谈谈FFT到底有何用
FFT（快速傅里叶变换）是数字信号处理的经典算法，学过DSP或者芯片设计的人大多知道这个算法。但是，大家是否想过，为什么数字信号处理会有那么多FFT呢？有人会说，为了分析信号的频谱。那么下边的问题就是，分析频谱对我们的日常需求，比如手机打电话，雷达测量速度和方向等等一些与实际需求有什么联系？为什么FFT如此重要？本文举一些简明的例子，阐释一下FFT 到底有什么用。
先回忆一下FFT是什么。上世纪70年代之前，我们主要通过模拟电路来进行信号处理，比如大家熟悉的用二极管和电容进行AM调制信号的包络检波一样，随着数字系统的普及，我们可以用处理器或者数字电路更为精确的处理信号，比如我们做AM检波，实际上可以用载波把信号混频（与余弦函数做乘法），再进行低通滤波，那么这个过程可以用数字电路的乘法器和FIR滤波器来做，FIR 比二极管和电容构成的低通滤波器阶数高的多，性能自然更为理想，同时，由于数字电路易于做成集成电路，因此我们更多地是将原先的模拟信号（比如麦克风的音频）通过模拟-数字转换器，转换为数字值后进行处理。这样的系统有几个问题，一个是信号需要被采样，其次是信号被分成若干量阶。信号被采样，也就意味着我们得到的不是原先的连续的信号了，而是一个离散的一些采集的样点。那么对时域信号进行采样，必然造成频谱的周期化，如果原先频谱仅限于有限的带宽，那么周期化之后，只要周期大于原先的带宽，那么实际上没有混叠失真。而数字电路限制我们只能进行乘加等二进制域的计算，获得另一些离散的点，因此我们不得不将频谱也进行“采样”，频域的抽样导致时域上又周期化了，好在如果我们只取有限的长度，可以假定没采集的部分进行的是周期化延拓（由于平稳系统认为信号可以分解为正余弦函数的组合，而正余弦函数是可以周期延拓的，所以这个假设没有问题），那么我们得到了时域和频域都是离散的周期延拓的点集。既然是周期延拓的，那么延拓的部分和主值区间（靠近0的那个周期）是重复的数值，因此我们只保留主值区间的部分，这样的时域点集到频域点集的变换关系叫离散傅里叶变换（DFT）。然而它的运算过于复杂，因此库里和图基（Cooley, Tukey）两人力图化简它，找到了这个算法的一些内在运算规律，得到的运算量由原来的平方级降为NlogN级，这个算法就叫按时间抽取快速傅里叶变换，桑德和图基研究按频率抽取也可以得到类似的低复杂度算法，这类算法统称快速傅里叶变换（FFT），FFT的计算结果和DFT 是完全等价的，只是运算量降低了。又由于时频变换能量不变（Parseval定理），所以频域的绝对数值没有意义了，只要获得相对数值即可，因此数字系统中的量化阶数以及数字系统溢出后的缩放调整对FFT的计算结果影响仅在于精度，而不是对错，从而，FFT正好满足数字系统可以处理的前提，同时运算复杂度不高，因此获得了广泛的应用。那么，模拟系统能不能做类似的FFT呢？可以，构造与频点数量相同个数的带通滤波器，组成一个阵列，信号进入这个带通滤波器组，每个滤波器只保留了相应频点为中心的类似于sinc的频响函数，那么就可以得到FFT的结果。当然，这个代价不是一般的系统可以负担的。所以，在没有数字电路普及的年代里，FFT基本是数学算法，是不可实现的。
现在知道FFT是什么了，它是傅里叶变换的时频离散后的可数字计算的一个变换算法，这个算法计算的对象是时域上周期延拓的点集的主值区间部分（有限个数），计算的结果是频谱，也是周期
延拓的点集的主值区间部分，与傅里叶变换等价的前提是采样速率大于信号最大频率的2倍（高频延拓不混叠），同时时域有限长度之外的部分假定按周期延拓到无穷。为了满足第一个前提，我们往往在信号处理之前（甚至是模数转换之前）加入一个低通滤波器，使得高频分量被抑制，对于比如声音或者在某个频带内的通信系统，高频分量本身就是无意义的，因此这个前提可以满足。为了满足第二个前提，我们需要保证采集的样本在采集区外的数值与假想的周期延拓的数值一致，这显然做不到，做不到导致的结果是什么呢？频谱出现泄漏，也就是频谱能量会分散到带外（比如余弦不再是一根谱线，而是sinc），分散的过程可以看做时域加矩形窗（和门函数相乘）导致的，那么频谱相当于和sinc函数的卷积，时域窗越小（也就是采集的点越少），频谱sinc的主瓣越宽，频谱泄露越严重，也就是原先一个频点的能量会被散发到更大的附近范围里，而自己的峰值会降低，如果相邻点各有个峰值，那么散发后就难以分辨了，所以系统的实际分辨率与时域窗的长度成反比，采集更多的点，才有可能获得更精细的频谱。那么，有没有办法减轻这个泄露呢？那么，最好让边界处的取值点起的作用小一点，中间的部分权重大一点，那么实际上就乘了一系列加权的数值，这些数值形成的是一个时域的窗函数，加窗之后，频谱泄露会减轻，能量会集中一些，但是主瓣会更宽，这是一个权衡。就这样，两个前提条件得以近似满足，虽然不是完全，但是也够用了。
