详解FFT(快速傅里叶变换FFT.

详解FFT（快速傅⾥叶变换）前置知识：多项式，分治。

应⽤场景：多项式乘法。

温馨提⽰：本⽂证明不必掌握，仅供想要了解的⼈阅读。

〇、导⼊您⼀定算过多项式乘法吧！有的时候，这算起来⽐较⿇烦，⽐如：(x2+2x−2)(2x2−x+3)=x2(2x2−x+3)+2x(2x2−x+3)−2(2x2−x+3)= (2x4−x3+3x2)+(4x3−2x2+6x)−(4x2−2x+6)= 2x4−x3+3x2+4x3−2x2+6x−4x2+2x−6= 2x4+(−x3+4x3)+(3x2−2x2−4x2)+(6x+2x)−6= 2x4+3x3−3x2+8x−6.⽤L A T E X表⽰就更⿇烦了。

在实际应⽤上，有时⾯对的多项式甚⾄多达上万项！这个时候再⼈⼯⼿算效率过低，且容易出错。

幸好，我们已经有了计算机，能够⽤⾮常快的速度算出结果！暴⼒算法是很容易想到的：for(int i=0;i<n;++i)for(int j=0;j<m;++j)c[i+j]+=a[i]*b[j];但它的时间复杂度为Θ(n2) 级，如果遇到上万的数据还是容易被卡了。

有没有更快的⽅法呢？当然有！那就是我们现在要讲的 FFT ！⼀、知识补充1. 多项式1-1 多项式的⼀般表达我们通常⽤F(x) 来表⽰⼀个多项式，定义⼀个多项式只需⽤F(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a0，如F(x)=x2+3x−5 。

可以把它理解为函数，⽐如F(2) 就是将x=2 代⼊多项式F(x) 后的值。

1-2 多项式的点值表达我们知道，在平⾯直⾓坐标系中，n+1 个不重合的点可以唯⼀确定⼀个⼀元n次多项式。

所以我们可以⽤n+1 个点值来表⽰⼀个⼀元n次多项式！那么如何通过点值表达来计算多项式乘法呢？设已知两个⼀元n次多项式F(x),G(x) 的点值表达，W(x)=F(x)×G(x) 。

很显然，多项式W(x) 在x=i时的点值为W(i)=F(i)×G(i) 。

knNW NN第四章 快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。

从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。

根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。

FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。

快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。

DFT 的定义式为N −1X (k ) = ∑ x (n )W NR N (k )n =0在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。

算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2次复数乘法和 N ( N − 1) 次复数加法。

即计算量是与 N 2 成正比的。

FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。

W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT运算：（1） 周期性：( k + N ) nN= W kn= W ( n + N ) k（2） 对称性：W( k + N / 2 )= −WkN N利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。

例子： 求当 N ＝4 时，X(2)的值4 N N N3∑44444X (2) = n =0x (n )W 2 n = x (0)W 0 + x (1)W 2 + x (2)W 4 + x (3)W 6= [ x (0) + x (2)]W 0 + [ x (1) + x (3)]W 2(周期性)4＝[ x (0) + x (2)]－[ x (1) + x (3)]W 04(对称性)通过合并，使乘法次数由 4 次减少到 1 次，运算量减少。

FFT （快速傅⾥叶变换）算法详解多项式的点值表⽰(Point Value Representation)设多项式的系数表⽰(Coefficient Representation)：P a (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n −1x n −1=n −1∑i =0a ix i则我们对上⾯的式⼦可以代⼊不同的 n 个 x 的值，构成⼀个 n 维向量：P a (x 0)P a (x 1)P a (x 2)⋮P a (x n −1)=1x 0x 20⋯x n −101x 1x 21⋯x n −111x 2x 22⋯x n −12⋮⋮⋮⋱⋮1x n −1x 2n −1⋯x n −1x −1a 0a 1a 2⋮a n −1更简洁的写法：P a =X α对上式观察后发现，X 是所谓的范德蒙德矩阵(Vandermonde's Matrix)，在 n 个 x 的值不同的情况下，其⾏列式的值为：det (X )=∏0⩽i <j ⩽n −1(x j −x i )很明显，当所有 n 个 x 取值不同时，其⾏列式不为零，因此 X 可逆。

