15届高三理科数学二诊考试试题

2015年高考模拟试题(一)理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，若21mii-+为纯虚数，则实数m 的值为 A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．设集合{}{}22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则A ．[]1,2B ．[)1,2C ．[]0,3D ．(]0,33．若0a b <<，则下列结论中正确的是 A ．22a b <B ．2ab b <C ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2b aa b+> 4．已知()()F x f x x =-是偶函数，且()()212f f =-=，则 A ．4B ．2C ．3-D ．4-5．执行右面的程序框图，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为 A ．（11，12）B ．（12，13）C ．（13，14）D ．（13，12）6．已知()xf x e x =-，命题()(),0p x R f x ∀∈>：，则 A ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< B ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤ C ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< D ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤7．若()()sin 2f x x θ=+，则“()f x 的图象关于3x π=对称”是“6πθ=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知函数()()()()()()22,log ,ln xf x xg x x xh x x x f a g b h c =+=+=+==，若0=，则 A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b <<9．设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形区域（含边界），若点(),x y D ∈，则211y x x -++的取值范围是A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“~λ特征函数”.下列结论中正确的个数为 ①()0f x =是常数函数中唯一的“~λ特征函数”；②()21f x x =+不是“~λ特征函数”； ③“13~λ特征函数”至少有一个零点；④()x f x e =是一个“~λ特征函数”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上. 11．已知向量与满足()2,a b a b b ==-⊥，则a 与b 的夹角为_________.12．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有______种.13．直线1ax =与圆221x y +=相交于B A ,两点（其中a ，b 是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点（1，0）之间距离的最小值为_______. 14．已知()()0sin n f n nx dx π=⎰，若对于()()(),1231R f f f n x x ∀∈++⋅⋅⋅+<++-恒成立，则正整数n的最大值为___________.15．已知点D C B A ,,,均在球O的球面上，1,AB BC AC ==，若三棱锥D ABC -体积的最大值是14，则球O 的表面积为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为(),,1,sin 2sin a b c f C B A ==，若，且ABC ∆的面积为求c 的值.17．（本小题满分12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[]0,100，样本数据分组为[)[)0,20,20,40，[)[)[]40,60,60,80,80,100.（1）求直方图中x 的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率） 18．（本小题满分12分）一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD 为一个矩形，其中4,6==AD AB ，顶部线段EF //平面ABCD ，棱FC FB ED EA ====二面角F BC A --.设N M ,分别是BC AD ,的中点.（1）证明：平面EFNM ⊥平面ABCD ；（2）求直线BF 与平面EFCD 所成角的正弦值. 19．（本小题满分12分）已知{}n a 满足()()121n n na n a n N *+=+∈，且13,1,4a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足()sin n n n b a S π=，为数列{}n b 的前n 项和， 求证：对任意,2n n N S π*∈<+. 20．（本小题满分13分） 已知函数()()2ln 1f x ax x =++.（1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x2x =的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线2x =与椭圆交于Q P ,两点，P 点位于第一象限，B A ,是椭圆上位于直线2x =两侧的动点. （i ）若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； （ii ）当点B A ,运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.。

2015级高三二诊模拟试题（三）数学（理工类）参考答案一、选择题：CBABA DDACA BC二、填空题：13．214．71015．60． 16．(){},12-∞⋃三、解答题：17．解：（1）由图象可知{A +B =1−A +B =⇒A =2,B =−1，又由于T2=7π12−π12⇒T =π，所以w =2πT=2，由图象及五点法作图可知：2×π12+φ=π2，所以φ=π3，所以f (x )=2sin(2x +π3)−1.（2）由（1）知，f (x )=2sin(2x +π3)−1， 令2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2,k ∈Z ， 得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12,k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k ∈Z ， 令2x +π3=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2−π6,k ∈Z ，所以f (x )的对称中心的坐标为(kπ2−π6，−1),k ∈Z . （3）由已知的图象变换过程可得：g (x )=2sin(x +2π3)，因为0≤x ≤7π6，所以2π3≤x +2π3≤11π6，所以当x +2π3=3π2，得x =5π6时，g (x )取得最小值g (5π6)=−2，当x +2π3=2π3时，即x =0g (x )取得最大值g (0)= 18．解：（1）∵2(1)n n S na n n =--①，∴11(1)2(1)n n S n a n n ++=+-+②； ②-①得，11(1)4n n n a n a na n ++=+--，∴14n n a a +-=， 3分又∵等比数列{}n b ，5352T T b =+， ∴535452T T b b b -=⇒=，1q =，∴11a =， ∴数列{}n a 是1为首项，4为公差的等差数列，∴14(1)43n a n n =+-=-； 6分（2）由（1）可得111111()(43)(41)44341n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)(1)45594341441n M n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=--++， 10分 n M 在*n N ∈时单调递增，∴111(1)454n M -≤<，即1154n M ≤<． 12分19．解析：（1）2袋食品都为废品的情况为①2袋食品的三道工序都不合格 ．②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格． ③两袋都有两道工序不合格 ， 所以2袋食品都为废品的概率为 ． （2），，．.20． 【解析】（1）设点的坐标分别为，则故，可得，所以，故，所以椭圆的方程为．211111()4353600P =⨯⨯=12213111211141()60435435435200P C =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=233111211149()435435435400P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=123136P P P P =++=ξ0,1,2,3=3241(0)(1)(1)(1)43560P ξ==-⨯-⨯-=3111211143(1)43543543520P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=12431432113(2)43543543530P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=3242(3)4355P ξ==⨯⨯=1232030560E ξ∴=⨯+⨯+⨯=（2）设的坐标分别为，则， 又，可得，即，又圆的圆心为半径为，故圆的方程为， 即，也就是， 令，可得或2，故圆必过定点和．