这些都是比较基础的知识了，下面说说有趣的事情。如果FFT只用于分析确定性的平稳信号，类似于正弦或者若干正弦的复合的无限长周期信号之类，看看谱线什么的，它将不会有今天的地位。它还能用来干嘛呢？
1、做快速相关
相关在数字信号处理的重要程度可以说是炙手可热级别的。简单的讲，如果你不知道信号中的某个参数（比如频率，或者相位，或者码片序列，或者成型波形），那么你就设计带有这个参数的所有可能值的一组信号跟它做一下相关，看看结果最大的那个，所对应的参数就是最有可能的了，这个算法叫做最大似然检测，相关往往作为最大似然检测的实际执行过程。而很多时候，这个需要被测量的参数是和时间延迟有关的，举个例子，手机开机后，要和基站同步，也就是说要知道每个数据帧开始的时刻，那么怎么得到呢？首先基站和手机有一个协议，在帧的某个位置会有一个固定的序列，这个序列调制后会有一个固定的波形，那么手机就可以制造有若干延迟的波形副本，与接收到的波形相关，那么得到峰值所对应的延迟就可以换算出帧的起始时刻。有关相关的强大以后找机会再聊，那么相关和FFT有什么关系呢？相关和卷积都是复杂度非常大的运算，每计算一个延迟下的相关值，都需要两个波形所有非零部分对应相乘并且加和得到，所有的延迟下相关值构成一条曲线，叫相关函数。而当把信号转换为频域后，获取相关函数的过程可以被简化成一个信号的共轭（把虚部取反）与另外一个信号相乘的过程。即使加上正负两个FFT的开销，算下来仍然比原来小很多（N方和NlogN级的差别），这样一来，相关算法的复杂度被大大降低。那么有时候，输入的信号太长了，怎么办？大家又发现相关操作可以分段进行，可以逐段相关最后拼合起来，就得到了相关后的结果。这样一来，手机的定时的操作可以用一个快速相关的过程搞定。再举个例子，雷达如果想定位一个目标的距离，怎么做呢？最简单的想法是打一个冲击信号，看它什么时候回来，时延乘上光速除以2就是距离，但是，类似于冲激函数的波形对于功放来讲实在很难实现，因此雷达系统实际上打出去的是具有一定时间长度的带宽很大的信号，比如chirp或者某种成型，在接收时，我们
需要知道这个信号被延迟了多少，因此把它和本地的成型波形副本进行相关，成功的相关操作会得到一个带有若干峰值点的波形，这些峰值点对应的位置就是若干目标的回波时延值，换算出来就是位置，这个将波形能量压缩到点的过程一般是采用FFT实现的。
2、快速卷积
类似与相关，信号处理的一大操作类型是卷积，一个系统可以采用系统函数来表征，其输出就是输入数据卷积上系统函数，或对于平稳的随机信号而言，输出为输入数据卷积上系统函数模值的平方。卷积操作常常用于对信号进行FIR滤波，因为FIR滤波器是不带反馈的，没有记忆，可以用卷积算法直接得到输出。那么，如果数据是块数据（不是按时钟节拍的流数据），用快速卷积就可以降低运算量。其过程与快速相关雷同，区别是频域相乘时无需共轭。想一下，如果FM收音机收到好几个台，相互靠的很近，怎么办？可以采用阶数比较高的FIR带通滤波器选出想要的那个台，例如德生的DSP芯片解调的收音机可以做到0.01MHz的分辨率，这就是现在我们的数字FM收音机比原来的模拟FM收音机音质好的原因之一。
3、经典谱估计
在实际的生活里，我们不可能见到的都是确定的无限长的正余弦类的叠加的信号，最起码这样的信号在传输过程中也会叠加上噪声，即高斯白噪声，因此傅里叶变换频谱分析的前提无法满足，这样的时频变换也就没有了实际意义，退一步，我们可以分析的往往是无限长的，随机的，但在随机意义上（自相关等二阶统计特性上）平稳的信号，如果达不到这个前提，起码可以在某个时间段内满足。这样的信号往往自身是随机的，但是自相关和互相关特性往往包含信号的二阶统计信息。而对于实际的系统，我们只能估计它，相关函数估计的一个基础方法是将一个信号和带有延迟并共轭后的另一个信号的点乘运算，得到的是基于延迟的函数。上文已述，用FFT就可以搞定它。
