2014年自主招生考试模拟试题 数学

2014年自主招生模拟试卷 数学试题卷（2014.5）一、选择题（共5题，每题5分，共25分） 1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。

9、已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在yxM N OCBA线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．三、解答题（共2题，第10题15分，第11题15分）10、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．11、已知c ≤b ≤a ，且，求的最小值．数学答案一、选择题（共5题，每题5分，共25分）QP xy DCBAO1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ D ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ A ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ C ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ A ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 1 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 262+ ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_____53,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭____。

瓯海中学2014年高一自主招生测试数学试卷(考试时间:90分钟 分值:100分)一、选择题（每小题3分，共24分）1. 已知535-++=cx bx ax y .当3-=x 时，y =7，当x =3时，y =（ ） A.-3 B.-17 C.-7 D.72. 将甲、乙、丙三人随机地分到高一(1)班和高一(2)班去，甲、乙同班的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.183. 设a =71-，则3a 3+12a 2−6a −12= （ ） A.24 B. 25 C. 47+10 D. 47+124. 在△ABC 中，c b a ,,是三角形的三边，且211a b c=+，则A ∠ （ ） A.一定是直角 B.一定是锐角 C.一定是钝角 D.锐角、直角、钝角都有可能 5. 如图,在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15，则AD 的长为（ ） A.2 B.22 C.2 D.16. 已知b 2－4ac 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） A.18ab ≥B. 18ab ≤C.14ab ≥D.14ab ≤ 7. 如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系x 轴上方，其“底端”落在原点O 处，一顶点及中心M 在y 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿x 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）第5题图D CBA第7题图A. B. C.D.朱青朱青青CBA第13题图8. 已知二次函数2(1)y x =+，若存在实数t ，当1x m ≤≤时，2(1)y x t =++的图象总在直线y x =下方，则实数m 的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共24分）9. 已知()()22201420131a a -+-=，则()()20142013a a -⋅-=_________.10. 若关于x 的一元一次不等式3x -2a ≤-2只有一个正整数解，则a 的取值范围_____________. 11. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角为_______________. 12. 如图，OA ⊥l 于点A ，OA =13，以O 为圆心，12为半径作圆，若⊙O 绕着A 点顺时针旋转角θ(θ为锐角)与直线l 相切，则tan θ= _________. 13. 如图三个正方形是中国古代证明勾股定理所用的“出入相补图”，已知最大的正方形面积是10，最小的正方形面积是1，则图中△ABC 的面积是____________.14. 已知n 多边形123(4)n A A A A n >L 的所有内角都是15︒的整数倍，且123285A A A ∠+∠+∠=︒，其余的内角都相等，那么n 等于_________．15. 二次函数232y x tx t =++的最小值为M ，则M 的最大值为___________. 16. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，点B 是x 轴上的一动点，以AB 为边作等边△ABC ，当C (x ,y )在第一象限时，y 与x 的函数关系是___________.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19~21题各10分，共52分） 17. 已知非负实数x ，y ，z 满足433221-=-=-z y x ，记z y x W 543++=.求W 的最大值与最小值.第16题图∙lOA第12题图18.我们知道：斜边上的中线可把直角三角形分成两个等腰三角形(图①).又比如，顶角为36°的等腰三角形也能分成两个等腰三角形（图②）.(1)试试看，你能把图③、图④、图⑤中的三角形分成两个等腰三角形吗？