2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第十八讲 两角和与差及二倍角公式

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45， 所以tan α＝sin αcos α＝－34. 所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429. [答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. (2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，② ∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－12(2) 3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α. [提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b . 2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 答案：45 3.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45，cos α＝－35. 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665. [答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2， ∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79. 3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B. 2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718. 6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－12 8．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1. 答案：－111．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050.B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________.解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14， ∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157.答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π， 所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125.答案：117125 3．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。

2 2 cos 1 cos 2 sin 又原式 , 2sin cos sin sin cos cos 2 cos sin 14 所以 . sin2 sin cos 2 3 9 3
[反思感悟]二倍角的余弦公式的正用是化倍角为单角,相应三 角函数式项的次数翻倍(即升幂);其逆用则是化二次式为一
答案:A
1 3.已知cos2 , 其中 , 0 , 则sin的值为 2 4 1 1 A. B. 2 2 3 3 C. D. 2 2

1 1 2 2 解析 : cos2 1 2sin , sin . 2 4 1 又 , 0 , sin . 2 4
3 1 【典例3】不查表, 计算 2 64sin 2 20. sin 20 cos 2 20
3cos 2 20 sin 2 20 [解]原式 64sin 2 20 sin 2 20 cos 2 20 ( 3cos 20 sin 20 )( 3cos 20 sin 20 ) 64sin 2 20 1 2 sin 40 4 16 sin80 sin 40 64sin 2 20 sin 2 40 1 cos 40 32cos40 64 32. 2
3.余弦二倍角公式有三种形式,即cos2α=cos2αsin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,由此可得变形公式sin2α= 1 cos 2 1 cos 2 2α= ,cos ,它的双向应用分别起到缩角
2
2
升幂和扩角降幂的作用.
a
4.asinα+bcosα=
b a b
2 2
,tanφ=
二倍角的三角函数
解题准备:本考点的考查基本上是以二倍角公式或变形公式

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式强化训练 1.tan20+tan403+tan20⋅tan40等于( ) A.1 B.33 C.3- D.3 答案:D解析:∵tan60=tan(20+40tan20tan40)1tan20tan40+=,- ∴tan20+tan4033=-tan20tan40,即tan20+tan403+tan20⋅tan403=.2.已知tan ()3αβ+=,tan ()5αβ-=,则tan 2α的值为( )A.47B.47-C.18D.18- 答案:B解析:tan 2α=tan [()()]αβαβ++-tan()tan()41tan()tan()7αβαβαβαβ++-==--+-. 3.已知α为第二象限的角,sin α=35,则tan 2α= . 答案:247- 解析:∵α为第二象限角,sin 35α=, ∴cos 45α=-.∴tan sin 3cos 4ααα==-. ∴tan 2232()2tan 4242371tan 1()4ααα⨯-===----. 4.函数f (x )=sin (2)224x π--sin 2x 的最小正周期是 . 答案:π解析:f (x )=sin (2)24x π+-,故最小正周期为π. 5.函数y =2cos 2x +sin2x 的最小值是 .答案:12解析:f ()=cos2x +sin2x +12=(2)14x π++, 所以最小值为126.