【苏教版】2013届高考数学必修4 第3章3.3知能优化训练

（新课程）2013高中数学 3.3知能优化训练1．已知cos θ＝－15，5π2＜θ＜3π，那么sin θ2＝__________.解析：∵5π2＜θ＜3π，∴5π4＜θ2＜3π2.∴sin θ2＜0.由cos θ＝1－2sin 2θ2，得sin θ2＝－ 1－cos θ2＝－ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15×12＝－155. 答案：－1552．函数y ＝1－tan 22x1＋tan 22x的最小正周期是__________． 解析：由万能公式，得y ＝cos4x ，∴T ＝2π|ω|＝2π4＝π2.答案：π23．已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于__________．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a .答案：－a4．若θ是第二象限的角，且cos θ2＜0，则1－sin θsin θ2－cosθ2的值是__________．解析：θ是第二象限的角，且cos θ2＜0，∴2k π＋54π＜θ2＜2k π＋32π，k ∈Z ，1－sin θsin θ2－cosθ2＝cos2θ2－2sin θ2cos θ2＋sin 2θ2sin θ2－cosθ2＝cos θ2－sinθ2sin θ2－cosθ2＝－1.答案：－1一、填空题1．已知sin α＝35，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值是__________．解析：∵sin α＝35，α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝－34.又tan(α＋β)＝1，∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7.答案：72．函数y ＝sin2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos2x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期是________．解析：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π62cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝π|ω|＝π2.答案：π23．y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值是__________．解析：y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴y max ＝ 3.答案： 34．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是__________．解析：y ＝12[sin(2x －π6)＋sin(－π6)]＝12sin(2x －π6)－14，∴y min ＝－12－14＝－34.答案：－345．设sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)的值等于__________．解析：∵sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，∴cos α＝－45，tan α＝－34. ∵tan(π－β)＝12，∴tan β＝－12，tan2β＝－43，∴tan(α－2β)＝tan α－tan2β1＋tan αtan2β＝－34＋431＋1＝724.答案：7246．若tan θ＝3，则sin2θ－cos2θ的值是__________．解析：因为tan θ＝3，所以sin2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2×31＋32＝35，cos2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－321＋32＝－45，所以sin2θ－cos2θ＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝75.答案：757．已知3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12，则sin2α＝__________. 解析：因为3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12， 所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12，即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12， 利用积化和差公式可得32⎝⎛⎭⎪⎫sin2α－sin π6＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2α＋sin π6，整理得sin2α＝1.答案：18．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值是__________． 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－33.而sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－13＝23.∴原式＝－33－23＝－2＋33. 答案：－2＋33二、解答题9．已知4sin 2x －6sin x －cos 2x ＋3cos x ＝0，求cos2x －sin2x－cos2x －tan2x的值．解：∵4sin 2x －6sin x －cos 2x ＋3cos x ＝0，∴(2sin x －cos x )[(2sin x ＋cos x )－3]＝0. ∵2sin x ＋cos x －3≠0，∴2sin x －cos x ＝0，∴tan x ＝12，∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43，sin2x ＝2tan x 1＋tan 2x ＝45，cos2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x ＝35，∴cos2x －sin2x －cos2x －tan2x ＝35－4525×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝32.10．已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π2，求sin φ，cos φ的值．解：法一：∵sin φcos φ＝60169，∴sin2φ＝120169.又∵π4＜φ＜π2，∴π2＜2φ＜π，∴cos2φ＜0，∴cos2φ＝－1－sin 22φ＝－ 1－⎝⎛⎭⎪⎫1201692＝－119169.∵sin φ＞0，cos φ＞0，∴sin φ＝1－cos2φ2＝ 1＋1191692＝1213， cos φ＝1＋cos2φ2＝ 1－1191692＝513. 法二：(sin φ＋cos φ)2＝1＋2sin φcos φ＝1＋120169＝289169.∵π4＜φ＜π2，∴sin φ＞0，cos φ＞0， ∴sin φ＋cos φ＝1713.①∵π4＜φ＜π2，∴sin φ＞cos φ＞0， ∴sin φ－cos φ＞0.又∵(sin φ－cos φ)2＝1－2sin φcos φ＝1－120169＝49169，∴sin φ－cos φ＝713.②解①②组成的方程组，得sin φ＝1213，cos φ＝513.11．求证：cos 2αcot α2－tanα2＝14sin2α.证明：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边．∴原式成立．。

1.tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°＝__________. 解析(jiě xī)：原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝ 3. 答案： 32．tan75°＋tan15°＝__________.解析：tan75°＋tan15°＝tan(45°＋30°)＋tan(45°－30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＋tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1＋331－1×33＋1－331＋1×33＝(2＋3)＋(2－3)＝4. 答案：43.1－tan15°1＋tan15°的值是__________． 解析：原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33. 答案：33 4．tan18°＋tan42°＋3tan18°tan42°＝__________.解析：tan60°＝tan(18°＋42°)＝tan18°＋tan42°1－tan18°tan42°， 所以tan18°＋tan42°＝tan60°(1－tan18°tan42°)，tan18°＋tan42°＋3tan18°tan42°＝tan60°(1－tan18°tan42°)＋3tan18°tan42°＝ 3.答案： 3一、填空题1．tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，那么(nà me)tan α·tan β等于__________．解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴4＝21－x ，x ＝12. 答案：122．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，那么C 等于__________． 解析：A ＋B ＋C ＝π，tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝3tan A tan B －11－tan A tan B ＝－3，∴tan C ＝3，C ＝π3. 答案：π3 3．化简tan α＋β－tan α－tan βtan αtan α＋β的结果为__________． 解析：原式＝tan α＋β－tan α＋tan βtan α·tan α＋β＝tan α＋β－1－tan αtan β·tan α＋βtan α·tan α＋β＝tan β. 答案：tan β4．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是__________． 解析：∵α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝25－141＋25×14＝3202220＝322. 