快速傅里叶变换FFT2

⽂中内容均为个⼈理解，如有错误请指出，不胜感激前⾔先解释⼏个⽐较容易混淆的缩写吧FMT 快速莫⽐乌斯变化—>感谢stump提供多项式复数在介绍复数之前，⾸先介绍⼀些可能会⽤到的东西(好像画的不是很标准。

)定义设a ,b 为实数，i 2=−1，形如a +bi 的数叫复数，其中i 被称为虚数单位，复数域是⽬前已知最⼤的域在复平⾯中，x 代表实数，y 轴（除原点外的点）代表虚数，从原点(0,0)到(a ,b )的向量表⽰复数a +bi模长：从原点(0,0)到点(a ,b )的距离，即√a 2+b 2幅⾓：假设以逆时针为正⽅向，从x 轴正半轴到已知向量的转⾓的有向⾓叫做幅⾓运算法则加法：因为在复平⾯中，复数可以被表⽰为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满⾜平⾏四边形定则（就是上⾯那个）乘法：⼏何定义：复数相乘，模长相乘，幅⾓相加代数定义：(a +bi )∗(c +di )=ac +adi +bci +bdi 2=ac +adi +bci −bd=(ac −bd )+(bc +ad )i单位根下⽂中，默认n 为2的正整数次幂在复平⾯上，以原点为圆⼼，1为半径作圆，所得的圆叫单位圆。

以圆点为起点，圆的n 等分点为终点，做n 个向量，设幅⾓为正且最⼩的向量对应的复数为ωn ，称为n 次单位根。

根据复数乘法的运算法则，其余n −1个复数为ω2n ,ω3n ,…,ωn n 注意ω0n =ωn n =1（对应复平⾯上以x 轴为正⽅向的向量）那么如何计算它们的值呢？这个问题可以由欧拉公式解决ωk n =cos k ∗2πn +i sin k ∗2πn例如图中向量AB 表⽰的复数为8次单位根单位根的幅⾓为周⾓的1n在代数中，若z n =1，我们把z 称为n 次单位根单位根的性质ωk n =cos k2πn +i sin k 2πn （即上⾯的公式）ω2k 2n =ωk n证明：ω2k 2n =cos2k ∗2π2n +i sin2k ∗2π2n =ωk nωk +n2n =−ωk n ωn2n =cos n 2∗2πn +i sin n 2∗2πn =cos π+i sin π=−1ω0n =ωn n =1讲了这么多，貌似跟我们的正题没啥关系啊。

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种在数字信号处理和数值分析中广泛应用的算法，它能够高效地计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），从而在频域中分析信号的频谱特性。