已知函数1()2f x =sin2x sin ϕ+cos 2x cos ϕ-12sin ()2ϕπ+(0ϕ<<π),其图象过点1()62π,. (1)求ϕ的值;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )在区间[0]4π,上的最大值和最小值. 解:(1)因为1()2f x =sin2x sin ϕ+cos 2x cos ϕ-12sin ()(02ϕϕπ+<<π), 所以1()2f x =sin2x sin 1(12ϕ++cos2x )cos 12ϕ-cos 12ϕ=sin2x sin 12ϕ+cos2x cos ϕ 12=cos (2)x ϕ-. 又函数图象过点1()62π,, 所以1122=cos (2)6ϕπ⨯-,即cos ()13ϕπ-=, 而0ϕ<<π,所以3ϕπ=. (2)方法一:由函数y =f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,可知y =1()(2)2g x f x ==cos (4)3x π-. 因为[0]4x π∈,,所以24[]333x πππ-∈-,,故12-≤cos (4)13x π-≤. 所以函数g (x )在区间[0]4π,上的最大值和最小值分别为12和14-. 方法二:y =1()(2)2g x f x ==cos (4)3x π-,x ∈[0]4π,.g ′(x )=-2sin (4)3x π-, 令g ′()0[0]4x x π=,∈,,解得12x π=, 111(0)()()412244g g g ππ=,=,=-, 故函数g (x )在区间[0]4π,上的最大值和最小值分别为12和14-.见课后作业B题组一 和、差、二倍角公式的运用1.函数y =2cos 2()14x π--是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 答案:A解析:因为y =2cos 2()14x π--=cos (2)2x π-=sin2x 为奇函数22T π,==π,所以选A. 2.函数y =2cos 2x 的一个单调增区间是( ) A.()44ππ-, B.(0)2π,C.3()44ππ,D.(2π,π)答案:D 解析:y =2cos 2x =cos2x +1.题组二 利用公式求特定角的三角函数值3.已知sin 35α=,则cos 2α的值为( ) A.2425- B.725- C.725 D.2425答案:C解析:∵sin 35α=,∴cos 212α=-sin 2725α=. 4.已知tan 2θ=,则sin 2θ+sin θcos 2θ-cos 2θ等于( ) A.43- B.54 C.34- D.45答案:D解析:sin 2θ+sin θcos 2θ-cos 2θ2222sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθ+-=+ 22tan tan 24224415tan 1θθθ+-+-===++. 5.设(0)(22αβππ∈,,∈,π),cos 13β=-,sin 7()9αβ+=,则sin α等于( ) A.127 B.527 C.2327 D.13答案:D解析:∵022αβππ<<,<<π, ∴322ππαβ<+<.∴sin β=cos ()αβ+=. sin α=sin [()]αββ+-=sin ()αβ+cos β-cos ()αβ+sin 13β=.6.已知sin α=则sin 4α-cos 4α的值为( ) A.15- B.35- C.15 D.35 答案:B解析:sin 4α-cos 4(α=sin 2α+cos 2)(αsin 2α-cos 2)α =2sin 2321155α-=-=-. 7.已知α为第三象限的角,cos 325α=-,求tan (2)4απ+的值.分析:本题主要考查了角的象限的判断及三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、两角和的正切公式.解:∵α为第三象限的角,2k π+π2k α≤≤π32k π+,∈Z ,∴4k π+2π24k α≤≤π+3π(k ∈Z ).又cos 325α=-,∴sin 425α=,tan 423α=-. ∴tan 1tan21(2)41tan27πααα++==--. 题组三 三角函数公式的综合运用8.函数y =2sin x (sin x +cos x )的最大值为( )A.11D.2 答案:A解析:原式=2sin x cos x +2sin 2x =sin2x -cos2x +1=(2)14x π-+,∴y 1.9.已知函数f (x )=f ′()4πcos x +sin x ,则()4f π的值为 . 答案:1解析:因为f ′(x )=-f ′()4π⋅sin x +cos x , 所以f ′()4f π=-′()4π⋅sin 4π+cos 4πf ⇒′()14π=. 故()4f f π=′()4πcos 4π+sin ()144f ππ⇒=. 10.已知函数f (x )=sin x +sin ()2x x π+,∈R . (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )的最大值和最小值;(3)若3()4f α=,求sin 2α的值.解:f (x )=sin x +sin ()2x π+=sin x +cos x =()4x π+, (1)f (x )的最小正周期为221T π==π;(2)f (x )最小值为(3)因为3()4f α=,即sin α+cos 34α=. 2⇒sin αcos 716α=-,即sin 7216α=-. 11.(2011北京高考,文15)已知函数f (x )=4cos x sin ()16x π+-. (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间[]64ππ-,上的最大值和最小值. 解:(1)因为f (x )=4cos x sin ()16x π+-=4cos x sin x 12+cos )1x -x +2cos 2x -1=x+cos2x =2sin (2)6x π+, 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为64x ππ-≤≤, 所以22663x πππ-≤+≤.于是,当262x ππ+=,即6x π=时,f (x )取得最大值2;当266x ππ+=-,即6x π=-时,f (x )取得最小值-1.。

【点评】给出非特殊角，一般考虑化为特殊角或使非特殊角 三角函数值互相抵消，约分求出值．
素材2
计算11＋ －ttaann1155°°的值．
【解析】因为 1＝tan45°， 所 以 11＋－ttaann1155°°＝ 1t－an4ta5n°4＋5°ttaann1155°°＝ tan(45°＋ 15°) ＝ tan60°＝ 3.
