我国人口中长期预测模型讲解

我国人口总量和结构的中长期预测模型摘要近年来，由于计划生育政策的实施和人民生育观念的改变，我国人口出现了总量减少、老龄化、性别比例失衡等问题，如何适时调整我国的人口政策已成为国家的重要课题。

本文运用差分方程的思想，围绕是否及何时全面放开二胎对我国未来人口总量和人口的老龄化水平、性别比例产生的影响建立了按年龄分组的离散人口模型，并由此对国家的人口政策给出了合理化建议。

针对问题一，考虑到人口主要由妇女的生育情况决定，以及不同的年龄结构对未来人口的较大影响，在分析近几年我国人口数据后，将人口按年龄每5岁划分为一个年龄组，相应地，年份的也每5年划分为一个时段，然后根据近几年自然增长率数据，首先对2015年各个年龄组的人口做出预测，之后提出生育模式的概念，表示生育率按年龄的分布情况，并进行曲线拟合，建立了基于Leslie 矩阵的人口预测模型，计算当前总和生育率约 1.22，代入模型，运用迭代法求解。

对未来30年我国的人口总量和结构进行了预测。

得出保持当前生育情况不变，我国人口总量在未来30年将持续减少，并在2045年减少到10.3亿，人口老龄化加剧，性别比例失衡有所缓解的结论。

针对问题二，通过对我国城镇化水平和国民收入情况的分析，估算出放开二胎后的总和生育率约为1.9，在模型一的基础上，通过改变总和生育率和人口的初始分布，建立了2016年和2020年放开二胎后的按年龄分组的人口模型，并进行对比，发现方案一（2016年放开二胎）到2045年人口总量约11.1亿，方案二（2020年放开二胎）则30年后约为10.5亿，两种方案老龄化水平、性别失衡情况均优于政策未调整时的情况，其中方案一对人口老龄化修复效果更好，方案二对性别比例失衡修复效果较好。

针对问题三，在问题一、二的基础上对未来我国的劳动力数量进行预测，并提出国家综合考虑经济、人口老龄化、性别比例、社会稳定的影响，尽早逐步放开二胎的建议。

关键词：人口预测，二胎政策，年龄结构，Leslie矩阵，差分方程模型，总和生育率一、问题重述1.1引言我国是一个人口大国,人口问题始终是关系着我国发展的关键问题,已成为经济发展中的一个重要组成部分, 对我国的经济社会发展有着越来越大的影响。

人口问题也是我国的根本问题。

我国由于人口基数大，国家实施了计划生育的政策，虽说人口的自然增长率较之前有一定的降低，人口的递增速度也有所减缓。

但是，近年来，我国人口面临着人口总量减少，老龄化进程加速,出生人口性别比严重失调，等不良现象。

1.2问题的提出问题一：利用现有的相关人口统计数据，在当前生育政策实施的情况下，通过建立数学模型来研究我国人口在结构及数量上在近阶段的变化情况，并对其未来情况进行一定的预测，以适应整个中国国情与经济的形势。

问题二：为了解决上述人口结构的一些的问题，我们也还得考虑如何对该政策进行一定的改变，如是否何时全面放开二胎，来改善我国人口老龄化，男女比例失调等现象。

从而使我国人口向一个比较乐观的方向发展。

问题三：考虑劳动力数量的变化对是否及何时全面开放二胎政策进行讨论，给出人口政策建议。

二、问题分析：2.1 关于人口数量与结构的分析随着人们生活水平和社会医疗水平的提高，我国人口的平均寿命显著变长。

在人口的数量和结构上从表一中，我们可以看出，自2002年实施计划生育以来，我国人口变化有如下特点：○1人口的数量持续增加，到2013年底，我国的人口达到13.6亿，这与我国的人口基数大这一点是分不开的。

○2我国的老年人比重逐渐增加，少儿的比重逐渐降低，而总抚养比重却出现降低，这充分说明了我国人口老龄化但劳动人口增加的现象。

所以，在本文中，我们将通过2013年的人口数量及结构的相关数据，基于Leslie模型【2】，结合中国当今的人口情况，对其作一定的改进与分析，最终对未来时间的人口数量以及年龄结构进行一定的预测与分析。