而在matlab中，使用FFT函数可以方便地进行快速傅里叶变换的计算和处理。

1. FFT的基本原理在介绍matlab中的FFT函数之前，我们先来了解一下FFT的基本原理。

FFT算法是一种分治法的思想，在计算傅里叶变换时通过将原始信号分解为奇偶部分，然后递归地进行计算，最终得到傅里叶变换的结果。

这种分治的思想使得FFT算法的计算复杂度降低到了O(n log n)，比直接计算DFT的O(n^2)复杂度要低很多，因此在实际应用中得到了广泛的应用。

2. matlab中的FFT函数在matlab中，可以使用fft函数来进行快速傅里叶变换的计算。

fft函数的基本语法如下：```Y = fft(X)```其中，X表示输入的信号序列，可以是实数或复数序列；Y表示经过FFT变换后得到的频谱结果。

在使用fft函数时，最常见的是对时域信号进行FFT变换，然后得到其频谱特性。

3. FFT在信号处理中的应用FFT算法在信号处理中有着广泛的应用，其中最常见的就是对信号的频谱特性进行分析。

通过对信号进行FFT变换，可以得到其频谱图，从而可以直观地了解信号的频域特性，包括频率成分、幅度特性等。

这对于音频处理、振动分析、通信系统等领域都是非常重要的。

4. FFT在图像处理中的应用除了在信号处理中的应用，FFT算法也在图像处理中有着重要的地位。

在图像处理中，FFT可以用来进行频域滤波，包括低通滤波、高通滤波、带通滤波等操作。

通过FFT变换，我们可以将图像从空域转换到频域，在频域中进行滤波操作，然后再通过逆FFT变换将图像恢复到空域，从而达到图像增强、去噪等效果。

5. FFT在数学建模中的应用除了在信号处理和图像处理中的应用外，FFT算法还在数学建模和仿真计算中有着重要的作用。

matlab的fft函数用法MATLAB中的fft函数用于计算快速傅里叶变换（FFT）。

FFT是一种将信号从时域转换为频域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。

在本文中，我将一步一步回答有关MATLAB中fft函数的使用方法。

一、基本语法在MATLAB中，fft函数的基本语法如下：Y = fft(X)其中，X是要进行FFT的向量或矩阵，输出结果Y是X的离散傅里叶变换的向量或矩阵。

二、一维FFT首先我们来看一维FFT的使用方法。

假设有一个长度为N的一维向量x，我们将对其进行FFT变换并得到变换结果y。

1. 创建输入向量首先，我们需要创建一个长度为N的向量x，作为FFT的输入。

可以通过以下代码实现：N = 1024; % 向量长度x = randn(N, 1); % 创建长度为N的随机向量2. 进行FFT变换接下来，我们使用fft函数对向量x进行FFT变换，代码如下：y = fft(x);3. 可视化结果为了更好地理解和分析FFT结果，通常会对结果进行可视化。

我们可以使用MATLAB的绘图函数来绘制FFT结果的幅度和相位谱。

例如，可以使用如下代码绘制幅度谱：f = (0:N-1)./N; % 频率轴amp = abs(y); % 幅度谱figure;plot(f, amp);xlabel('Frequency (Hz)');ylabel('Amplitude');title('Amplitude Spectrum');同样，可以使用如下代码绘制相位谱：phase = angle(y); % 相位谱figure;plot(f, phase);xlabel('Frequency (Hz)');ylabel('Phase');title('Phase Spectrum');三、二维FFT除了一维FFT，MATLAB中的fft函数还支持二维FFT。

快速傅里叶变换fft原理
快速傅立叶变换(Fast Fourier Transform，FFT）是一种将时域信号转变为频
域信号的数字信号处理方法。

它通常比傅里叶变换（Fourier Transform，FT）更快、更方便。

它通过将高维度的折叠为低维度，将傅里叶变换从背景计算量O（N2）优化到O（NlogN），并延长空间采样前的信号。

FFT可以理解为若干特殊形式的数学公式，用于将复数的时域函数转换为它们
的频域表示形式的变换，即其频域图像。

例如，我们可以将一个正弦信号的时域图像转换为它的频域图像，从而可以获得关于这个信号的频率的一些有用信息。

FFT的运算思想和FT一样，它们都使用复数的形式将时域信号变换成频域信号，但FFT采用更加高效的算法，以缩短复杂度为O（NlogN）。

它还允许用户以
恒定频率对信号进行采样，然后分析其时域运动规律。

因此，FFT应用于诸如脉冲
调制、音频信号分析等复杂的应用场景，广泛的地增强了计算能力。

fft2缩放因子
FFT（快速傅里叶变换）是一种在数字信号处理中常用的算法，用于将时域信号转换为频域信号。

在二维FFT中，缩放因子是一个重要的概念，用于校正由于离散傅里叶变换（DFT）导致的幅度误差。

在二维FFT中，对于一个大小为N×N的输入信号，其频域表示为X(k, l)，其中k和l 分别是频域的行和列索引。

然而，由于DFT的限制，实际计算的X(k, l)可能存在幅度误差。

为了校正这个误差，通常会引入一个缩放因子，记为s。

缩放因子的计算公式如下：
s = 1 / (N * N)
通过将X(k, l)乘以s，可以得到更精确的频域表示。

需要注意的是，缩放因子的引入并不改变频域信号的相位。

此外，缩放因子的大小与FFT算法的实现有关。

不同的FFT算法（如Cooley-Tukey、Radix-2、Radix-4等）可能具有不同的缩放因子。

在实际应用中，为了获得更精确的结果，需要根据所使用的FFT算法选择合适的缩放因子。

值得注意的是，缩放因子在信号处理、图像处理、频谱分析等领域中都有广泛的应用。

除了二维FFT外，缩放因子也适用于其他类型的DFT和FFT算法。

因此，了解缩放因子的概念和使用方法对于数字信号处理领域的专业人员来说非常重要。

2维FFT算法实现——基于GPU的基2快速⼆维傅⾥叶变换上篇讲述了⼀维FFT的GPU实现（），后来我⼜由于需要做了⼀下⼆维FFT，⼤概思路如下。

⾸先看的肯定是公式：如上⾯公式所描述的，2维FFT只需要拆分成⾏FFT，和列FFT就⾏了，其中我在下⾯的实现是假设原点在F(0,0)，由于我的代码需要原点在中⼼，所以在最后我将原点移动到了中⼼。