2．二倍角公式
sin 2 ④ __________ . cos 2 ⑤ __________ ⑥ __________ 1 2 sin2 . tan 2 ⑦ __________ .
3．辅助角公式
a sin bcos ⑧ __________，其中tan b .
2 会“正用”“逆用”“变形用”．
3．常见变换公式有：cos2 1 cos2 ，
2
sin2 1 cos2 ，
2
tan tan tan( )(1 tan tan )等．
4．三角函数求值的常见题型有两类： 给角求值和给式求值．
1．准确选用两角和与差及二倍角公式的关键是 观察、分析角之间的和、差与二倍关系，同时
应注意角之间的差别是 的整数倍时仍可运用 2
和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式变形， 最后运用诱导公式实现目标解决． 2．角的变换常见途径有： ( ) ， 2 ( ) ( )， 2 等．对公式
二 化简求值
【例 2】求csoins1100°°－4cos10°的值．
【解析】csoins1100°°－4cos10° ＝cos10°－s4ins1in01°0°cos10° ＝cos10s°i－n120s°in20° ＝cos10°－s2isni1n03°0°－10° ＝cos10°－2sin30°csoins1100°°＋2cos30°sin10° ＝cos10°－cossin1100°＋° 3sin10°＝ 3.

第三节两角和与差及二倍角三角函数公式1 A.— B. 21 3 C.2 D .兀 答案:4,「. si n 2 0 = ?故选 D.1.计算 1-2sin 222.5 22.故选B.答案：B22.设 tan ( a + 3 )=5，tan 3 —A 3r 3A.—B.— 18 221313C^T D .- _ — 18 22解析： tann a + — 4 =tan ( a + 答案： B1 4，则 tan 7tna + —的值是（322.n cos^2— sin 12 n cos^2 + sin 12 =(4.右 tan=4，贝U sin 2 0 =(tan 0A.1B.1 C.3 D. 解析: 由tan0+tan 01= 4 得, sin 0 2 2sin 0 + cos 0cos cos 0 sin 0 sin 0 cos 04,即12sin 2解析: 原式=cos 45 O7t4卩）7t 7t3.求值:答案：Dsin 47 —sin 17 cos 30cos 17 °A.sin 47 ° —sin 17 ° cos 30cos 17 °sin (17°+ 30°)—sin 17 ° cos 30 cos 17 °sin 17° cos 30 ° + cos 17 ° sin 30 ° —sin 17 ° cos 30C.* 1 *D. _32解析:6.已知a,316 13A. —B. —65 6556 33C. lD. —65 65解析：••■ cos2cos 2 a725 cos(5 小a + 3) = 13，则sin 3=()• •• cos a = 5,sin a =厂・5■/ cos( a+ 3 ) 5 12=13 ,•( a + 3 )为锐角，Si n( a +3 )= 13.• sin 3 = sin [(a + 3 )—a ] = sin( a + 3)COS a —COS(a + 3 )sin12 3 5 4 16丄，丄—x x _ .故选A.13 5 13 5 65答案：A7. (2013 •上海卷)若cos xcos y + sin xsin y解析：cos x cos y+ sin x sin y = cos( x —y)=1 小=贝U cos(2x —2y) = ____________13，所以cos 2( x—y) = 2cos (x—y)—8. sin a-,cos 3 = 5，其中2a = 2cos a25'3 4又a为锐角,解析：0, n33a ,3€2 ， sina= 5,cos3= 5,44• •• cos asin53 =5.• •• cos(a + 3) = c os a cos 3--sin as in 3 = 0.n故nT a , 3 € 0, p,• • 0va + 3 Vn,a + 3= 2答案：n22sin a+ 1 sin 2 a13答案：兀 x 匹谑2 10.y 2 答案：冇n（1）求f 6的值;2(2) f (x ) = cos x + sin x cos x 1 + cos 2 x 1= 2+ 小sin 2 x 21 1=一+一 (sin 2 2 2x + cos 2 x ) 1 + 2 =2 + 2sinn 2x + 4 ,9.已知tan a=2,则2” _ 2sin a +1 3sin 解析：. sin 2 a 2si n a 2 2 2 2a + cos a 3tan a + 13X2+ 1 132X2 = 4.cos a 2tan a 10.已知a 为锐角，且 cosa + — = 5，贝U sin 4 57t解析：因为 a 为锐角，所以因为cos n 3+ —= 4 5,所以sin n a ------4贝U sin a = sinn n+4 — 4 =sin acos n一—cos4na+ 4 sin22- 311.已知函数f （x ） =cos 2x + sin xcos xR.