(2)△ABC中，有一内角为36°，过某一顶点的直线将△ABC分成两个等腰三角形，则满足上述条件的不同形状的△ABC最多有5种，除了图②、图③中的两种，还有三种，请你画出来(画出草图，标明角度).19.如图，在一条平直的公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以30m/s的速度沿着公路向山壁驶去.(1)在距离山壁925m处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？(2)当司机听到第一次回声时再次鸣笛，并放慢车速，匀速行驶4.5s后司机听到第两次鸣笛的回声，求减速后汽车的行驶速度.（已知声音在空气中的传播速度是340m/s）20. 在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 如图所示，其中DC ∥OB ，OB =6， BC =4，CD =4.将梯形OBCD 分成面积相等的两部分的直线l 我们称之为等积线.(1)梯形OBCD 的面积为________，若等积线l 过C 点，请在图中画出直线的位置(标明与x 轴交点坐标)；(2)若等积线l 过O 点，则其解析式为________________；(3)若等积线l 过点P (4，3)，求l 的解析式；(4)过BC 的中点是否存在等积线l ，若存在，求出l 的解析式，若不存在请说明理由.21. 已知二次函数2y ax bx c =++，且不等式0y >的解为13x <<.(1)试说明二次函数图象向上(或下)平移几个单位顶点落在x 轴上； (2)若函数2y x -的最大值为正数，求a 的取值范围.xyBDCO瓯海中学2014年高一自主招生测试数学答题卷一、选择题（共24分）1 2 3 4 5 6 7 8二、填空题（共24分）9．. 10． . 11． . 12． . 13． . 14． . 15． . 16． . 三、解答题（共52分）17．（10分）试场号 座位号初中学校_____________________ 姓名_____________________ 准考证号________________………★密 封 线 内 不 许 答 题★………………………★密 封 线 内 不 许 答 题★………………………★密 封 线 内 不 许 答 题★……………………………18．（12分）19．（10分）(1)_________________.(2)________________________. (3) (4)20．（10分） xyBDCOxyBDCOxyBDCO21.(10分)瓯海中学2014年高一自主招生测试数学参考答案一.选择题1. B2.A3.A4.B5.C6.B7.A8.D7提示：根据中心M 的位置，可以知道中心并非是最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M 的位置会先变高，当三角形顶点到底时，M 最高，排除C 、D 选项，而对于最高点，当M 最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B,选A. 8提示:由图象右移知,当3t =-时,即右移3个单位时,m 可取到最大值4.故选D. 二.填空题 9. 0 10.542x ≤< 11. 40︒或140︒ 12. 512 13. 5314. 10 提示:7(2)18028515(3)(3)1243,123n k n n k n k n -⨯=+-⇒-=-∴=-- 37,3 1.10,4n n n n ∴-=-=∴==(舍).15.49提示:2299442()4499M t t t =-+=--+. 16.32(0)y x x =+>提示: 作A 关于x 轴的对称点A ′(3,1)--，由BC =BA =BA ′知A ′、A 、C 在点B 为圆心的圆上，再由圆心角与圆周角的关系知:∠AA ′C =12∠ABC =30º，则13,32(0)3y y x x x +=∴=+>+. 三.解答题: 17. 解：设k z y x =-=-=-433221，则12+=k x ，23+-=k y ，34+=k z .（3分） 因为 x ，y ，z 均为非负实数，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≥+034023012k k k 解得 －21≤k ≤32 （6分）于是 3453(21)4(32)5(43)1426W x y z k k k k =++=++-+++=+（8分）所以 －21×14＋26≤14k ＋26≤32×14＋26，即 19≤W ≤3135 所以W 的最大值是1353,最小值是19. (10分)18.解: 如图:(每图2分)19.解: (1)如图，设经过ts 后司机听到回声，则有30t +340t =2×925，解得t =5. 所以，经过5s 后司机听到回声. （5分） (2) 设汽车的行驶速度是v ， 则4.5 4.5340(925150)2v +⨯=-⨯.409v ∴=.（10分） 20.解: (1)面积为20，（1分）过(1，0)点和C 点作直线；（2分） (2)59y x =；（4分） (3)求出中位线的中点E (3.5，2)，则过EP 的直线为所求.25y x =- . （7分）(4)BC 的中点为M (6，2)，中位线MN =5,S 梯形OBMN =11.则S △MGN =1.故G 到MN 的距离为25，G 到x 轴的距离为85.直线OD 的表达式为y =2x . 故G 点坐标为48(,)55.则直线l 的解析式为1201313y x =+.（10分）21.解: (1) ∵不等式0y >的解为13x << ,∴2(1)(3)(2)y a x x a x a =--=--且0a <, (3分)函数图象向下平移||a 个单位为2(2)y a x =-其顶点在x 轴上. (5分)(2) 222214122(21)3()a a a y x ax a x a a x a a+++-=-++=--及0a <得: 2y x -的最大值为241a a a++-. (8分)2410,0.a a a a ⎧++->⎪⎨⎪<⎩解得23a <--或230a -+<<. (10分)。

