FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解解析

快速傅里叶变换算法的分析与优化随着计算机科技的不断发展，越来越多的数字信号处理应用需要使用快速傅里叶变换算法（FFT）。

FFT是一种能够将一个时域信号转换为其频域表示的算法。

它是许多数字信号处理算法的关键组件，比如滤波和信号压缩等。

然而，FFT的计算开销通常很大，因为通常需要对大数据集进行运算。

因此，研究FFT算法的优化方法对于提高运算效率具有重要意义。

1. 基本FFT算法FFT算法可通过迭代或递归的方式实现。

常见的FFT算法包括Cooley-Tukey 算法、Rader算法、Bluestein算法等，这些算法是以不同的方式组织和利用DFT的对称性来实现的。

FFT算法的基本过程如下：（1）在由2^n个采样点构成的序列中，将偶数点和奇数点分别合并。

（2）将新的n个序列重复上述过程，直到生成一个长度为1的序列。

（3）根据公式计算楼房数。

这些基本步骤可以被逐个调整，并且可以在多个步骤之间进行重复。

FFT算法的时间复杂度为O(N*logN)。

2. 递归FFT算法递归FFT算法将长度为N的序列分解为长度为N/2的两个序列，并对其进行递归FFT算法。

这种算法被称为Cooley-Tukey FFT算法，并且是最流行的FFT算法之一。

在计算过程中，复杂的旋转因子可以被预先计算出来，并且仅在计算时使用。

这一技术被称为“蝶形运算符”的使用，其中蝴蝶是旋转运算符的缩写。

递归FFT算法的优点是由于使用递归，可重用的代码很多，可以为多个不同参数的版本共享，这使得它在多个应用中具有广泛的通用性。

缺点是递归开销很高，因此很难将其应用于大规模数据集的实时应用。

3. 迭代FFT算法迭代FFT算法是一种比递归算法更快的FFT算法，它通过使用迭代而不是递归来降低开销。

迭代FFT算法基于Cooley-Tukey算法，但采用不同的方法组合蝗虫运算符和旋转因子。

在迭代FFT算法中，通过排列采样点分散在各个时间步长内，每个点仅与其一定数量的领域进行计算。

fft蝶形运算旋转因子变化规律一、引言快速傅里叶变换（FFT）是一种十分重要的算法，它可以高效地计算离散傅里叶变换（DFT），在信号处理、图像处理、通信系统等领域得到了广泛的应用。

而在FFT算法中，蝶形运算是其中的关键步骤，而蝶形运算中的旋转因子则是决定其计算规律的重要元素。

本文将重点探讨FFT蝶形运算中旋转因子的变化规律，深入剖析其含义以及应用。

二、旋转因子的定义和基本原理在FFT的蝶形运算中，每一个蝶形节点都会涉及到一个旋转因子，用来控制信号的频率和相位。

旋转因子的形式为e^(-2πi/n)，其中n表示DFT的长度，i为虚数单位。

在蝶形节点的计算中，旋转因子的作用是通过不同频率和相位对信号进行调制和解调，实现信号在时域和频域之间的转换。

旋转因子的变化规律遵循一定的规则，其主要取决于DFT的长度。

在以2为底的长度为n的DFT中，旋转因子的变化规律可以用一个简单的公式来表示：Wn^k = e^(-2πik/n)，其中k为在0到n-1之间的整数。

这个公式说明了当DFT长度为n时，旋转因子Wn^k的变化规律为周期性的，且随着k的增大而变化。

三、旋转因子的变化规律分析1. 频率间隔的均匀性在FFT的蝶形运算中，旋转因子的变化规律决定了频率间隔的均匀性。

根据Wn^k = e^(-2πik/n)的公式，可以得知旋转因子的实部和虚部都是随着k的增大而周期性地变化，这就意味着频率间隔是均匀的，每一个频率点之间都被均匀地覆盖，保证了FFT计算的准确性和稳定性。