⑵若sin a35, n且a€7t7tn解析：（1） f 6= cos 2p+ sin6n6 cos 67t1 — cos 2a n 1 2 .f 2 +24 = 2 +2 sinn n +12+4=+ 22sinsin1-2 + cos因为sin 35,n ，所以cos a一一7t所以f 2+24= 2+3 1—X———X5 2 52012.已知函数f(x) = sin > 0）的最小正周期为n(1)求3的值;na€ 0，g，3€1 5nf 23 + P1213，求sin ( a+ 3 )的值.解析: (1) V 函数f(x) = sin 3Xn+E的最小正周期为2n3 =n，(2)由(1)得f(x) = sinn 2x + —x +6 ，1 n• f -2a +6 = sin2 - ；a +=sin na = cosno, 2,• sin a =叮1 —cos45.=sinn . 1212 + 6 =sin( n+ 3 )= —sin 3=—13,• sin12 3 13•/ 3€7t…cos —\/1 —sin23 = 13'• sin( oc+3 ) = sin a cos 3 + cos a sin 34 =-X 53 12+5 X13= 65'1613cos 17 °1=sin 30 ° =故选 C.答案：C13。

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考点16 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换一、选择题1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ6）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ）A.16B.13C.12D.23【解题指南】利用“降幂公式”将2cos ()4πα+化简，建立与sin 2α的关系，可得结果.【解析】选A.因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，选A. 2.（2013·江西高考文科·Ｔ3）若sin 23α=，则cosa=（ ） A.23- B.13- C. 13D. 23【解题指南】利用二倍角的余弦公式即可. 【解析】选C.2cos 12sin 2αα=-=213-=13.3（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中错误的是（ ） A ．()(),0y f x π=的图像关于中心对称B.()2y f x x π==的图像关于对称C.()f x D.()f x 既是奇函数，又是周期函数【解析】选C.x x x x x x x f 32sin 2sin 2sin cos 22sin cos )(-===，令x t sin =，11≤≤-t ，则322)(t t t g -=，262)(t t g -='.令062)(2=-='t t g ，解得33-=t 或33=t .比较两个极值点和两个端点0)1(=-g ，0)1(=g ，0)33(<-g ，934)33(=g ，)(x f 的最大值为934，故C 错误 4. （2013·重庆高考理科·Ｔ9）=- 40tan 50cos 4 ( )A.1 【解题指南】先切化弦,然后通分化简求解即可.【解析】选C.40cos 40sin 40cos 50cos 440cos 40sin 50cos 440tan 50cos 4-=-=-40cos )3010sin(10cos 240cos 40sin 80sin 240cos 40sin 40cos 40sin 4+-=-=-=40cos 10sin 2110cos 23340cos 10sin 2310cos 2340cos 10cos 2110sin 2310cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--= .340cos 40cos 3==5. （2013·辽宁高考文科·Ｔ6）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ6）相同 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠=（ ）25....6336A B C D ππππ 【解题指南】利用正弦定理，将边化为角，借助式子的特点，利用和角公式与相关的诱导公式解决问题 【解析】选A. 据正弦定理，设sin sin sin a b ck A B C===，则sin ,sin ,sin .a k Ab k Bc k C ===将它们代入1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=整理得1sin cos cos sin ,2A C A C +=即1sin(),2A C +=又sin()sin()sin ,A C B B π+=-=所以1sin 2B =因为,a b >所以B ∠必为锐角，所以.6B π∠=二、填空题6.（2013·四川高考文科·Ｔ14）和（2013·四川高考理科·Ｔ13）相同 设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________。

α 2
cos
α 2
2
;
tan α =
2
sin α
1 cosα =
1 cos α
sin α .