精品文档，欢迎下载！3-56-33精品文档，欢迎下载！2014年上海实验性示范高中“科学素养”模拟题（四校版）一、填空题数学卷1.已知m 为有理数，则m -1+m -3+m +5+m +6的最小值为。

2.已知正方形的边长为1，其内接正三角形的面积最大值为最小值为。

113.已知a 是-的小数部分，b 是-的小数部分，则a -=。

b 4.方程x 3+6x 2+5x =y 3-y +2的整数解（x ，y ）的个数是。

5.如图，△ABC 中，∠BAC =60︒，AB =2AC ．点P 在△ABC 内，且PA =3，PB =5，PC =2，△ABC 的面积为。

6.如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是。

7.已知抛物线y =2x 2-mx +m 与直角坐标平面上两点(0,0),(1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，m 的取值范围是。

8.设正方形ABCD 的中心为O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积恰好相等的概率是．二、解答题1.已知直角三角形的三条边长都是整数，证明：至少有一条直角边的边长是3的倍数．2.已知方程x 4-x 3-56x 2+36x +720=0有两个根之比为2：3，其余两根之差为1，试解之。

3.△ABC 三边长分别为3、4、5，其内心为点O，三边关于点O 的对称点分别为A′、B′、C′．求△ABC 和△A′B′C′两个三角形重合部分的面积。

4.已知一个圆内有n 条弦，这n 条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，试证：这n 条弦将圆面分割成1n 2+1n +1个区域。

223+56+33。

OQPl温州市乐清中学2014年自主招生数学模拟考试试卷一、选择题（每题4分，共16分） 1、要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．321　x ≤≤ B ．321　＜x ≤ C ．321x ＜≤ D ． 321＜x＜2、下面是某同学在一次测验中解答的填空题：（1）若22a x =,则a x = （2）方程1)1(2-=-x x x 的解为0=x ．（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5． 其中答案完全正确的题目个数为( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3、如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA 在x 轴上，边0C 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点 落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的坐标为（ ） A ．412(,55-B ．213(,)55-C ．113(,)25-D ．413(,55- 4、如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为（ ） A ．13 B ．5 C ．3 D ．2 二、填空题（每题4分，共48分） 5、计算：120100(60)(1)|28|(301)cos tan -÷-+--= 6、某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是7、已知a+b=-8，ab=6，化简= 8、如图所示，已知ABC ∆中30B ∠=，90C ∠=，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E ，连结CE ，则tan ACE ∠= 9、设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为 10、在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的 度数为（第11题） （第12题） （第13题）11、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的坐标为（8，0），点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C 的坐标为 12、抛物线y=-x 2+2x+3经过点A 、B 、C ，抛物线顶点为E ，EF ⊥x 轴于F 点，M （m ，0）是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC=90°，则实数m 的变化范围为 13、如图，已知ABC △中，D 为BC 中点，,E F 为AB 边三等分点，AD 分别交,CE CF 于点,M N ，则::AM MN ND 等于__ ____14、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x yx 的解为15、方程02)13(722=--++-m m x m x 的两根为21,x x ，且满足0＜1x ＜1, 1＜2x ＜2，则m 的取值范围为16、的最小值是，则且，设y x y xy x y x ，y x 232620022--++==+≥≥μ 三、解答题（共5题，共56分）17、（10分）先化简，再求值：32221052422x x x x x x x x --÷++--+-， 其中2022(tan 45cos30)x =-︒-︒.OMB A18、（10分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数xky =的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）将线段AB 沿直线b kx y +=进行对折得到线段11B A ，且点1A 始终在直线OA 上，当线段11B A 与x 轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）19、（10分）如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC -∠CBE ．20、（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若OFCF=n ，求tan ∠ACO 的值21、（14分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。