答案：3225．tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且β∈(0，π)，那么β的值是__________． 解析(jiě xī)：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝7－341＋7×34＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π4. 答案：π46．假设tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，那么cos(A ＋B )＝________. 解析：由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝k π＋34π，k ∈Z ，所以cos(A ＋B )＝±22. 答案：±22 7．tan(α＋β)＝13，tan β＝14，那么tan α的值应是________． 解析：tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋βtan β＝13－141＋13×14＝113. 答案：1138．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，那么12sin αcos α＋cos 2α的值是__________． 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝2，得tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12×13＋1＝23. 答案：23二、解答(jiědá)题9．tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan2α，tan2β.解：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan α＋β＋tan α－β1－tan α＋βtan α－β＝3＋51－3×5＝－47， tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝tan α＋β－tan α－β1＋tan α＋βtan α－β＝3－51＋3×5＝－18. 10．tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β的值．解：由题意，有⎩⎨⎧ tan α＋tan β＝－33tan αtan β＝4，tan α＜0且tan βα，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，α＋β∈(－π，0)． 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3. 在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π3， 所以α＋β＝－2π3. 11．tan A 与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－A ＋π4是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的解，假设3tan A ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ，求p 和q 的值． 解：设t ＝tan A ，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝1－tan A 1＋tan A ＝1－t 1＋t， 由3tan A ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ，得3t ＝21－t 1＋t ， 解得t ＝13或者(huòzhě)t ＝－2. 当t ＝13时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝1－t 1＋t ＝12， p ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan A ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝－56， q ＝tan A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝13×12＝16； 当t ＝－2时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝1－t 1＋t＝－3， p ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan A ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝5， q ＝tan A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝6. 所以p ，q 的值是⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝－56，q ＝16或者⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝5，q ＝6.内容总结。

问题1：我们已学过两角和与差的正弦、余弦公式，那么S (α＋β)＋S (α－β)，S (α＋β)－S (α－β)，C (α＋β)＋C (α－β)，C (α＋β)－C (α－β)会得到怎样的结论？ 提示：(1) sin(α＋β)＋sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)＋(sin αcos β－cos αsin β) ＝2sin αcos β；(2)sin(α＋β)－sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)－(sin αcos β－cosαsin β)＝2cos αsin β；(3)cos(α＋β)＋cos(α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)＋(cos αcos β＋sinαsin β)＝2cos αcos β；(4)cos(α＋β)－cos(α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)－(cos αcos β＋sinαsin β)＝－2sin αsin β.问题2：将问题1得到的结论中α＋β，α－β看作一个整体，又会得到什么样的结论？ 提示：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2；sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； cos α＋cos β＝2cosα＋β2cosα－β2； cos α－cos β＝－2sinα＋β2sinα－β2.积化和差公式与和差化积公式(公式不要求记忆) (1)积化和差公式：sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]；cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式： sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2； sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； cos α＋cos β＝2cosα＋β2cosα－β2； cos α－cos β＝－2sinα＋β2sinα－β2.问题：如何用tan α2表示sin α、cos α、tan α？提示：sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cosα2cos2α2＋sin2α2＝2tan α21＋tan2α2；cos α＝cos 2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2；tan α＝2tanα21－tan 2α2.万能公式(1)sin α＝2tanα21＋tan2α2.(2)cos α＝1－tan2α21＋tan 2α2.(3)tan α＝2tanα21－tan 2α2.1．公式的推导积化和差公式的推导运用方程的思想把S (α＋β)与S (α－β)(或C (α＋β)与C (α－β))看作二元一次方程组解方程推得．和差化积公式的推导主要是角的变换．要认真体会这种思想方法．2．公式的记忆课标虽然对此二组公式不要求记忆，但记住运用起来总是方便些．可这样记忆公式： 积化和差由一项变两项应加系数12；和差化积由两项变一项加系数2；系数2则角半．“正加得正余弦，正减得余正弦，余加得余弦积，余减得正弦积”．“正余得正弦和，余正得正弦差，余积得余弦和，正积得正弦差”，角的规律是先和后差． 两角α、β的正弦、余弦的积都可化为12[f (α－β)±f (α＋β)]的形式．如果两角的函数同为正弦或余弦，则“f ”表示余弦；如果一个为正弦一个为余弦，则“f ”表示正弦．[例1] 求下列各式的值． (1)sin 37.5°cos 7.5°；(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.[思路点拨] 利用积化和差公式对所给式子进行变形，然后利用特殊角进行求解． [精解详析] (1)sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin 45°＋sin 30°) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12 ＝2＋14. (2)sin 20°cos70 °＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. [一点通] 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．1．函数y ＝cos x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期为________．解析：cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝12⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x －π3＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12cos π3＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋14，∴最小正周期为π. 答案：π2．化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)． 