3.角的拆分与组合
(1)用已知角表示未知角
例如,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),
α=(α+β)-β=(α-β)+β,
α=
4
α
-4
= α
3
+
3
.
(2)互余与互补关系
例如,
3
α
2
,tan
α=2,则cos
α
4
=
3 10
10 .
解析
因为α∈
0,
2
,且tan
α=sin α
cos α
=2,所以sin
α=2cos
α,又sin2n α= 2 5 ,cos α=
5
5 5
,则cos
α
4
=cos
αcos
+sin
4
αsin
=
4
5×
5
2 + 2 5 × 2= 3 10.
5
3
∴tan
α=tan[(α+β)-β]= tan(α β)
1 tan(α
tan β β) tan β
=
1
2 5
1 3
21
1
=17
,
53
∴tan(α-β)= tan α tan β
1 tan α tan β
=
1
1 1 17 3 1 1
=-
7 26
.

第三节 两角和与差、二倍角公式及简单的三角恒等变换一、选择题1.⎝⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.322．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，那么cos 2β的值为( )A.725B.1825 C ．－725 D ．－18253．(2009年上海预考)已知0<α<π，sin α＋cos α＝12 ，则cos 2α的值为( ) A.74 B ．－74C ．±74D ．－344．(2008年湖南卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1 B.1＋32C.32D ．1＋ 3 5．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1二、填空题6．(2009年淄博模拟)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 7．已知α，β均为锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝13，则cos(α－β)＝______.8.(2009年青岛模拟)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如右图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．三、解答题9．已知cos ()α＋β＝45，cos ()α－β＝－45，且32π<α＋β<2π，π2<α－β<π，分别求cos 2α和cos 2β的值．10．(2009年培正中学月考)设f (x )＝6cos 2x －3sin 2x . (1)求f (x )的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan 45α的值．参考答案1．D 2.A 3.B 4.C5．解析：∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0， 则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2 ＝－3. 答案：B6．－5665 7.59728．解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2512ab ＝6，∴ 两条直角边的长分别为3,4，直角三角形中较小的锐角为θ，cos θ＝45，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝725. 答案：7259．解析：∵3π2<α＋β<2π，π2<α－β<π，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋β＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋β＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫α－β＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β＝35， 所以cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β＋⎝⎛⎭⎫α－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋βcos ⎝⎛⎭⎫α－β－sin ⎝⎛⎭⎫α＋βsin ⎝⎛⎭⎫α－β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－725； cos 2β＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－⎝⎛⎭⎫α－β＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋βcos ⎝⎛⎭⎫α－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋βsin ⎝⎛⎭⎫α－β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1. 10．解析：(1)f (x )＝61＋cos 2x 2－3sin 2x＝3cos 2x －3sin 2x ＋3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x ＋3＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3.故f (x )的最大值为23＋3； 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (α)＝3－23，得23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋3＝3－23，故cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－1. 又由0<α<π2得π6<2α＋π6<π＋π6，故2α＋π6＝π，解得α＝512π.从而tan 45α＝tan π3＝ 3.。

Acos Asin
B B
＝
sinB－A cosB－A
＝
tan(B－A)＝1t＋antBan－BttaannAA＝1＋2－2×34 34＝12.
方法点拨：此类问题解题时一般要先观察、尝试待求三角 函数式能否进行化简，若能利用三角公式进行化简，则可大大 减少计算量.
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的 正弦、余弦、正切公式，能正确运用公式进行简单的三角函数 式的化简、求值与证明，化简与求值一般是往特殊角、同角的 方向化，化同角是应遵循的原则.
分析 已知角π4＋α，π4－β2，要求角 α＋β2的值，利用配角法， α＋β2＝π4＋α－π4－β2，利用两角和的余弦公式求得．
解析 ∵0<α<π2，∴4π<α＋π4<34π.
∵cosπ4＋α＝13，∴sinπ4＋α＝2
3
2 .
又∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2，
(1)求csoins22αα＋ ＋scions
2α 的值； 2α
(2)求 tanα－54π的值．
分析 由于题目给出了角 α 的范围，故由 sin α 就可求出 cos α，tan α 的值，从而 sin 2α，cos 2α 的值都可求得．
解析 ∵0＜α＜π2，sin α＝45， ∴cos α＝35，tan α＝43. (1)原式＝csoisn22αα＋＋c2ossi2nαα－cosisnα2α＝2×12652＋ 95－22451265＝20. (2)tanα－54π＝1t＋antaαn－αt·atann545π4π＝431－ ＋143＝17.
