西城区2014届高三上学期期末考试 数学文试题 Word版含答案

2014-2015学年北京市西城区高三上期末考试文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x|（x−1）（x−4）＜0}，则A ∩B ＝（ ）A 、{1，2，3，4}B 、{2，3}C 、{1，2，3}D 、{2，3，4}2．在实数范围内，下列不等关系不恒成立的是（ ）A 、x 2≥0B 、a 2＋b 2≥2ab C 、x ＋1＞x D 、|x ＋1|＞|x|3．下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上是单调递增函数的是（ ）A 、y ＝lgxB 、y ＝−x 2＋3C 、y ＝|x|−1D 、y ＝3x4．命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是（ ）A 、对任意实数x ，都有x ＞1B 、不存在实数x ，使x ≤1C 、对任意实数x ，都有x ≤1D 、存在实数x ，使x ≤15．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则公差等于（ ）A 、2B 、4C 、6D 、86．已知a ，b 为不相等的两个正数，且lgab ＝0，则函数y ＝a x 和y ＝b x 的图象之间的关系是（ ）A 、关于原点对称B 、关于y 轴对称C 、关于x 轴对称D 、关于直线y ＝x 对称7．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件8．过曲线C ：y ＝x1（x ＞0）上一点P （x 0，y 0）作曲线C 的切线，若切线的斜率为−4，则x 0等于（ ）A 、2B 、21C 、4D 、419．已知函数f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-12111x a x x x 在R 上满足：对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）≠f （x 2），则实数a 的取值范围是（ ）A 、（−∞，2]B 、（−∞，−2]C 、[2，＋∞）D 、[−2，＋∞）10．已知函数f （x ）＝xe x ，给出下列结论： ①（1，＋∞）是f （x ）的单调递减区间；②当k ∈（−∞，e1）时，直线y ＝k 与y ＝f （x ）的图象有两个不同交点； ③函数y ＝f （x ）的图象与y ＝x 2＋1的图象没有公共点．其中正确结论的序号是（ ）A 、①②③B 、①③C 、①②D 、②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．11．若x ∈R ＋，则x ＋x 4的最小值为____________． 12．log 22＋lne ＝____________．13．不等式xx 12-＞1的解集为____________． 14．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x−2）＝f （x ），且当x ∈[1，2]时，f （x ）＝x 2−3x＋2，则f （6）＝____________；f （21）＝____________． 15．函数f （x ）＝lnx−21x 2的极值是____________． 16．个人取得的劳务报酬，应当交纳个人所得税．每月劳务报酬收入（税前）不超过800元不用交税；超过800元时，应纳税所得额及税率按下表分段计算：（注：应纳税所得额单次超过两万，另有税率计算方法．）某人某月劳务报酬应交税款为800元，那么他这个月劳务报酬收入（税前）为_________元．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数f （x ）＝log 2（x 2−2x−8）的定义域为A ，集合B ＝{x|（x−1）（x−a ）≤0}． （Ⅰ）若a ＝−4，求A ∩B ；（Ⅱ）若集合A ∩B 中恰有一个整数，求实数a 的取值范围．18．已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，a 1＝−6，S 3＝S 4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝2＋4，求数列{b n }的前n 项和．19．已知函数f （x ）＝x 2−2mx ＋3．（Ⅰ）当m ＝1时，求函数f （x ）在区间[−2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间[1，＋∞）上的值恒为正数，求m 的取值范围．20．已知函数f （x ）＝（a−x ）e x ＋1，其中a ＞0．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）证明函数f （x ）只有一个零点．21．某人销售某种商品，发现每日的销售量y （单位：kg ）与销售价格x （单位：元/kg ）满足关系式y ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<-+-159617796)9(61502x x x x a x ，其中a 为常数．已知销售价格为8元/kg 时，该日的销售量是80kg ．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该商品成本为6元/kg ，求商品销售价格x 为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大．22．已知函数f （x ）＝lnx ＋x−21mx 2． （Ⅰ）当m ＝2时，求函数f （x ）的极值点；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤mx−1恒成立，求整数m 的最小值．。

北京市西城区2014年高三一模试卷数 学（文科） 2014.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合UA =（ ）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)解析：根据集合的运算性质UA =(1,2)2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,3)=b ，那么|a +b |等于（ ） （A ）5（B（C（D ）13解析：a +b =(3,2)，所以==|a +b |3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（ ） （A（B ）2（C（D解析：因为虚轴长是实轴长的2倍，所以有b=2a ，222a b c +=，所以离心率ce a== 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）2 （B ）43（C ）4 （D ）5正(主)视图俯视图侧(左)视图解析：由题可知该几何体是由一长方体和一三棱柱组成的几何体，所以111221242V =⨯⨯+⨯⨯⨯=解析：函数满足以π为周期的偶函数，所以答案选D 。