所以我们可以唯⼀确定多项式系数构成的向量 α：α=X −1P a也就是说，多项式 P a (x ) 还可以由 n 个 x 代⼊得到的 n 个点值来唯⼀表⽰：{x 0,P(x 0),x 1,P(x 1),x 2,P(x 2),⋯,x n −1,P(x n −1)}这就是多项式的点值表⽰。

多项式的点值表⽰是指，对于 n 次多项式，可以⽤ n 个不同的 x 和与之对应的多项式的值 P(x ) 构成⼀个长度为 n 的序列，这个序列唯⼀确定多项式，并且能够与系数表⽰相互转化。

n 次单位根了解了多项式的点值表⽰，⼀个很⾃然的问题是：如何选择 x 的值，来防⽌其指数⼤⼩爆炸型增长呢？这⾥可以借⽤复数的单位根。

简单回顾⼀下，复数有两种表⽰⽅法：迪卡尔积坐标表⽰和极坐标表⽰，这⾥我们⽤到的是后者：z =re i θi 是虚数单位，r 表⽰模长，θ 表⽰相⾓。

详解快速傅里叶变换FFT算法快速傅里叶变换（FFT）算法是一种高效的计算离散傅里叶变换的方法。

它通过将傅里叶变换问题分解为更小的子问题，从而减少计算量。

FFT算法广泛应用于信号处理、图像处理和其他科学与工程领域。

FFT算法的核心思想是将一个长度为N的复数序列分解为两个长度为N/2的复数序列，并重用其计算结果。

这种分解是通过将序列的奇数项与偶数项分为两组来实现的。

分解后可以继续将长度为N/2的序列分解为长度为N/4的序列，直到序列长度为1时停止。

然后，通过合并这些子问题的解，我们可以得到原始问题的解。

FFT算法的关键步骤可以概括为以下几点：1.首先，将输入序列通过位逆序操作重新排列。

这是为了便于分解和合并子问题的解。

2.然后，将序列分解为两个长度为N/2的子序列。

一组是奇数项，另一组是偶数项。

3.对两个子序列进行递归调用FFT算法，分别计算它们的傅里叶变换。

4.将子问题的解合并为原始问题的解。

这是通过使用每个子问题的解的一部分和一些旋转因子来完成的。

5.重复以上步骤，直到得到最终的傅里叶变换结果。

FFT算法的时间复杂度是O(NlogN)，相对于朴素的傅里叶变换（时间复杂度为O(N^2)），有着显著的性能优势。

这个优势主要来自于FFT算法中子问题的重用和分治思想的应用。

FFT算法的应用非常广泛。

在信号处理中，FFT算法可以用来分析信号的频域特征，还可以用于滤波、频谱分析和频率估计等。

在图像处理中，FFT算法被用来进行图像变换，包括傅里叶变换、离散余弦变换等。

此外，FFT算法还被广泛应用于通信、雷达和声音等领域中的数据处理和分析。

总的来说，FFT算法通过分解和重用子问题的解，实现了高效的计算离散傅里叶变换的目的。

它的应用范围广泛，并且在在很多领域中被广泛使用。

FFT 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) 是一种用于快速计算傅里叶变换的算法，是在傅里叶变换的基础上发展而来的。

FFT 算法被广泛应用于数字信号处理、图像处理、声音处理、卷积操作、解析几何等领域，它的高效性和实时性使得它成为了当今计算机科学领域不可或缺的一部分。

一、傅里叶变换简介傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的过程，其公式如下：$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$其中，$f(t)$ 表示时域信号，$F(\omega)$ 表示频域信号，$\omega$ 表示角频率。