解：原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos (－2θ)] ＝－2sin θ(－12－cos 2θ)＝sin θ＋2sin θcos 2θ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ) ＝sin 3θ.[例2] 求函数f (x )＝sin 52x 2sinx 2－12的值域．[思路点拨] (1)先通分，将sin 5x 2－sinx2和差化积．(2)再积化和差得函数． (3)在定义域内求值域． [精解详析] f (x )＝sin 5x 2－sinx22sinx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2sinx 2＝2cos 3x2sin x2sinx 2＝2cos 3x 2cos x2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2 ＝cos2 x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.∵sin x 2≠0，∴x2≠k π，即x ≠2k π(k ∈Z )． ∴－1≤cos x <1.当cos x ＝－14时，f (x )min ＝－98，当cos x 趋于1时，f (x )趋于2.故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－98，2.[一点通] 通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号，是上述变换过程的基本内容，一般对同名异角三角函数的和或差可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积化和差．3．求sin 2 20°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°的值．解：法一：原式＝12(1－cos 40°)＋12(1＋cos 100°)＋sin 20°·cos 50°＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12(sin 70°－sin 30°)＝34－sin 70°·sin 30°＋12sin 70° ＝34. 法二：原式＝(sin 20°＋cos 50°)2－sin 20°·cos 50° ＝(2sin 30°·cos 10°)2－12(sin 70°－sin 30°)＝cos 210°－12cos 20°＋14＝1＋cos 20°2－12cos 20°＋14＝34. 4．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．解：∵cos α－cos β＝12，∴－2sinα＋β2sinα－β2＝12.① 又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sinα－β2＝－13.②∵sinα－β2≠0，∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tanα＋β2＝32. ∴sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.[例3] 设tan θ2＝t ，求证：1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．[思路点拨] 利用万能公式，分别用t 表示sin θ，cos θ即可．[精解详析] 由sin θ＝2tanθ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan 2θ2＝1＋t21＋t2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan2θ2＝21＋t 1＋t 2， 故1＋sin θ1＋sinθ＋cos θ＝12(t ＋1)．[一点通] 在万能代换公式中不论α的哪种三角函数(包括sin α与cos α)都可以表示成tan α2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值．5．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，求sin 2θ－2cos 2θ的值．解：令tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，∴tan θ＝12.sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2 θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 6．已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求sin(α＋β)，cos(α＋β)的值．解：∵sin α＋sin β＝2sinα＋β2cosα－β2＝14，cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2＝13. ∴tanα＋β2＝34. ∴sin(α＋β)＝2tanα＋β21＋tan 2α＋β2＝2×341＋916＝2425，cos(α＋β)＝1－tan 2α＋β21＋tan 2α＋β2＝1－9161＋916＝725.1．应用积化和差、和差化积公式应从以下几个方面考虑； (1)运用公式之后，能否出现特殊角；(2)运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；(3)运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．2．积化和差、和差化积公式的应用(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．(2)对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择解题的思路不同，化简结果可能在形式上不一致．不论使用哪套公式，只要正确使用公式，结果一般会殊途同归．有时为回避使用积与和差互化，可凑角后使用诱导公式、倍角、半角、和差角公式等．课下能力提升(二十七)一、填空题 1．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； ⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确等式的个数是________． 解析：只有⑤正确． 答案：12．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2 α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β. ∴cos 2 α－sin 2β＝13.答案：133．若tan θ＋1tan θ＝m ，则sin 2θ＝________. 解析：∵tan θ＋1tan θ＝m ，即tan 2θ＋1tan θ＝m ，∴sin 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2m . 答案：2m4．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________． 解析：∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )． 又－π2<A －B <π2，而0<cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.答案：125．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－14，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值为－34. 答案：－34二、解答题6．求值：cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7.解：cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝12sin2π7⎝⎛2sin 2π7·co s 2π7＋2sin 2π7·co s 4π7＋2sin 2π7·⎭⎪⎫cos 6π7＝12sin2π7⎣⎢⎡sin 4π7＋sin 6π7＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π7＋sin 8π7＋⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π7＝12sin 2π7⎝⎛⎭⎪⎫sin 4π7＋sin π7－sin 2π7－sin π7－sin 4π7 ＝12sin2π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 2π7＝－12.7．求函数f (x )＝cos 4x cos 2x －cos 23x 的最大值和最小值．第- 11 -页 共11页 解：f (x )＝12[cos(4x ＋2x )＋cos(4x －2x )]－1＋cos 6x 2＝12(cos 6x ＋cos 2x )－12－12cos 6x ＝12cos 2x －12＝－1－cos 2x 2＝－sin 2x .∵0≤sin 2 x ≤1.∴f (x )的最大值为0，最小值是－1.8．求值：cos 2 71°＋cos 71°cos 49°＋cos 2 49°.解：原式＝1＋cos 142°2＋12(cos 120°＋cos 22°) ＋1＋cos 98°2 ＝12＋12cos 142°－14＋12cos 22°＋12＋12cos 98° ＝34＋12(cos 142°＋cos 98°)＋12cos 22° ＝34＋cos 120°cos 22°＋12cos 22°＝34.。

