高中数学第二章第11课时点到直线的距离配套练习2苏教版必修2

【创新设计】2013-2014版高中数学 2.1.6.1点到直线的距离同步训练 苏教版必修2双基达标限时15分钟1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为________． 解析 原点到直线x ＋2y －5＝0的距离等于|5|12＋22＝ 5.答案52．若点(1,2)到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为________． 解析 点(1,2)到直线x －y ＋a ＝0的距离为22， ∴|1－2＋a |2＝22，解得a ＝2或0. 答案 2或03．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n＝1的距离等于________． 解析 因为直线x m ＋y n＝1可化为nx ＋my －mn ＝0， 则由点到直线的距离公式，得d ＝|m －n n ＋－m m －mn |m 2＋n2＝m 2＋n 2. 答案m 2＋n 24．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于________． 解析 由点到直线的距离公式，得|a －2＋3|2＝1，解得a ＝2－1，a ＝－2－1(舍去)．答案2－15．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 坐标为________．解析 设点P 坐标为(a,5－3a )，由题意得|a －5－3a －1|2＝2，解得a ＝1或a ＝2，∴点P 坐标为(1,2)或(2，－1)．答案 (1,2)或(2，－1) 6．求下列点到直线的距离： (1)A (0,0)，l ：5x －12y －9＝0； (2)A (2，－3)，l ：x ＝y .解 (1)d ＝|5×0－12×0－9|52＋－122＝913. (2)直线方程可化为x －y ＝0，∴d ＝|2－－3|12＋－12＝522. 综合提高限时30分钟7．若点Q 与A (0,1)，B (7,2)及x 轴等距离；则点Q 的坐标为________．解析 设点Q 的坐标为(a ，b )，则点Q 到x 轴的距离为|b |；据已知条件得方程组⎩⎨⎧a 2＋b －12＝|b |，a －72＋b －22＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－17，b ＝145.答案 (3,5)或(－17,145)8．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点 P (0,4)的距离为2的直线方程为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2交点为(1,2)．故可设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即为kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 答案 y ＝2或4x －3y ＋2＝0.9．设a ，b ，k 、p 分别表示同一直线的横截距、纵截距、斜率和原点到直线的距离，则下列等式：①a 2k 2＝p 2(1＋k 2)，②k ＝b a，③1a ＋1b＝p ，④a ＝－kb ；其中正确的是________(填序号)．解析 由直线的横截距、纵截距得直线的方程为x a ＋y b ＝1，故直线的斜率为k ＝－b a，原点到直线的距离为p ＝|－1|⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＝|ab |a 2＋b 2；所以a 2k 2＝a 2·b 2a 2＝b 2，p 2(1＋k 2)＝a 2b 2a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2＝b 2，故a 2k 2＝p 2(1＋k 2)成立，即正确的是①. 答案 ①10．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内有点P ，使PA ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2；则点P 的坐标为________．解析 设点P 的坐标为(a ，b )，∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3.即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在上述直线上，∴a －b －5＝0① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2.即4a ＋3b －2＝±10② 由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87，∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.答案 (1，－4)⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.11．直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解 (1)当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y ＝kx ，由点到直线的距离公式可得32＝|4k －3|1＋k2，解得k ＝－6±3214.故所求直线的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x .(2)当直线不经过坐标原点时，设所求方程为x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0. 由题意可得|4＋3－a |2＝3 2.解得a ＝1或a ＝13.故所求直线的方程为x ＋y －1＝0，或x ＋y －13＝0.综上可知，所求直线的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3142x ，或x ＋y －1＝0，或x ＋y －13＝0.12．过点P (1,2)引直线，使A (2,3)、B (4，－5)到它的距离相等，求这条直线的方程． 解 法一 显然这条直线斜率存在；设直线方程为y ＝kx ＋b ，据条件有⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，|2k －3＋b |k 2＋1＝|4k ＋5＋b |k 2＋1，化简得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，k ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，3k ＋b ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝72.∴直线方程为y ＝－4x ＋6或y ＝－32x ＋72；即为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.法二 ∵k AB ＝－4，线段AB 中点C (3，－1)，∴过P (1,2)与直线AB 平行的直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0，此直线符合题意；过P (1,2)与线段AB 中点C (3，－1)的直线方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0，此直线也符合题意．故所求直线方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.13．(创新拓展)已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使PM ＝4，则称该直线为“切割型直线”，请判断下列直线是否为“切割型直线”：①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x .解 根据题意，看所给直线上的点到定点M 距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析．①d ＝|5＋1|12＋－12＝32＞4，故直线上不存在点到点M 距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|－32＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”．综上，②③是“切割型直线”，①不是“切割型直线”．。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二点到直线的距离-习题课【课时目标】 熟练掌握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式，能灵活应用它们解决有关的综合问题．1．三个距离公式⎩⎪⎨⎪⎧(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的距离P 1P 2＝ .(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 的距离d ＝ .(3)平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋ By ＋C 2＝0间的距离d ＝ .2．