21．.【解析】（1）当1a =-时，()()222ln 2f x x x x x =--+，定义域()0,+∞，()()()22ln 22f x x x x x '=-+--，()13f '∴=-，又()11f =，()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=；（2）（ⅰ）令()()20g x f x x =--=，则()222ln 22x x x ax x -⋅++=+，即()12ln x xa x--=，令()()12ln x x h x x--=， 则()2221122ln 12ln x x xh x x x x x ---'=--+=， 令()12ln t x x x =--，()221x t x x x+'=--=-，()0t x '< ，()t x 在()0,+∞上是减函数，又()()110t h '== ，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， 所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 11h x h ∴==， 所以当函数()g x 有且仅有一个零点时1a =；（ⅱ）当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2e x e -<<，()g x m ≤，只需证明()max g x m ≤， ()()()132ln g x x x '=-⋅+，令()0g x '=，得1x =或32x e -=，又2e x e -<< ，∴函数()g x 在322,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增又33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()223g e e e =-，()333322213222222g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()32g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，()()2max 23g x g e e e ∴==-，223m e e ∴≥-.22．解析：（1）直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2−2ρcos θ−4ρsin θ+1=0；（2）θ=α，代入ρ2−2ρcos θ−4ρsin θ+1=0，得ρ2−2ρcos α−4ρsin α+1=0， 显然ρ1>0,ρ2>0,1|OA |+1|OB |=ρ1+ρ2ρ1ρ2=2cos α+4sin α=2 5cos(α−φ)≤2 5，所以1|OA |+1|OB |的最大值为2 5. .23．（I ）当1a=时，()1f x >化为12110x x +--->，当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<。

高三自主诊断试题 数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3 B ．2 C ．5 D2. 已知集合2{|lg(2)}M x y x x ==-，22{|1}N x x y =+=，则M N = A ．[1,2)- B ．(0,1) C ．(0,1] D ．∅3. 高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,,56 ，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A ．30B ．31C ．32D ．334. 已知函数22, 0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则使()2f x =的x 的集合是A ．1{,4}4B ．{1,4}C ．1{1,}4D ．1{1,,4}45. 已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图， 当输入的值为25时， 则输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．76. 设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥7. “2-≤a ”是“函数a x x f -=)(在[1,)-+∞上单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有 A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．72种9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，)1(log )(2+=x x f ，则()f x 在区间3(1,)2内是 A ．减函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x <10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为 A．3 B．3C．3 D．3 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知不共线的平面向量a ，b满足(2,2)a =- ，()()a b a b +⊥- ，那么||b = ；12. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2(110,10)N ，已知(100110)0.3P X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人； 13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；第14题图正（主）视图侧（左）视图第13题图14. 若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；15. 若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知向量2(s i n,c o s )33xx a k = ,(cos ,)3xb k =- ,实数k 为大于零的常数，函数()f x a b =⋅ ,R x ∈，且函数()f x 的最大值为12.（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2A ππ<<，()0f A =,且a =,求AB AC ⋅的最小值.17．（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里 的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13. （Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望． 18．（本小题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCD A BC D -中，11A B a =，2AB a =，1AA ，E 、F 分别是AD 、AB 的中点. （Ⅰ）求证：平面11EFB D ∥平面1BDC ；（Ⅱ）求二面角1D BC C --的余弦值的大小.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心， 这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的 平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.19．（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正整数的等比数列，且111a b ==，13250a b =，82345a b a a +=++，*N n ∈．（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n d 满足218log 11()2n b n n d d +-++=（*N n ∈），且116d =，试求{}n d 的通项公式及其前n 项和n S ．20．（本小题满分13分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆2:C 2222 1 (0)x y m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，若椭圆2C 上存在关于直线:l 1143y x =+对称的两个不同的点，求椭圆2C 的离心率e 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数1()1ln a f x x x=-+（a 为实数）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足()≥h a 18+λ，求λ的取值范围； C1BE D FAB1A1D 1C（Ⅲ）已知*N n ∈，求证：11111ln(1)12345n n+<++++++ ． 高三自主诊断试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．D C B A B C A C B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.12. 8 13.32 14．232- 15．