在这种随机信号的分析上，有一个重要的定理，叫做winner-khintchine定理，它证明了信号的自相关和信号的功率谱之间的关系是FFT变换。这个有意思的桥梁使得我们可以做几件事，一个是利用自相关的估计通过FFT得到功率谱，而自相关估计通过快速相关算法计算。细心的人会发现，这个流程最后一个FFT紧接IFFT，抵消后实际上只需要一个FFT，而不是三个，那么这样的功率谱估计叫周期图法功率谱估计，也是我们最经常使用的经典谱估计。值得注意的是，信号的功率谱实际上对应的是自相关的理想值，而不是通过接收到的数据得到的估计值（上边用快速相关算的是估计值），这个估计如果采用了边界处的点，那么相关的数值由于假象边界外数值为0而造成了偏差，如果我们只利用中心的若干点，那么会相对准确一些，这个计算自相关后选取可靠的点，再进行傅里叶的做法叫做自相关法功率谱估计。最有趣的是，两个方法可以复合使用，先对数据分段交叠进行周期图估计，取这些结果的均值IFFT得到自相关，取自相关的加窗（类似于上文的加权的作用）得到更好的自相关估计，再FFT得到谱估计，这个方法是认为改进的比较好的经典谱估计，叫Welch 法。这些方法之所以能够被接纳，主要是由于FFT的桥梁的作用。否则，这样的方法就无法应用到系统中了。频谱仪这类的仪器就可以采用这些经典谱估计算法（当然也有扫频的）。另外，由于功率谱的峰值的下标代表着信号的频率，如果这个信号是物体的反射回波，那么可以根据多普勒公式换算出物体的速度，一类采用这种测速机制的雷达叫脉冲多普勒雷达。
4、现代谱估计
为了取得更精确的谱估计，有些学者认为可以通过构造模型，并且设待定参数的方法，获得更好的谱估计，只要系统模型设计得合理，待定参数被估计得有效，那么对信号的谱估计可以转化为这个模型的谱，这样就可以得到更为精确的估计效果。这样的基于模型的谱估计叫现代谱估计。那么怎么叫合理呢？大家认为欧式距离最小化比较合理，也就是最小均方准则，在这个准则下，加上线性系统的前提条件，那个有趣的平方的期望被转化为系统的自相关和互相关项（Wiener－Hopf方程），而这两个项的估计方法，无需多问，也只能是采用快速相关完成比较有效，这就是FFT在有了现代谱估计，AR模型，MA模型等理论以后，仍能派上用场的一些原因。起码在计算上，自相关法是已知的AR参数估计方法中最简单的一种。估计出模型后，我们还可以做别的事情，比如根据模型来估计信号未来的趋势，叫做信号的预测，也可以对已经采集的信号通过这个模型进行平滑处理等等。再比如，如果想测量一个物体的方位怎么做？在现代雷达中，一般会有一个天线阵列，如果接收到的物体的回波与天线阵列有个角度的话，那么不同的天线会接收到回波不同时刻（不同相位，幅度基本不变）的值，那么，可以利用若干天线的回波信号估计出若干目标物体的方位角度，叫做到达角（DOA）估计，有两个经典的算法：MUSIC和ESPRIT，他们都是二阶统计信号算法，依赖于自相关矩阵作为计算的起始，因而FFT可以作为自相关估计的快速算法。
5、构建正交系统
一个FFT得到的离散频谱和原先的连续频谱在离散点之间值遵循什么规律？这些部分可以认为是一族正交的sinc函数叠加的结果，也可以认为是一个主瓣宽度为频谱间隔宽度的sinc函数与冲积函数串卷积的结果（因为时域是矩形窗与原信号相乘的结果），此处的正交指的是一个离散点的值与另一个离散点的值没有关系，互不影响，这样的系统可以用来构建通信收发信机，由于采用sinc函数正交的效果是频谱效率最好的（采用抑制带宽的办法虽然可以抑制每个子带的带外旁瓣，但是会造成时域信号的延拓，从而造成符号间干扰）。正交频分复用（OFDM）正是利用了各个离散频点之间的正交特性构建了一个高性能低运算复杂度的收发机。其工作原理是首先将要发射的数据放置在各个频点上，一般采用QAM或PSK调制，之后IFFT得到时域信号发射出去，这些频点数据形成的时域发射波形实际上是一组频率倍数关系的正交余弦函数，接收机收到这样的信号后，再进行FFT，转换到频域（或者说是正交域），从而得到每个频点上的传输的符号的估计。这个系统的巧妙之处在于克服了宽带无线通信系统的多径衰落，因为，从整个频带上看，信道不是一个常数，有的频点的数值增强了，有的减弱了，同时还有相位扭曲。但是当把它分成很多正交的子信道之后，这些信道内部可以看做为平坦的，那么通过均衡器，比如迫零均衡之后，我们就可以得到类似于冲击响应的子信道特性，从而解调出每个子信道符号的值。由于子信道之间正交，互不干扰，因此可以实现多载波通信，并行传输所有的数据，大大加快了传输速度，这也就是4G移动通信速度可以达到百兆甚至更高的核心技术之一。