2014年自主招生考试数学模拟试题一、一个赛跑机器人有如下特性：（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？．解：约定用x 轾犏表示不小于实数x 的最小整数． 设步长为a 米，{0.1,0.2,,1.9}a Î ．机器人迈出50a 轾犏犏犏步恰可跑完50米，所需间隔次数为501a 轾犏-犏犏，于是，所需时间50()1f a a a 骣轾÷ç犏=?÷ç÷ç犏桫犏．计算得：(1.9)49.4,(1.8)48.6,(1.7)49.3,(1.6)49.6,(1.5)49.5f f f f f =====， 而 1.4a £时，50()15048.6(1.8)f a a a f a骣÷ç匙-=-?÷ç÷ç桫.于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒．二、在ABC中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。

解：因为)sin sin sin A B C ++s i n 2s i nc o s 22sin 22sin cos .22B CB CA AA A A +-=+?骣ç=+ç桫令sin2Ax =，则01x <<，于是()2sin cos 22A A f x 骣ç=+ç桫(2x =+ （ 01x <<）求导，得 ()('0f x x =+，得22x -=.在20,2x 骣-ç西çç÷桫上，有()'0f x >；在22x 骣-÷ç西ç÷ç÷桫上，有()'0f x <.所以(max 2()(32f x f -==+当22arcsin 2A -=时，三角式)sin sin sin A B C ++取得最大值(3+三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； （2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.解：（1）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足：222a b c =+，c a =122b c ⨯⨯=. (翻译，列出方程组) 解得2255,3a b ==，（代入消元法解方程组）所以，椭圆方程为221553x y +=.将(1)y k x =+代入221553x y +=中，得2222(13)6350k x k x k +++-=，4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>.设A ()11,x y 、B ()22,x y ，（设点坐标）则 2122631k x x k +=-+（韦达定理）因为AB 中点的横坐标为12-， 所以 2231312k k -=-+,解得 3k =±. (解方程)（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+，（韦达定理） 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ （内积公式）2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++（代入消元）2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++（用韦达定理代入消元）4222316549319k k k k ---=+++ （代数变形） ()()222231549319k k k k ++=-+++4.9=（为定值）. 四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75.（2）每天超过15人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05=21，一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为77)21(C ；一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为617)21)(21(C ；一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5227)21()21(C ；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：75.012899])21()21()21)(21()21([15227617707>=++-C C C ，所以，该商场需要增加结算窗口.五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值. 解：（1）由条件等式，得211(2)()n n n n a a n a a +++-=+-1(2)(1)()n n n n a a -=++-21(2)(1)43()(2)!n n a a n ==++⋅⋅⋅⋅-=+所以 )!2(12+=-++n a a n n .于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a=12!3!!(1)n n ++++≥ .（2）注意到 33!4!3!2!14=+++=a ，能被11整除，845!(1667678)a a =+++⋅+⋅⋅， 1089!(110)a a =++能被11整除，当11≥n 时，)!11!121(!1110n a a n ++++= 能被11整除。