∴sicnoαs －2απ4＝
cos2α－sin2α 22sin α－cos α

（福建专用）2013年高考数学总复习 第三章第3课时 两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式课时闯关（含解析）一、选择题1．(2010·高考课标全国卷)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210D.210解析：选A.由于α是第三象限角且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－35＝－7102. 2．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B.原式＝sin163°sin223°＋cos163°cos223°＝cos(163°－223°)＝cos(－60°)＝12.3．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形解析：选A.sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．4．已知cos α＝－45且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－17 B ．－7C.17D ．7 解析：选C.因为cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝35，tan α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14C.14D.78解析：选A.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78. 二、填空题6．cos π5cos 2π5的值是________．解析：原式＝12sin π5·2sin π5cos π5cos 2π5＝14sinπ5·2sin 2π5cos 2π5＝14sinπ5sin 45π＝14.答案：147．(2010·高考大纲全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.解析：∵tan(π＋2α)＝－43，∴tan2α＝－43＝2tan α1－tan 2α， ∴tan α＝－12或tan α＝2.又α在第二象限，∴tan α＝－12.答案：－128．(2012·泉州质检)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－35，则sin2x ＝________.解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22(sin x ＋cos x )＝－35， 所以sin x ＋cos x ＝－325，∴(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ＝1825，故sin2x ＝－725.答案：－725三、解答题9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．解：(1)法一：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α. 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，有1＋tan α1－tan α＝12.解得tan α＝－13.法二：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtanπ4＝12－11＋12×1＝－13.(2)法一： sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin α－cos α2cos α＝tan α－12＝－13－12＝－56. 法二： 由(1)，tan α＝－13，得sin α＝－13cos α.∴sin 2α＝19cos 2α，1－cos 2α＝19cos 2α.∴cos 2 α＝910.于是cos2α＝2cos 2α－1＝45，sin2α＝2sin αcos α＝－23cos 2α＝－35.代入得sin2α－cos 2α1＋cos2α＝－35－9101＋45＝－56.10．(2012·厦门调研)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，且－π2＜α＜0，试求sin α的值．解：由已知得12sin α＋32cos α＋sin α＝－435，即32sin α＋12cos α＝－45，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45， 因为－π2＜α＜0，所以－π3＜α＋π6＜π6，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝－45×32－35×12＝－3＋4310.一、选择题1．如果tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.36B.1316C.322D.1322 解析：选C.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋α＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.85 B.58 C.45D.65解析：选D.由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos α－22sin α＝35，∴cos α－sin α＝325，又cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α－sin 2αcos π4cos α＋sin π4sin α＝2(cos α－sin α)＝65.二、填空题3．求值：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝________. 解析：令θ＋15°＝α，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.答案：04．(2012·厦门调研)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5tan αtan β的值是________．解析：sin αcos β＋cos αsin β＝12，①sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①②解得sin αcos β＝512，③cos αsin β＝112.④③÷④得tan αtan β＝5，∴log5tan αtan β＝2. 答案：2 三、解答题5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知：cos α＝210，cos β＝255，因α、β为锐角，从而sin α＝1－cos 2α＝7210.同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－12＝－1.又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.6．已知α、β为锐角，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12.(1)若a·b ＝22，a·c ＝3－14，求2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值． 解：(1)因为a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝22，① a·c ＝12cos α－12sin α＝3－14，② 又因为0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β<π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由于α、β为锐角，所以β＝512π，从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12. ④③2＋④2得cos α－sin α＝12(0<α<π4)，所以2sin αcos α＝34.又因为2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34， 所以3tan 2α－8tan α＋3＝0，又因为0<α<π4，所以0<tan α<1，所以tan α＝8－82－4×3×36＝8－286＝4－73.。