如今，FFT运算能力已经成为处理器的性能标尺之一（https://www.doczj.com/doc/7715638003.html,/benchfft/ffts.html）。比如一个TI C6000系列的高性能DSP处理器，可以在半个时钟输出一个数据点，那么可以做到几百兆比特每秒的处理速率。硬件的优化使得FFT已经成为信号处理算法内部的高速公路。
FFT的意义可能远不止这些，而且也有许多的变种，比如二维FFT，DCT等等，在图像领域发挥着图像模糊（清晰），轮廓化，压缩等贡献。本文只是一个引子，让致力于研究和开发数字系统的同行能够更清晰地理解系统的原理和算法的实质。所提及的内容都是信号处理的基础书籍，一般的硕士课程多有涉及，如此整理一番也算有点新意，希望对大家有所借鉴。
源地址：
https://www.doczj.com/doc/7715638003.html,/blog/223759432/890681485
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也
写在最前面：本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得，绝大部分内容非我所原创。在此向多位原创作者致敬！！！ 为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换究竟有何意义？如何用Matlab实现快速傅立叶变换？来源：张宗帅.docx的日志 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.doczj.com/doc/7715638003.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
傅里叶变换在信号处理中的应用 姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013 摘要： 傅里叶变换是一种特殊的积分变换。通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点，虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着广泛的应用，通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少马间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输，另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理，总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。 关键词： 傅里叶变换，时域，频域，信号处理，信息科学与技术，滤波，调制，抽样。 一傅里叶变换 1.定义 f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ① 傅里叶变换 傅里叶逆变换 2.分类 连续傅立叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”。“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = \mathcal^[F（ω）] = \frac{\sqrt{2π}} \int\limits_{-\infty}^\infty F（ω）e^{iωt}\,dω.