下⾯是原点F(0,0)的2维FFT的伪代码：//C2DFFT//被执⾏2DFFT的是⼀个N*N的矩阵，在source_2d中按⾏顺序储存//⽔平⽅向FFTfor (int i=0;i<N;i++){fft1(&source_2d[i*N],&source_2d_1[i*N],N);}//转置列成⾏for (int i=0;i<N*N;i++){int x = i%N;int y = i/N;int index = x*N+y;source_2d[index] = source_2d_1[i];}//垂直FFTfor(int i=0;i<N;i++){fft1(&source_2d[i*N],&source_2d_1[i*N],N);}//转置回来for (int i=0;i<N*N;i++){int x = i%N;int y = i/N;int index = x*N+y;source_2d[index] = source_2d_1[i];}GPU实现⽆⾮把这些东西转换到GPU上。

我基于OpenGL的fragment shader来计算fft；数据都存放在纹理或者FBO⾥⾯。

和1维fft不同的是，NXN的数据⾥⾯，只是对当前列或者当前排做⼀维FFT，所以bit反转表只需要⼀个1*N的buffer就可以了。

对应的蝴蝶图数据也只需要1*N即可。

所以我们有如下的分配：static ofFbo _fbo_bitrev_table;static ofFbo _origin_butterfly_2d;_fbo_bitrev_table.allocate(N,1,GL_RGBA32F);_origin_butterfly_2d.allocate(N,1,GL_RGBA32F);⾸先要做的是把长度为N的bit反转表求出来，这个只需要求⼀次，所以在最开始的时候就⽤CPU求出来：for(int i=0;i<N;i++){_bitrev_index_2d.setColor(i,0,ofFloatColor(bit_rev(i,N-1),0,0,0));}_bitrev_index_2d.update();//翻转后的索引_fbo_bitrev_table.begin();_bitrev_index_2d.draw(0,0,N,1);_fbo_bitrev_table.end();然后初始化最初的蝴蝶图，这个和1维FFT是⼀样的，只是长度不同⽽已：for(int i=0;i<N;i++){//初始化⼆维蝴蝶图if(i%2==0){_data_2d.setColor(i,0,ofFloatColor(0.f,2.f,0,i+1));}else{_data_2d.setColor(i,0,ofFloatColor(1.f,2.f,0,i-1));}}_data_2d.update();/////////////////2D初始化///////////////////初始化2D蝴蝶图_weight_index_2d[0].begin();_data_2d.draw(0,0,N,1);_weight_index_2d[0].end();//备份2D初始蝴蝶图,⽤于下⼀次新的计算_origin_butterfly_2d.begin();_data_2d.draw(0,0,N,1);_origin_butterfly_2d.end();辅助函数：static unsigned int bit_rev(unsigned int v, unsigned int maxv){unsigned int t = log(maxv + 1)/log(2);unsigned int ret = 0;unsigned int s = 0x80000000>>(31);for (unsigned int i = 0; i < t; ++i){unsigned int r = v&(s << i);ret |= (r << (t-i-1)) >> (i);}return ret;}static void bit_reverse_copy(RBVector2 src[], RBVector2 des[], int len){for (int i = 0; i < len;i++){des[bit_rev(i, len-1)] = src[i];}}下⾯定义计算2维IFFT的函数：void GPUFFT::ifft_2d(ofFbo& in,ofFbo& out,int size);其中in是输⼊，out是输出，size就是N，由初始化的时候传⼊了⼀次，在这⾥写是为了⽅便调试的时候临时改变尺⼨。

快速傅立叶变换(FFT)算法实验摘要：FFT（Fast Fourier Transformation），即为快速傅里叶变换，是离散傅里叶变换的快速算法，它是根据离散傅里叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

