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2检测系统的误差合成

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03第三章第2节 随机误差的合成

03第三章第2节 随机误差的合成

用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无 论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标 准差，均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0的情形

2 i i 1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或 者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲 的分量
q
q
（3-35）

2 a ii i 1
q
（3-36）

各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且 他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用 8 的极限误差合成公式
第二节
随机误差的合成
1 2
课外：望远镜的放大率 D f f 已测得物镜主焦 f1 1 19.8 0.2 cm 目镜的主焦距 f2 2 0.800 0.005 cm 求放大率的标准差？ 解：由误差传递公式
由间接测量的显函数模型求得ai f xi 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 知道每个 ai 和 i
yi ai i 而不
2
第二节
则合成标准差
随机误差的合成
2 ( a ) i i i 1 q
若各个误差互不相关，即相关系数 ij 0

（3-29）
标准差合成
极限误差合成
1
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
合成标准差表达式:
(a )
i 1 i i
q
2
2 ij ai a j i j
1i j
q
（3-28）
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1 , a2 ,

误差的合成、分配和传递

误差的合成、分配和传递

在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。

按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根

误差理论与数据处理知识总结

误差理论与数据处理知识总结

1.1.1 研究误差的意义为：1)正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或者减小误差2)正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3)正确组织实验过程，合理设计仪器或者选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

1.2.1 误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。

1.2.2 绝对误差：某量值的测得值之差。

1.2.3 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。

1.2.4 引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为份子，以测量范围上限值或者全量程为分母，所得比值为引用误差。

1.2.5 误差来源： 1)测量装置误差 2)环境误差 3)方法误差 4)人员误差1.2.6 误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

1.2.7 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。

1.2.8 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。

1.2.9 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。

1.3.1 精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。

1.3.2 精度可分为：1)准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2)精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3) 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。

1.4.1 有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那末从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。

从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或者非零的数字，都叫有效数字。

1.4.2 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。

1.4.3 数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：1)若舍去部份的数值，大于保留部份的末位的半个单位，则末位加一2)若舍去部份的数值，小于保留部份的末位的半个单位，则末位不变3)若舍去部份的数值，等于保留部份的末位的半个单位，则末位凑成偶数。

第三章 误差的合成与分解

第三章 误差的合成与分解

西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工
人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知， 弓高的系统误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 已知： h 0.005mm ， l 0.01mm 【解】
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
l2 5002 f 2 1 1 24 2 h 4h 4 50 f l 500 5 l 2h 2 50
sin f x1 , x2 ,..., xn cos f x1 , x2 ,..., xn
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 s = 500mm。已知，弓高的系统 误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 h = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】
cos f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 sin
2 2 2
或 令 则
f ai xi
f f f 2 y x12 x 22 xn x1 x2 xn

误差的合成与分配ppt课件.ppt

误差的合成与分配ppt课件.ppt
要解决误差的合成与分配问题，首先要明确总的合成误差 和各单项误差之间的函数关系，再按它们之间的变量关系进行 计算.这实际上就是由多元函数的各个自变量的增量综合求函 数增量或做相反计算的问题
一、函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间 有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关 系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直 接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测 量误差则是各个直接测量的函数，故称这种误 差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上 就是研究误差的传递问题.
η
η
η
η
η
ξ ρ＝１
ξ
ρ＝０.５
ξ ρ＝０
ξ
ρ＝-０.５
ξ ρ＝-１
一、函数误差 ➢误差间的相关
（2）简单计算法 (点阵计算法) (主要用于点数较多时)
cos
n1
n3 n
η n２
n1
n n1 n2 n3 n4 n３
（3）直接计算法 按相关系数的定义直接计算
n４ ξ
( i )(i ) ( i )2 (i )2
2
(
xn12
xn22
,
...,
xnN 2
)
n N
2
1i j m1
f ( xi
f x j
xim
jm
)
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
将方程两边同时除以 N ，可得
y2
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x
2
,
...,
f xn
2
2 xn
n
2
N
( f f xim jm )
1i j m1 xi x j