2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）． 1．（3分）若不等式组的解集是x ＞3，则m 的取值范围是（ ）2．（3分）如图，在△ABC 中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（ ）． C ．3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ）4．（3分）已知y=+（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）25．（3分）（2010•泸州）已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）．CD ．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（）C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=_________．10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=_________．11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=_________．12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB 上任一点，则PC+PD的最小值为_________．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是_________．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S 的最小值是_________．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_________cm．16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是_________cm．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）不等式组2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）．C．AC=AD（（，AC=（）3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）2y=两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最+×，当5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）．C D．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）l=（7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）=1，代入得（﹣8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（）C．=，AB=3，三角形r=二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=．a+解：∵|∴|=0=0=3a+2+=3+2（+∴=故答案为：10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=﹣2．，≈A=+1+1+1﹣11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．MN=ABMN=AB故答案是12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB 上任一点，则PC+PD的最小值为3．弦的关系可知=由=120R=∵∴=80∴∵∴+=100=2×=313．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．=5.514．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．（，[﹣﹣=．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．x=PQ=16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是1cm．圆锥的高为=2R=2﹣﹣+4三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．，得，或AB=3）或（），﹣3+﹣，）或（18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．∵RGB=，﹣m﹣m，移动的路径是弧，弧长是：=m47+=60+2+（19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．，利用平行线分线段成比例定理得到，从而得到∴，∴20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．边长为倍即可得到菱形的面积×6=54BE=O E=BG=﹣r DN=DH=6﹣﹣（r++（边长为×BE=rBG=DM=DG=6﹣DN=DH=6﹣MN=DM+DN=12（r+6r+6（﹣（这个点与圆心的连线平分两切线的夹角；掌握菱形的性质，记住等边三角形的面积等于边长平方的21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．（（=，∴）﹣=2（•±+2∴∴（（EC=。