三种常见的对称问题 (1)点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于点M (a ，b )的对称点为P ′____________________________________． (2)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y 22＋C ＝0， 可得点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．(3)线关于点、线的对称线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P (x ，y )的坐标x ，y 满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．一、填空题1．点(3,9)关于直线x ＋3y －10＝0的对称点为__________．2．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为____________．3．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是____________． 4．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有________条．5．若点(5，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0与3x －4y ＋5＝0之间，则整数b 的值为________．6．已知实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，则x 2＋y 2－2x －4y ＋5的最小值是________．7．点A (4,5)关于直线l 的对称点为B (－2,7)，则l 的方程为________________． 8．如图所示，已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)，直线l 平行于AB ，面积的14，则直线l 的方且分别交AC 、BC 于E 、F ，△CEF 的面积是△CAB程为________．9．设点A(－3,5)和B(2,15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使PA＋PB为最小，则这个最小值为________．二、解答题10．一条直线被直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．11．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．(1)l′与l平行且过点(－1,3)；(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线．能力提升12．直线2x－y－4＝0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3,4)的距离之差的最大值．13．已知M (1,0)、N (－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，求PM 2＋PN 2的最小值及取最小值时点P 的坐标．1．在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解．2．关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解．3．涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况．习题课 答案知识梳理1．(1)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2(2)|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(3)|C 2－C 1|A 2＋B22．(1)(2a －x 0,2b －y 0) (2)y 1－y 2x 1－x 2＝BA作业设计1．(－1，－3)解析 设对称点为(x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－9x 0－3＝3，x 0＋32＋3·y 0＋92－10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3.2．3x ＋4y ＋5＝0解析 直线3x －4y ＋5＝0与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0，由对称直线的特征知，所求直线斜率为k ＝－34．∴y ＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即3x ＋4y ＋5＝0．3．(5，－3)解析 当PQ 与已知直线垂直时，垂足Q 即为所求． 4．2解析 当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝1，原点到直线距离为1，满足题意．当直线斜率存在时，设直线方程为y －3＝k (x －1)即kx －y ＋3－k ＝0．由已知|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，满足题意．故共存在2条直线．5．4解析 把x ＝5代入6x －8y ＋1＝0得y ＝318，把x ＝5代入3x －4y ＋5＝0得y ＝5，∴318<b <5．又∵b 为整数，∴b ＝4． 6．3113解析 x 2＋y 2－2x －4y ＋5＝(x －1)2＋(y －2)2，它表示点(x ，y )与(1,2)之间的距离，两点距离的最小值即为点(1,2)到直线5x ＋12y ＝60的距离，∴d ＝|1×5＋2×12－60|13＝3113．7．3x －y ＋3＝0 8．x －2y ＋5＝0解析 由已知，直线AB 的斜率k ＝12，∵EF ∥AB ，∴直线EF 的斜率为k ＝12．∵△CEF 的面积是△CAB 面积的14，∴E 是CA 的中点，∴点E 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52， 直线EF 的方程是y －52＝12x ，即x －2y ＋5＝0．9．513解析 设点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为(a ，b )，则由AA ′⊥l 且AA ′被l 平分，得⎩⎪⎨⎪⎧b －5a ＋3×34＝－1，3×a －32－4×b ＋52＋4＝0.解之得a ＝3，b ＝－3．∴点A ′的坐标为(3，－3)， ∴(PA ＋PB )min ＝A ′B＝(3－2)2＋(－3－15)2＝513．10．解 设所求直线与直线l 1交于A (x 0，y 0)，它关于原点的对称点为B (－x 0，－y 0)，且B 在直线l 2上，由⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋6＝0，－3x 0＋5y 0－6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3623，y 0＝623，∴所求直线方程为y ＝623－3623x ＝－16x ，即x ＋6y ＝0．11．解 (1)直线l ：3x ＋4y －12＝0，k l ＝－34，又∵l ′∥l ，∴k l ′＝k l ＝－34．∴直线l ′：y ＝－34(x ＋1)＋3，即3x ＋4y －9＝0．(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43．设l ′与x 轴截距为b ，则l ′与y 轴截距为－43b ，由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43b ＝4， ∴b ＝±6．∴直线l ′：y ＝43(x ＋6)或y ＝43(x －6)．(3)∵l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线， ∴l ′与l 关于原点对称．任取点(x 0，y 0)在l 上，则在l ′上对称点为(x ，y )． x ＝－x 0，y ＝－y 0，则－3x －4y －12＝0． ∴l ′为3x ＋4y ＋12＝0．12．解 找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点． 设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －4×2＝－12×4＋a 2－b －12－4＝0．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，所以A ′B ＝(4－1)2＋(3－0)2＝32．13．解 ∵P 为直线2x －y －1＝0上的点，∴可设P 的坐标为(m,2m －1)，由两点的距离公式得PM 2＋PN 2＝(m －1)2＋(2m －1)2＋(m ＋1)2＋(2m －1)2＝10m 2－8m ＋4．(m ∈R )令f (m )＝10m 2－8m ＋4＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫m －252＋125≥125，∴当m ＝25时，PM 2＋PN 2取最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15．。