同步测控1．设a ，b ，c 为平面向量，有下面几个命题：①a·(b －c)＝a·b －a·c ；②(a·b)·c ＝a·(b·c)；③(a －b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；④若a·b ＝0，则a ＝0，b ＝0.其中正确的有__________个． 解析：由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a －b)2＝a2－2a·b ＋b2＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2知③不正确；对于④，∵a·b ＝|a||b|·cos θ＝0，∴|a|＝0或|b|＝0或cos θ＝0.∴a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故④不正确．答案：12．已知a ，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b ＝2，则a 与b 夹角为__________．解析：∵cos θ＝a·b |a||b|＝21×4＝12，∴θ＝π3. 答案：π33．设a 与b 的模分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b|＝______. 解析：|a ＋b|＝a ＋b 2＝a2＋2a·b ＋b2＝42＋2×4×3×cos60°＋32＝37.答案：374．在边长为2的等边三角形ABC 中，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝__________.解析：a·b ＋b·c ＋c·a ＝2×2×cos120°×3＝－3.答案：－3一、填空题1．已知|a|＝3，|b|＝4，a 、b 的夹角为120°，则a·b ＝________.解析：a·b ＝|a||b|cos ＝120°＝3×4×cos120°＝－6.答案：－62．若|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为__________． 解析：设向量a 与b 的夹角为θ，由题意知(a ＋b)·a ＝0，∴a2＋a·b ＝0，∴|a|2＋|a||b|cos θ＝0，∴1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.答案：120°3．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝__________.解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b)．又∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.∴|c|2＝c2＝(a ＋b)2＝a2＋2a·b ＋b2＝5.答案：54．如图所示的是正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是__________．(只填序号)①P1P2→·P1P3→； ②P1P2→·P1P4→；③P1P2→·P1P5→； ④P1P2→·P1P6→.解析：利用向量的数量积的定义逐项计算．根据正六边形的几何性质，得P1P2→·P1P5→＝0，P1P2→·P1P6→＜0，P1P2→·P1P3→＝|P1P2→|·3|P1P2→|·cos π6＝32|P1P2→|2，P1P2→·P1P4→＝|P1P2→|·2|P1P2→|·cos π3＝|P1P2|2，经比较可知P1P2→·P1P3→最大． 答案：①5．已知非零向量a ，b ，若(a ＋2b)⊥(a －2b)，则|a||b|＝__________. 解析：∵(a ＋2b)⊥(a －2b)，∴(a ＋2b)·(a －2b)＝0，∴a2＝4b2，∴|a|＝2|b|，∴|a||b|＝2.答案：26．点O 是△ABC 所在平面上一点，且满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的__________．解析：∵OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，∴OB →·(OC →－OA →)＝0⇒OB →·AC →＝0⇒OB ⊥AC.同理可得OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，故O 为△ABC 的垂心．答案：垂心7．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 的形状为__________．解析：(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝|CA →|2－|CB →|2＝0，∴|CA →|＝|CB →|，∴△ABC 为等腰三角形．答案：等腰三角形8．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝__________.解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b ，而a ，b ，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.答案：－8或5二、解答题9．已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 的夹角． 解：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又|b|＝|a －b|，得|b|2＝|a|2－2a·b ＋|b|2，∴a·b ＝12|a|2. 而|a ＋b|2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2＝3|a|2，∴|a ＋b|＝3|a|.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a·a ＋b |a||a ＋b|＝|a|2＋12|a|2|a|·3|a|＝32，θ∈[0°，180°]． ∴θ＝30°.10．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＋16CB →＋23CA →，求MA →·MB.解：如图所示．MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →)＝⎝⎛⎭⎫CA →－16CB →－23CA →·⎝⎛⎭⎫CB →－16CB →－23CA →＝⎝⎛⎭⎫13CA →－16CB →·⎝⎛⎭⎫56CB →－23CA →＝518CA →·CB →－29CA →2－536CB →2＋19CB →·CA →＝718CA →·CB →－29CA →2－536CB →2 ＝718×(23)2×12－29(23)2－536(33)2 ＝－2.11．四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a·b ＝b·c ＝c·d ＝d·a ，试问四边形ABCD 是什么图形？解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d)，∴(a ＋b)2＝(c ＋d)2，即|a|2＋2a·b ＋|b|2＝|c|2＋2c·d ＋|d|2，由于a·b ＝c·d ，∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2. ①同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2. ②由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|，即四边形ABCD的两组对边分别相等．∴四边形ABCD是平行四边形．另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0，即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC，综上所述，四边形ABCD是矩形．。

1．若向量a ＝(1，－2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是__________．解析：设始点坐标为(x ，y )，则(0－x,0－y )＝(1，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.答案：(－1,2)2．已知点A (1，－3)和向量a ＝(3,4)，若AB →＝2a ，则点B 的坐标为__________．解析：AB →＝2a ＝2(3,4)＝(6,8)，所以OB →＝OA →＋AB →＝(1，－3)＋(6,8)＝(7,5)． 答案：(7,5)3．已知a ＝(－3,4)，则a 的相反向量的坐标为__________． 答案：(3，－4)4．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝__________.解析：12a ＝⎝⎛⎭⎫12，12，32b ＝⎝⎛⎭⎫32，－32， 故12a －32b ＝(－1,2)． 答案：(－1,2)一、填空题 1．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，∴λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.∴λ＝2. 答案：22．已知e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,3)，a ＝(－1,2)，试以e 1，e 2为基底，将a 分解为λ1e 1＋λ2e 2的形式为__________．解析：设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )， 则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3) ＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝17，λ2＝47.∴a ＝17e 1＋47e 2.答案：a ＝17e 1＋47e 23．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为__________．解析：不妨设5秒后移动到点P ′.据题意有：PP ′→＝t v ＝t (4，－3)＝(4t ，－3t )．由于点P 的运动方向与v 同向且速度为每秒|v |＝5个单位，故5秒运动25个单位，即：|PP ′|＝25，∴25t 2＝252，∴t ＝±5，又∵PP ′→与v 同向，∴t ＝5，∴PP ′→＝5(4，－3)＝(20，－15)， ∴P ′(10，－5)． 答案：(10，－5)4．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝__________.解析：AB →＝(4－k ，－7)，AC →＝(－2k ，－2)，又A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.所以(－2)×(4－k )－(－7)×(－2k )＝0，所以k ＝－23.答案：－235．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b等于__________．解析：AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，∵AB →∥AC →，∴(a －2)(b －2)－4＝0，∴ab－2(a ＋b )＝0，该等式两边同除以ab ，可得ab －2(a ＋b )ab ＝0，∴1－2(1a ＋1b)＝0，∴1a ＋1b ＝12. 答案：126．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝__________.