第三章 误差的合成与分配 (全)

第三章 误差的合成与分配 (全)
f xi xi
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn

误差与理论分析实验报告

误差与理论分析实验报告实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法。

二、实验原理 （1）正态分布设被测量的真值为0L ，一系列测量值为i L ，则测量列中的随机误差i δ为:i δ=i L -0L (式中i=1，2，…..n)正态分布的分布密度: ()()222f δσδ-=正态分布的分布函数: ()()222F ed δδσδδ--∞=,式中σ-标准差（或均方根误差）；它的数学期望为:()0E f d δδδ+∞-∞==⎰它的方差为:()22f d σδδδ+∞-∞=⎰（2）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。

1、算术平均值的意义在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。

设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...nin i l l l l x n n=++==∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。

i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。

残余误差代数和为：11nni i i i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有:1ni i v ==∑01）残余误差代数和应符合：当1n i i l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1ni i v =∑为零；当1ni i l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1ni i v =∑为正；其大小为求x 时的余数。

当1ni i l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1ni i v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。

关于检测系统的误差分析与处理.ppt

常用的函数随机误差公式
y
a 2 2 1 x1
a22
2 x2
an2
2 xn
（233）
当各个测量值的随机误差为正态分布时，式（233）中的标准差用极限
误差代替，可得函数的极限误差公式为
δlim y
a δ2 2 1 limx1
a δ2 2 2 limx2
an2
δ
2 limxn
误差的合成
2.4.1系统误差的合成
测量误差的基本概念
由系统误差的定义可知，系统误差不具有抵偿性，它是固定的或服从一定函 数规律的误差，按照确定其量值的函数可分为：
（1）不变系统误差：在整个测量过程中，误差
的量值和符号始终是固定不变的，如图22中的
系 统
曲线a
误a
（2）线性变化的系统误差：在整个测量过程中， 差
误差的量值随着时间或者空间延续而成线性增减
表示测量结果中的系统误差大小的程度，即测量结果偏离真值的程度。系统误 差越小，准确度就越高，但准确不一定精密。如图23（b），其准确度比图23 （a）要高很多，但其精密度没有图23（a）的高，也就是说其测量数据的分散 性比图23（a）要大。
3. 精确度 精确度也可以简称为精度，它是表示测量结果中系统误差和随机误差的综合，
精度等级为G的仪表在规定的条件下使用时，它的绝对误差的最大值的范围是
xmax G% L
测量误差的基本概念
❖ 2.1.2 测量误差的分类
根据误差的性质和特点，误差可以分为随机误差、系统误差和粗大误差。
1.随机误差
在同一测量条件下，多次重复测量同一量值时，测量误差的绝对值和正 负号以不可预知的方式变化，这种误差叫做随机误差。随机误差是由众多而 影响微小的因素造成，这些因素对于测量结果的影响关系，人们还没有认识， 或者没有完全认识。

误差的合成.

误差的合成
关于误差合成的理论和方法，在误差理论的教科书中有详尽的介绍，此处不必赘述。

仪器精度分析中最常用的方法如下：
1.已定系统误差的合成
对于符号和大小均为己知的误差称已定系统误差。

这类误差按代数和合成，即
式中，εj为各已知的原始误差所引起的仪器误差，它等于原始误差与传递系数的乘积。

传递系数可由前面介绍的各种方法求出。

2.未定系统误差与随机误差的合成
式中，S1,S2，···，sP为A类（随机）不确定度分量；U1,U2，…，Ur 为确定度分量，
式中，ej为误差界（-ej,ej）；K为置信因子，可以根据分布特性确定。

式（4－17）中的R是误差之间的协方差之和。

在多数情况下，可按所谓的“误差独立作用”原理，近似地令R=0。

3.仪器的总不确定度
式中，凡为置信因子，可以根据组成误差的数目和分布特性确定。

4，仪器总误差
由于仪器制造中多数随机误差与未定系统误差属于正态分布，再加上考虑误差独立作用原理，因此在实用中（尤其在初步计算时）常常采用式（4－21）的简化形式，即
式中，εi为各项未定系统误差与随机误差分量的极限值，t＝1，2，3，…，n。