随堂练习：点到直线的距离1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为________．2．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为______________3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0相互平行，则它们之间的距离是________．4．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但一直保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是________．5．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角能够是________．(写出全部正确答案的序号)①15°②30°③45°④60°⑤75°6．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0.直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线l的方程．7．△ABC的三个极点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2，3)．(1)求BC边的高所在直线的方程；(2)求△ABC的面积S.8．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的地点，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．答案1．±22．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝07133.264．(0,5]5．①⑤6．解由于直线l平行于l1，设直线l的方程为7x＋8y＋C＝0，则d1＝|C－9|，d2＝72＋82|C－－72＋82.又2d1＝d2，∴2|C－9|＝|C＋3|.解得C＝21或C＝5.故所求直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.7．解(1)设BC边的高所在直线为l，3－－－1由题意知k BC＝2－－＝1，则k l＝k BC＝－1，又点A(－1,4)在直线l上，因此直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，即x＋y－3＝0.(2)BC所在直线方程为y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，点A(－1,4)到BC的距离d＝|－1－4＋1|＝22，12＋－2又BC＝－2－2＋－1－2＝42，1则S△ABC＝2·BC·d1＝2×42×22＝8.8．解设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．∴AD＝2，BC＝2b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝|1＋0－b|＝|b－1|＝b－1(b>1)，2222＋2bb－1由梯形面积公式得×＝4，22∴b2＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.进而获得直线l2的方程是x＋y－3＝0.。

课时训练19点到直线的距离1.直线l过原点,且点(2,1)到l的距离为2,则l的方程为()A. x=0B.y=-xC.y=xD.x=0或y=-x解析：当l的斜率不存在时,x=0,符合题意;当l的斜率存在时,设斜率为k,则y=kx.∵=2,∴k=-,∴y=-x.故l的方程为x=0或y=-x.答案：D2.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是()A.0B.-3C.D.-3或解析：由题意知:=4.∴k1=-3或.答案：D3.直线l1过点A(3,0),直线l2过点B(0,4),l1∥l2,用d表示l1和l2的距离,则d的取值范围是()A.B.C.(0,58.在直线x+3y=0上找一点,使它到原点和直线x+3y-2=0的距离相等.解直线x+3y=0上的点到直线x+3y-2=0的距离为,设直线x+3y=0上的点P(x0,y0)满足题意,则解得∴所求点的坐标为.9.如图,直线4x+3y-12=0与x轴、y轴分别交于点A,B.(导学号51800149)(1)求∠BAO的平分线所在直线的方程;(2)求点O到∠BAO的平分线的距离;(3)求过点B与∠BAO的平分线垂直的直线的方程.解(1)由直线4x+3y-12=0可得A(3,0),B(0,4),由题图可知∠BAO为锐角,所以∠BAO的平分线所在直线的倾斜角为钝角,其斜率为负数.设P(x,y)为∠BAO的平分线上任意一点,则=|y|,所以4x+3y-12=±5y.化简得2x-y-6=0或x+2y-3=0.由于斜率取负数,故∠BAO的平分线所在直线的方程为x+2y-3=0.(2)由上知点O到∠BAO的平分线的距离为.(3)过点B与∠BAO的平分线垂直的直线的方程为2x-y+4=0.。

