第一章 行列式
1.1 目的要求
1．会求n 元排列的逆序数；
2．会用对角线法则计算2阶和3阶行列式； 3．深入领会行列式的定义；
4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质；
7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
1.2 重要公式和结论
1.2.1 n 阶行列式的定义
n 阶行列式 nn
n n n n a a a a a a a a a D (2122221)
11211=
n n np p p t
p p p a a a ...)1(212121)...(∑−=.
其中是n 个数12…n 的一个排列，t 是此排列的逆序数，∑表示对所有n 元排列求和，故共有n ！项． n p p p ...211.2.2 行列式的性质
1．行列式和它的转置行列式相等；
2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；
3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）；
4．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；
5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即
nn n n in i i n
nn n n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a L M
M
M L M M M L L
M
M M L M
M M L
2121
1121121
221
1112
11=++++
nn
n n in
i i n
a a a
b b b a a a L M
M
M L M M M L 21
2111211
6． 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变． 1.2.3 行列式按行（列）展开
设D 为n 阶行列式，则有
=∑=n
K jk
ik
a A 1
⎩⎨
⎧≠==+++j i j
i D A a A a A a jn in j i j i 0...2211=∑
=n
K jk
ik
a A
1
⎩
⎨⎧≠==+++j i j
i D A a A a A a jn in j i j i 0 (2211)
其中是的代数余子式. st A st a 1.2.４ 克拉默法则
１．如果线性非齐次方程组
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L M M M M M L L 2211222221211
1212111
的系数行列式，则方程组有唯一解0≠D D
D x 1
1=
（ i=1，2，…，n ），其中是D 中第i 列元素（即的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式．
i D i x 2．如果线性齐次方程组
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L M M M M M L L
的系数行列式，则方程组只有唯一零解．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式．
0≠D 0=D 1.2.5 一些常用的行列式
1．上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积.
2．设 kk k k a a a a D L M M M
L 11111=，nn
n n
b b b b D L M M M L 11112=，则 211111*********D D b b
c c b b c c a a a a nn n nk
n n k kk
k k =L L M M M M
M M
L L L M
M
M L .
3．范德蒙行列式
)(......
...
.........1 (11)
11
12
11
21i j n
j i n n
n n n a a a
a
a
a a a −=
∏
≤<≤−−−.
1.2.6 计算行列式的常用方法
1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于2、3阶行列式； 2．利用n 阶行列式定义计算行列式； 3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式； 4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式； 5．利用数学归纳法计算行列式； 6．利用递推公式计算行列式；
7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式； 8．利用加边法计算行列式； 9．综合运用上述方法计算行列式.
1.3 例题分析
例1.1 排列14536287的逆序数为 ( )
(A) 8 (B) 7 (C) 10 (D) 9
解 在排列14536287中，1排在首位，逆序数为0；4、5、6、8各数的前面没有比它们自身大的数，故这四个数的逆序数为0；3的前面比它大的数有2个（4、5），故逆序数为2； 2的前面比它大的数有4个（4、5、3、6），故逆序数为4；7的前面比它大的数有1个（8），故逆序数为1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B ）．
例1.2 下列排列中（ ）是偶排列.
(A)54312 (B)51432 (C) 45312 (D) 654321
解 按照例1的方法计算知：排列54312的逆序数为9；排列51432的逆序数为7；排列45312的逆序数为8；排列654321的逆序数为15；故正确答案为（C ）．
例1.3 下列各项中，为某五阶行列式中带正号的项是（ ）
． (A) (B) (C)(D) 5541324413a a a a a 5415413221a a a a a 5214432531a a a a a 5344223115a a a a a 解 由行列式的定义知，每一项应取自不同行不同列的五个元素之积，因此(A)、(B)不是五阶行列式的项，但(C)应取负号，故正确答案为（D ）．
例1.4 行列式3
512321
13,010101021=−=D D λλλ
, 若21D D =，
则λ的取值为（ ） (A) 2, —1 (B) 1, —1 (C)0, 2 (D)0,1
解 按三阶行列式的对角线法则得.若，则
，于是0,)1)(1(22
1=−+=D D λλ21D D =0)1)(1(2=−+λλ1,1−=λ，故正确答案为（B ）．
例1.5 方程组有唯一解，则（ ）.
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++1
11321
321321x x x x x x x x x λλλ(A)
1−≠λ且2−≠λ (B) 1≠λ且2−≠λ (C) 1≠λ且2≠λ (D) 1−≠λ且2≠λ
解 由克拉默法则知，当所给非齐次线性方程组的系数行列式不等于0时，该方程组有唯一解，于是令行列式
0)1)(2(11111
12≠−+=λλλ
λλ 即1≠λ且2−≠λ，故正确答案为（B ）
．