2. 相位角的变化旋转因子中的e^(-2πik/n)表示了相位角的变化规律。

从公式中可以看出，随着k的增大，相位角也会随之变化，这意味着旋转因子可以实现信号的相位调制。

在实际应用中，可以通过改变旋转因子的相位角来实现对信号相位的精确控制，从而满足不同的信号处理需求。

3. 频率分辨率的影响旋转因子的变化规律也对频率分辨率产生影响。

在FFT中，频率分辨率是指DFT所能分辨的最小频率间隔。

fft蝶形运算旋转因子变化规律【实用版】目录1.FFT 简介2.蝶形运算在 FFT 中的应用3.旋转因子在蝶形运算中的作用4.旋转因子的变化规律5.FFT 蝶形运算的优化正文1.FFT 简介快速傅里叶变换（FFT）是一种广泛应用于数字信号处理和其他领域的算法，它可以快速地将一个信号从时间域转换到频率域。

由于 FFT 需要进行复杂的数学运算，因此使用 GPU（图形处理器）可以加速其计算过程。

2.蝶形运算在 FFT 中的应用在 FFT 算法中，蝶形运算是一种重要的运算方式。

它通过将输入信号分解成较小的子信号，并对这些子信号进行处理，最终再将处理后的子信号组合成输出信号。

这个过程可以大大减少计算量，提高算法的效率。

3.旋转因子在蝶形运算中的作用在蝶形运算中，旋转因子是一个关键的参数。

它决定了子信号在处理过程中的旋转角度，从而影响最终的输出结果。

因此，正确选择和计算旋转因子是 FFT 算法中一个重要的环节。

4.旋转因子的变化规律根据 FFT 算法的推导过程，可以得到旋转因子的变化规律。

在蝶形运算过程中，旋转因子会按照一定的周期性变化。

具体来说，当子信号的个数为 2 的幂次方时，旋转因子的变化规律为：1, -1, 1, -1,...；当子信号的个数为非 2 的幂次方时，旋转因子的变化规律为：1, -1/2, 1/2, -1/4, 1/4,...。

5.FFT 蝶形运算的优化为了进一步提高 FFT 算法的效率，可以对蝶形运算进行优化。

一种常见的优化方法是采用分治策略，将输入信号分成较小的子信号，并对这些子信号进行并行处理。

另外，还可以使用诸如 Cufft 等开源的 FFT 库，在 GPU 上实现 FFT 算法，以加速计算过程。

总之，FFT 蝶形运算中的旋转因子具有一定的变化规律，正确把握这一规律有助于优化 FFT 算法的性能。

fft蝶形运算旋转因子变化规律
蝶形运算是一种常见的快速傅里叶变换（FFT）算法中的计算
步骤。

在蝶形运算中，存在一个旋转因子，用于旋转输入信号的相位。

旋转因子的变化规律如下：
1. 假设FFT的长度为N，则旋转因子有N个值，分别称为
W0，W1，W2，...，WN-1。

2. 旋转因子的取值为复数，表示旋转的幅度和相位。

一般情况下，旋转因子的模长为1，即其绝对值为1。

3. 旋转因子的相位变化规律是等比递增的。

即，Wk = e^(-2πi
* k / N)，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位（i^2 = -1），k表示旋转因子在序列中的索引（从0到N-1）。

4. 根据旋转因子的定义，可以看出，当k=N/2时，旋转因子
的幅度为-1，即在频域中进行了180度的相位翻转。

5. 由于旋转因子的相位是循环变化的，即Wk = W(k + N)，所
以可以利用这个性质，循环使用旋转因子，减少计算量。

综上所述，旋转因子的变化规律是等比递增的，并且具有循环性质。

这种变化规律是FFT算法中实现频域转换的关键之一。

快速傅里叶变换原理快速傅里叶变换（FFT）是一种计算机科学和数学领域中常用的算法，它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域都有着广泛的应用。

快速傅里叶变换的原理是基于傅里叶变换的思想，通过巧妙地利用对称性和周期性，实现了计算复杂度的大幅度降低，从而提高了计算效率。

傅里叶变换是将一个信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的过程，它可以将时域的信号转换到频域，从而能够更好地理解信号的频率成分。

然而，传统的傅里叶变换算法在计算上存在着较大的复杂度，当信号的长度较大时，计算量将会非常庞大，这就导致了计算效率的低下。

为了解决这一问题，快速傅里叶变换应运而生。

它的核心思想是利用信号的周期性和对称性，将原本的O(n^2)的计算复杂度降低到了O(nlogn)，这样就大大提高了计算效率。

快速傅里叶变换的算法由Cooley和Tukey于1965年提出，至今仍然被广泛应用。

快速傅里叶变换的原理主要包括以下几个方面：1. 分治策略，快速傅里叶变换算法采用了分治策略，将一个长度为n的信号分解为两个长度为n/2的子信号，然后分别对这两个子信号进行傅里叶变换，最后再将结果合并起来。