快速傅里叶变换 FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。 虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。 现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。 采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。 假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示 采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高
傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著，机械工业出版社2012年发行。 定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译
名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于
《数字信号处理》课程 （2010-2011学年第1学期）成绩： 实验二快速傅里叶变换（FFT）及其应用 学生姓名：闫春遐 所在院系：电子信息工程学院自动化系 年级专业：2008级自动化系 学号：00824049 指导教师：王亮 完成日期：2010年9月27日
实验二 快速傅里叶变换（FFT ）及其应用 一、实验目的 （1）在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT 的理解，熟悉MATLAB 中的有关函数。 （2）应用FFT 对典型信号进行频谱分析。 （3）了解应用FFT 进行信号频谱分析过程可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT 。 （4）应用FFT 实现序列的线性卷积和相关。 二、实验内容 实验中用到的信号序列： a ）高斯序列 2 ()015()0 n p q a e n x n --??≤≤=???其他 b ）衰减正弦序列 sin(2)015 ()0an b e fn n x n π-?≤≤=?? 其他 c ）三角波序列 03()847 0c n n x n n n ≤≤?? =-≤≤??? 其他 d ）反三角波序列 403()447 0d n n x n n n -≤≤?? =-≤≤??? 其他 上机实验内容： （1）观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号()a x n 中参数8p =，改变q 的值，使q 分别等于2、4、8，观察他们的时域和幅频特性，了解当q 取不同值时，对信号的时域和幅频特性的影响；固定8q =，改变p ，使p 分别等于8、13、
14，观察参数p变化对信号序列的时域及幅频特性的影响，注意p等于多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。 解答: >> n=0:1:15; >> xn=exp(-(n-8).^2/2); >> subplot(1,2,1);stem(n,xn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)'); >> xk1=fft(xn);xk1=abs(xk1); >> subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)'); >> xn=exp(-(n-8).^2/4); >> subplot(1,2,1);stem(n,xn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)'); >> xk1=fft(xn);xk1=abs(xk1); >> subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');
Matlab中快速傅里叶变换FFT结果的物理意义 FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。 虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。 现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此啰嗦了。 采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。 假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，(1/fs*n=t)刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz(fs/n即频域两点间距)。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。 假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。 下面以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V 的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下： S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第50个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