5．精度分析举例
用光波扫描干涉法测量磁盘磁膜厚度的公式为
式中，va、vb为波数，它们分别与波长九、九相对应；刀为薄膜折射率；甲为入射角。

欢迎转载，信息。

测量误差合成传递


ε = ε1 + ε 2 + K + ε m = ∑ ε i
i =1
由于所得结果是明确大小和方向的数值， 由于所得结果是明确大小和方向的数值 ， 故可直 接在测量结果中修正， 接在测量结果中修正 ， 在一般情况下最后测量结 果不应含有已定系统误差的内容。 果不应含有已定系统误差的内容。
（2）不确定系统误差的合成
若误差符号不确定：
∆y = ±( ∆x1 + ∆x 2
)
相对误差： ∆x1 ⋅ x1 ∆x 2 ⋅ x 2 ∆y ∆x1 ± ∆x 2 = γy = = ± (x1 ± x2 ) ⋅ x1 (x1 ± x2 ) ⋅ x2 y x1 ± x 2 x1 x2 = ⋅ γ x1 ± ⋅ γ x2 x1 ± x 2 x1 ± x 2
1 ∂2 f 1 ∂2 f 1 ∂2 f 2 2 2 (∆x1 ) + (∆x2 ) + K + (∆xn ) + K + 2 2 2 2 ∂x1 2 ∂x 2 2 ∂x n
1．函数误差传递的基本公式 ．
略去高阶项 绝对误差： 绝对误差：
n ∂f ∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + K + ∆x n = ∑ ∆xi ∂x1 ∂x 2 ∂x n i =1 ∂xi
∂f 2 ∂f σy = ∂x σ x1 + ∂x 1 2
∂f 2 = ∑ ∂x σ xi = i =1 i
n 2
2
∂f 2 σ x2 + K + ∂x n
部分误差
2
2 σ xn
1．函数误差传递的基本公式 ． 假设间接测量的数学表达式为： 假设间接测量的数学表达式为：
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2 δ1 + δ 2 + L + δ 2 2 n σ= = n
∑ δi2
i =1
n
n
δi——各测量值的随机误 差，即各测量值与被测量的真值 之差。 n——测量次数。
2011-3-3
20
图为不同σ下正态分布曲线。 σ愈小, 分布曲线愈陡峭, 说明随 机变量的分散性小, 测量精度 高。 σ愈大, 分布曲线愈平坦, 随机变 量的分散性也大, 则精度也低。 均方根误差愈大, 测量数据的分 散范围也愈大。所以均方根误差 σ可以描述测量数据和测量结果 的精度。
δ
δ
不同σ时的正态分布曲线
2011-3-3
21
在实际测量时, 由于真值L是无法确切知道的, 用 测量值的算术平均值代替, 各测量值与算术平均值差 值称为残余误差, 即
vi = xi − x
用残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差估计值
σs =
∑ ( xi − x )
i =1
n
2
n −1
=
vi2 ∑
i =1
2011-3-3 18
t分布
正态分布理论上是处理大样本的测量数据，而对于小 样本的测量数据通常采用t分布理论处理。t分布的概 率密度函数为
⎛f +2⎞ N − Γ⎜ ⎟ ⎛ t2 ⎞ 2 2 ⎠ ⎜1 + ⎟ Pt ( t , f ) = ⎝ f ⎟ ⎛f ⎞⎜ ⎠ fπΓ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ (x − x 0 ) t= ) ⎛ σ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ N⎠
2011-3-3 14
正态分布方程式的关系曲线如图所示, 说明随 机变量在x=L或δ=0处的附近区域内具有最大概 率。
正态分布曲线
2011-3-3 15
正态分布具有以下特征:
单峰性：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误 差出现的概率大。 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相 等。 有界性：绝对值很大的误差出现的概率近于零。误差 的绝对值不会超过某一个界限。 抵偿性：在一定测量条件下，测量值误差的算术平均 值随着测量次数的增加而趋于零。