4 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)333x x x f x a b k k =⋅=⋅-221cos12223sin cos cos sin (sin cos )3332322332x x x x x k x x k k k k k +=-=-=--……2分222)sin()3342x x k x k π=-=-- ……………………5分因为R x ∈，所以()f x 的最大值为1)122k=，则1k = …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21()sin()2342xf x π=--，所以21()sin()02342A f A π=--= 化简得2sin()34A π-= 因为2A ππ<<，所以25123412Aπππ<-< 则2344A ππ-=，解得34A π=…………………………………………………8分因为2222240cos222b c a b c A bc bc+-+-=-==，所以2240b c ++= 则22402b c bc +=≥，所以20(2bc ≤= ……………10分则3cos 20(142AB AC AB AC π⋅==-≥所以AB AC ⋅的最小值为20(1 …………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P =⨯+⨯+⨯= ……………2分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率1121133P P =-=-= …………………4分 （Ⅱ）由题意可知，6,7,8,9,10ξ= 则111(6)4312P ξ==⨯= 11111(7)43234P ξ==⨯+⨯=1111111(8)4343233P ξ==⨯+⨯+⨯=11111(9)23434P ξ==⨯+⨯=111(10)4312P ξ==⨯= ………………………………………………………………10分所以ξ的分布列为则11111()67891081243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接11AC ，AC ，分别交11,,B D EF BD 于,,M N P ，连接1,MN C P 由题意，BD ∥11B D因为BD ⊄平面11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………2分又因为11,2A B a AB a ==，所以111122MC AC a == 又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，所以14NP AC == 所以1MC NP =又因为AC ∥11AC ，所以1MC ∥NP 所以四边形1MC PN 为平行四边形 所以1PC ∥MN因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D因为1PC BD P =I ，所以平面11EFB D ∥平面1BDC …………………………………5分 （Ⅱ）连接1A N ，因为11A M MC NP ==，又1A M ∥NP 所以四边形1A NPM 为平行四边形，所以PM ∥1A N由题意M P ⊥平面ABCD ，1A N ∴⊥平面ABCD ，1A N AN ∴⊥ 因为11A B a =，2AB a =，1AA =，所以12A N MP === 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥所以，以,,PA PB PM 分别为,,x y z 轴建立如图所示的坐标系则,0)B，(0,,0)D，(,0,0)C，1()2C a -所以(0,,0)BD =-u u u r，1(,)BC =uuu r，(,,0)BC =u u u r ………………………………………………………7分设1111(,,)n x y z =u u r 是平面1BDC 的法向量，则1110n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu ru u r uu u r111100⎧-=⎪∴⎨⎪-=⎩，10y ∴=， 令11z =，则1x1n =u u r……………………………………………9分设2222(,,)n x y z =uu r 是平面1BCC 的法向量，则2120n BC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu r uuu r uu r uu u r2222200⎧=⎪∴⎨⎪=⎩令21y =，则21x =-，23z =所以2(3n =-uu r ………………………………11分所以1212120cos ,3n n n n n n +⋅<>===u u r uu r u r u u r u u r uu r 所以二面角1D BC C --………………………………………12分 ，则依题意有0q >2分4分（Ⅱ） 12n n b -= 21log n b n +∴=811()2n n n d d -++∴= ， 7121()2n n n d d -+++=两式相除：212n n d d +=， 由116d =，81121()1282d d -+==可得：28d =135,,,d d d ∴ 是以116d =为首项，以12为公比的等比数列；246,,,d d d 是以28d =为首项，以12为公比的等比数列 ……………………………………………………………6分 ∴当n 为偶数时，1218()16(22n n n d -=⨯= ……………………………………………………………7分13124()()n n n S d d d d d d -=+++++++22221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122n nn n n ⨯-⨯-=+=-+-=--- …………9分∴当n 为奇数时，112116()2(22n n n d +-=⨯=…………………………………………………………10分13241()()n n n S d d d d d d -=+++++++112211221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122n n n n n +-+-⨯-⨯-=+=-+-=---∴,,nn n d ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，48,48,n n n S ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ …………………12分20．（本小题满分13分）n 为奇数 n 为偶数n 为偶数 n 为奇数解：（Ⅰ）设点G 的坐标为00(,)x y ，由题意可知022002003292p x x y y px⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩………………………2分解得：001,4,x y p ==±=所以抛物线1C 的方程为：28y x = ………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线1C 的焦点(2,0)F椭圆2C 的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合∴椭圆2C 半焦距2222, 4c m n c =-==……①…………………………………………5分设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆2C 上关于直线:l 1143y x =+对称的两点， :4MN y x λ=-+ 由2222 1 4x y m n y x λ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩22222222(16)80m n x m x m m n λλ⇒+-+-=……（*） 则42222222644(16)()0m m n m m n λλ∆=-+->，得：222160m n λ+->……②………………………………………………………………7分对于（*），由韦达定理得：21222816m x x m n λ+=+ 212122224()216n y y x x m n λλ∴+=-++=+ MN 中点Q 的坐标为2222224(,)1616m n m n m n λλ++将其代入直线:l 1143y x =+得：222222141164163n m m n m n λλ=⨯+++……③……9分 由①②③消去λ，可得：217m <<， 椭圆2C 的离心率2c e m m ==，∴137e << ………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a =时，11()1ln f x x x =-+，211()f x x x'=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-， 即2ln 220x y -+-= …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）221()a a x f x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒= 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ………………………5分由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ……………………………………6分 对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ= ①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==， 由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥ ②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==， 由max ()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在； ③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ 综上可知：19≤-λ 或138≥λ………………………………………………………………9分 （Ⅲ）当1a =时，21()x f x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x=-+在1x =处取得最大值(1)0f = 即11()1ln (1)0f x f x x =-+≤=，∴11ln x x x-≤，……………………………………11分 令 1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n +-<， ∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++-1111121n n n <++++-- ． 故11111ln(1)12345n n +<++++++ ． ………………………………………………14分。