傅里叶变换可以分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种。

连续傅里叶变换仅适用于连续信号，而离散傅里叶变换适用于离散信号。

二、离散傅里叶变换离散傅里叶变换是一种将离散信号变换为频域信号的方法，其公式如下：$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn},k=0,1,...,N-1$其中，$x_n(n=0,1,...,N-1)$ 表示原始离散信号，$X_k(k=0,1,...,N-1)$ 表示变换后的频域信号。

但是，使用该公式直接计算离散傅里叶变换的时间复杂度为$O(N^2)$，计算效率低下。

三、FFT 快速傅里叶变换FFT 快速傅里叶变换是一种基于DFT 离散傅里叶变换的高效算法，它的时间复杂度可以达到$O(NlogN)$，较之直接计算DFT 的时间复杂度要低得多。

FFT 算法的基本思想是将 DFT 分治成多个较小的 DFT，并利用其重复性降低运算次数。

1.蝴蝶运算蝴蝶运算是 FFT 算法的基本运算，通过它可以将 DFT 的计算复杂度降低为 $O(N)$。

蝴蝶运算的实质是将两个相邻点之间的信号进行乘法和加法运算，其公式如下：$X_k=X_{k1}+W_{N}^kX_{k2},X_{k+N/2}=X_{k1}-W_{N}^kX_{k2}$其中，$X_{k1}$ 表示 $X_k$ 中偶数项，$X_{k2}$ 表示 $X_k$ 中奇数项，$W_N$ 是DFT 的核函数。

FFT快速傅里叶变换详解FFT（Fast Fourier Transform）快速傅里叶变换是一种高效的算法，用于将一个信号的时域表示转换为频域表示。

它基于分治思想，通过递归的将输入序列划分为较小的子序列，然后合并子序列的变换结果来获得整个序列的变换结果。

蝶形算法是FFT的核心思想之一、它通过将输入序列分为两组，每组包含偶数索引和奇数索引的元素，然后对每组执行蝶形计算。

蝶形计算的基本思想是，将输入序列中的每个元素与另一个元素进行乘积，并根据一定的规则进行合并。

具体而言，蝶形算法的步骤如下：1.将输入序列分为两组，一组包含偶数索引的元素，另一组包含奇数索引的元素。

2.对每组执行蝶形计算。

蝶形计算的基本公式为：Y[k]=X1[k]+W_N^k*X2[k]，其中X1[k]和X2[k]分别表示输入序列的两个子序列的第k个元素，Y[k]表示计算结果，W_N^k表示旋转因子，N表示序列的长度。

旋转因子的计算公式为：W_N^k=e^(-j*2πk/N)，其中j表示虚数单位。

3.重复步骤2，直到计算完所有的蝶形计算。

4.最后，将两组子序列的变换结果合并。

合并的方式是，将两个子序列的变换结果分别与旋转因子进行乘积，并按照一定的规则相加。

通过蝶形算法，FFT可以将一个长度为N的序列的变换时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。

这使得FFT在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用，例如音频信号的频谱分析、图像的频域滤波等。

需要注意的是，蝶形算法要求输入序列的长度为2的幂次。

对于长度不是2的幂次的序列，可以通过补零或者裁剪的方式使其长度变为2的幂次，但这可能会引入一定的误差。

总结起来，FFT快速傅里叶变换通过蝶形算法实现高效的频域变换。

蝶形算法将输入序列分为两组，对每组执行蝶形计算，并最终合并结果。

通过蝶形算法，FFT的时间复杂度由O(N^2)降低到O(NlogN)，使得其在信号处理等领域发挥重要作用。

FFT算法详解快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。

本文以详细的解释为主，全面讲解FFT算法。

傅里叶变换将一个信号从时域转换到频域，即将信号表示为不同频率分量的叠加。

如果信号为离散的，则称为离散傅里叶变换（DFT）。

DFT 的计算复杂度为O(N^2)，其中N是信号的长度。

然而，通过观察DFT的计算过程，我们可以发现其中存在着很多重复计算。

FFT算法就是通过减少这些重复计算的方式，降低了DFT的计算复杂度到O(NlogN)。

FFT算法的核心思想是DFT分治思想，将DFT递归地分解为更小的DFT，最终合并得到原始信号的DFT结果。

具体来说，FFT算法将长度为N 的信号分为两半，分别计算这两部分信号的DFT，然后再将它们合并成N/2个长度为2的DFT，重复这个过程直到计算得到最小粒度的DFT。