2011-3-3 6
三、 引用误差:相对仪表满量程的一种误 差, 一般用百分数表示，即
引用误差 =
绝对误差 ×100% 测量范围上限 - 测量范围下限
在仪表测量范围内的每个示值的绝对误差△都是不同的，因此 引用误差仍与仪表的具体示值有关。 最大引用误差：在规定条件下，当被测量平稳增加或减少时， 在仪表全量程内所测得各示值的绝对误差（取绝对值）的最大 者与满量程值的比值之百分数，称为仪表的最大引用误差。被 用来确定仪表的精度等级。 仪表精度等级是根据引用误差来确定的。例如, 0.5级表的引用 误差的最大值不超过±0.5%，1.0级表的引用误差的最大值不超 过±1%。
2011-3-3
2
2.1.2 误差的基本感念及表达方式
一、 绝对误差：绝对误差可用下式定义: Δ=x-L x——测量值; L——真实值。
式中: Δ——绝对误差;
2011-3-3
3
比较误差
测量一： 70g/m2 特号胶版纸 厚度 为 0.088 mm 测量误差为 0.00032mm 测量二 ：地球半径为 为 5.5Km 6371km 测量误差
2011-3-3
7
四、 基本误差:指仪表在规定的标准条件下所具有的误 差。 测量仪表的精度等级就是由基本误差决定的。 五、附加误差:指当仪表的使用条件偏离额定条件下出 现的误差。
2011-3-3
8
2.1.3 误差的分类与来源
误差分为三种: 系统误差 随机误差 粗大误差
一、 系统误差:对同一被测量进行多次重复测量时, 如果误差按照一定的规律出现, 则把这种误差称为 系统误差。例如, 标准量值的不准确及仪表刻度的 不准确而引起的误差。
⎧1 ⎪ Pu (δ) = ⎨ 2a ⎪0 ⎩ −a ≤ δ ≤ a δ >a
式中，a——随机误差δ的极 限值
均匀分布是一种常见误差分布形式。在实际检测中，仪表刻度引 起的误差、仪器最小分辨率限制引起的误差、数字仪表的量化武误差 （±1）以及数字计算中的舍入误差均属于均匀分布。在处理实际问题 时， 对于一些只知道误差出现的大致范围，而不知道其分布规律的误 差，常按均匀分布的误差对待。
2011-3-3
16
2）随机误差的非正态分布
随机误差的概率分布有多种类型，出正态分布 外，相对正态分布而言，将不遵从正态分布的 其他类型的分布统称为非正态分布。 在测量中经常遇到的非正态分布有均匀分度和 t分布等。
2011-3-3
17
均匀分布
均匀分布指在某区域内，随机误差出现的概率处处相 等，而在该区域外随机误差出现的概率为零。均匀分 布的概率分布为
2011-3-3
29
2.3.1 系统误差的来源
在检测过程中，造成系统误差的主要来源有： 1） 所用传感器、 测量仪表或组成元件是否准确可靠。 比如传感器 或仪表灵敏度不足, 仪表刻度不准确, 变换器、放大器等性能不太 优良, 由这些引起的误差是常见的误差。 2）测量方法是否完善。 如用电压表测量电压, 电压表的内阻对测量 结果有影响。 3）传感器或仪表安装、调整或放置是否正确合理。例如: 没有调好仪 表水平位置, 安装时仪表指针偏心等都会引起误差。 4）传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。 例如环 境、 温度、 湿度、气压等的变化也会引起误差。 5） 测量者的操作是否正确。 例如读数时的视差、 视力疲劳等都会 引起系统误差。
通常在有限次测量时, 算术平均值不可能等于被测量的真值L, 它 也是随机变动的。 设对被测量进行m组的“多次测量”, 各组所得的算术平均值也有 一定的分散性, 也是随机变量。 算术平均值的精度可由算术平均值的均方根偏差来评定。 关系如 下:
σx =
2011-3-3
σs
n
其中n是测量次数
24
2.2.4 测量的极限误差
2.1测量误差的基本概念
测量的目的是希望通过测量获取被测量的真实 值。但由于种种原因, 例如, 传感器本身性能不 十分优良, 测量方法不十分完善, 外界干扰的影 响等, 都会造成被测参数的测量值与真实值不 一致, 两者不一致程度用测量误差表示。 测量误差就是测量值与真实值之间的差值。
2011-3-3
2011-3-3 9