2018-2019学年高中数学第2章平面解析几何初步2.1 直线与方程2.1.6 点到直线的距离课时作业苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第2章平面解析几何初步2.1 直线与方程2.1.6 点到直线的距离课时作业苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

1。

6 点到直线的距离[学业水平训练]1．已知原点O(0，0)，则点O到直线x＋y＋2＝0的距离等于________．解析：点O到直线x＋y＋2＝0的距离为错误!＝错误!。

答案:错误!2．两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是________．解析：2x＋2y＋1＝0可化为x＋y＋错误!＝0，由两平行直线间的距离公式，得错误!＝错误!。

答案：错误!3．动点P在直线x＋y－4＝0上,O为原点,则OP的最小值为________．解析：OP的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离d＝错误!＝2错误!.答案：2错误!4．如果已知两点O(0，0),A(4，－1)到直线mx＋m2y＋6＝0的距离相等，那么m可取不同实数值的个数有________个．解析：解方程错误!＝错误!(m≠0)，得m＝6或m＝－2或m＝4。

答案：35．在直线x＋3y＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x＋3y＋2＝0的距离相等,则此点坐标是________．解析：由于点在直线x＋3y＝0上,设点的坐标为(－3a，a)，又因为直线x＋3y＝0与直线x＋3y＋2＝0平行，则两平行线间的距离为错误!＝错误!，根据题意有错误!＝错误!，解得a＝±错误!。

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二点到直线的距离1．直线l过原点，且点(2,1)到l的距离为2，则l的方程为__________．2．两直线l1：ax－by＋b＝0；l2：(a－1)x＋y＋b＝0.若l1∥l2，且l1与l2的距离为22，则a＝__________，b＝__________.3．过点(2,1)作直线l，使A(1,1)，B(3,5)两点到l的距离相等，则直线l的方程是__________．4．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是__________．(写出所有正确答案的序号)5．已知点P(m，n)在直线2x＋y＋1＝0上运动，则m2＋n2的最小值为__________．6．设两直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且18c≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为__________．7．如图，直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴分别交于点A，B.(1)求∠BAO的平分线所在直线的方程；(2)求O到∠BAO的平分线的距离；(3)求过B与∠BAO的平分线垂直的直线的方程．8．过A(－4,0)，B(0，－3)两点作两条平行线，求满足下面条件的两条直线方程：这两条直线各自绕A、B旋转，使它们之间的距离取最大值．参考答案1．x ＝0或34y x =- 当l 的斜率不存在时，x ＝0，符合题意； 当l 的斜率存在时，设斜率为k ，则y ＝kx . 又2|21|21k k -=+，∴34k =-.∴34y x =- 故l 的方程为x ＝0或34y x =-. 2．2 －2 在l 1上取一点A (0,1)，则由已知得A 点到l 2的距离为22， 即2|1|2211b a +=(-)+，化简得a 2－2a ＝2b 2＋4b .① 又由l 1∥l 2，得11a b a -=-，得1a b a=-.② 由①②得a ＝0，b ＝0或a ＝2，b ＝－2.∵当a ＝b ＝0时，l 1不表示直线，∴a ＝2，b ＝－2.3．2x －y －3＝0或x ＝2 当l ∥AB 时满足题意， ∵51231AB k -==-，∴k l ＝2，直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0；当l 过AB 中点时，也满足题意， ∵01322x +==，01532y +==， ∴AB 中点坐标为(2,3)．此时，l 过(2,1)，(2,3)两点，其斜率不存在，即l ⊥x 轴．∴直线l 方程为x ＝2.4．①⑤ 如图所示．∴m 的倾斜角可以是α＝75°或β＝15°. 5.15∵点P (m ，n )在直线2x ＋y ＋1＝0上运动， ∴2m ＋n ＋1＝0.而m 2＋n 2表示直线2m ＋n ＋1＝0上的点(m ，n )与原点连线的距离的平方．而m 2＋n 2的最小值，即原点到该直线的距离的平方． ∵2215521d ==+， ∴(m 2＋n 2)min ＝d 2＝15. 6.22，12 ∵||2a b d -=，222111()[()4](14)222d a b a b ab c ===－＋－－， 又0≤c ≤18，∴d 2∈11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ∴1222d ≤≤. 7．解：(1)由直线4x ＋3y －12＝0可得A (3,0)，B (0,4)，由题图可知∠BAO 为锐角，所以∠BAO 的平分线所在直线的倾斜角为钝角，其斜率为负数．设P (x ，y )为∠BAO 的平分线上任意一点，则|4312|5x y y +-=， 所以4x ＋3y －12＝±5y .化简得2x －y －6＝0或x ＋2y －3＝0.由于斜率取负数，故∠BAO 的平分线所在直线的方程为x ＋2y －3＝0.(2)由上知O 到∠BAO 的平分线的距离为355. (3)过B 与∠BAO 的平分线垂直的直线的方程为2x －y ＋4＝0.8．解法一：当两直线的斜率存在时，设斜率为k ，则由已知可得两条平行线的方程为：kx －y ＋4k ＝0，kx －y －3＝0，2|43|1k d k +=+，∴222162491k k d k ++=+， ∴(d 2－16)k 2－24k ＋d 2－9＝0.∵k∈R，∴Δ≥0，即d4－25d2≤0.∴d2≤25.∴0＜d≤5.∴d max＝5，当d＝5时，43 k=.当两直线的斜率不存在时，d＝4，∴d max＝5.此时两直线的方程分别为4x－3y＋16＝0，4x－3y－9＝0.解法二：结合图形，当两直线与AB垂直时，两直线之间距离最大，最大值为|AB|＝5，34 ABk=-，所求直线的斜率为43，方程为4(4)3y x=+，433y x=-，即4x－3y＋16＝0,4x－3y－9＝0.。