解析：因为a ∥b ，所以1∶(－2)＝2∶m ，所以m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．答案：(－4，－8)7．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：因为a ＝(1，m )，b ＝(1－n,1＋n )，若a ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－n ＝11＋n ＝m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0m ＝1.得P ∩Q ＝{(1,1)}．答案：{(1,1)}8．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1,2)⊗m ＝(5,0)，则(1,2)⊕m 等于__________．解析：由(1,2)⊗m ＝(5,0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，∴(1,2)⊕m ＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．答案：(2,0) 二、解答题9．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解：(1)由已知得：OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，则OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x轴上，只需2＋3t ＝0，则t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，则t ＝－13；若P 在第二象限内，只需1＋3t ＜0，且2＋3t ＞0，解得－23＜t ＜－13.(2)OA →＝(1,2)，OB →＝(4,5)，OP →＝(1＋3t,2＋3t )，则PB →＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP为平行四边形，只需OA →＝PB →，即⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解，故四边形OABP 不能组成平行四边形．10．已知向量AB →＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 与λ的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)． ∵AB →＝(4,3)，A (－1，－2)， ∴(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1. ∴B (3,1)．同理可得D (－4，－3)．设线段BD 的中点M 的坐标为(x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，∴M ⎝⎛⎭⎫－12，－1. (2)∵PB →＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )， BD →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，PB →＝λBD →， ∴(1,1－y )＝λ(－7，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，解得⎩⎨⎧λ＝－17，y ＝37.11．已知三点A ，B ，C 的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由题意，得AC →＝(1－(－1)，2－0)＝(2,2)，AB →＝(3－(－1)，－1－0)＝(4，－1)，BC →＝(1－3,2－(－1))＝(－2,3)．因为AE →＝13AC →＝⎝⎛⎭⎫23，23，所以(x 1－(－1)，y 1－0)＝⎝⎛⎭⎫23，23，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝23，y 1＝23，得点E 坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23.因为BF →＝13BC →＝⎝⎛⎭⎫－23，1，所以(x 2－3，y 2－(－1))＝⎝⎛⎭⎫－23，1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23，y 2＋1＝1，得点F 坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，所以EF →＝⎝⎛⎭⎫73－⎝⎛⎭⎫－13，0－23＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 因为4×⎝⎛⎭⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF →∥AB →.。

[学生用书 P 44]1．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值为________．解析：由题意知m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.答案：4或－12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________．解析：|z |＝a 2＋1，∵0<a <2，∴0<a 2<4，∴1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.答案：(1，5)3．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于第________象限． 解析：复数z 在复平面上对应的点为Z (3m －2，m －1)．由于23＜m ＜1，得3m －2＞0，m －1＜0， 所以点Z 位于第四象限．答案：四 4．若z ＋|z |＝2，则复数z ＝________.解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＋|z |＝a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2， ∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2b ＝0，∴a ＝1，b ＝0，∴z ＝1.答案：1一、填空题1．若复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 在复平面内对应的点在虚轴上，则实数a 满足________．解析：由题意知，a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.答案：a ＝0或a ＝22．复数z ＝i 1＋i在复平面上对应的点位于第________象限． 解析：i 1＋i ＝i 2(1－i)＝12＋i 2，以x 轴为实轴，y 轴为虚轴，则对应坐标为(12，12)，在第一象限．答案：一3．(2011年高考辽宁卷改编)a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋i i|＝2，则a ＝________. 解析：|a ＋i i|＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝± 3.而a 是正实数，∴a ＝ 3. 答案： 34．已知复数z ＝3＋i－32，则|z |等于________．解析：z ＝3＋i 1＋3i 2－23i ＝－3＋i 2＋23i＝－12×23－2i 4＝i －34，|z |＝12.答案：125．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________．解析：A (6,5)，B (－2,3)，C (2,4)，∴C 对应的复数为2＋4i.答案：2＋4i6．(2011年高考山东卷改编)复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为________．解析：∵z ＝2－i 2＋i ＝－2＋－＝4－4i －15＝35－45i ， ∴复数z 对应的点的坐标为(35，－45)，在第四象限． 答案：第四象限7．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．解析：由题意知A (－1，－2)，则B (2,1)，故向量OB →对应的复数为2＋i.答案：2＋i8．复平面内长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 所对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则点D 对应的复数是________．解析：设点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，由题意知AB →＝DC →，又AB →对应的复数为1－i ，DC →对应的复数为(－2－x )＋(－3－y )i ，所以－2－x ＝1，－3－y ＝－1.所以x ＝－3，y ＝－2.所以点D 对应的复数为－3－2i.答案：－3－2i9．已知z 1，z 2为复数，且|z 1|＝1，若z 1＋z 2＝2i ，则|z 1－z 2|的最大值是________． 解析：由z 1＋z 2＝2i 得z 1＝2i －z 2，代入|z 1|＝1得|2i －z 2|＝1，∴|z 2－2i|＝1，即z 2轨迹是以(0,2)为圆心、1为半径的圆(如图)．又z 1轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，则|z 1－z 2|为两圆上点的距离，最大值为4.答案：4二、解答题10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在x 轴上方；(5)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．解：(1)由m 2－2m －15＝0，得m ＝5或m ＝－3，即当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数．(2)由m 2－2m －15≠0，得m ≠5且m ≠－3，即当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0，得m ＝－2，即当m ＝－2时，z 为纯虚数．(4)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，即当m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方．