6． 设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数，有0<a<1,2-a>0,所以可以推出3(2)y a x =-在R 上是增函数，反之函数3(2)y a x =-在R 上是增函数，0<a<2，不能推出函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数，所以充分而不必要条件。

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B = （ ） （A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-【答案】B 【解析】“0x ∀>”的否定为“0x ∃>”，“2log 2x x >”的否定为“2log 2x x ≤” 所以，p ⌝为：2log 0,2x x x ∃>≤ 故答案为：B 【考点】全称量词与存在性量词 【难度】 13．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A 为锐角，2a b =，sin B =，则（ ）【答案】B 【解析】{}01B x x x =<>或，所以{}1,2A B =-故答案为：B 【考点】 集合的运算 【难度】 12．设命题p ：2log 0,2x x x ∀>>，则p ⌝为（ ） （A ）2log 0,2x x x ∀>< （B ）2log 0,2x x x ∃>≤ （C ）2log 0,2x x x ∃>< （D ）2log 0,2x x x ∃>≥（A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin 3A =（D ）2sin 3A =【答案】A 【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以sin 2sin A aB b==，所以sin A =。

因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=故答案为：A【考点】 正弦定理 【难度】 14．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】C【解析】3x =时，328y ==，833<； 4x =时，4216y ==，1643<； 5x =时，5232y ==，3253<；6x =时，6264y ==，6463>，输出6x =。

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2014.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B = （ ） （A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ， 则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = ____． 10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++= ______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．1侧(左)视图14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.甲组 乙组 891 a822 F CEHD18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ， O 为坐标原点. （Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=， 即 cos 22α=， ……… 4分 所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 222x x =πsin(2)3x =+， ……………10分 由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分 解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a = ，共有10种可能. ……………… 5分 由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a = 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分 （Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分 因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分 又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. …………… 3分 因为 ED BD D = ，所以 AC ⊥平面BDEF . …………… 4分 （Ⅱ）解：设AC BD O = ，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ，由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……… 5分 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，3BF =， 所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量AC =. …………7分设直线DH 与平面BDEF 所成角为α，由33(,)222DH = ， 得sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⋅=<>=== ，所以直线DH 与平面BDEF. ………………9分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()222BH =- ，(2,0,0)DB = .设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则00(01(3)1cos ,232ED ED ED⋅⨯+⨯+⨯-<>===-⨯n n n . ………………13分 由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60 . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分 令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分 因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程e x a x -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分 同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. ……………… 8分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. ……………… 9分 同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-，所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分 因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==所以5OD ≥，当且仅当点42(,)55D --时等号成立． ………………13分 由3125y k k =-=-，得k =.所以当k =OD………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. ……………… 1分所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. ……………… 2分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分 由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分 因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥，第 11 页 共 11 页 所以 2012213q <<，即 120122()13q <<. ……………… 8分 （Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N *Î，q N *Î， 所以 11n n a a q N -*= ，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分 （必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分 所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分 假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r+整除. 又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1. 所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾.所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合A=x x+1<3,x∈R，B=0,1,2，则A∩B= A. x0<x<2B. x−4<x<2C. 0,1,2D. 0,12. 已知复数z满足z=2i1+i，那么z的虚部为______A. −1B. −iC. 1D. i3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos A+B=13，则c= ______A. 4B.C. 3D.4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为______A. 34B. 45C. 56D. 15. 已知圆C：x+12+y−12=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是______A. y=x+2−B. y=x+12C. y=x−2+D. y=x+1−6. 若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足______A. a2>b2B. 1a <1bC. 0<a<bD. 0<b<a7. 定义域为R的函数f x满足f x+1=2f x，且当x∈0,1时，f x=x2−x，则当x∈−2,−1时，f x的最小值为______A. −116B. −18C. −14D. 08. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为23，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈1,5时，函数y=f x的值域为______A. 26,66B. 26,18C. 36,18D. 36,66二、填空题（共6小题；共30分）9. 在平面直角坐标系xOy中，点A1,3，B−2,k，若向量OA⊥AB，则实数k= ______．10. 若等差数列a n满足a1=12，a4+a6=5，则公差d= ______；a2+a4+a6+⋯+a20= ______．11. 已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12. 甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______．（用数字作答）13. 如图，B，C为圆O上的两个点，P为CB延长线上一点，PA为圆O的切线，A为切点．若PA=2，BC=3，则PB= ______；ACAB= ______．14. 在平面直角坐标系xOy中，记不等式组x+y≥0,x−y≤0,x2+y2≤2所表示的平面区域为D．在映射T：u=x+y,v=x−y的作用下，区域D内的点x,y对应的象为点u,v．（1）在映射T的作用下，点2,0的原象是______；（2）由点u,v所形成的平面区域的面积为______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=3cosωx，g x=sin ωx−π3ω>0，且g x的最小正周期为π．（1）若fα=62，α∈−π,π，求α的值；（2）求函数y=f x+g x的单调增区间．16. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；（2）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（3）当a=2时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；（3）求二面角H−BD−C的大小．18. 已知函数f x=x+a e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f x的单调区间；（2）当a<1时，试确定函数g x=f x−a−x2的零点个数，并说明理由．19. 已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为1,1，直线AB的斜率为k，O为坐标原点．