2015 年 高 三 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．13π 15．1316．2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=-⨯--4=-；……6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………………11分 所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113．……………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC=90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分 在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=，所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ， 以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D-,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则0n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分 所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分 而二面角D —GCB 为钝角， 故所求二面角的余弦值为．………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD =2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b+=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S =当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…………6分……………………10分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--， 圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==，…………8分 将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+………1分 （一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>，解得x∈，所以函数()f x 在区间上单调递减，在区间(0,),()2a a +∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增， 所以(0,1]x ∈时，函数()f x的最大值是(1)22f a =-，对任意的a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a ama m a =+-++，则(1)0h =，1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a->， 当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a 在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分 当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分 22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=，…………………3分 ,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分 又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F ACAF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE ADAD FC AE BC∴=-，解得8AE =。

深圳市2015届高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．[]2,3- 10．0.211．12．66 13．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14． 15．（几何证明选讲选做题）三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）设函数()cos(2)f x A x =+ϕ（其中0A >，0π<<ϕ，R ∈x ）．已知π6x =时，()f x 取得最小值2-．（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若角θ满足π2sin()()3f +=θθ，且π0<≤θ，求πsin()3θ+的值． 解：（1）由()f x 最小值2-且0A >，所以2A =． …………………………………………1分因为π()26f =-，所以πcos()13ϕ+=-， ……………………………………………………2分 由0π<<ϕ可得ππ4π333ϕ<+<，所以ππ3ϕ+=， ………………………………………3分 所以2π3ϕ=． ……………………………………………………………………………………4分 充分非必要故)(x f 的解析式为2π()2cos(2)3f x x =+． …………………………………………………5分 （2）（法1）由（1），得)3π22cos()3πsin(+=+θθ， 即)3π(sin 21)3πsin(2+-=+θθ，01)3πsin()3π(sin 22=-+++θθ， ……………………8分所以1)3πsin(-=+θ或21)3πsin(=+θ． ………………………………………………10分又0πθ≤<，所以ππ4π333θ≤+<． …………………………………………………11分 所以21)3πsin(=+θ． ………………………………………………………………………12分 （法2）由（1），得)3π22cos()3πsin(+=+θθ，即)3π22cos()6πcos(+=-θθ． ………………………………………………………8分所以θθ-+=+6ππ23π22k 或θθ+-=+6ππ23π22k ，Z ∈k ． …………………………10分即6π3π2-=k θ或65ππ2-=k θ，Z ∈k ．又0πθ≤<，所以2π=θ． …………………………………………………………11分所以21)3πsin(=+θ． ………………………………………………………………………12分【说明】本题主要考查cos()y A x ωϕ=+的性质，倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值，考查学生的运算能力． 17．（本小题满分12分）深圳市于2014年12月29日起实施汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，在全市有购车意向的市民中，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了抽样调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率； （3）用样本估计总体，在全体有购车意向的市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：50150010=、150350010= 、300650010=． ………………………………………2分 所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：110110⨯=人、310310⨯=人、610610⨯=人． ……………………………………4分 （2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为650030010=⨯人， 所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为734102426=C C C ． …………………………………6分 （3）4=n ，ξ的可能取值为4,3,2,1,0． ………………………………………7分因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为511000200==p ，……………8分所以，随机变量ξ服从二项分布，即ξ～)51,4(B ． …………………………………………9分62525651151)0(4004=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，62525651151)1(3114=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ， 6259651151)2(2224=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，6251651151)3(1334=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ， 625151151)4(0444=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ． 