快速傅里叶变换(FFT)的DSP 实现 (马灿明 计算机学院 计算机应用技术 2110605410) 摘要:本文对快速傅里叶变换(FFT)原理进行简单介绍后，然后介绍FFT 在TMS320C55xx 定 点DSP 上的实现，FFT 算法采用C 语言和汇编混合编程来实现，算法程序利用了CCS 对其结果进行了仿真。 关键字：FFT ，DSP ，比特反转 1.引言 傅里叶变换是将信号从时域变换到频域的一种变换形式，是信号处理领域中一种重要的分析工具。离散傅里叶变换（DFT ）是连续傅里叶变换在离散系统中的表现形式。由于DFT 的计算量很大，因此在很长一段时间内使其应用受到很大的限制。 20世纪60年代由Cooley 和Tukey 提出了快速傅里叶变换（FFT ）算法，它是快速计算DFT 的一种高效方法，可以明显地降低运算量，大大地提高DFT 的运算速度，从而使DFT 在实际中得到了广泛的应用，已成为数字信号处理最为重要的工具之一。 DSP 芯片的出现使FFT 的实现变得更加方便。由于多数的DSP 芯片都能在单指令周期内完成乘法—累加运算，而且还提供了专门的FFT 指令（如实现FFT 算法所必需的比特反转等），使得FFT 算法在DSP 芯片上实现的速度更快。本节首先简要介绍FFT 算法的基本原理，然后介绍FFT 算法的DSP 实现。 2.FFT 算法的简介 快速傅里叶变换（FFT ）是一种高效实现离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，是数字信号处理中最为重要的工具之一，它在声学，语音，电信和信号处理等领域有着广泛的应用。 2.1离散傅里叶变换DFT 对于长度为N 的有限长序列x(n)，它的离散傅里叶变换（DFT ）为 1,1,0, )()(1 0-==∑-=N k W n x k X n n nk N （1） 式中， N j N e W /2π-= ，称为旋转因子或蝶形因子。 从DFT 的定义可以看出，在x(n)为复数序列的情况下，对某个k 值，直接按（1） 式计算X(k) 只需要N 次复数乘法和（N-1）次复数加法。因此，对所有N 个k 值，共需要N 2 次复数乘法和N(N-1)次复数加法。对于一些相当大有N 值（如1024点）来说，直接计算它的DFT 所需要的计算量是很大的，因此DFT 运算的应用受到了很大的限制。 2.2快速傅里叶变换FFT 旋转因子W N 有如下的特性。 。对称性： 2/N k N k N W W +-= 。周期性： N k N k N W W += 利用这些特性，既可以使DFT 中有些项合并，减少了乘法积项，又可以将长序列的DFT
快速傅里叶变换地现实作用 （快速傅里叶变换）是数字信号处理地经典算法，学过或者芯片设计地人大多知道这个算法.但是，大家是否想过，为什么数字信号处理会有那么多呢？有人会说，为了分析信号地频谱.那么下边地问题就是，分析频谱对我们地日常需求，比如手机打电话，雷达测量速度和方向等等一些与实际需求有什么联系？为什么如此重要？本文举一些简明地例子，阐释一下到底有什么用. 先回忆一下是什么.上世纪年代之前，我们主要通过模拟电路来进行信号处理，比如大家熟悉地用二极管和电容进行调制信号地包络检波一样，随着数字系统地普及，我们可以用处理器或者数字电路更为精确地处理信号，比如我们做检波，实际上可以用载波把信号混频（与余弦函数做乘法），再进行低通滤波，那么这个过程可以用数字电路地乘法器和滤波器来做，比二极管和电容构成地低通滤波器阶数高地多，性能自然更为理想，同时，由于数字电路易于做成集成电路，因此我们更多地是将原先地模拟信号（比如麦克风地音频）通过模拟数字转换器，转换为数字值后进行处理.这样地系统有几个问题，一个是信号需要被采样，其次是信号被分成若干量阶.信号被采样，也就意味着我们得到地不是原先地连续地信号了，而是一个离散地一些采集地样点.那么对时域信号进行采样，必然造成频谱地周期化，如果原先频谱仅限于有限地带宽，那么周期化之后，只要周期大于原先地带宽，那么实际上没有混叠失真.而数字电路限制我们只能进行乘加
等二进制域地计算，获得另一些离散地点，因此我们不得不将频谱也进行“采样”，频域地抽样导致时域上又周期化了，好在如果我们只取有限地长度，可以假定没采集地部分进行地是周期化延拓（由于平稳系统认为信号可以分解为正余弦函数地组合，而正余弦函数是可以周期延拓地，所以这个假设没有问题），那么我们得到了时域和频域都是离散地周期延拓地点集.既然是周期延拓地，那么延拓地部分和主值区间（靠近地那个周期）是重复地数值，因此我们只保留主值区间地部分，这样地时域点集到频域点集地变换关系叫离散傅里叶变换（）.然而它地运算过于复杂，因此库里和图基（, ）两人力图化简它，找到了这个算法地一些内在运算规律，得到地运算量由原来地平方级降为级，这个算法就叫按时间抽取快速傅里叶变换，桑德和图基研究按频率抽取也可以得到类似地低复杂度算法，这类算法统称快速傅里叶变换（），地计算结果和是完全等价地，只是运算量降低了.又由于时频变换能量不变（定理），所以频域地绝对数值没有意义了，只要获得相对数值即可，因此数字系统中地量化阶数以及数字系统溢出后地缩放调整对地计算结果影响仅在于精度，而不是对错，从而，正好满足数字系统可以处理地前提，同时运算复杂度不高，因此获得了广泛地应用.那么，模拟系统能不能做类似地呢？可以，构造与频点数量相同个数地带通滤波器，组成一个阵列，信号进入这个带通滤波器组，每个滤波器只保留了相应频点为中心地类似于地频响函数，那么就可以得到地结果.当然，这个代价不是一般地系统可以负担地.所以，在没有数字电路普及地年代里，基本是数学算法，是不可实现地.
傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 傅里叶变换属于谐波分析。 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). 1、为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？ 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。 因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;４. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 2、图像傅立叶变换的物理意义 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区
kn N W N N 第四章 快速傅里叶变换 有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。 快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。 DFT 的定义式为 N ?1 X (k ) = ∑ x (n )W N R N (k ) n =0 在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2 次复数乘法 和 N ( N ? 1) 次复数加法。即计算量是与 N 2 成正比的。 FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。 W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT 运算： （1） 周期性： ( k + N ) n N = W kn = W ( n + N ) k （2） 对称性：W ( k + N / 2 ) = ?W k N N 利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。例子： 求当 N ＝4 时，X(2)的值
快速傅里叶变换在OFDM系统中的应用 李晓亮,王红军 (1.江西鹰潭工业技术研究所,江西鹰潭335001; 2.解放军电子工程学院,安徽合肥 230031) 摘要:本文简要分析了未来OFDM数字通信系统的基本模型和可能采用的信号调制与解调的方法,在此基础上详细地解析了数据序列经过快速傅里叶逆变换/快速傅里叶变换(IFFT/FFT)后的输出结果与M进制数字调制解调之间的联系,并给出了能够实现OFDM调制解调的合适的IFFT/FFT算法,实际仿真结果表明快速傅里叶变换及反变换在未来OFDM技术中具有一定的实用价值。 关键词:正交频分复用技术;调制;解调; IFFT;FFT Application of IFFT /FFT in OFDM Systems LIXiao-liang , WANGHong-jun (1.The Industry Technology Institute, Yingtan 335001,China;2. PLA Electronic Engineering Institute, Hefei230037,China) Abstract: On the basis of the analysis of the basic model of OFDM system and its potential means of modulating and demodulating, this paper discusses the mutual relation of the sequence of data IFFT/FFT and the result of M-modulation and M-demodulation in detail, then gives the appropriate modulation and demodulation algorithm of IFFT/FFT to OFDM system. The simulation result shows the definite importance of IFFT/FFT to OFDM in future practical application. Key words: OFDM technology; Modulation; Demodulation; IFFT; FFT
#include 实验二、应用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析 一、 实验目的 1、 加深对DFT 算法原理和基本性质的理解，熟悉FFT 算法原理。 2、 掌握应用FFT 对信号进行频谱分析的方法。 3、 通过本实验进一步掌握频域采样定理。 4、 了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中 正确应用FFT 。 二、 实验原理 1、 一个连续时间信号()a x t 的频谱可以用它的傅里叶变换表示为： ()()j t a a X j x t e dt +∞ -Ω-∞ Ω=? 如果对信号进行理想采样，得： ()()a x n x nT =， 其中，T 为采样周期。对()x n 进行Z 变换，得： ()()n n X Z x n z +∞ -=-∞ = ∑ 当jwt z e -=时，我们便得到序列傅氏变换SFT ： ()()jw jwn n X e x n e +∞ -=-∞ = ∑ 其中w 称为数字角频率：/s w T F =Ω=Ω。 