2014年乐清中学自主招生考试——数学（考试时间：90分钟，总分：150分）一、选择题：（每小题6分，共48分）1、计算： 322)31()21(2----+-的值是（ ）A ．222+B ．224-C ．232+-D ．230--2、如果a ，b 为给定的实数，且1＜a ＜b ，设2，a +1，2a +b ，a +b +1这四个数据的平均数为M ，这四个数据的中位数为N ，则M 、N 的大小关系是（ ）A ．M ＞NB ．M =NC ．M ＜ND ．M 、N 的大小不确定 3、如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A 、B 、C 均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4、如图，把正△ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点F 上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为（ ） A ．310 B ．335 C ．3310 D ．255、如图， Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 反向延长线交y 轴负半轴于E ，双曲线xky =（x ＞0）的图象经过点A ，若S △BEC =8，则k 等于（ ） A ．8 B ．16 C ．20 D ．106、用min {a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数}11min{22x x y -+=，，则y 的图象为（ ）AABCD第11题7、如图，三根音管被敲击时能依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击这三根音管，不同的是：甲锤每拍移动一位（左中右中左中右…），乙锤则在两端各有一拍不移位（左中右右中左左中右…）．在第2014拍时，你听到的是（ ）A ．同样的音“1”B ．同样的音“3”C ．同样的音“5”D ．不同的两个音第7题8、如图，AB 是半圆的直径，线段CA ⊥AB 于点A ，线段DB ⊥AB 于点B ，AB =2，AC =1，BD =3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是（ ） A ．22+ B ．21+ C ．23+ D ．23+二、填空题：（每小题6分，共42分）9、若k x x +-232有一个因式是x +1，则k =_____________． 10、若不等式043)2(＜b a x b a -+-的解集是94＞x ， 则不等式032)4(＞b a x b a -+-的解集是_____________．11、如图，E ，F 分别是□ABCD 的边AB ，CD 上的点，AF 与DE 相交于点BF 与CE 相交于点Q ，若210cm S APD =△，220cm S BQ C =△，则图中阴影部分的面积为_____________2cm ．12、设0≤a ≤5 且a 为实数，整数b 满足3b =a (3a －8)，则符合条件的整数b 有_____________个． 13、某建筑公司有甲乙两个工程队，如果从甲队调70人到乙队，则乙队人数为甲队人数的2倍；如果从乙队调若干人去甲队（至少调一人），则甲队人数为乙队人数的3倍．那么甲队原来至少有_____________人．14、如图，OA 与OB 是⊙O 的两条互相垂直的半径，点C 在OA 上，OC =1，CA =2，连接BC 并延长交⊙O 于点D ，则△DOC 的面积是_____________． 15、已知二次函数）＞（02a c bx ax y ++=经过点M （－1，2）和 点N （1，－2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ， 以下说法正确的有_____________（填序号）． ①b =－2；②该二次函数图像与y 轴交于负半轴；③ 存在这样一个a ，使得M ，A ，C 三点在同一条直线上； ④若a =1，则2OC OB OA =⋅．135右中左DCABA三、解答题（共4小题，12+14+16+18共60分）16、（1）化简：1814121111842+-+-+-+--a a a a a ．（2）解关于x ，y ，z 的方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=-030102yz x z x y x ．17、如图，△ABC 内接于⊙O ，AC =BC ，D 为弧AB 上一点，延长DA 至E ，使CE =CD ． （1）求证：∠ACE =∠BCD ． （2）若CD BD AD 3=+，求∠ACD 的大小．18、如图，长方形ABCD 中，点P 沿着四边按B →C →D →A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a 秒后变为每秒2个单位匀速运动，b 秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，△ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图所示．（1）求长方形的长和宽．（2）求m ，a ，b 的值．（3）当P 点在AD 边上时，求S 与t 的函数解析式．ED 第17题B A19、如图，已知一次函数41042+-+=m m x y 与二次函数4842+-+-=m mx x y 相交于点A ，B （A 在B 的右侧），点C 为抛物线上的点，且BC 平行于x 轴． （1）证明：当m 为整数时，点A ，B 横坐标均为整数． （2） 求△ABC 的面积．（3）若抛物线4842+-+-=m mx x y 与直线y =7交点的横坐标均为整数，求整数m 的值．第19题2014年乐清中学自主招生考试——数学参考答案一、选择题：（每小题6分，共48分）二、填空题：（每小题6分，共42分） 三、解答题（共4小题，12+14+16+18共60分）16、解：（1）11616-=a 原式．（2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=221z y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===21323z y x ．17、解：（1）AC =BC ，CE =CD ⇒∠CAB =∠CBA =∠CDE =∠CED ⇒∠ACB =∠ECD ⇒∠ACE =∠BCD ． （2）AC =BC ，CE =CD ，∠ACE =∠BCD ⇒△ACE ≌△BCD ⇒AE =BD ⇒AD +BD =AD +AE =DE =3CD⇒∠ECD =120°⇒∠ACB =120°．18、解：（1）6~8秒点P 以2单位/秒的速度从点C 到点D ，∴CD =4，AD =8．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-=---=2)13(2)(2204b m a b m a m a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===1141b a m ．（3）⎩⎨⎧≤+-≤≤+-=）＜（）（1311262118484t t t t S19、解：（1）证明：⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=+-+=484410422m m x x y m m x y ，解得m x A 2=，12-=m x B ∴当m 为整数时，点A ，B 横坐标均为整数．（2）A （2m ，4842+-m m ），B （2m －1，3842+-m m ），二次函数484)2(22+-+--=m m m x y∴A 为抛物线顶点，∴C （2m +1，3842+-m m ），∴S △ABC =1．（3）令74842=+-+-m mx x ，解得38422)38(416422--±=+-±=m m m m m m x要使x 为整数，3842--m m 应为完全平方数，设22384n m m =--（n 为正整数）⇒227)22(n m =--⇒7)22(22=--n m ⇒7)22)(22(=--+-n m n m ∴⎩⎨⎧=--=+-122722n m n m 或⎩⎨⎧-=---=+-722122n m n m ，解得⎩⎨⎧==33n m 或⎩⎨⎧=-=31n m∴m =3或－1．。