这种算法大大减少了变换中的运算量，使得其在数字信号处理中有了广泛的运用。

本实验主要要求掌握在CCS环境下用窗函数法设计FFT快速傅里叶的原理和方法；并且熟悉FFT快速傅里叶特性；以及通过本次试验了解各种窗函数对快速傅里叶特性的影响等。

引言：快速傅里叶变换FFT是离散傅里叶变换DFT的一种快速算法。

起初DFT的计算在数字信号处理中就非常有用，但由于计算量太大，即使采用计算机也很难对问题进行实时处理，所以并没有得到真正的运用。

1965年J.W.库利和T.W.图基提出快速傅里叶变换，采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少,特别是被变换的抽样点数N越多,FFT算法计算量的节省就越显著。

从此，对快速傅里叶变换（FFT）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。

根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法，基本算法是基2DIT和基2DIF。

FFT 的出现，使信号分析从时域分析向频域分析成为可能，极大地推动了信号分析在各领域的实际应用。

FFT在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。

一、 实验原理：FFT 并不是一种新的变换，它是离散傅立叶变换（DFT ）的一种快速算法。

由于我们在计算DFT 时一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法；一次复数加法则需二次实数加法。

每运算一个X （k ）需要4N 次复数乘法及2N+2（N-1）=2（2N-1）次实数加法。

所以整个DFT 运算总共需要4N^2次实数乘法和N*2(2N-1)=2N(2N-1)次实数加法。

如此一来，计算时乘法次数和加法次数都是和N^2成正比的，当N 很大时，运算量是可观的，因而需要改进对DFT 的算法减少运算速度。

function y=MyFFT_FB(x,n)%MYFFT_TB:My Fast Fourier Transform Frequency Based%按频率抽取基2-fft算法%input:% x -- 输入的一维样本% n -- 变换长度，缺省时 n=length(x) 当n小于x数据长度时，x数据被截断到第n个数据% 当n大于时，x数据在尾部补0直到 x 含n个数据%output:% y -- 1*n的向量，快速傅里叶变换结果%variable define:% N -- 一维数据x的长度% xtem -- 临时储存x数据用% m,M -- 对N进行分解 N=2^m*M,M为不能被2整除的整数% two_m -- 2^m% adr -- 变址，1*N的向量% l -- 当前蝶形运算的级数% W -- 长为 N/2的向量，记录 W(0,N),W(1,N),...W(N/2-1,N)% d -- 蝶形运算两点间距离% t -- 第l级蝶形运算含有的奇偶数组的个数% mul -- 标量，乘数% ind1,ind2 -- 标量，下标% tem -- 标量，用于临时储存%参考文献：% 81c 输入参数个数检查msg=nargchk(1,2,nargin);error(msg);%% 输入数据截断或加0N=length(x);if nargin==2if N<n % 加0xtem=x;x=zeros(1,n);x(1:N)=xtem;N=n;else % 截断xtem=x;x=xtem(1:n);N=n;endend%% 对N进行分解 N=2^m*M[m,M]=factorize(N);two_m=N/M;%% 变换if m~=0%% 如果N可以被2整除adr=address(m,M,two_m);y=x; % 蝶形运算级数 l=m 时%% 计算W向量W=exp(-2*pi*i* ( 0:N/2-1 ) /N);%% 蝶形运算d=N/2;t=1;for l=1:m% 加for ii=0:t-1ind1=ii*2*d+1;ind2=ind1+d;for r=0:d-1tem=y(ind1)+y(ind2);y(ind2)=y(ind1)-y(ind2);y(ind1)=tem;ind1=ind1+1;ind2=ind2+1;endend% 乘for r=0:d-1mul=W(r*t+1);for ii=0:t-1y(ii*2*d+d+1+r) = y(ii*2*d+d+1+r)*mul;endendd=d/2;t=t*2;end%% 直接傅里叶变换if M~=1 % N 分解含有非2因数M时，对y中每M个数据做直接傅里叶变换 for ii=1:two_my((ii-1)*M+1 : ii*M ) = DDFT( y((ii-1)*M+1 : ii*M ) );end%% 变址输出y=y(adr+1);else%% 如果N 不能被2整除y=DDFT(x);endend%% 内嵌函数 ====================================================== function y=DDFT(x)%% 直接离散傅里叶变换%input:% x -- 样本数据，N维向量%output:% y -- N维向量%参考文献：% 结构动力学，克拉夫，P82% variable define% s -- sum，用于求和N=length(x);y=zeros(size(x));for n=1:Ns=0;for m=1:Ns=s+x(m)*exp( -i*2*pi*(m-1)*(n-1)/N );endy(n)=s;endendfunction [m,M]=factorize(N)%% 对N分解m=0;while trueif mod(N,2)==0m=m+1;N=N/2;elsebreak;endendendfunction adr=address(m,M,two_m)%% 变址% b -- 2^m * m 的矩阵，用来存储二进制数据% ds -- 数，公差adr=zeros(two_m,M);b=de2bi(0:two_m-1,m);%转换为2进制注：matlab中二进制[0 1 1]=6 b=b(:,end:-1:1);% 逆序adr(:,1)=bi2de(b);%2进制转换为10进制if M~=1ds=two_m;adr=adr(:,1)*ones(1,M);adr=adr+ds*ones(size(adr,1),1)*(0:M-1);adr=reshape(adr',1,[]);endend。