假设N为2的整数次幂，一个长度为N的信号X可以表示为X=x[0],x[1],...,x[N-1]。

FFT的计算可以分为两个步骤：分解和合并。

分解步骤：1.如果N=1，直接返回x；2.将长度为N的信号X分为两半，分别记作X0和X1，其中X0=x[0],x[2],...,x[N-2]，X1=x[1],x[3],...,x[N-1]；3.对X0和X1分别递归地执行FFT计算，得到长度为N/2的结果Y0和Y1；4.构造长度为N的结果Y，其中Y[k]=Y0[k]+W_N^k*Y1[k]，其中W_N=e^(-2πi/N)，0<=k<N/2；5.返回Y。

合并步骤：将长度为N/2的结果Y0和Y1合并为长度为N的结果Y，其中Y[k]=Y0[k]+W_N^k*Y1[k]，其中W_N=e^(-2πi/N)，0<=k<N/2通过分解和合并的操作，FFT算法可以高效地计算DFT。

MATLAB快速傅⾥叶变换（fft）函数详解定义：M ATLAB帮助⽂件原⽂The 'i' in the 'Nth root of unity' 是虚数单位调⽤：1. Y = fft（y）;2. Y = fft（y，N）;式中，y是序列，Y是序列的快速傅⾥叶变换。

y可以是⼀向量或矩阵，若y为向量，则Y是y的FFT，并且与y具有相同的长度。

若y为⼀矩阵，则Y是对矩阵的每⼀列向量进⾏FFT。

说明：1. 函数fft返回值的数据结构具有对称性根据采样定理，fft能分辨的最⾼频率为采样频率的⼀半（即Nyquist频率），函数fft返回值是以Nyqusit频率为轴对称的，Y的前⼀半与后⼀半是复数共轭关系。

2. 幅值作FFT分析时，幅值⼤⼩与输⼊点数有关，要得到真实的幅值⼤⼩，只要将变换后的结果乘以2除以N即可（但此时零频—直流分量—的幅值为实际值的2倍）。

对此的解释是：Y除以N得到双边谱，再乘以2得到单边谱（零频在双边谱中本没有被⼀分为⼆，⽽转化为单边谱过程中所有幅值均乘以2，所以零频被放⼤了）。

3. 基频若分析数据时长为T，则分析结果的基频就是f0=1/T，分析结果的频率序列为[0:N-1]*f04. 执⾏N点FFT在调⽤格式2中，函数执⾏N点FFT。

若y为向量且长度⼩于N，则函数将y补零⾄长度N，若向量y的长度⼤于N，则函数截断y使之长度为N。

注意：使⽤N点FFT时，若N⼤于向量y的长度，将给频谱分析结果带来变化，应该特别注意。

例⼦：将对N点FFT进⾏举例，说明当N⼤于向量y的长度时给频谱分析带来的变化。

例图上图中，左列为信号时域图形，右列为对应信号的频谱图。

可以看出当N⼤于向量y的长度时，由于fft⾃动将100s后的信号值补零，原信号实际变为左下⾓的时域图形，所以频率发⽣了变化（增加多种频率的⼩振幅振动，主峰幅值被削弱）。