这样就将原本复杂的问题分解为了规模较小的子问题，从而降低了计算复杂度。

2. 蝶形运算，快速傅里叶变换算法中的蝶形运算是其核心操作，它是一种迭代计算的方法。

在蝶形运算中，对输入信号进行一系列的加法和乘法操作，最终得到傅里叶变换的结果。

蝶形运算的特点是可以通过迭代的方式高效地计算出傅里叶变换的结果。

3. 对称性和周期性，快速傅里叶变换算法充分利用了信号的对称性和周期性，通过这种特性可以大大减少计算量。

例如，当信号长度为2的幂时，可以将原始信号分解为偶数位和奇数位，然后利用对称性和周期性，将计算量降低到了原来的1/2。

总的来说，快速傅里叶变换算法通过巧妙地利用信号的对称性和周期性，将原本复杂的傅里叶变换计算问题转化为了规模较小的子问题，从而大大提高了计算效率。

knN W N N第四章 快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。

从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。

根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。

FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。

快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。

DFT 的定义式为N −1X (k ) = ∑ x (n )W NR N (k )n =0在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。

算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2次复数乘法和 N ( N − 1) 次复数加法。

即计算量是与 N 2成正比的。

FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。

W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT运算：（1） 周期性：( k + N ) nN= W kn= W ( n + N ) k（2） 对称性：W( k + N / 2 )= −W kNN利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。

例子：求当N＝4 时，X(2)的值4 NNN3∑44444X (2) = n =0x (n )W 2 n = x (0)W 0 + x (1)W 2 + x (2)W 4 + x (3)W 6= [ x (0) + x (2)]W 0 + [ x (1) + x (3)]W 2(周期性)4＝[ x (0) + x (2)]－[ x (1) + x (3)]W 04(对称性)通过合并，使乘法次数由 4 次减少到 1 次，运算量减少。

蝶形算法是一种高效的离散傅里叶变换算法，它的原理是利用分治法和蝴蝶操作，将一个大规模的DFT问题分解成若干个小规模的DFT问题，从而加速计算。

本文将详细介绍蝶形算法的原理及其应用。

一、分治法分治法是一种将问题分解成若干个子问题，然后递归地解决每个子问题的算法。

在DFT问题中，我们可以将一个长度为N的序列x分解成长度为N/2的两个序列x0和x1，然后对它们分别进行DFT变换，最后再通过合并操作得到原序列的DFT结果。

二、蝴蝶操作蝴蝶操作是蝶形算法的核心，它是一种对两个复数进行计算的方法，可以将两个复数进行加减乘除等运算。

在蝶形算法中，我们将每个DFT分解成若干个蝴蝶操作，每个蝴蝶操作都是对两个复数进行计算，然后将它们合并成一个复数。

三、蝶形算法的实现步骤1.将输入序列x分解成两个长度为N/2的序列x0和x1。

2.对x0和x1分别进行DFT变换。

3.对每个蝴蝶操作进行计算，计算公式如下：y[j]=x0[j]+Wn^j*x1[j]y[j+N/2]=x0[j]-Wn^j*x1[j]其中Wn是旋转因子，j是序列下标。

4.通过递归的方式对y0和y1进行DFT变换。

5.将y0和y1合并成一个长度为N的序列y。

四、蝶形算法的应用蝶形算法广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。

以音频处理为例，蝶形算法可以用于实现音频信号的快速傅里叶变换，从而实现音频信号的频谱分析、滤波、降噪等处理。

总之，蝶形算法是一种高效的离散傅里叶变换算法，它利用分治法和蝴蝶操作将一个大规模的DFT问题分解成若干个小规模的DFT问题，从而加速计算。

蝶形算法在信号处理、图像处理、音频处理等领域有着广泛的应用。

快速傅里叶分析算法快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种重要的算法，用于将一个信号分解为一系列频域分量。