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一、引言在信号处理、图像处理、通信系统等领域中，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，用于将时域信号转换为频域信号，从而方便进行频域分析和处理。

在实际应用中，对于二维信号（如图像）的频域分析同样具有重要意义。

Matlab作为一种功能强大的数学软件，提供了对二维信号进行快速傅里叶变换（FFT）的工具函数，为工程师和科研人员在二维信号处理中提供了便利。

二、快速傅里叶变换（FFT）简介1. 傅里叶变换傅里叶变换是将信号从时域（或空域）转换到频域的一种数学工具，可以通过计算信号的频谱来分析信号的频率成分。

傅里叶变换可以表达为积分形式或离散形式，其中离散形式的傅里叶变换又被称为离散傅里叶变换（DFT）。

2. 快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种高效的计算离散傅里叶变换的算法，通过分治和逐级合并的方式将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大加速了傅里叶变换的计算过程。

在二维信号处理中，二维快速傅里叶变换（2DFFT）同样具有重要的意义。

三、Matlab中的二维快速傅里叶变换1. 函数介绍在Matlab中，可以使用fft2函数对二维信号进行快速傅里叶变换。

fft2函数的语法为：```matlabY = fft2(X)```其中X为输入的二维数组，Y为X的二维快速傅里叶变换结果。

另外，Matlab还提供了ifft2函数用于计算二维逆傅里叶变换。

2. 使用方法对于一个MxN的二维数组X，可以通过调用fft2函数对其进行快速傅里叶变换。

例如：```matlab生成一个随机的二维数组X = randn(256,256);对X进行二维快速傅里叶变换Y = fft2(X);```通过调用fft2函数，可以得到输入数组X的二维快速傅里叶变换结果Y。

对于得到的频域信号Y，可以进行频域滤波、谱分析等操作，然后通过ifft2函数进行逆变换得到时域信号。

3. 示例下面以图像处理为例，演示在Matlab中如何使用二维快速傅里叶变换进行频域分析和滤波。

FFT快速傅里叶变换后信号与原始信号关系详解FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。

有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。

这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。

另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。

现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。

一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。

采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。

采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。

N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。

为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。

假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。

那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。

每一个点就对应着一个频率点。

这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。

具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。

而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。

而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。

第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。

例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。

由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。

1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。

标题：探究Matlab中fft2计算傅里叶系数的原理与应用导语：傅里叶变换在信号处理、图像处理等多个领域都有着重要的应用，而Matlab作为一款常用的科学计算软件，其内置的fft2函数可以用来计算二维离散傅里叶变换，本文将深入探讨fft2函数的原理和用法，帮助读者更好地理解和应用这一功能。

一、傅里叶变换的基本原理傅里叶变换是将一个信号从时间或空间域转换到频率域的一种数学方法，它能够将一个信号分解成多个不同频率的正弦和余弦波，从而可以更清晰地观察信号的频域特性。

在实际的应用中，傅里叶变换有连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种形式，前者适用于连续信号，而后者适用于离散信号，通常在数字信号处理中使用。