（1）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；（2）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求 OD 的最小值．20. 设无穷等比数列a n的公比为q，且a n>0n∈N∗，a n表示不超过实数a n的最大整数（如2.5=2），记b n=a n，数列a n的前n项和为S n，数列b n的前n项和为T n．（1）若a1=4，q=12，求T n；（2）若对于任意不超过2014的正整数n，都有T n=2n+1，证明：2312012<q<1．（3）证明：S n=T n n=1,2,3,⋯的充分必要条件为a1∈N∗，q∈N∗．答案第一部分1. D2. C3. D4. B5. A6. C7. A8. D第二部分9. 410. 12；5511. 2312. 2413. 1；214. 1,1；π第三部分15. （1）因为g x=sin ωx−π3ω>0的最小正周期为π，所以2πω=π，解得ω=2．由fα=62，得3cos2α=62，即cos2α=22，所以2α=2kπ±π4，k∈Z．因为α∈−π,π，所以α∈ −7π8,−π8,π8,7π8．（2）y=f x+g x=3cos2x+sin2x−π3=3cos2x+sin2x cosπ3−cos2x sinπ3 =12sin2x+32cos2x=sin2x+π3,由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12．所以函数y=f x+g x的单调增区间为 kπ−5π12,π+π12k∈Z．16. （1）依题意，得1388+92+92=1390+91+90+a，解得a=1．（2）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，依题意a=0,1,2,⋯,9，共有10种可能．由（1）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当a=2,3,4,⋯,9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P A=810=45．（3）当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：88,90，88,91，88,92，92,90，92,91，92,92，92,90，92,91，92,92，则这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0，1，2，3，4．因此P X=0=29，P X=1=29，P X=2=13，P X=3=19，P X=4=19．所以随机变量X的分布列为：X01234P2929131919所以X的数学期望E X=0×29+1×29+2×13+3×19+4×19=53．17. （1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．因为平面BDEF⊥平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，所以ED⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以ED⊥AC．因为ED∩BD=D，所以AC⊥平面BDEF．（2）设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON．因为四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，所以ON∥ED．又因为ED⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD，由AC⊥BD，得OB,OC,ON两两垂直．O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，BF=3，所以A 0,−3,0，B1,0,0，D−1,0,0，E−1,0,3，F1,0,3，C 0,3,0，H12,32,32．因为AC⊥平面BDEF，所以平面BDEF的法向量AC=0,23,0．设直线DH与平面BDEF所成角为α，由DH=32,32,32，得sinα=cos DH,AC=DH⋅ACDH AC=32×0+32×23+32×021×23=77,所以直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为77．（3）由（2），得BH= −12,32,32，DB=2,0,0．设平面BDH的法向量为n=x1,y1,z1，所以n⋅BH=0,n⋅DB=0,即−x1+3y1+3z1=0,2x1=0,令z1=1，得n=0,−3,1．由 ED ⊥平面ABCD ，得平面 BCD 的法向量为 ED= 0,0,−3 ，则cos n ,ED =n ⋅EDn ED=0×0+ − 3 ×0+1× −3 2×3=−12.由图可知二面角 H −BD −C 为锐角，所以二面角 H −BD −C 的大小为 60∘． 18. （1） 因为 f x = x +a e x ，x ∈R ， 所以 fʹ x = x +a +1 e x ． 令 fʹ x =0，得 x =−a −1．当 x 变化时，f x 和 fʹ x 的变化情况如下：x−∞,−a −1 −a −1 −a −1,+∞ fʹ x −0+f x ↘↗故 f x 的单调减区间为 −∞,−a −1 ；单调增区间为 −a −1,+∞ ． （2） 结论：函数 g x 有且仅有一个零点．理由如下： 由 g x =f x −a −x 2=0，得方程 x e x−a =x 2， 显然 x =0 为此方程的一个实数解． 所以 x =0 是函数 g x 的一个零点． 当 x ≠0 时，方程可化简为 e x−a =x ．设函数 F x =e x−a −x ，则 Fʹ x =e x−a −1，令 Fʹ x =0，得 x =a ． 当 x 变化时，F x 和 Fʹ x 的变化情况如下：x−∞,a a a ,+∞Fʹ x−0+F x ↘↗即 F x 的单调增区间为 a ,+∞ ；单调减区间为 −∞,a ．所以 F x 的最小值 F x min =F a =1−a ． 因为 a <1，所以 F x min =F a =1−a >0， 所以对于任意 x ∈R ，F x >0， 因此方程 e x−a =x 无实数解．所以当 x ≠0 时，函数 g x 不存在零点． 综上，函数 g x 有且仅有一个零点． 19. （1） 抛物线 y =x 2 的焦点为 0,14 ． 由题意，得直线 AB 的方程为 y −1=k x −1 ，令 x =0，得 y =1−k ，即直线 AB 与 y 轴相交于点 0,1−k ． 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方， 所以 1−k >14，解得 k <34．（2） 由题意，设 B x 1,x 12 ，C x 2,x 22 ，D x 3,y 3 ，联立方程 y −1=k x −1 ,y =x 2, 消去 y ，得x 2−kx +k −1=0，由韦达定理，得 1+x 1=k ，所以 x 1=k −1． 