(5)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得m ＝－3－414或m ＝－3＋414， 即当m ＝－3－414或m ＝－3＋414时，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上． 11．已知复数z 1＝i(1－i)3，(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解：(1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z 1|＝22＋－22＝2 2.(2)法一：∵|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ，|z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝θ－2＋θ＋2＝ 9＋42θ－π4. 当sin(θ－π4)＝1时，|z －z 1|2取得最大值9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值为22＋1.法二：|z |＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z 1对应坐标系中的点(2，－2)， ∴|z －z 1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，由图可知|z －z 1|max ＝22＋1.12．设复数z 满足|z |＝5，且(3＋4i)z 在复平面上对应点在第二、四象限的角平分线上，|2z －m |＝52(m ∈R )，求z 和m 的值．解：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )．∵|z |＝5，∴a 2＋b 2＝25.而(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ，又∵(3＋4i)z 在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上， ∴3a －4b ＋4a ＋3b ＝0，得b ＝7a .∴a ＝±22，b ＝±722， 即z ＝±(22＋722i)． ∴2z ＝±(1＋7i)．当2z ＝1＋7i 时，有|1＋7i －m |＝52，即(1－m )2＋72＝50，得m ＝0，或m ＝2.当2z＝－(1＋7i)时，同理，可得m＝0或m＝－2.。

同步测控1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x)，满足条件(8a －b)·c ＝30，则x ＝__________. 解析：∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b)·c ＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.答案：42．已知a ＝(－5,5)，b ＝(0，－3)，则a 与b 的夹角为________．解析：∵cos θ＝a·b |a||b|＝－1552×3＝－22.∴θ＝3π4. 答案：3π43．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若向量b ⊥(a ＋λb)，则实数λ的值是__________． 解析：b·(a ＋λb)＝b·a ＋λb·b ＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.答案：－34．已知向量a ＝(1，n)，b ＝(－1，n)，若2a －b 与b 垂直，则|a|等于__________．解析：2a －b ＝(3，n)，由2a －b 与b 垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，∴n2＝3，|a|＝2.答案：2一、填空题1．已知向量a ＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝______.解析：设b ＝(m ，n)，则由a·b ＝5得4m －3n ＝5， ①又因为|b|＝1，所以m2＋n2＝1， ②由①②可得(5n ＋3)2＝0，∴n ＝－35， ∴⎩⎨⎧ m ＝45，n ＝－35. ∴b ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 答案：⎝⎛⎫45，－35 2．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋mj ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|a|＝|b|，则m ＝－2.其中正确命题的序号为__________．(把所有正确命题的序号全填上)答案：②③3．设向量a ＝(1,2)，b ＝(x, 1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a·b 等于__________． 解析：a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3)，∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴(1＋2x)×3－4×(2－x)＝0，∴x ＝12，a·b ＝(1,2)·⎝⎛⎭⎫12，1＝1×12＋2×1＝52. 答案：524．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a ＋b)·c ＝52，则a 与c 的夹角是__________．解析：设c ＝(x ，y)，则(a ＋b)·c ＝(－1，－2)·(x ，y)＝－x －2y ＝52，又|c|＝5，且a·c ＝x ＋2y ＝|a||c|·cos α，故cos α＝－12，α＝120°.答案：120°5．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝35，则b ＝__________.解析：a 与b 共线且方向相反，∴b ＝λa(λ＜0)，设b ＝(x ，y)，则(x ，y)＝λ(1，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝－2λ.由|b|＝35，得x2＋y2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b ＝(－3,6)．答案：(－3,6)6．以原点O 及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB ，使∠A ＝90°，则AB →的坐标为__________．解析：设AB →＝(x ，y)，则有|OA →|＝|AB →|＝52＋22＝x2＋y2，①又由OA →⊥AB →，得5x ＋2y ＝0，②由①②联立方程组，解得x ＝2，y ＝－5或x ＝－2，y ＝5.答案：(－2,5)或(2，－5)7．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是__________．解析：设点P 的坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)(－1)＝x2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，∴点P 的坐标为(3,0)．答案：(3,0)8．直角坐标平面内有三点A(1,2)、B(3，－2)、C(9,7)，若E 、F 为线段BC 的三等分点，则AE →·AF→＝__________.解析：∵BC →＝(6,9)，∴BE →＝13BC →＝(2,3)，BF →＝23BC →＝(4,6)． 又AB →＝(2，－4)，∴AE →＝AB →＋BE →＝(4，－1)，AF →＝AB →＋BF →＝(6,2)，∴AE →·AF →＝4×6＋(－1)×2＝22.答案：22二、解答题9．平面内三个点A ，B ，C 在一条直线上，且OA →＝(－2，m)，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．解：∵A ，B ，C 三点在同一直线上，∴AC →∥AB →.∵OA →＝(－2，m)，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，∴AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m)，AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2,1－m)，∴7(1－m)－(n ＋2)·(－1－m)＝0，即mn －5m ＋n ＋9＝0.①∵OA →⊥OB →，∴(－2)×n ＋m×1＝0，即m －2n ＝0.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝32.10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时：(1)ka ＋b 与a －3b 垂直？(2)ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们同向还是反向？解：(1)ka ＋b ＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当(ka ＋b)·(a －3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0.解得k ＝19，即当k ＝19时，ka ＋b 与a －3b 垂直．(2)当ka ＋b 与a －3b 平行时，存在惟一的实数λ，使ka ＋b ＝λ(a －3b)．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，得：⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得⎩⎨⎧ k ＝－13，λ＝－13.所以当k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行， 因为λ＜0，所以－13a ＋b 与a －3b 反向．11．已知c ＝ma ＋nb ＝(－23，2)，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为120°，且b·c ＝－4，|a|＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵a 与c 垂直，∴a·c ＝0.又∵c ＝ma ＋nb ，∴c·c ＝ma·c ＋nb·c ，∴12＋4＝－4n ，∴n ＝－4.∵b·c ＝|b||c|cos120°，∴－4＝|b|×4×⎝⎛⎭⎫－12，∴|b|＝2. ∴a·c ＝ma2－4a·b ，|a|＝22，∴a·b ＝2m. 又b·c ＝m(a·b)－4b2，∴－4＝2m2－16，∴m2＝6，∴m ＝± 6. 当m ＝6时，a·b ＝2 6.∴cos θ＝a·b |a||b|＝2622×2＝32，∴θ＝π6. 当m ＝－6时，a·b ＝－2 6.∴cos θ＝－32，∴θ＝5π6. 因此m ＝6，n ＝－4时，θ＝π6； m ＝－6，n ＝－4时，θ＝5π6.。