即ξ的分布列为：……………………………………………………………………………11分 ξ的数学期望为：54514=⨯==np E ξ． …………………………………………12分 【说明】本题主要考查分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布等知识，考查了考生读取图表、数据处理的能力． 18．（本小题满分14分）如图4，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，△ABC 为等边三角形，M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．（1）证明：OB OA =；（2）证明：平面⊥PAB 平面POC ；（3）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值． 证明：（1）因为OA ，OB ，OC 两两垂直， 所以222AC OC OA =+，222BC OC OB =+．又△ABC 为等边三角形，BC AC =， 所以=+22OC OA 22OC OB +，故OB OA =． …………………………………………………………………………3分 （2）因为OA ，OB ，OC 两两垂直，所以，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥OAB OB OA OOB OA OB OC OA OC 平面, ⊥⇒OC 平面OAB ， 而⊂AB 平面OAB ，所以OC AB ⊥． …………………………………………………………5分取AB 中点D ，连结OD ，PD ． 由（1）知，OB OA =，所以OD AB ⊥． 由已知PB PA =，所以PD AB ⊥．所以，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥POD PD OD DPD OD PD AB OD AB 平面, ⊥⇒AB 平面POD ， 而⊂PO 平面POD ，所以PO AB ⊥． …………………………………………………7分所以，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥POC PO OC OPO OC PO AB OC AB 平面, ⊥⇒AB 平面POC ， 又PAB AB 平面⊂，所以，平面⊥PAB 平面POC ． …………………………………………9分 解：（3）（法一）由（2）知AB ⊥平面POD ， 所以平面OAB ⊥平面POD ， 且平面OAB平面POD OD =，过点P 作PH ⊥平面OAB ，且交OD 的延长线于点H ，连接AH ， 因为OC PA 5=，OC OP 6=，由（1）同理可证OC OB OA ==，OBCPM∙D在△POA 中，222OP PA OA =+， 所以OA PA ⊥，又因为PH ⊥OA ， 所以OA ⊥平面PAH ，所以PAH ∠为二面角B OA P --的平面角， ………………………………………………11分 在直角△PHA 中，cos AHPAH PA∠=， ……………………………………………………12分 由（2）知45AOD ∠=︒，所以△OAH 为等腰直角三角形， 所以AH OA OC ==，所以cos 5AH PAH PA ∠==， 所以，二面角B OA P --的余弦值为5． …………………………………………………14分 （法2）如图6，以OA ，OB ，OC 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 由（1）同理可证OC OB OA ==， 设1===OC OB OA ，则)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C ，(1,0,0)OA =，(1,1,0)AB =-．设),,(z y x P ，其中0>x ，0>y ，0>z ． 由(,,)OP x y z =，(1,,)AP x y z =-．由（2）知OP AB ⊥，且5PA OC ==，6OP OC =得()222222(1)0615x y x y z x y z ⎧-⨯+=⎪⎪++=⎨⎪-++=⎪⎩．解之，得1x y ==，2z =． ……………………………11分 所以，(1,1,2)OP =设平面POA 的法向量为),,(1111z y x =n ，由1OA ⊥n ，1OP ⊥n ，得1111020x x y z =⎧⎨++=⎩．取11=z ，得12y =-，1(0,2,1)=-n ．由（2）知，平面OAB 的法向量为2(0,0,1)OC ==n ， …………………………………13分 记二面角P OA B --的平面角为θ，由图可得θ为锐角， 所以12cos |cos ,|θ=〈〉==n n ． 图6Pz所以，二面角B PC A --……………………………………………………14分 【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，线面垂直、面面垂直的判定与性质，用空间向量求二面角，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力． 19．（本小题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ，且42,,321+a S a 成等比数列．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）设2nn n a b =，*N ∈n ，求数列{}n b 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有++2143a a (12)<++na n ． 解：（1）由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+=+.68,20,)()42(3212122131a a a a a a a a a …………………………………………2分解之，得41=a ，242=a ，963=a ． …………………………………………………4分 （2）（法1）因为4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ， ……① 所以42)1(21-⋅--=+-n n n n a S ，其中2≥n ． ……②① ②，并整理得212)1(2++⋅++=n n n n a a ，2≥n ， ……………………………6分即12(1)n n b b n +=++，2≥n ．所以，3243123242n n b b b b b b n -=+⨯⎫⎪=+⨯⎪⎬⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪=+⎭相加，得()()223n b b n n =+-+． ……………………………8分由（1）知242=a ，所以26b =，所以2≥n 时，()1n b n n =+， ……………………9分 又41=a ，12b =也符合上式，所以，数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+，*N ∈n ． …………………………………10分 （法2）因为4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ， ……① 所以42)1(21-⋅--=+-n n n n a S ，其中2≥n ． ……②① ②，并整理得212)1(2++⋅++=n n n n a a ，2≥n ，即12(1)n n b b n +=++，2≥n ． ……………………………………………………………6分由（1）知22141⨯⨯==a ，2223224⨯⨯==a ，3324396⨯⨯==a ．可得1212b ==⨯，2623b ==⨯，31234b ==⨯．猜想()1n b n n =+，*N ∈n ． …………………………………………………………8分 以下用数学归纳法证明之：（i ）当1=n 时或2=n 时，猜想显然正确．（ii ）假设k n =（2≥k ）时，猜想正确，即()1n b k k =+． 那么1+=k n 时，12(1)k k b b k +=++(1)2(1)k k k =+++ (1)(2)k k =+⋅+．[](1)(1)1k k =+++即1+=k n 时，猜想也正确．由（i ）（ii ），根据数学归纳法原理，对任意的*N ∈n ，猜想正确．所以，数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+，*N ∈n ． …………………………………10分（3）对一切正整数n ，因为nn n n n n n n n a n 2)1(1212)1(221⋅+-⋅=⋅++=+-， …………12分 所以，++2143a a …+⨯⨯+⨯⨯=++21232422132n a n …nn n n 2)1(2⋅++++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯=2110231*********…⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-⋅+-n n n n 2)1(1211 12)1(11<⋅+-=n ． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查等比数列的定义，处理n S 与n a 的递推公式，用累加法求数列通项，数学归纳法，理解裂项求和，考查考生运算求解、推理论证、归纳猜想的能力． 20．（本小题满分14分）已知动点(,)M x y 和定点(0,1)N ， MN 的中点为P ．若直线MN ，OP 的斜率之积为常数λ (其中O 为原点，10λ-<<)，动点M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）曲线C 上是否存在两点A 、B ，使得△NAB 是以N 为顶点的等腰直角三角形？若存在，指出这样的三角形共有几个；若不存在，请说明理由． 解：（1）设直线MN ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，因为1(,)22x y P +， ………………1分 所以11y k x-= （0x ≠），2122y k x += （0x ≠）， ……………………………………3分由12k k λ=可得：()1122y y x x λ+⎛⎫-⋅⎪⎝⎭=⋅（0x ≠）， ……………………………………4分 化简整理可得221x y λ-+=（0x ≠），所以，曲线C 的方程为221x y λ-+=（0x ≠）． ………………………………………5分 （2）由题意()0,1N ，且NA NB ⊥，当直线NA 的斜率为0，则N 与A 重合，不符合题意， 所以直线NA 、NB 的斜率都存在且不为0，设直线NA 的斜率为k ， 所以直线NB 的斜率为1k-，不妨设0k >， 所以直线NA 的方程为1y kx =+，直线NB 的方程为11y x k=-+，………………………6分 将直线NA 和曲线C 的方程联立，得2211y kx x y λ=+⎧⎨-+=⎩，消y 整理可得()2220k x kx λ-+=， 解得22A k x k λ=--，所以22k NA k λ=-， 以k 1-替换k，可得222211k NB kk λλ==--， …………………………8分由NA NB =22221k k k λλ=--， ………………………………9分所以320k k k λλ+--=，即()()2110k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦，……………………………10分（1）当 113λ-<<-时， 方程()210k k λλλ+++=有()()()22143110λλλλ∆=+-=-+-<，所以方程()()2110k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦有唯一解1k =； ……………………………11分（2）当13λ=-时，()()211k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦()31103k --=，解得1k =； ………12分 （3）当103λ-<<时，方程()210k k λλλ+++=有()()()22143110λλλλ∆=+-=-+->，且()2111310λλλλ⨯++⨯+=+≠，所以方程()()2110k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦有三个不等的根．综上，当 113λ-<≤-时，有一个圆符合题意；当103λ-<<时，有三个符合题意的圆． ……………………………………………………………………………………14分（注：（3）也可直接求解： 当103λ-<<时， 方程()210k k λλλ+++=，因为()()()22143110λλλλ∆=+-=-+->，所以1,2k =，又因为()2111310λλλλ⨯++⨯+=+≠，所以1,21k ≠，故方程()()2110k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦有三个不等的根．） 【说明】本题主要考查曲线与方程，直线与椭圆的位置关系，弦长问题，一元二次方程根的个数问题，考查考生数形结合、函数与方程的数学思想方法及运算求解能力． 21．（本小题满分14分）已知函数x b ax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1()(=+xf x f ， 其中b a ,为常数．（1）若)(x f 的图象在1=x 处的切线经过点)5,0(-，求a 的值；（2）已知10<<a ，求证：0)2(2>a f ； （3）当)(x f 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围． 解：（1）在0)1()(=+xf x f 中，取1=x ，得0)1(=f ， 又b a b a f +-=+-=1ln )1(，所以a b =． ……………………………………1分从而x a ax x x f +-=ln )(，)11(1)(2xa x x f +-='，a f 21)1(-='． 又510)1(5)1(=---='f f ， 所以521=-a ，2-=a ． ………………………………………………………………3分（2）2ln 22ln 2222ln)2(3322--+=+-=a a a a a a a f ． 令2ln 22ln 2)(3--+=x x x x g ，则24222)1(432322)(x x x x x x x g -+-=--='．所以，)1,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减， …………………………………5分 故)1,0(∈x 时，1()(1)2ln 21ln e 02g x g >=-->-=．所以，10<<a 时，0)2(2>a f ． ……………………………………………………7分（3）222)11(1)(x ax ax x a x x f -+-=+-='．①当0≤a 时，在),0(∞+上，0)(>'x f ，)(x f 递增，所以，)(x f 至多只有一个零点，不合题意； …………………………………………8分 ②当21≥a 时，在),1(∞+上，0)(≤'x f ，)(x f 递减， 所以，)(x f 也至多只有一个零点，不合题意； ……………………………………10分 ③当210<<a 时，令0)(='x f ，得124111<--=aa x ，124112>-+=a a x ． 此时，)(x f 在),0(1x 上递减，),(21x x 上递增，),(2∞+x 上递减，所以，)(x f 至多有三个零点． …………………………………………………………12分 因为)(x f 在)1,(1x 上递增，所以0)1()(1=<f x f ．又因为0)2(2>a f ，所以),2(120x a x ∈∃，使得0)(0=x f ． ……………………………13分又0)()1(00=-=x f x f ，0)1(=f ，所以)(x f 恰有三个不同的零点：0x ，1，01x ．综上所述，当)(x f 存在三个不同的零点时，a 的取值范围是)21,0(． ………………14分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.。

高三阶段性诊断考试试题理 科 数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()11z i +=（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --2.设{}{}21,,2,xP y y x x R Q y y x R ==-+∈==∈，则A. P Q ⊆B. Q P ⊆C. R C P Q ⊆D. R Q C P ⊆3.设命题23:231,:12x p x q x --<≤-，则p 是q 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知随机变量()()()2~0,.3=0.02333=N P P ξσξξ>-≤≤若，则A.0.477B.0.628C.0.954D.0.9775.已知不共线向量,,,a b a b a b a b a ---+r r r r r r r r r则与的夹角是A.12π B.6π C.4π D.3π 6.设函数()()()01xxf x a ka a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是7.已知函数()sin cos f x a x b x =+（,a b 为常数，0a ≠）在4x π=处取得最小值，则函数()34g x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是A.偶函数且它的图象关于点(),0π对称B.偶函数且它的图象关于点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.奇函数且它的图象关于点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 奇函数且它的图象关于点(),0π8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为A.4B.2C.D. 3π9.若(),0,2a b ∈，则函数()3212413f x ax x bx =+++存在极值的概率为 A. 12ln 24+ B. 32ln 24- C. 1ln 22+ D. 1ln 22-10.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 做与x 轴垂直的直线交两渐近线于A,B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()4,,25OP OA OB R λμλμλμ=+=∈uu u r uu r uu u r ，则双曲线的离心率e 是A.B.2C.52D.54二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.若x,y都是锐角，且1sin tan ,53x y x y ==+=则_________. 