二、 随机误差:对同一被测量进行多次重复测 量时, 绝对值和符号不可预知地随机变化, 但就误 差的总体而言, 具有一定的统计规律性的误差称 为随机误差。 三、 粗大误差:明显偏离测量结果的误差称为粗 大误差, 又称疏忽误差。这类误差是由于测量者疏 忽大意或环境条件的突然变化而引起的。对于粗 大误差, 首先应设法判断是否存在, 然后将其剔 除。
1
2.1.1 真值
真值是一个变量本身所具有的真实值，它是一个理想 的概念，一般是无法得到的。所以在计算误差时，一 般用约定真值或相对真值来代替。 约定真值是一个接近真值的值，它与真值之差可忽略 不计。实际测量中以在没有系统误差的情况下，足够 多次的测量值之平均值作为约定真值。 相对真值是指在我们所研究的领域内，用标准设备对 被测量所测得的量值。例如，用标准压力表所指示的 压力值相对于普通压力表的指示值而言，可以认为是 被测压力的相对真值。
2011-3-3
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2.3.2 系统误差的发现
发现系统误差一般比较困难, 下面只介绍几种发现系统误差的一般 方法。 1）实验对比法：这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行 不同条件的测量, 以发现系统误差。这种方法适用于发现固定的系 统误差。例如, 一台测量仪表本身存在固定的系统误差, 即使进行 多次测量也不能发现, 只有用精度更高一级的测量仪表测量, 才能 发现这台测量仪表的系统误差。 2）残余误差观察法：残余误差观察法是根据测量值的残余误差的大 小和符号的变化规律, 直接由误差数据或误差曲线图形判断有无变 化的系统误差。这种方法主要适用于有规律变化的系统误差。
测量的极限误差是极端误差，测量结果的误差不应超 过该极端误差，误差超过该极端误差的测量结果可以 忽略。如果随机变量符合正态分布，随机误差正态分 布曲线下的全部面积相当于全部误差出现的概率，即
∞ 1 P= ∫−∞e σ 2π
−
δ2 2σ 2
dδ
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而随机误差在任意误差区间（-a, a）出现的概 率为
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2.2 随机误差及其处理
在测量中，只要测试系统的灵敏度足够高，在相同的 测量条件下，对同一量值进行多次等精度测量时，仍 会有各种偶然的，无法预测的不确定因素干扰而产生 测量误差，其绝对值和符号均不可预知。这说明存在 随机误差。 虽然单次测量的随机误差没有规律，但多次测量的总 体却服从统计规律，通过对测量数据的统计处理，能 在理论上估计起对测量结果的影响。
几个典型的t值及其相应的概率
t Pa 0.6745 0.5 1 0.6827 1.96 0.95 2 2.58 3 4 0.9545 0.99 0.9973 0.99994
当t=±1时, Pa=0.6827, 即测量结果中随机误差出现在-σ～+σ 范围内的概率为68.27%。 而出现在-3σ～+3σ范围内的概率是99.73%, 因此可以认为 绝对值大于3σ的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为 极限误差。 δlim = ±3σ
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2.2.1 随机误差的概率分布
随机误差的分布规律，可以在大量的测量数据 的基础上总结出来，也就是说误差总体上服从 统计规律。 实践表明, 多数测量的随机误差服从正态分 布。但在实际中，也存在非正态分度。
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1）随机误差的正态分布线
测量实践表明, 多数测量的随机误差具有 以下特征: ① 绝对值小的随机误差出现的概率大于 绝对值大的随机误差出现的概率。 ② 随机误差的绝对值不会超出一定界 限。 ③ 测量次数n很大时, 绝对值相等、符号 相反的随机误差出现的概率相等。