（新课程）2013高中数学 2.2.3知能优化训练1．已知实数m ，n 和向量a ，b ，给出下列命题：①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n .其中正确的命题是__________．解析：若m ＝0，则m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故③不正确． 答案：①②④2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝__________.解析：由BD →＝2DC →知BD →＝23BC →.又∵BC →＝b －c ，∴BD →＝23(b －c )，∴AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23(b－c )＝23b ＋13c .答案：23b ＋13c3．若|a |＝3，b 与a 的方向相反，且|b |＝5，则a ＝________b .解析：b 与a 方向相反，设a ＝λb (λ＜0)，所以λ＝－|a ||b |＝－35，所以a ＝－35b .答案：－354．若2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝__________.答案：421a －17b ＋17c一、填空题1．若O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则BO →＝__________.解析：结合题目画出图形如图 BO →＝12BD →＝12(AD →－AB →)＝12(3e 2－2e 1)＝32e 2－e 1. 答案：32e 2－e 12．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝__________AB →，BC →＝__________AB →.解析：∵AC CB ＝32，∴点C 为线段AB 的5等分点，∴AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →.答案：35 －253．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为__________．解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3.答案：34．若G 是△ABC 的重心，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，则GD →＋GE →＋GF →＝__________.解析：如图所示，令GB 的中点为P ，连结DP 、PE ，得▱GDPE .GP →＝GD →＋GE →＝12GB →＝－GF →，则GD →＋GE →＋GE →＝0.答案：05．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝__________.解析：由于AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.答案：236．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则PA →＋PC →＝__________.解析：∵BC →＋BA →＝2BP →，∴P 为线段AC 的中点，∴PA →＝－PC →，∴PA →＋PC →＝0. 答案：07．△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →等于__________．解析：如图所示，∠1＝∠2， ∴|CB →||CA →|＝|BD →||DA →|＝12， ∴BD →＝13BA →＝13(CA →－CB →)＝13(b －a )，∴CD →＝CB →＋BD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .答案：23a ＋13b8．已知向量a ，b ，若AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________．解析：通过观察，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ，与a ＋2b 有2倍关系，即2AB →＝BD →.符合向量共线定理，∴A ，B ，D 三点共线．故填A ，B ，D .答案：A ，B ，D二、解答题9．设两个向量a 与b 不共线．(1)试证：起点相同的三个向量a ，b,3a －2b 的终点在同一条直线上(a ≠b )； (2)求实数k ，使得k a ＋b 与2a ＋k b 共线．解：(1)证明：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝3a －2b .因为AC →＝OC →－OA →＝(3a －2b )－a ＝2(a －b )，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，所以AC →＝－2AB →，故AC →，AB →共线．又AC →，AB →有公共起点A ，所以A ，B ，C 在同一直线上．(2)因为k a ＋b 与2a ＋k b 共线，所以设k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，λ∈R ，即k a ＋b ＝2λa ＋k λb ，又a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2λ，1＝k λ，所以k ＝± 2.10．如图所示，E ，F 分别是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，已知AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，求向量EF →.解：法一：连结AF . ∵AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ，E 是AC 的中点， ∴AE →＝12AC →＝12(a ＋b )．又∵BD →＝BC →＋CD →＝b ＋c ，F 是BD 的中点， ∴BF →＝12BD →＝12(b ＋c )．∴AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12(b ＋c )，∴EF →＝AF →－AE →＝a ＋12(b ＋c )－12(a ＋b )＝12(a ＋c )．法二：连结AF . ∵AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ，E 是AC 的中点， ∴AE →＝12AC →＝12(a ＋b )．∵DB →＝DA →＋AB →＝d ＋a ，F 是DB 的中点， ∴DF →＝12DB →＝12(d ＋a )．∴AF →＝DF →－DA →＝12(d ＋a )－d ＝12(a －d )，∴EF →＝AF →－AE →＝12(a －d )－12(a ＋b )＝－12(b ＋d )．11．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c 与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．解：b与a＋c共线．证明如下：∵a＋b与c共线，∴存在惟一实数λ，使得a＋b＝λc.①∵b＋c与a共线，∴存在惟一实数μ，使得b＋c＝μa.②由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b.故a＋c与b共线．。

（新课程）2013高中数学 1.2.3 知能优化训练（2）1．sin480°的值为________．解析：sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝sin(90°＋30°)＝cos30°＝32. 答案：322．若sin(θ＋3π2)＞0，cos(π2－θ)＞0，则角θ的终边位于第________象限．解析：sin(θ＋3π2)＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，cos(π2－θ)＝sin θ ＞0，∴θ为第二象限的角． 答案：二3．已知sin40°＝a ，则cos130°等于________． 解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a . 答案：－a4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是________．解析：sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－sin α－sin α＝－a ，∴sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .答案：－32a一、填空题1．已知f (x )＝sin x ，下列式中成立的是________．①f (x ＋π)＝sin x ；②f (2π－x )＝sin x ；③f (x －π2)＝－cos x ；④f (π－x )＝－f (x )．解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ，f (2π－x )＝sin(2π－x )＝－sin x ，f (x －π2)＝sin(x －π2)＝－sin(π2－x )＝－cos x ，f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )．答案：③2．若cos(π＋α)＝－13，那么sin(3π2－α)等于________．解析：∵cos(π＋α)＝－13，∴cos α＝13，又∵sin(3π2－α)＝－cos α，∴sin(3π2－α)＝－13.答案：－133．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos(A ＋B )＝cos C ；②sin(A ＋B )＝－sin C ；③cos(A 2＋C )＝cos B ；④sin B ＋C 2＝cos A 2.解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ，所以sin B ＋C 2＝sin(π2－A 2)＝cos A2，所以④是正确的．答案：④4．sin95°＋cos175°的值为________．解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos5°－cos5°＝0. 答案：05．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)等于________．