12.二项式5的展开式中常数项为___________.13.已知0,0a b >>，方程为22420x y x y +-+=的曲线关于直线10ax by --=对称，则2a bab+的最小值为________.14.已知抛物线24y x =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离是_____.15.已知数列{}n a 满足()()11,log 12,n n a a n n n N *==+≥∈.定义：使乘积12k a a a ⋅⋅⋅⋅为正整数的()k k N*∈叫做“易整数”.则在[]1,2015内所有“易整数”的和为________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16. （本小题满分12分）已知向量()cos ,cos ,3sin cos ,2sin 6m x x n x xx π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足()f x m n =⋅u r r.（I ）求函数()f x 的单调递增区间；（II ）在ABC ∆，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，满足2,22A a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值.17. （本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90,2,3,//A B AD AB BC EF AB ∠=∠====，且AE=1，M,N 分别是FC,CD 的中点.将梯形ABCD 沿EF折起，使得BC =连接AD,BC,AC 得到（图2）所示几何体. （I ）证明：AF//平面BMN ； （II ）求二面角B AC D --的余弦值.18. （本小题满分12分）已知函数()()()log 01,,2m n f x x m m a n =>≠且点在函数()f x 的图象上. （I ）若()3n n n b a f a m =⋅=，当时，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （II ）设lg n nn n na a c m m =⋅，若数列{}n c 是单调递增数列，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分） 某商场组织购物抽奖活动，现场准备了两个装有6个球的箱子，小球除颜色外完全相同，A 箱中放有3个红球、2个白球、1个黄球，B 箱中放有红球、白球和黄球各2个，顾客购物一次可分别从A 、B 两箱中任取（有放回）一球，当两球同色即中奖，若取出两个黄球得3分，取出两个白球得2分，取出两个红球得1分，当两球异色时未中奖得0分，商场根据顾客所得分数多少给予不同奖励. （I ）求某顾客购物一次中奖的概率；（II ）某顾客先后2次参与购物抽奖，其得分之和为ξ，求ξ的分布列及期望E ξ.20. （本小题满分13分）如图，12,F F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 上的点到1F 点距离的最大值为5，离心率为23，A,B 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若122AF BF =uuu r uuu r，求直线1AF 的方程；（III ）设21AF BF 与的交点为P ， 求证：12PF PF +是定值.21. （本小题满分14分） 已知函数()()2,xxf x ae bex a b R -=--∈的导函数()f x '为偶函数，且曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线斜率0（其中e=2.71828…） （1）求a ，b 的值；（2）设()()()()24g x f x mf x g x =-，若有极值. （i ）求m 的取值范围； （ii ）试比较11m e em --与的大小并证明你的结论.。

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试卷第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=，B=，则集合A B=A. (-2，2)B. (-3，2)C. (-2，1)D. (-3，1)2.复数的共轭复数是A. 1+iB. -1+iC. 1-iD. -1-i3.若角的终边过点P(-3,-4),则cos的值为A. B. C. D.4.设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列四个命题：①；②；③；④。

其中为真命题的是A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5.曲线在点（1，e）处的切线与直线垂直，则的值为A. B. C. D.6.设函数是区间上的减函数，则实数t的取值范围是A. B.C. D.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.8.如图算法，若输入m=210，n=119，则输出的n为A. 2B. 3C. 7D. 119.一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了。

设放对的个数记为，则的期望的值为A. B. C. 1 D. 210.已知函数为奇函数，，即，则数列的前15项和为A. 13B. 14C. 15D. 1611. 过双曲线的右焦点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B。

若，则双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.12.已知△ABC中角A,B,C的对边分别是，满足，则的最大值为A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题13.二项式的展开式中的系数为10，则实数m等于_______.(用数字填写答案)14.△ABC中，，且CA=3，点M满足，则= _________.15.设函数，实数,且,则的取值范围是__________.16.设抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线与此抛物线交于A,B两点，若，则________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立.（Ⅰ）求证数列为等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和。

武汉市2015届高中毕业生二月调研测试理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数ii1+-的共轭复数是 A ．i 1- B ．i 1+- C ．i 1+ D ．i 1--2．已知集合}1,log |{2>==x x y y A ，}1,)21(|{>==x y y B x，则=B AA ．}210|{<<y yB ．}10|{<<y yC ．}121|{<<y y D ．φ3．若函数2)(-=ax x f 在),2[+∞上有意义，则实数a 的取值范围为A ．1=aB ．1>aC ．1≥aD ．0≥a4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．6π B ．3πC ．32πD ．π5．10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次.在第一次抽出的是次品的条件下，则第二次抽出正品的概率是A ．307 B ．97 C ．103 D ．1076．=+⎰x xx xd sin cos 2cos 4πA ．)12(2-B ．12+C ．12-D ．22-7．已知m ，n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若βαγα⊥⊥,，则βγ// B ．若βα⊂⊂n m n m ,,//，则βα// C ．若α//,//m n m ，则α//n D ．若βα⊥⊥n m n m ,,//，则βα//8．已知点P 是双曲线1422=-y x 上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则=⋅A ．2512-B ．2512C ．2524-D ．54- 9．在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为c b a ,,，且bc a b +=22，6π=A ，则内角C =A ．6π B ．4π C ．43π D ．4π或43π10．已知点P 为曲线03225=+--y x xy 上任意一点，O 为坐标原点，则||OP 的最小值为 A ．25 B ．26 C ．2 D ．332二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．执行如图所示的程序框图，如果输入2,1==b a ， 则输出a 的值为 ．12．10)1)(1(x x -+展开式中3x 的系数为 ．13．已知向量 )7,2(-=，)4,2(--=，若存在实数λ，使得⊥-)(λ，则实数λ为 ．14．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+,0,1,1y x y y x 若目标函数ay x a z +-=)1(在点)0,1(-处取到最大值，则实数a 的取值范围为 ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，3,24,26===OP PA AB ，则⊙O的半径=R ． