别，而且能够使比的极限存在，且最好是非零常数）找到标杆函数g(x)以后，又可以使用极限判别法：如lim[x→0+]{f(x)/g(x)}=L（注意这里一般也是令s＝1/x，然后用s →+∞相关的比较定理，即指数增长快于幂增长，幂增长快于对数增长来判别），同样有三个结论(1)如L≠0，且g(x)不变号（我们的标杆肯定不变号，这里指的是自己找的标杆，不能变号，要么都是大于0的，要么都是小于0的(在x→0+过程中)）则f(x)在x=0+这个反常点，与标杆函数同敛散（如果是我们选择标杆，就是p小于1收敛，p大于等于1发散）；(2)如L=0，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为x→0+时，|f(x)|≤|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+收敛（所以用我们的标杆时，就是p＜1），可以推出f(x)在该反常点也收敛（类似于级数比较判别法：大收小必收）；(3)如L＝∞，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为|f(x)|≥|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+发散（如果是我们选择标杆，就是p≥1）时，且f(x)也不变号时，f(x)在反常点也发散（类似于级数比较判别法：小发大必发）。