它的计算效率远高于朴素的傅里叶变换算法，可以快速地处理大规模的数据。

本文将详细介绍快速傅里叶变换算法及其原理。

1.傅里叶变换概述：傅里叶变换是一种数学方法，可以将一个连续或离散的时间域信号转换为频域信号。

它是由法国数学家傅里叶在19世纪提出的。

傅里叶变换是一种线性变换，可以将信号分解为一系列正弦和余弦函数的和。

这些正弦和余弦函数的频率称为频率分量，它们表示信号中存在的各种频率。

2.快速傅里叶变换算法原理：快速傅里叶变换是一种高效的算法，用于计算离散的傅里叶变换。

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是傅里叶变换在离散时间序列上的推广。

它将一个包含N个采样点的信号转换为包含N个频率分量的频域信号。

快速傅里叶变换算法的核心思想是分治法（Divide and Conquer）。

它将一个长度为N的离散信号分成两个长度为N/2的信号，并通过递归地计算这两个子信号的离散傅里叶变换来得到整个信号的离散傅里叶变换。

具体地，对于一个长度为N的离散信号x，快速傅里叶变换可以分为以下几个步骤：1)将信号分成长度为N/2的两个子信号，分别记为x1和x22)分别计算x1和x2的离散傅里叶变换，得到两个长度为N/2的频域信号X1和X23)将X1和X2合并为长度为N的频域信号X。

4) 对于X中的每个频率分量，根据蝶形算法（Butterfly Algorithm）进行计算，得到最终的离散傅里叶变换。

蝶形算法是FFT算法的关键步骤，它通过使用旋转因子（Twiddle Factor）来将两个频域分量进行合并，从而得到更高频率的分量。

3.快速傅里叶变换的优势：相比于朴素的傅里叶变换算法，快速傅里叶变换具有以下几个优势：1) 快速：FFT算法的时间复杂度为O(N log N)，其中N是信号的长度。

FFT快速傅里叶变换详解FFT（Fast Fourier Transform）快速傅里叶变换是一种高效的算法，用于将一个信号的时域表示转换为频域表示。

它基于分治思想，通过递归的将输入序列划分为较小的子序列，然后合并子序列的变换结果来获得整个序列的变换结果。

蝶形算法是FFT的核心思想之一、它通过将输入序列分为两组，每组包含偶数索引和奇数索引的元素，然后对每组执行蝶形计算。

蝶形计算的基本思想是，将输入序列中的每个元素与另一个元素进行乘积，并根据一定的规则进行合并。

具体而言，蝶形算法的步骤如下：1.将输入序列分为两组，一组包含偶数索引的元素，另一组包含奇数索引的元素。

2.对每组执行蝶形计算。

蝶形计算的基本公式为：Y[k]=X1[k]+W_N^k*X2[k]，其中X1[k]和X2[k]分别表示输入序列的两个子序列的第k个元素，Y[k]表示计算结果，W_N^k表示旋转因子，N表示序列的长度。

旋转因子的计算公式为：W_N^k=e^(-j*2πk/N)，其中j表示虚数单位。

3.重复步骤2，直到计算完所有的蝶形计算。

4.最后，将两组子序列的变换结果合并。

合并的方式是，将两个子序列的变换结果分别与旋转因子进行乘积，并按照一定的规则相加。

通过蝶形算法，FFT可以将一个长度为N的序列的变换时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。

这使得FFT在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用，例如音频信号的频谱分析、图像的频域滤波等。

需要注意的是，蝶形算法要求输入序列的长度为2的幂次。

对于长度不是2的幂次的序列，可以通过补零或者裁剪的方式使其长度变为2的幂次，但这可能会引入一定的误差。

总结起来，FFT快速傅里叶变换通过蝶形算法实现高效的频域变换。

蝶形算法将输入序列分为两组，对每组执行蝶形计算，并最终合并结果。

通过蝶形算法，FFT的时间复杂度由O(N^2)降低到O(NlogN)，使得其在信号处理等领域发挥重要作用。

快速傅立叶变换（FFT）快速傅立叶变换(FFT)4．1引言快速傅立叶变换（FFT）并不是一种新的变换，而是离散傅立叶变换（DFT）的一种快速算法。

DFT的计算在数字信号处理中非常有用。

例如在FIR滤波器设计中会遇到从h(n)求H(k)或由H(k)计算h(n)，这就要计算DFT；信号的谱分析对通信、图像传输、雷达等都是很重要的，也要计算DFT。

因直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量太大。

自从1965年图基（J. W. Tukey）和库利（T. W. Coody）在《计算数学》（Math. Computation , Vol. 19, 1965）杂志上发表了著名的《机器计算傅立叶级数的一种算法》论文后，桑德(G. Sand)-图基等快速算法相继出现，又经人们进行改进，很快形成一套高效运算方法，这就是快速傅立叶变换简称FFT（Fast Fourier Transform）。