同理，得 AC 的方程为 y −1=−1k x −1 ，x 2=−1k −1． 对函数 y =x 2 求导，得 yʹ=2x ，所以抛物线y=x2在点B处的切线斜率为2x1，所以切线BD的方程为y−x12=2x1x−x1，即y=2x1x−x12．同理，抛物线y=x2在点C处的切线CD的方程为y=2x2x−x22．联立两条切线的方程y=2x1x−x12,y=2x2x−x22,解得x3=x1+x22=12k−1k−2，y3=x1x2=1k−k，所以点D的坐标为12 k−1k−2,1k−k ．因此点D在定直线2x+y+2=0上．因为点O到直线2x+y+2=0的距离d=22+12=255,所以 OD ≥255，当且仅当点D的坐标为−45,−25时等号成立．由y3=1k −k=−25，得k=1±265，验证知符合题意．所以当k=1±265时， OD 有最小值255．20. （1）由等比数列a n的a1=4，q=12，得a1=4，a2=2，a3=1，且当n>3时，0<a n<1．所以b1=4，b2=2，b3=1，且当n>3时，b n=a n=0．即T n=4,n=1, 6,n=2, 7,n≥3.（2）因为T n=2n+1n≤2014，所以b1=T1=3，b n=T n−T n−1=22≤n≤2014．因为b n=a n，所以a1∈3,4，a n∈2,32≤n≤2014．由q=a2a1，得q<1．因为a2014=a2q2012∈2,3，所以q2012≥2a2>23，所以23<q2012<1，即231<q<1．（3）（充分性）因为a1∈N∗，q∈N∗，所以a n=a1q n−1∈N∗，所以b n=a n=a n对一切正整数n都成立．因为S n=a1+a2+⋯+a n，T n=b1+b2+⋯+b n，所以S n=T n．（必要性）因为对于任意的n∈N∗，S n=T n，当n=1时，由a1=S1，b1=T1，得a1=b1；当n≥2时，由a n=S n−S n−1，b n=T n−T n−1，得a n=b n．所以对一切正整数n都有a n=b n．由b n∈Z，a n>0，得对一切正整数n都有a n∈N∗，所以公比q=a2a1为正有理数．假设q∉N∗，令q=pr，其中p,r∈N∗，r>1，且p与r的最大公约数为1．因为a1是一个整数，所以必然存在一个整数k k∈N，使得a1能被r k整除，而不能被r k+1整除．又因为a k+2=a1q k+1=a1p k+1，且p与r的最大公约数为1．r所以a k+2∉Z，这与a n∈N∗（n∈N∗）矛盾．所以q∈N∗．因此a1∈N∗，q∈N∗．。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集{}02U x x =<<，集合{}01A x x =<≤，则集合U A =ð（ ）A.()0,1B.(]0,1C.()1,2D.[)1,22.已知平面向量()2,1a =-，()1,3b =，那么a b +等于（ ）A.5 D.133.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（ ）B.2= D.考点：1.双曲线的几何性质；2.双曲线的离心率4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.2 B.43C.4D.55.下列函数中，对于任意x R ∈，同时满足条件()()f x f x =-和()()f x f x π-=的函数是（ ） A.()sin f x x = B.()sin cos f x x x = C.()cos f x x = D.()22cos sin f x x x =-()22cos sin cos2f x x x x =-=，该函数是偶函数，且以π为最小正周期的周期函数，故选D.正(主)视图俯视图侧(左)视图考点：1.二倍角公式；2.三角函数的奇偶性与周期性6.设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在()0,+∞上是减函数”是“函数()32y a x =-在R 上是增函数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ）A.4B.5C.6D.78.如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A.4个B. 6个C.10个D.14个 【答案】C 【解析】试题分析：分以下两种情况讨论：（1）点P 到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点P 位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P 到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点P 在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有4个点，故选C. 考点：新定义第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.设复数12ix yi i-=++，其中x 、y R ∈，则x y +=______.10.若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____.4p =，此时抛物线的准线方程为2x =-.BADC. P考点：抛物线的几何性质11.已知函数()3,01,01x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，若()02f x =，则实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12.执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，2b =，那么输出的a 值为______.【答案】256. 【解析】试题分析：3log 24>不成立，执行第一次循环，224a ==；3log 44>不成立，执行第二次循环，2416a ==；4333log 164log 3log 81>==不成立，执行第三次循环，216256a ==；33log 2564log 81>=成立，跳出循环体，输出a 的值为256，故选C.考点：算法与程序框图13.若不等式组1026ax y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.范围是()3,5. 考点：线性规划14.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，记()y f x =，则()1f =____； 函数()f x 的值域为_________.因为()()205080441f f =⨯-⨯+=>，因此()()max 04f x f ==，所以函数()f x 的值域为4,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦.A D C P考点：1.