（福建专用）2013年高考数学总复习 第三章第3课时 两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式课时闯关（含解析）一、选择题1．(2010²高考课标全国卷)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210D.210解析：选A.由于α是第三象限角且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－35＝－7102. 2．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B.原式＝sin163°sin223°＋cos163°cos223°＝cos(163°－223°)＝cos(－60°)＝12.3．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形解析：选A.sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．4．已知cos α＝－45且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－17 B ．－7C.17D ．7 解析：选C.因为cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝35，tan α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14C.14D.78解析：选A.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78. 二、填空题6．cos π5cos 2π5的值是________．解析：原式＝12sin π5²2sin π5cos π5cos 2π5＝14sinπ5²2sin 2π5cos 2π5＝14sinπ5sin 45π＝14.答案：147．(2010²高考大纲全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.解析：∵tan(π＋2α)＝－43，∴tan2α＝－43＝2tan α1－tan 2α， ∴tan α＝－12或tan α＝2.又α在第二象限，∴tan α＝－12.答案：－128．(2012²泉州质检)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－35，则sin2x ＝________.解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22(sin x ＋cos x )＝－35， 所以sin x ＋cos x ＝－325，∴(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ＝1825，故sin2x ＝－725.答案：－725三、解答题9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．解：(1)法一：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α. 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，有1＋tan α1－tan α＝12.解得tan α＝－13.法二：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtanπ4＝12－11＋12³1＝－13.(2)法一： sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin α－cos α2cos α＝tan α－12＝－13－12＝－56. 法二： 由(1)，tan α＝－13，得sin α＝－13cos α.∴sin 2α＝19cos 2α，1－cos 2α＝19cos 2α.∴cos 2 α＝910.于是cos2α＝2cos 2α－1＝45，sin2α＝2sin αcos α＝－23cos 2α＝－35.代入得sin2α－cos 2α1＋cos2α＝－35－9101＋45＝－56.10．(2012²厦门调研)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，且－π2＜α＜0，试求sin α的值．解：由已知得12sin α＋32cos α＋sin α＝－435，即32sin α＋12cos α＝－45，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45， 因为－π2＜α＜0，所以－π3＜α＋π6＜π6，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝－45³32－35³12＝－3＋4310.一、选择题1．如果tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.36B.1316C.322D.1322解析：选C.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ α＋β －⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β －tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋β tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25³14＝322. 2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.85B.58C.45D.65解析：选D.由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos α－22sin α＝35，∴cos α－sin α＝325，又cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α－sin 2αcos π4cos α＋sin π4sin α＝2(cos α－sin α)＝65.二、填空题3．求值：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝________. 解析：令θ＋15°＝α，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.答案：04．(2012²厦门调研)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5tan αtan β的值是________．解析：sin αcos β＋cos αsin β＝12，①sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①②解得sin αcos β＝512，③cos αsin β＝112.④③÷④得tan αtan β＝5，∴log5tan αtan β＝2. 答案：2 三、解答题5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知：cos α＝210，cos β＝255，因α、β为锐角，从而sin α＝1－cos 2α＝7210.同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7³12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－ －3 ³12＝－1.又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.6．已知α、β为锐角，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12.(1)若a²b ＝22，a²c ＝3－14，求2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值． 解：(1)因为a²b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝22，① a²c ＝12cos α－12sin α＝3－14，② 又因为0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β<π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由于α、β为锐角，所以β＝512π，从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12. ④③2＋④2得cos α－sin α＝12(0<α<π4)，所以2sin αcos α＝34.又因为2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34， 所以3tan 2α－8tan α＋3＝0，又因为0<α<π4，所以0<tan α<1，所以tan α＝8－82－4³3³36＝8－286＝4－73.。