这种算法使DFT的运算效率提高1~2个数量级。

4．2 基2 FFT算法一、直接计算DFT的问题及改进的途径设x(n)为N点有限长序列，其DFT正变换为= ， k=0，1，…，N-1其反变换(IDFT)x(n)= ，n=0，1，…，N-1二者的差别只在于的指数符号不同，以及差一个常数乘因子1/N，因而下面我们只讨论DFT正变换的运算量，反变换的运算量是完全相同的。

考虑x(n)为复数序列的一般情况，每计算一个X(k)，需要N次复数乘法以及（N-1）次复数加法。

因此，对所有N个k值，共需N2次复数乘法及N（N-1）次复数加法运算。

所以直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是和N2成正比的，当N很大时，运算量是很可观的，因而需要改进对DFT的计算方法，以减少运算次数。

下面讨论减少运算工作量的途径。

仔细观察DFT的运算就可看出，利用系数以下固有特性，就可减小DFT的运算量：（1）的对称性（）*=（2）的周期性 ==（3）的可约性 ==由此可得：==，=-1，=-。

FFT算法详解快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的算法。

傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它能够将一个时域上的信号表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数。

FFT算法的基本思想是将一个N点的离散傅里叶变换分解为多个较小规模的离散傅里叶变换，并利用这些较小规模的变换的结果快速计算出原始信号的傅里叶变换。

这种分治的思想使得FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远优于朴素的傅里叶变换算法的时间复杂度O(N^2)。

下面详细介绍FFT算法的过程：1.假设有一个长度为N的输入序列x[n]，其中n从0到N-1、首先将序列x[n]划分为偶数下标序列x_e[n]和奇数下标序列x_o[n]，即x_e[n]=x[2n]和x_o[n]=x[2n+1]。

2.分别对序列x_e[n]和x_o[n]进行FFT变换。

对于每个序列，可以继续进行递归的分解，将其划分为更小规模的序列，直到序列长度为1为止。

3.利用蝴蝶运算的方法，将两个较小规模的FFT变换的结果合并为一个较大规模的FFT变换的结果。

蝴蝶运算是指将两个复数相乘后加到另一个复数上的运算。

4.重复第3步，直到所有序列都合并为一个长度为N的FFT变换。

上述步骤可以通过递归的方式实现，也可以通过迭代的方式实现。

下面介绍一种迭代的方式：1.初始化一个长度为N的输入序列x[n]，将其按照倒位序重新排列，得到一个新的序列X[n]。

具体的排列方式为，将x[n]的二进制位反转后所得到的二进制数转换为十进制数。

2.设置一个变量m，初始值为2（即每两个元素合并为一个的步长），进行迭代。

3. 对于每个步长m，分别计算W_m^0, W_m^1, ..., W_m^{m-1}的值，其中W_m^k = e^{-2 \pi i k/m}。

这些值可以预先计算并保存，以减少重复计算。

4.对于每个步长m，将序列X[n]划分为m个长度为N/m的子序列，分别为X_0[n],X_1[n],...,X_{m-1}[n]。

两点dft 蝶形运算两点DFT蝶形运算是一种常见的数字信号处理算法，用于将时域信号转换为频域信号。

本文将对两点DFT蝶形运算进行详细介绍，并从算法原理、过程、应用等方面进行探讨。

一、算法原理两点DFT蝶形运算是一种基于快速傅里叶变换（FFT）的算法，用于将时域信号转换为频域信号。

它通过将输入信号分为两个部分，分别进行DFT运算，然后再将两部分结果合并得到最终结果。

具体来说，两点DFT蝶形运算的过程如下：1. 将输入信号分为两个部分，分别记为x1[n]和x2[n]，其中n表示时域采样点的下标。

2. 对x1[n]和x2[n]分别进行DFT运算，得到两个频域序列X1[k]和X2[k]，其中k表示频域采样点的下标。

3. 将X1[k]和X2[k]进行合并，得到最终的频域序列X[k]。

二、算法过程两点DFT蝶形运算的过程可以用以下公式表示：X[k] = X1[k] + W_N^k * X2[k]X[k+N/2] = X1[k] - W_N^k * X2[k]其中，W_N^k表示旋转因子，N表示DFT的点数，k表示频域采样点的下标。