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，点)3,2(π-P 到直线1)6sin(:=-πθρl的距离是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数a x a x x x f )(32sin()3cos(sin 2)(ππ++-⋅=为常数）的图象经过点)3,6(π．（Ⅰ）求a 的值及函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）解不等式0)(≥x f ． 18．（本小题满分12分）已知{a n }是由正数组成的数列，其前n 项和n S 与n a 之间满足：),1(41221*∈≥+=+N n n S a n n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项n a ；（Ⅱ）设n nn a b )21(=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC ∆为正三角形且边长为a 3，侧棱a AA 21=，点A 在下底面的射影是111C B A ∆的中心O ． （Ⅰ）求证：111C B AA ⊥；（Ⅱ）求二面角111C AA B --所成角的余弦值．20．（本小题满分12分）某工厂的一个车间有5台同一型号的机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为1.0，若每一天该车间获取利润y （万元）与“不发生故障”的机器台数)5,(≤∈n n n N 之间满足关系式：⎩⎨⎧≥-≤-=).3(33),2(6n n n y （Ⅰ）求某一天中有两台机器发生故障的概率；（Ⅱ）求这个车间一天内可能获取利润的均值（精确到0。

甘肃省2015届高三第二次高考诊断试卷数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。

如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（）z =1 +i ，则|z|等于A B C D ．22．设全集U=N ，集合12{|11}A x N og x =∈≤-，则U A ð等于 A ．{1,2} B ．{1} C ．{0,1,2} D ．{0,l} 3．在△ABC 中，∠A =120°，.2AB AC =- ,则BC 的最小值是A ．2B ．4C ．D ．124．某几何体的三视图如右图所示，正视图是面积为92π的半圆，俯视图是正三角形，此几何体的体积为B.C. 4D. 5．若111(,1),1,()2nx x e a nx b -∈==，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．c>b>aB ．b >c>aC ．a>b>cD ．b >a>c6.如图所示的计算机程序的输出结果为A.2113 B.1321 C.2134 D.3421 7．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ∧= -4x +a ．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为A ．16B ． 13 C.12 D.238．已知,(0,)2παβ∈，满足tan （αβ+） =4 tan β卢，则tan α的最大值是 A ．14 B ．34 C. 34 D.329．设等差数列{n a }的前n 项和为Sn,且满足．S 17 >0,S 18 <0，则15121215,,,S S S a a a 中最大的项为 A.77S a B.88S a C.99S a D.1010S a 10．设定义域为R 的函数f （x ）满足以下条件：①对任意x ∈R,f （x ）+f （-x ）=0；②对任意12,[1,]x x a ∈,当12x x >时,21()()f x f x >．则下列不等式一定成立的是 ①()(0)f a f >②1()2a f f +>③13()(3)1a f f a ->-+④13()()1a f f a a->-+ A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 11．双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>相交于A ，B 两点，公共弦 AB 恰过它们的公共焦点F ．则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在区间可能是A ．(,32ππ）B ．(,43ππ) C ．（,64ππ） D ．（0,6π） 12．已知函数21()2nx k f x x e x x =--+有且只有一个零点，则k 的值为A ．21e e +B ．21e e +C ．221e e +D ． 1e e+第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设二项式21()x x +，的展开式中常数项是k ，则直线y=kx 与曲线y= 2x 围成图形的面积为 14．关于函数以()cos(2)4f x x π=-有以下命题：①若12()()f x f x =，则12()x x k k Z π-=∈；②函数()f x 在区间[5,88ππ]上是减函数；③将函数()f x 的图象向左平移8π个单位，得到的图象关于原点对称； ④函数()f x 的图象与函数()sin(2)4g x x π=+的图象相同． 其中正确命题为____（填上所有正确命题的序号）．15．用0，1，2，3，4五个数组成无重复数字的五位数，其中1与3不相邻，2与4也不相邻，则这样的五位整数共有 个．16. 已知函数231(1)1,1,32,og x x kx x k x a -+-≤<⎧⎨-+≤≤⎩ 若存在k 使函数()f x 的值域是[0,2]，则实a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（本小题满分12分）已知数列{a n }中，a 1 =2，且*122(2,)n n a a n n n N -=-+≥∈．（I ）求23,a a ，并证明{ n a n -}是等比数列；（II ）设12n n n a b -=，求数列{b n }的前n 项和S n ． 18．（本小题满分12分） Ⅳ如图，正方形ADMN 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB =2AD =6．（I ）若点E 是AB 的中点，求证：BM ∥平面NDE ；（Ⅱ）在线段AB 上找一点E ，使二面角D- CE -M 的大小为6π时，求出AE 的长．19．（本小题满分12分）某工厂生产A ，B 两种产品，其质量按测试指标划分，指标大于或等于88为合格品，小于88为次品．现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：（I ）试分别估计产品A ，B 为合格品的概率；（Ⅱ）生产l 件产品A ，若是合格品则盈利45元，若是次品则亏损10元；生产1件产品B ，若是合格品则盈利60元，若是次品则亏损15元．在（I ）的前提下，（i ）X 为生产l 件产品A 和1件产品B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ii ）求生产5件产品B 所得利润不少于150元的概率．20．（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，过椭圆右焦点F 且斜率为1的直线l 截椭圆所得弦长为247． （I ）求椭圆C 的方程；（n ）已知A 、B 为椭圆长轴的两个端点，作不平行于坐标轴且不经过右焦点F 的割线PQ ，若满足∠AFP=∠BFQ ，求证：割线PQ 恒经过一定点．21．（本小题满分12分）已知函数()13()f x a nx ax a R =--∈（I ）若a= -1，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数y=()f x 的图象在点（2(2)f ）处的切线的倾斜角为45°，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()['()]2m g x x x f x =++在区间（t ，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围； （Ⅲ）求证：*12131411(2,)234n n n nn n n N n n ⨯⨯⨯⨯<≥∈请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作笞，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的 题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分．22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB =AC ，BD 为圆的弦，且AC ∥BD ．过A 作圆的切线与DB 的延长线交于点F ，AD 与BC 交于点E ．（I ）求证：四边形ACBF 为平行四边形；（Ⅱ）若BD =3求线段BE 的长．23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的长度单位．已知圆C 的参数方程是2cos ,(12sin ,x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数），直线l 的极坐标方程是2cos sin 6ρδρδ+=．（I ）求圆C 的极坐标方程；（n ）过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点Q ，求｜PQ ｜的最大值与最小值．24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()|2|3,0f x x m x m =--≠．（I ）当m=3时，求不等式()f x ≤1-2x 的解集；（Ⅱ）若不等式f （x ）≤0的解集包含{x|x≥1}，求m 的取值范围．-END-。