2、12()[()]jw a m w m X e X j T T T π+∞=-∞=-∑，序列的频谱是 原模拟信号频谱的周期延拓，这样，可以通过分析序列的频谱，得到相应连续信号的频谱。 3、离散傅里叶变换（DFT ）能更好的反映序列的频域特性。 当序列()x n 的长度为N 时，它的离散傅氏变换为： 1 0()[()]()N kn N n X k DFT X n x n W -===∑ 它的反变换为： 10 1()[()]()N kn N n x n IDFT X k X k W N --===∑ 比较Z 变换式和DFT 式，令k N z W -=，则 10 ()|()[()]k N N kn N z W n X z x n W DFT X n --====∑ 因此有 ()()|k N z W X k X z -== 即k N W -是z 平面单位圆上幅角为2/w k N π=的点，也即是将单位圆 N 等分后的第k 点。所以()X k 是()x n 的Z 变换在单位圆上的 等距采样，或者说是序列傅氏变换的等距采样。 三、 如何提高估计精度 增大做FFT 运算的点数 四、 幅频特性曲线及结果分析 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/7715638003.html, 快速傅里叶变换算法（FFT）在无线通信系统正交频分复用（OFDM）结构中的重要作用 作者：郑严 来源：《数字化用户》2014年第02期 【摘要】OFDM（正交频分复用）技术是无线通信系统中应用非常广泛的技术之一，由于其高频谱效率、低信噪比、链路独立调制等优秀的特点，OFDM在第三代无线通信中也将得到非常广泛的应用。OFDM技术采取了多载波调制的思想，将高速数据信号转换成并行的低速子数据流，调制到自信道上进行传输。为了减小信道带宽，正交频分复用技术必须采取傅里叶变换的算法实现各子载波之间相互正交，本文对傅里叶变换算法在正交频分复用复用技术上的应用做了较为详细的描述。 【关键词】正交频分复用傅里叶变换 OFDM（正交频分复用）技术已经发展了几十年，然而近几年这项技术被广泛的应用到现代通信系统中，如移动无线FM信道，高比特率数字用户线系统（HDSL），不对称数字用户线系统（ADSL），数字音频广播（DBA）系统等。IEEE802.11a通过了一个SGHz的无线局 域网标准，其中OFDM调制技术被采用为物理层标准，使得传输速率可达54Mbps。欧洲电信组织（ETsl）的快带射频接入网的局域网标准也把OFDM定为它的调制标准技术。拥有我国 自主知识产权的3G标准——TD-SCDMA提出的B3G/4G的目标是在高速移动环境下支持高达100Mb/s的下行数据传输速率，在室内和静止环境下支持高达1Gb/s的下行数据传输速率，而OFDM技术也将扮演重要的角色。 一个典型的OFDM系统如下图中所示，图一、图二分别为OFDM系统的发送端和接收端。在发送端，数据流先经过一个调制器进行QPSK或QAM的调制编码，然后经过一个快速傅里叶逆变换（IFFT）算法之后把数据变成多个相互正交的子载波，最后通过数模变换之后数据就成为基带信号可以发送了。接受端则是发送端的相反过程，值得注意的是，此时使用的是快速傅里叶变换（FFT），而发送端使用的是逆向的傅里叶变换。 IFFT是OFDM调制过程中最重要的一个步骤，每个IFFT输出的数据符号都是由所有子载波信号经过叠加而生成的，即对连续的多个经过调制的子载波的叠加信号进行抽样得到的。IFFT和FFT并不是信号在时域与频域中的转换过程，而仅仅代表了一种算法，通过这种算法，将OFDM数据中的每个子载波相互的正交起来，已达到在传输过程中，因为正交而相互独立传输的目的。 实验四 快速傅里叶变换（FFT ） 4.1实验目的 1）加深对快速傅里叶变换（FFT ）基本理论的理解； 2）了解使用快速傅里叶变换（FFT ）计算有限长序列和无限长序列信号频谱的方法； 3）掌握用MATLAB 语言进行快速傅里叶变换时常用的子函数。 4.2实验原理 1）用MATLAB 提供的子函数进行快速傅里叶变换 从理论学习可知，DFT 是唯一在时域和频域均为离散序列的变换方法，它适用于有限长序列。尽管这种变换方法是可以用于数值计算的，但如果只是简单的按照定义进行数据处理，当序列长度很大时，则将占用很大的内存空间，运算时间将很长。 快速傅里叶变换是用于DFT 运算的高效运算方法的统称，FFT 只是其中的一种。FFT 主要有时域抽取算法和频域抽取算法，基本思想是将一个长度为N 的序列分解成多个短序列，如基2算法、基4算法等，大大缩短了运算的时间。 MATLAB 中提供了进行快速傅里叶变换（FFT ）的子函数，用fft 计算DFT ，用ifft 计算IDFT 。 2）用FFT 计算有限长序列的频谱 基本概念： 一个序号从1n 到2n 的时域有限长序列()x n ，它的频谱()j X e ω定义为它的离散时间傅里叶变换，且在奈奎斯特（Nyquist ）频率范围内有界并连续。序列的长度为N ，则211N n n =?+。计算()x n 的离散傅里叶变换（DFT ）得到的是()j X e ω的N 个样本点()k j X e ω。其中数字频率为 k 2πω()d ωk k N == 式中：d ω为数字频率的分辨率；k 取对应－(N －1)/2到(N －1)/2区间的整数。 在实际使用中，往往要求计算出信号以模拟频率为横坐标的频谱，此时对应的模拟频率为 s s 2π2π?ω/T ()()T k k k k kD N L ==== 式中：D 为模拟频率的分辨率或频率间隔；T s 为采样信号的周期，Ts ＝1/Fs ；定义信号时域长度L ＝N T s 。实验二应用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析
快速傅里叶变换算法(FFT)在无线通信系统正交频分复用(OFDM)结构中的重要作用
实验四 快速傅里叶变换(FFT)
相关主题
文本预览