具体的运算过程如下：1. 将输入信号分为两个部分，分别记为x1[n]和x2[n]。

2. 对x1[n]和x2[n]分别进行DFT运算，得到两个频域序列X1[k]和X2[k]。

3. 对k从0到N/2-1进行循环，计算X[k]和X[k+N/2]的值。

4. 计算旋转因子W_N^k的值。

5. 根据公式计算X[k]和X[k+N/2]的值。

6. 将X[k]和X[k+N/2]存储起来，作为最终的频域序列。

三、算法应用两点DFT蝶形运算在数字信号处理中有广泛的应用，其中最常见的应用是音频信号处理和图像处理。

在音频信号处理中，两点DFT蝶形运算可以用于音频压缩、音频滤波等方面。

通过将音频信号转换为频域信号，可以对音频进行频域分析和处理，从而实现去噪、均衡等功能。

在图像处理中，两点DFT蝶形运算可以用于图像压缩、图像滤波等方面。

快速傅⾥叶变换（FFT）详解快速傅⾥叶变换（FFT）详解 （这是我第⼀次写博，不喜勿喷...） 关于FFT已经听闻已久了，这次终于有机会在Function2的介绍下来了解⼀下FFT了。

快速傅⾥叶变换(Fast Fourier Transformation)简称FFT。

在各⼤OI竞赛中也常有⽤到，也是⼀个⼗分优秀的可以装逼的好算法 在这篇blog中，有⼤量数学推导，因为我懒得写公式（好复杂，逃），所以⽤图⽚代替了╮(╯▽╰)╭，如有不适，望见谅（逃~~）。

基础知识：多项式的度数：多项式的线性空间系数表达向量的卷积分治乘法（如果你急着和MM约会或机房要关门了，那跳过也⽆妨）点值表达插值点值计算分析单位复数根单位复数根的性质1. 消去引理 2.折半引理 3.求和引理铺垫都铺完了，让我们⼀起进⼊DFT,FFT,IDFT的美妙世界吧！离散傅⾥叶变换（Discrete Fourier Transform 简称DFT）快速傅⾥叶变换（FFT）（终于等到你~~）逆离散傅⾥叶变换（Inverse Discrete Fourier Transform 简称IDFT）FFT的迭代实现我们类似于需要像这样实现FFT：知识点终于讲完了，接下来我们就要开始写板⼦了板⼦题：代码附上~~1 #include<cstdio>2 #include<iostream>3 #include<cmath>4 #include<cstring>5 #include<algorithm>6 #include<cstdlib>7using namespace std;8const int mod=1e9+7;9const double pi=acos(-1);10struct cn11 {12double x,y;13 cn (double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}14 }a[300005],b[300005],c[300005];15 cn operator + (const cn &a,const cn &b) {return cn(a.x+b.x,a.y+b.y);}16 cn operator - (const cn &a,const cn &b) {return cn(a.x-b.x,a.y-b.y);}17 cn operator * (const cn &a,const cn &b) {return cn(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);} 18void fft(cn a[],int n,int l,int f)19 {20int rev[n+5];21 rev[0]=0;22for (int i=1; i<n; i++){23 rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);24if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);25 }26for (int i=1; i<n; i<<=1){27 cn wi(cos(pi/i),f*sin(pi/i));28for (int j=0; j<n; j+=i*2){29 cn w(1,0);30for (int k=0; k<i; k++){31 cn x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];32 a[j+k]=x+y;33 a[j+k+i]=x-y;34 w=w*wi;35 }36 }37 }38if (f==-1)39for (int i=0; i<n; i++){40 a[i].x/=n; a[i].y/=n;41 }42 }43int main()44 {45int n,m;46 scanf("%d%d",&n,&m); n++; m++;47for (int i=0; i<n; i++) scanf("%lf",&a[i].x);48for (int i=0; i<m; i++) scanf("%lf",&b[i].x);49int l=0,N=1;50while (N<n+m-1) N<<=1,l++;51 fft(a,N,l,1);52 fft(b,N,l,1);53for (int i=0; i<N; i++) c[i]=a[i]*b[i];54 fft(c,N,l,-1);55for (int i=0; i<n+m-1; i++) printf("%d ",(int)(c[i].x+0.5)); 56return0;57 }鸣谢：LLX⼤佬（Ps:⼀个巨搞笑的东西：）。