结论：使⽤N点FFT时，不应使N⼤于y向量的长度，否则将导致频谱失真。

快速傅⾥叶变换（FFT）略解前⾔如果我们能⽤⼀种时间上⽐ \(O(n^2)\) 更优秀的⽅法来计算⼤整数（函数）的乘法，那就好了。

快速傅⾥叶变换（FFT）可以帮我们在 \ (O(n\log n)\) 的时间内解决问题。

函数乘积计算两个⼤整数之积时，我们发现\[(2x+3)(4x+5)=8x^2+22x+15\quad...(*)\\ 23\times45=1035\]⽽如果我们把 \((*)\) 式右边的每⼀位的系数看做⼀个数每位上的数码，正好得到了 \(1035\)。

事实上，对于所有的多项式乘法，以上规律同样成⽴。

证明：（提⽰）考虑竖式乘法的过程，和多项式乘法的过程，它们的本质都是⼀样的。

这样，我们就把问题转换为：计算两个已知函数之积的函数的解析式。

复平⾯、单位圆考虑 \(\sqrt{-9}\) 的值。

\[\begin{aligned}\sqrt{-9}&=\sqrt{-1}\times\sqrt9=3\sqrt{-1}.\end{aligned} \]类似地，\(\forall N\in \Z_-\) 我们都可以⽤类似的⽅法得到 $$\sqrt{N}=\sqrt{-N}\times\sqrt{-1}$$引⼊虚数单位 \(\text{i}\)，使 \(\text{i}^2=-1.\) 这样我们就重新认识了数的范围，从实数扩充到复数。

⼀复数 \(a+b\text{i}\) 中的 \(a,b\in\R\)，\(a\) 是它的实数部分，\(b\text{i}\) 是虚数部分。

若 \(b=0\)，则它是实数。

复数服从实数的⼤部分运算法则。

若两个复数，它们的实数部分相等，虚数部分之和为 \(0\)，我们称它们互为共轭复数。

我们知道，数轴上的每个点与每个实数⼀⼀对应。

类似地，我们可以使⽤复平⾯上的点表⽰复数。

复平⾯与平⾯直⾓坐标系类似，它的 \ (x\) 轴单位长度为 \(1\)，\(y\) 轴单位长度为 \(\text{i}\)。

FFT算法详解快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的算法。

傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它能够将一个时域上的信号表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数。

FFT算法的基本思想是将一个N点的离散傅里叶变换分解为多个较小规模的离散傅里叶变换，并利用这些较小规模的变换的结果快速计算出原始信号的傅里叶变换。

这种分治的思想使得FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远优于朴素的傅里叶变换算法的时间复杂度O(N^2)。

下面详细介绍FFT算法的过程：1.假设有一个长度为N的输入序列x[n]，其中n从0到N-1、首先将序列x[n]划分为偶数下标序列x_e[n]和奇数下标序列x_o[n]，即x_e[n]=x[2n]和x_o[n]=x[2n+1]。

2.分别对序列x_e[n]和x_o[n]进行FFT变换。

对于每个序列，可以继续进行递归的分解，将其划分为更小规模的序列，直到序列长度为1为止。

3.利用蝴蝶运算的方法，将两个较小规模的FFT变换的结果合并为一个较大规模的FFT变换的结果。

蝴蝶运算是指将两个复数相乘后加到另一个复数上的运算。

4.重复第3步，直到所有序列都合并为一个长度为N的FFT变换。

上述步骤可以通过递归的方式实现，也可以通过迭代的方式实现。

下面介绍一种迭代的方式：1.初始化一个长度为N的输入序列x[n]，将其按照倒位序重新排列，得到一个新的序列X[n]。

具体的排列方式为，将x[n]的二进制位反转后所得到的二进制数转换为十进制数。

2.设置一个变量m，初始值为2（即每两个元素合并为一个的步长），进行迭代。

3. 对于每个步长m，分别计算W_m^0, W_m^1, ..., W_m^{m-1}的值，其中W_m^k = e^{-2 \pi i k/m}。

这些值可以预先计算并保存，以减少重复计算。

4.对于每个步长m，将序列X[n]划分为m个长度为N/m的子序列，分别为X_0[n],X_1[n],...,X_{m-1}[n]。

⽂中内容均为个⼈理解，如有错误请指出，不胜感激前⾔先解释⼏个⽐较容易混淆的缩写吧FMT 快速莫⽐乌斯变化—>感谢stump提供多项式复数在介绍复数之前，⾸先介绍⼀些可能会⽤到的东西(好像画的不是很标准。