课时跟踪检测(二十) 点到直线的距离层级一学业水平达标１.点P（1,-１）到直线ｌ：3y=2的距离是()A.３B．错误!未定义书签。

Ｃ.1D．错误!解析：选B 点Ｐ(1,－1)到直线l的距离d=错误!未定义书签。

=＼f（5，3),选B.2.已知点M（1,4)到直线ｌ:ｍx+y-1=0的距离为3，则实数m=( )A.0 B．＼ｆ（３,４)C．3ﻩD．０或＼f（3,４)解析:选D 点M到直线l的距离d=错误!＝错误!，所以错误!＝３,解得m＝0或m＝错误!，选D。

3．已知点A（1,３)，Ｂ(3，1）,Ｃ(-1,０）,则△AＢＣ的面积等于( )Ａ.3B．４C.5 ﻩＤ.6解析:选Ｃ设AＢ边上的高为ｈ,则S△AＢC=错误!未定义书签。

AB·ｈ.AＢ＝错误!未定义书签。

=2错误!未定义书签。

,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为错误!未定义书签。

=错误!,即x＋ｙ－4=0。

点C到直线x+ｙ-４＝0的距离为错误!=错误!未定义书签。

,因此，S△AＢC=错误!未定义书签。

×2错误!×错误!未定义书签。

＝５.4.已知点P在直线3x＋y－5=0上，且点P到直线ｘ-ｙ－1＝０的距离为错误!未定义书签。

,则点P的坐标为()Ａ．（1，2)或（2,－1） B.(３,－4)C．(2，－１) ﻩ D.（1,2)解析：选 A 设点P的坐标为（a,5－3a)，由题意，得错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

，解得ａ=1或2，∴点P的坐标为(1,２)或（2，-1）.５.若直线ｌ1:x＋ay＋6＝0与ｌ２:(a-2）ｘ＋３y+2a＝0平行，则ｌ1,l2间的距离是（）A.错误!B．错误!C.4错误!D.2错误!解析:选B ∵l1∥l2,∴错误!解得a=-１。