平面向量的数量积；2.二次函数三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知222b c a bc +=+. （1）求A 的大小；（2）如果cos 3=B ，2b =，求a 的值.考点：1.正弦定理与余弦定理；2.同角三角函数的基本关系16.（本小题满分13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出a 、b 、c 的值；（2）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率； （3）某人从这批灯泡中随机地购买了()n n N *∈个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽．．．．．样．所得的结果相同，求n 的最小值.所以n 的最小值为10.考点：1.频率分布表；2.古典概型17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（1）求证：//AB 平面SCD ；（2）求证：SN ⊥平面ABCD ；（3）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ？若存在，求出SPPC的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，且12SP PC =. 所以 SN AD ⊥.又因为 ABAD A =，所以 SN ⊥平面ABCD .（3）如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ，连接PD 、PC .因为 SN ⊥平面ABCD ，所以FP ⊥平面ABCD . 又因为FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD . 在矩形ABCD 中，因为//ND BC ， 所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ， 所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ，此时12SP PC =. 考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.直线与平面垂直 18.（本小题满分13分）已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈. （1）当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围. 【答案】（1）350x y --=；（2）(],1-∞-. 【解析】试题分析：（1）将2a =代入函数解析式，求出()1f '及()1f 的值，利用点斜式写出切线方程；（2）利用参数分离法将()2f x x >-+转化为2ln 2a x x x x <+-，构造新函数()2ln 2g x x x x x =+-，问题转化为()min a g x <来求解，但需注意区间()1,+∞端点值的取舍. 试题解析：（1）由()2ln f x x x =-，得()212f x x x'=+， 所以()13f '=， 又因为()12f =- ，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为350x y --=；19.（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点. （1）求椭圆W 的方程.（2）设斜率为k 的直线l 与W 相交于A 、B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =.【答案】（1）2212x y +=；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）利用题干中的已知条件分别求出a 、b 、c ，从而写出椭圆W 的方程；（2）设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆W 的方程联立，借助韦达定理求出弦长AB ，并求出原点到直线l 的距离d ，然后以AB 为底边，d 为高计算AOB ∆的面积，利用基本不等式验证1k =时和2k =时AOB ∆的验证知（*）成立；当2k =时，因为AOB S ∆=，20.（本小题满分13分）在数列{}n a 中，()1n a n N n*=∈. 从数列{}n a 中选出()3k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列12、13、15、18为{}n a 的一个4 项子列.（1）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；（2）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足104d -<<；（3）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.【答案】（1）答案不唯一. 如3项子列：12、14、18；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据题中的定义写出一个3项子列即可；（2）根据定义得到11b ≤，利用数列{}n b 的定义与单调性得到0d >，然后由5140b b d =+>得到14d >-，从而证明104d -<<；（3）注意到数列{}n a 各项均为有理数，从而得到数列{}n c 的公比q 为正有理数，从而存在K 、L N *∈使得K q L=，并对K 是否等于1进行分类讨论，结合等比数列求和公式进行证明. 试题解析：（1）答案不唯一. 如3项子列：12、14、18； （2）由题意，知1234510b b b b b ≥>>>>>，所以 210d b b =-<. 因为 514b b d =+，11b ≤，50b >，所以 514011d b b =->-=-，解得 14d >-.543223*********M K K L K L K L KL L ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭. 因为 2L ≥，K 、*M N ∈，所以 2345123456111116312222232c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上，12345663 32c c c c c c+++++≤. 考点：1.新定义；2.等比数列求和。