)设$a,b$为实数，$i^2=-1$，形如$a+bi$的数叫复数，其中$i$被称为虚数单位，复数域是⽬前已知最⼤的域在复平⾯中，$x$代表实数，$y$轴（除原点外的点）代表虚数，从原点$(0,0)$到$(a,b)$的向量表⽰复数$a+bi$模长：从原点$(0,0)$到点$(a,b)$的距离，即$\sqrt{a^2+b^2}$幅⾓：假设以逆时针为正⽅向，从$x$轴正半轴到已知向量的转⾓的有向⾓叫做幅⾓运算法则加法：因为在复平⾯中，复数可以被表⽰为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满⾜平⾏四边形定则（就是上⾯那个）乘法：⼏何定义：复数相乘，模长相乘，幅⾓相加代数定义：$$(a+bi)*(c+di)$$$$=ac+adi+bci+bdi^2$$$$=ac+adi+bci-bd$$$$=(ac-bd)+(bc+ad)i$$单位根下⽂中，默认$n$为$2$的正整数次幂在复平⾯上，以原点为圆⼼，$1$为半径作圆，所得的圆叫单位圆。

以圆点为起点，圆的$n$等分点为终点，做$n$个向量，设幅⾓为正且最⼩的向量对应的复数为$\omega_n$，称为$n$次单位根。

根据复数乘法的运算法则，其余$n-1$个复数为$\omega_n^2,\omega_n^3,\ldots,\omega_n^n$注意$\omega_n^0=\omega_n^n=1$（对应复平⾯上以$x$轴为正⽅向的向量）那么如何计算它们的值呢？这个问题可以由欧拉公式解决$$\omega_{n}^{k}=\cos\ k *\frac{2\pi}{n}+i\sin k*\frac{2\pi}{n}$$例如图中向量$AB$表⽰的复数为$8$次单位根单位根的幅⾓为周⾓的$\frac{1}{n}$在代数中，若$z^n=1$，我们把$z$称为$n$次单位根单位根的性质$\omega _{n}^{k}=\cos k\dfrac{2\pi}{n}+i\sin k\dfrac {2\pi }{n}$（即上⾯的公式）$\omega _{2n}^{2k}=\omega _{n}^{k}$证明：$$\omega _{2n}^{2k}=\cos 2k*\frac{2\pi}{2n}+i\sin2k*\frac{2\pi}{2n}$$$$=\omega _{n}^{k}$$$\omega _{n}^{k+\frac{n}{2}}=-\omega _{n}^{k}$$$\omega _{n}^{\frac{n}{2}}=\cos\frac{n}{2}*\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{n}{2}*\frac{2\pi}{n}$$$$=\cos \pi+i\sin\pi$$$$=-1$$$\omega _{n}^{0}=\omega _{n}^{n}=1$讲了这么多，貌似跟我们的正题没啥关系啊。

快速傅里叶变换FFT的C语言算法彻底研究LED音乐频谱显示的核心算法就是快速傅里叶变换，FFT的理解和编程还是比较难的，特地撰写此文分享一下研究成果。

一、彻底理解傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT，通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。

模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。

为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍，这称之为采样定理。

假设采样频率为fs，采样点数为N，那么FFT结果就是一个N点的复数，每一个点就对应着一个频率点，某一点n(n 从1开始)表示的频率为：fn=(n-1)*fs/N。

举例说明：用1kHz的采样频率采样128点，则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0，1k/128，2k/128，3k/128，…，127k/128 Hz。