∴l１的方程为ｘ－y+６＝０,l２的方程为-3x+３y－２=0,即ｘ-y+错误!=０,∴l１，ｌ2间的距离是错误!未定义书签。

1.已知点P (3，m )，则P 到y 轴的距离为________．P 到x 轴的距离为________． 答案：3 |m |2.动点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则OP 的最小值为________．解析：OP 的最小值即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝2 2. 答案：2 23.两平行线3x ＋4y －1＝0与3x ＋4y ＋4＝0的距离为________．解析：在其中一条直线如3x ＋4y －1＝0上任取一点(0，14)，它到3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×0＋4×14＋4|32＋42＝1. 答案：14.如果已知两点O (0，0)，A (4，－1)到直线mx ＋m 2y ＋6＝0的距离相等，那么m 可取不同实数值的个数有________个．解析：解方程6m 2＋m 4＝|4m －m 2＋6|m 2＋m 4(m ≠0)， 得m ＝6或m ＝－2或m ＝4.答案：35.到两条平行直线2x ＋y ＋1＝0和2x ＋y ＋5＝0的距离相等的点的轨迹方程是________．解析：设P (x 0，y 0)是所求轨迹上的任意一点，则由题意得|2x 0＋y 0＋1|22＋12＝|2x 0＋y 0＋5|22＋12，∴|2x 0＋y 0＋1|＝|2x 0＋y 0＋5|，∴2x 0＋y 0＋1＝－2x 0－y 0－5，即2x 0＋y 0＋3＝0，又∵P (x 0，y 0)是任意的，故所求点的轨迹方程为2x ＋y ＋3＝0.答案：2x ＋y ＋3＝0[A 级 基础达标]1.已知点A (a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________．解析：由|a －2＋3|1＋1＝1，可求得a ＝－1±2. 再由a ＞0得a ＝2－1.答案：2－12.若点(4，a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：|4×4－3a －1|5≤3，解得0≤a ≤10. 答案：0≤a ≤103.直线l 1经过点(3，0)，直线l 2经过点(0，4)，且l 1∥l 2，d 表示l 1和l 2间的距离，则d 的取值范围是________．解析：当l 1，l 2与过(3，0)、(0，4)两点的直线垂直时，d max ＝5.答案：(0，5]4.在直线x ＋3y ＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x ＋3y ＋2＝0的距离相等，则此点坐标是________．解析：由于点在直线x ＋3y ＝0上，设点的坐标为(－3a ，a )，又因为直线x ＋3y ＝0与直线x＋3y ＋2＝0平行，则两平行线间的距离为|2－0|12＋32＝105，根据题意有（－3a ）2＋a 2＝105，解得a ＝±15. 答案：(－35，15)或(35，－15) 5.在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有________条．解析：法一：由图可知：符合条件的直线为y ＝3，连结AB 交y ＝3于M ，则y ＝3关于直线AB 对称的直线MN 也满足题中条件，故共有2条．法二：由题意知所求直线必不与y 轴平行，可设直线y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3，或⎩⎨⎧k ＝－43，b ＝53. ∴符合题意的有两条直线．答案：26.若(x ，y )是直线x ＋y ＋1＝0上的点，求x 2＋y 2－2x －2y ＋2的最小值．解：∵x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2，设M (1，1)，则所求式的几何意义是点M (1，1)与直线x ＋y ＋1＝0上的点的距离的平方．可见其最小值为点M (1，1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离的平方．d ＝|1＋1＋1|2＝32 2. ∴x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2的最小值为92. 7.△ABC 的三个顶点是A (－1，4)，B (－2，－1)，C (2，3)．(1)求BC 边的高所在直线方程；(2)求△ABC 的面积S .解：(1)设BC 边的高所在直线为l ，由题知k BC ＝3－（－1）2－（－2）＝1， 则k ＝－1k BC＝－1， 又点A (－1，4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－(x ＋1)，即x ＋y －3＝0.(2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1，4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋（－1）2＝2 2. 又BC ＝（－2－2）2＋（－1－3）2＝42，则S △ABC ＝12·BC ·d ＝12×42×22＝8. [B 级 能力提升]8.点M 在直线x －2y －1＝0上，且点M 到直线x ＋y －2＝0的距离为2，则点M 坐标为________．解析：设M (2y ＋1，y )，则|（2y ＋1）＋y －2|2＝2， ∴y ＝－13或1， ∴M (3，1)或M (13，－13)． 答案：(3，1)或(13，－13) 9.m 变化时，两平行线3x －4y ＋m －1＝0和3x －4y ＋m 2＝0之间的距离最小值等于________．解析：d ＝|m 2－m ＋1|5＝（m －12）2＋345≥320. 答案：32010.已知正方形的中心为点M (－1，0)，一条边所在直线的方程是x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．解：设与直线x ＋3y －5＝0平行的直线为x ＋3y ＋m ＝0，则中心M (－1，0)到这两直线等距离，由点到直线的距离公式得|－1－5|12＋32＝|－1＋m |12＋32⇒|m －1|＝6＝⇒m ＝7或m ＝－5. ∴与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线方程为3x －y ＋n ＝0， 则由|－3＋n |32＋12＝|－1－5|32＋12， 得|n －3|＝6⇒n ＝9或n ＝－3，∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0.11.(创新题)已知定点P (－2，－1)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，λ∈R.求证：不论λ取何值时，点P 到直线l 的距离不大于13.证明：法一：由点到直线的距离，得P (－2，－1)到直线l 的距离d ＝|（1＋3λ）·（－2）＋（1＋2λ）·（－1）－（2＋5λ）|（1＋3λ）2＋（1＋2λ）2 ＝|13λ＋5|13λ2＋10λ＋2. 整理，得(13d 2－169)λ2＋(10d 2－130)λ＋2d 2－25＝0.∵λ∈R ，∴Δ＝(10d 2－130)2－4(13d 2－169)(2d 2－25)≥0，解得0≤d ≤13.故结论成立．