2014北京西城区高三期末数学(文)试题2014北京西城区高三期末数学试题题目一一、选择题1. 在平面直角坐标系中，点 P(a,b) 在动直线 |x| + |y|=1 上移动，若动点到坐标轴间的距离为 l，则为A. |B. 1 - lC. l -1D. 1 – |l|2. 若ω为三角形ABC的内角角平分线向量，则A. ω = |AB| / |AC|B. ω为内角角平分线，C. ω = |AC| / |AB|D. ω为外角角平分线．3. 若点P(x,y)，且满足5x + my ≤ 3 与2x + 5y ≤ 3的公共解集为一个等腰直角三角形ABC，则过点P和直线2x + 5y = 3的直线必为A. x - 2y + 2 = 0 或 x + 2y - 8 = 0B. x + 2y + 2 = 0 或 x - 2y - 8 = 0C. x – 2y – 2 = 0 或 x + 2y + 8 = 0D. x + 2y – 2 = 0 或 x - 2y + 8 = 04. 已知两数的空间坐标分别为A(1，－1，2)、B(2，－3，4)，则在A、B两点所在直线上到原点距离等于这两点间距离的点是A. (-3, 5, 6)B. (-2, 3, -4)C. (4, -5, 6)D. (3, 2, -2)5. 若四棱锥的底面为正方形，且其垂直于底面的高为l，若其体积与侧面积相等，则l 的值为A. 8B. 12C. 16D. 24题目二二、解答题1. (本题9分) 解方程 sin3x + 15sinx = 8sin2x + 12sin4x, 并指出 x = 0 及x = π 是原方程的解。

2. (本题9分) 在数列an = 1 + 2sin πnπ⁄5 + |tan(p⁄4 - q⁄5πn)| (n = 1, 2, 3, …) 中，q取何值时，该数列是否为等差数列？并指出 x = 0 及x = π是原方程的解。

题目三三、解答题1. (本大题共12分) 已知点 A=(6，1)，点B(x + 40，y + 12)在直线x+2y-2=0上, 点C(x + 6y + 18，y + 28)在直线x+3y+2=0上.(1) 分别求点B, C的坐标；(2) 若以线段BC为底边，则△ ABC 的高为 h , 试求 h 。

北京市西城区第一学期期末试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|02}A x x =<<，0{|1}B x x =-≥，则集合A B = （ ） （A ）(0,1) （B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)2．已知命题p ：“x ∀∈R ，23x -<”，那么p ⌝是（ ） （A ）x ∀∈R ，23x ->， （B ）x ∀∈R ，23x -≥ （C ）x ∃∈R ，23x -< （D ）x ∃∈R ，23x -≥3．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k =（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）14．若坐标原点在圆22()()4x m y m -++=的内部，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）11m -<<（B ）m -<（C ）m -<（D ）22m -<<5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）34（B ）45（C ）56（D ）16． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b << （D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[1,0]x ∈-时，()f x 的最小值为（ ）（A ）18-（B ） 14-（C ）0（D ）148.在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组0,0,2x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤所表示的平面区域为D . 在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v ，则由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为（ ） （A ）2 （B ）4（C ）8（D ）16第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z 满足2i=1iz +，那么||z =______．10．在等差数列{}n a 中，11a =，8104a a +=，则公差d =______；前17项的和17S =______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=， 则cos C =______；c = ______．13．设函数2log , 0,()4, 0,xx x f x x >⎧=⎨⎩≤ 则[(1)]f f -=______；若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取值范围是______．14．设{(,)|(,)0}M x y F x y ==为平面直角坐标系xOy 内的点集，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +<，则称点集M 满足性质P . 给出下列三个点集：○1{(,)|cos 0}R x y x y =-=； ○2{(,)|ln 0}S x y x y =-=； ○322{(,)|1}T x y x y =-=. 其中所有满足性质P 的点集的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.侧(左)视图（Ⅰ）若()2f α=[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求证：平面BDGH //平面AEF ； （Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积.18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；甲组 乙组 891a822 F BCG EAHD（Ⅱ）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值. 19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为(0)k k >.设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D . 判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）若1114,2a q ==，求3T ； （Ⅱ）证明： n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为n a N *Î；（Ⅲ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<.。