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考点16 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换一、选择题1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ6）已知2sin 23α=，则2co s ()4πα+=（ ）A.16 B.13 C.12 D.23【解题指南】利用“降幂公式”将2cos ()4πα+化简，建立与sin 2α的关系，可得结果.【解析】选A.因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===， 所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，选A. 2.（2013·江西高考文科·Ｔ3）若sin 2α=cosa=（ ） A.23- B.13- C.13 D. 23【解题指南】利用二倍角的余弦公式即可. 【解析】选C.2cos 12sin 2αα=-=213-=13.3（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中错误的是（ ） A ．()(),0y f x π=的图像关于中心对称 B.()2y f x x π==的图像关于对称C.()2f x D.()f x 既是奇函数，又是周期函数【解析】选C.x x x x x x x f 32sin 2sin 2sin cos 22sin cos )(-===，令x t sin =，11≤≤-t ，则322)(t t t g -=，262)(t t g -='.令062)(2=-='t t g ，解得33-=t 或33=t .比较两个极值点和两个端点0)1(=-g ，0)1(=g ，0)33(<-g ，934)33(=g ，)(x f 的最大值为934，故C 错误4. （2013·重庆高考理科·Ｔ9）=- 40tan 50cos 4 ( ) A.B.C. 3D. 221【解题指南】先切化弦,然后通分化简求解即可.【解析】选C.40cos 40sin 40cos 50cos 440cos 40sin 50cos 440tan 50cos 4-=-=-40cos )3010sin(10cos 240cos 40sin 80sin 240cos 40sin 40cos 40sin 4+-=-=-=40cos 10sin 2110cos 23340cos 10sin 2310cos 2340cos 10cos 2110sin 2310cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--= .340cos 40cos 3==5. （2013·辽宁高考文科·Ｔ6）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ6）相同 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠=（ ）25....6336A B C D ππππ 【解题指南】利用正弦定理，将边化为角，借助式子的特点，利用和角公式与相关的诱导公式解决问题 【解析】选A. 据正弦定理，设sin sin sin a b ck A B C===，则sin ,sin ,sin .a k A b k B c k C ===将它们代入1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=整理得1sin cos cos sin ,2A C A C +=即1sin(),2A C +=又sin()sin()sin ,A C B B π+=-=所以1sin 2B =因为,a b >所以B ∠必为锐角，所以.6B π∠=二、填空题6.（2013·四川高考文科·Ｔ14）和（2013·四川高考理科·Ｔ13）相同 设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编7：两角和与差的三角函数及二倍角公式填空题1 ．（2012年江苏理）设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____. 2 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知π2cos()23α-=,则cos α=________. 3 ．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）在锐角△ABC 中,tan A = t + 1,tan B = t -1,则t 的取值范围是_______.4 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在△ABC 中,若sin 2cos(),tan sin BA B B A=+则的最大值为_____________. 5 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知113cos ,cos()714ααβ=-=,且02πβα<<<,则cos β=_________.6 ．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知5,,36ππαβ⎛⎫∈⎪⎝⎭,若455sin ,cos 65613ππαβ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()sin αβ-的值 为_________.7 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=,1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ． 8 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知32cos()23απ+=-,则cos 2α=________. 9 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知01cos(75)3α+=,则0cos(302)α-的值为__________.10．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知θ为锐角,4sin(15)5θ+=,则cos(215)θ-=_________.11．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）在ABC △中,已知4cos 5A =,1tan()2A B -=-,则tan C 的值是____.12．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设()αβ∈0π，，,且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=.则cos β的值为____.13．（2011年高考（江苏卷））已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________14．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知ααcos 21sin +=,且)2,0(πα∈,则)4sin(2cos παα-的值为________.15．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知10cos()410πθ+=,(0,)2πθ∈,则sin(2)4πθ-的值为________.16．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知θ是第二象限角,且4sin 5θ=,则tan()24θπ-的值为________.17．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）已知,8173cos 72cos 7cos ,4152cos 5cos ,213cos===ππππππ,根据这些结果,猜想出的一般结论是______________________________________________.18．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）已知函数)8(12cos 22cos 2sin tan 21)(2πf x xx x x f 则-+=的值为________.解答题19．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）如图,在直角坐标系xOy 中,锐角ABC ∆内接于圆.122=+y x 已知BC 平行于x 轴,AB 所在直线方程为)0(>+=k m kx y ,记角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .(1)若,23222b c a ac k -+=求B C A 2sin 2cos 2++的值; (2)若,2=k 记),23(),20(πβπβπαα<<=∠<<=∠xOB xOA 求)sin(βα+的值.O BxyCA20．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=,1tan()3αβ-=-. (1)求sin()αβ-的值; (2)求cos β的值.21．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）已知α,β∈(0,π),且tan α=2,cos β=-7210. (1)求cos2α的值; (2)求2α-β的值.22．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）在平面直角坐标系xoy 中，点)cos,21(2θP 在角α的终边上，点2(sin,1)Q θ-在角β的终边上，且21-=⋅OQ OP⑴求θ2cos 的值；⑵求sin()αβ+的值。