法二：由已知l 的方程得x ＋y －2＋λ(3x ＋2y －5)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴直线l 过定点M (1，1)．又PM ＝（－2－1）2＋（－1－1）2＝13.当且仅当l 与PM 垂直时，点P 到l 的距离最大，故0≤d ≤13.高≒考ο试╗题)库。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二2.1.6 点到直线的距离【课时目标】 1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义点到直线的垂 线段的长度夹在两条平行直 线间__________的长图示公式 (或求法)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝__________ 两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝________一、填空题1．点(2,3)到直线y ＝1的距离为________． 2．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是________．3．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则OP 的最小值是________． 4．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则PQ 的最小值为________． 5．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是__________． 6．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是__________．7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 8．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．9．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．三、解答题10．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34．(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．11．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2,3)． (1)求BC 边的高所在直线方程； (2)求△ABC 的面积S ．能力提升12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．直线方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边的方程．1．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下两点：(1)若方程不是一般式，需先化为一般式．(2)当点P在直线上时，公式仍成立，点P到直线的距离为0．2．在使用两平行线间的距离公式时，要先把直线方程化为一般式，且两直线方程中x，y的系数要化为分别相等的数．3．注意数形结合思想的运用，将抽象的代数问题几何化，要能见“数”想“形”，以“形”助“数”．2．1．6 点到直线的距离 答案知识梳理点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义点到直线的垂 线段的长度夹在两条平行直 线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2作业设计 1．2解析 画图可得；也可用点到直线的距离公式． 2．2653．22解析 OP 最小值即为O 到直线x ＋y －4＝0的距离，∴d ＝|－4|2＝22．4．3解析 PQ 的最小值即为两平行线间的距离， d ＝|3＋12|5＝3．5．y ＝1或2x ＋y －1＝0 解析 ①所求直线平行于AB ， ∵k AB ＝－2，∴其方程为y ＝－2x ＋1， 即2x ＋y －1＝0．②所求直线过线段AB 的中点M (4,1)， ∴所求直线方程为y ＝1． 6．(0,5]解析 当这两条直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时d ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5． ∴0<d ≤5．7．2x ＋y －5＝0 解析如图所示，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大， 此时k OA ＝12，∴k l ＝－2，∴方程为y －1＝－2(x －2)， 即2x ＋y －5＝0． 8．4916π9．71326解析 直线3x ＋2y －3＝0变为6x ＋4y －6＝0， ∴m ＝4．由两条平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|62＋42＝71326．10．解 (1)由点斜式方程得， y －5＝－34(x ＋2)，∴3x ＋4y －14＝0．(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0， 则由平行线间的距离公式得， |c ＋14|5＝3，c ＝1或－29． ∴3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 11．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ， 由题知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0． (2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又BC ＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·BC ·d＝12×42×22＝8．12．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴AD ＝2，BC ＝2b ．梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3． 但b >1，∴b ＝3．从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0．13．解 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P (－1,0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等， 则|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32， 得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0． 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0，3x －y －3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．。