解析：f (sin15°)＝f (cos(90°－15°))＝f (cos75°)＝cos150°＝－32.答案：－326．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于________．解析：∵(π4＋α)－(α－π4)＝π2，∴π4＋α＝π2＋(α－π4)，∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin(α－π4)＝－13. 答案：－137．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________.解析：∵cos(π2＋φ)＝32，∴sin φ＝－32，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，故tan φ＝tan(－π3)＝－tan π3＝－ 3.答案：－ 38．已知cos α＝13，且－π2＜α＜0，则－α－ππ＋απ－α3π2－απ2＋α＝________.解析：原式＝－cos αα－tan α－cos α－sin α＝tan α，∵cos α＝13，－π2＜α＜0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.答案：－2 2二、解答题9．已知cos(π6－α)＝33，求证：sin(4π3＋α)＋cos 2(2π3－α)＝2－33.证明：因为cos(π6－α)＝33，所以sin(4π3＋α)＋cos 2(2π3－α)＝sin[3π2－(π6－α)]＋cos 2[π2＋(π6－α)]＝－cos(π6－α)＋[－sin(π6－α)]2＝－33＋[1－(33)2]＝2－33.10．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求α＋3π23π2－α2π－απ－απ2－απ2＋α的值．解：由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α－cos α2α－tan αsin α－sin α＝tan α＝±34.11．已知sin(3π－α)＝2cos(3π2＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．解：因为sin(3π－α)＝2cos(3π2＋β)，所以sin α＝2sin β ①.因为3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，所以3cos α＝2cos β ②.①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)，所以cos 2α＝12，cos α＝±22.又0＜α＜π，所以α＝π4或α＝3π4.当α＝π4时，β＝π6；当α＝3π4时，β＝5π6.所以α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.。

（新课程）2013高中数学 3.1.1知能优化训练1．cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为__________．解析：cos45°cos15°＋sin15°sin45°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32. 答案：322．下列4组数中，使cos αcos β－sin αsin β＝12成立的一组是__________．①α＝46°，β＝16°；②α＝78°，β＝18°；③α＝24°，β＝36°；④α＝14°，β＝16°.答案：③3．sin195°＝__________.解析：sin195°＝sin(90°＋105°)＝cos105°＝cos(45°＋60°)＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝22×12－22×32＝2－64.答案：2－644．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________.解析：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.答案：12一、填空题1．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为__________． 解析：sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )＝sin(65°－x )·sin[90°－(x －20°)]＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝sin(65°－x )sin(110°－x )＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝cos(110°－x －65°＋x )＝cos45°＝22.答案：222.2cos15°＋6sin15°的值是__________．解析：2cos15°＋6sin15°＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin15°＋12cos15°＝22cos(60°－15°)＝22cos45°＝2.答案：23．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于__________．解析：由已知知cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.答案：344．若三角形两内角α，β满足tan α·tan β＞1，则这个三角形是__________．解析：因为tan α·tan β＞1，所以α，β均为锐角，sin αsin βcos αcos β＞1，所以cos αcos β－sin αsin β＜0，即cos(α＋β)＜0，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．答案：锐角三角形5．已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°＜α－β＜180°，270°＜α＋β＜360°，则cos2α的值为__________．解析：∵2α＝(α－β)＋(α＋β)，∴cos2α＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)．∵90°＜α－β＜180°，cos(α－β)＝－45，∴sin(α－β)＝35.∵270°＜α＋β＜360°，cos(α＋β)＝45，∴sin(α＋β)＝－35.∴cos2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－725. 答案：－7256．若α、β均为锐角，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则cos β＝__________.解析：∵α为锐角，且cos α＝17，∴sin α＝437.∵α与β均为锐角，且cos(α＋β)＝－1114，∴sin(α＋β)＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝12.答案：127．设0≤α＜2π，若sin α＞3cos α，则α的取值范围是__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π38．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝725，则cos2α的值为________．解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2425，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴cos2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2×725×2425＝336625.答案：336625二、解答题9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝513，且0＜α＜π2＜β＜π，求cos(β－α)的值．解：∵0＜α＜π2＜β＜π，∴π3＜π3＋α＜5π6＜π3＋β＜4π3. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－35＜0， ∴π2＜π3＋α＜5π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋β＝513＞0，∴5π6＜π3＋β＜π. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋β＝－ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213.∴cos(β－α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋513×45＝5665.10．在△ABC 中，已知tan A ＝cos B －cos Csin C －sin B，试判断△ABC 的形状．解：∵tan A ＝cos B －cos Csin C －sin B，∴sin A cos A ＝cos B －cos C sin C －sin B， ∴sin A sin C －sin A sin B ＝cos A cos B －cos A cos C ， ∴cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos B ＋sin A sin B ， ∴cos(A －C )＝cos(A －B )， ∴A －C ＝A －B 或A －C ＝B －A . 即B ＝C 或2A ＝B ＋C .∴△ABC 为等腰三角形或A 等于60°的三角形．11．已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋x 的值域．解：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x －cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x －22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x －sin π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x .因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤π3－x ≤π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 所以函数y 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2.。