这个频率点的幅值为：该点复数的模值除以N/2（n=1时是直流分量，其幅值是该点的模值除以N）。

二、傅里叶变换的C语言编程1、对于快速傅里叶变换FFT，第一个要解决的问题就是码位倒序。

假设一个N 点的输入序列，那么它的序号二进制数位数就是t=log2N.码位倒序要解决两个问题：①将t位二进制数倒序；②将倒序后的两个存储单元进行交换。

如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示，例如若最大序号为15，即用4位就可表示n3n2n1n0，则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3，那么怎样才能实现倒序呢？利用C语言的移位功能！程序如下，我不多说，看不懂者智商一定在180以下！复数类型定义及其运算#define N 64 //64点#define log2N 6 //log2N=6/*复数类型*/typedef struct{float real;float img;}complex;complex xdata x[N]; //输入序列/*复数加法*/complex add(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real+b.real;c.img=a.img+b.img;return c;}/*复数减法*/complex sub(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real-b.real;c.img=a.img-b.img;return c;}/*复数乘法*/complex mul(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;return c;}/***码位倒序函数***/void Reverse(void){unsigned int i,j,k;unsigned int t;complex temp;//临时交换变量for(i=0;i<N;i++)//从第0个序号到第N-1个序号{k=i;//当前第i个序号j=0;//存储倒序后的序号，先初始化为0for(t=0;t<log2N;t++)//共移位t次，其中log2N是事先宏定义算好的{j<<=1;j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位k>>=1;//k右移一位，次低位变为最低位}if(j>i)//如果倒序后大于原序数，就将两个存储单元进行交换（判断j>i是为了防止重复交换）{temp=x[i];x[i]=x[j];x[j]=temp;}}}2、第二个要解决的问题就是蝶形运算①第1级（第1列）每个蝶形的两节点“距离”为1，第2级每个蝶形的两节点“距离”为2，第3级每个蝶形的两节点“距离”为4，第4级每个蝶形的两节点“距离”为8。

快速傅里叶变换（FFT）是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、计算机视觉等领域有着广泛的应用。

快速傅里叶变换算法的发明有利于对信号频谱的快速计算，从而加快了信号处理的速度。

在本文中，我们将从多个角度来探讨快速傅里叶变换，并深入理解它的原理和应用。

1. 什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种数学工具，它可以将一个函数从时间或空间域转换到频率域。

通过傅里叶变换，我们可以将一个信号拆分成不同频率的成分，从而更好地理解信号的特性。

在信号处理领域，傅里叶变换被广泛应用于声音、图像等数据的分析和处理中。

2. 快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，它可以在对数时间内完成信号频谱的计算。

其原理是基于分治法和递归思想的，通过将信号分解成子问题，并利用对称性质和周期性质，从而快速计算出频谱信息。

快速傅里叶变换算法的发明极大地加速了信号处理的速度，使得实时处理成为可能。

3. 快速傅里叶变换的应用快速傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。

在音频处理中，通过快速傅里叶变换，我们可以快速计算出音频信号的频谱信息，从而进行音频分析、音频合成等操作。

在图像处理中，快速傅里叶变换可以用于图像的频域滤波、图像压缩等操作。

在通信领域，快速傅里叶变换也被应用于调制解调、信道估计等方面。

4. 我对快速傅里叶变换的个人观点和理解作为一种重要的数学工具，快速傅里叶变换在现代科学技术中扮演着不可或缺的角色。

它的高效性和广泛应用性使得它成为了信号处理领域中的核心算法之一。

虽然快速傅里叶变换算法本身较为复杂，但通过对其原理和应用的深入理解，我们可以更好地利用这一工具，为实际问题提供更好的解决方案。

总结在本文中，我们对快速傅里叶变换进行了全面的探讨，从傅里叶变换的基本概念到快速傅里叶变换算法的原理和应用，希望读者能更全面、深刻和灵活地理解这一重要的数学工具。

通过对快速傅里叶变换的研究，我们可以更好地处理和分析信号数据，为实际问题的解决提供更好的方法和工具。