二、Matlab中fft2函数的基本功能1. fft2函数是Matlab中用来计算二维离散傅里叶变换的函数，其语法为Y = fft2(X)，其中X为输入的二维数组，Y为输出的变换结果。

2. 在Matlab中，二维离散傅里叶变换的计算可以分为两个步骤：首先对每一行使用一维离散傅里叶变换（一维DFT），然后对得到的结果再进行一维DFT，即可得到二维离散傅里叶变换的结果。

3. fft2函数计算得到的结果是一个与输入数组大小相同的数组，其中每个元素对应于输入数组中的一个频率分量。

三、fft2函数的用法和参数解析1. 输入参数X可以是各种类型的二维数组，包括灰度图像、彩色图像、复数数组等。

2. 输出参数Y的大小与输入参数X相同，它的各个元素表示输入数组中对应位置的频率分量的幅度和相位信息。

3. 在实际使用中，可以通过对Y进行逆变换得到输入数组X，实现信号的重新构造。

四、示例分析下面通过一个具体的示例来展示fft2函数的使用方法和效果。

假设有一幅灰度图像img，我们可以通过如下代码来计算其二维离散傅里叶变换的结果并进行可视化：```matlabf = imread('cameraman.tif'); % 读取灰度图像F = fft2(f); % 计算二维离散傅里叶变换F2 = fftshift(F); % 将低频分量移到中心S = abs(F2); % 计算幅度谱imshow(log(S+1),[]); % 显示对数幅度谱```上述代码中，我们首先读取了一幅灰度图像，并使用fft2函数进行二维离散傅里叶变换，然后通过fftshift函数将低频分量移到图像中心，最后计算了变换结果的幅度谱并进行了可视化。

快速傅里叶变换FFT的C语言算法彻底研究LED音乐频谱显示的核心算法就是快速傅里叶变换，FFT的理解和编程还是比较难的，特地撰写此文分享一下研究成果。

一、彻底理解傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT，通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。

模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。

为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍，这称之为采样定理。

假设采样频率为fs，采样点数为N，那么FFT结果就是一个N点的复数，每一个点就对应着一个频率点，某一点n(n 从1开始)表示的频率为：fn=(n-1)*fs/N。

举例说明：用1kHz的采样频率采样128点，则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0，1k/128，2k/128，3k/128，…，127k/128 Hz。

这个频率点的幅值为：该点复数的模值除以N/2（n=1时是直流分量，其幅值是该点的模值除以N）。

二、傅里叶变换的C语言编程1、对于快速傅里叶变换FFT，第一个要解决的问题就是码位倒序。

假设一个N 点的输入序列，那么它的序号二进制数位数就是t=log2N.码位倒序要解决两个问题：①将t位二进制数倒序；②将倒序后的两个存储单元进行交换。

如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示，例如若最大序号为15，即用4位就可表示n3n2n1n0，则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3，那么怎样才能实现倒序呢？利用C语言的移位功能！程序如下，我不多说，看不懂者智商一定在180以下！复数类型定义及其运算#define N 64 //64点#define log2N 6 //log2N=6/*复数类型*/typedef struct{float real;float img;}complex;complex xdata x[N]; //输入序列/*复数加法*/complex add(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real+b.real;c.img=a.img+b.img;return c;}/*复数减法*/complex sub(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real-b.real;c.img=a.img-b.img;return c;}/*复数乘法*/complex mul(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;return c;}/***码位倒序函数***/void Reverse(void){unsigned int i,j,k;unsigned int t;complex temp;//临时交换变量for(i=0;i<N;i++)//从第0个序号到第N-1个序号{k=i;//当前第i个序号j=0;//存储倒序后的序号，先初始化为0for(t=0;t<log2N;t++)//共移位t次，其中log2N是事先宏定义算好的{j<<=1;j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位k>>=1;//k右移一位，次低位变为最低位}if(j>i)//如果倒序后大于原序数，就将两个存储单元进行交换（判断j>i是为了防止重复交换）{temp=x[i];x[i]=x[j];x[j]=temp;}}}2、第二个要解决的问题就是蝶形运算①第1级（第1列）每个蝶形的两节点“距离”为1，第2级每个蝶形的两节点“距离”为2，第3级每个蝶形的两节点“距离”为4，第4级每个蝶形的两节点“距离”为8。