2.2 二胎政策相关问题的分析所谓二胎政策，是指农村户口的话，头一抬是女的就可以生第二胎，但是前提条件是年满28周岁的夫妇，否则两胎要相隔四年才能生第二胎，如果头一抬是男的，无论是什么户口，则只能生一胎。

所以，如果考虑是否需要全面实施二胎政策，则需要我们从原来的计划生育政策中改变一定的条件，也即是要我们探究在基本保持人口增长速度保持较慢的情况下，使人口的男女性别出现均衡以及老龄化的进程得到减缓。

所以，我们将会对上述所建立的数学模型作一定的参数修正，同时也用其对未来近几年进行一定的预测。

并能使其达到相关的预期目标。

通过对其所得相关结果给予一定的分析与讨论，我们将从中对该政策是否实施、什么时候实施以及怎么实施给予最终的结果。

三、模型假设1、假设在所研究的时间内环境稳定，即不考虑战争、传染病等突发事件的影响；2、由于所用数据为《中国统计年鉴》数据库的数据，故假设所用数据均真实有效，具有统计分析价值；3、不考虑我国和其他国家之间的人口迁移对我国人口情况带来的影响；4、假设各地人口政策基本相同，人口政策调整以后能够得到立即有效的实施；5、不考虑多胞胎和丁克、同性恋或因其他特殊原因不生育的人群的影响，或者假设它们的影响相互抵消。

6、假设生育模式只和妇女的年龄有关，且年龄按周岁计算；7、假设在所研究时期内各年龄人口的存活率与时间无关，与2013年相同；8、根据生理特征，女性的生育年龄在15--49岁，当年龄不在此区间时，假设生育率为0；9、假设各年龄组的生育率只在政策调整时改变。

四、符号说明符号含义 t第t 年)(t x i第t 个时间段第i 年龄组的总人数 i b第i 个年龄组女性的生育率 []21,i i育龄妇女所在年龄组范围 )(t k i 第t 个时间段第i 个年龄组的女性比)(t f第t 个时间段出生的婴儿数i h生育模式)(t β第t 个时间段的总和生育率 i d 第i 个年龄组人口死亡率 i s 第i 个年龄组人口存活率 )(t x按年龄分组的人口分布向量L参数矩阵 A 参数矩阵 B 参数矩阵 n最大年龄组)0(x2015年人按年龄组的人口分布向量i x )0(2015年第i 年龄组的人数 b2013年自然增长率五、模型建立第t 个时间段出生的婴儿的数量为第t 个时间段所有育龄期妇女平均每位女性生育的婴儿数（生育率）之和∑==21)()()()(i i i i iit x t kt b t f （1）其中)()(t b t k i i 为第i 个年龄段女性的人数将生育率)(t b i 分解为生育模式i h 与总和生育率)(t β之积，其中生育模式)(t h i 可以由往年统计数据经曲线拟合再离散得到。

总和生育率为第1个年龄段的每位女性一生平均生育的婴儿数。

i i h t t b )()(β=（2）121=∑=i i i ih（3）由（1）（2）（3）式可得∑==21)()()()(i i i i i i t x t k h t t f β（4） ∑==21)()(i i i it bt β（5) 第i 个年龄段人口的存活率i s ，1,...,2,1-=n i 则第1+i 个年龄段的总人数为第i 个年龄段存活下来的总人数，即1,...2,1,...,2,1,0),()1(1-===++n i t t x s t x i i i （6）)1(2+t x 是第t 个时间段出生的婴儿中存活下来的数量)()1(12t f s t x =+，这里)()(1t x t f =，从而)(),()()()1(1221t k h s r t x t r t t x i i i i i i i i ==+∑=β （7）按年龄组分组的人口分布向量,...2,1,0,)](),...,(),([)(21==t t x t x t x t x T n （8）由生育率i b 和存活率i s 构成的矩阵123112100000000000n n n b b b b b s L s s --⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭可以将L 分解为A 和B 两个矩阵121000000000000000n s A s s -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭120000000000000000000i i r r B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（7）、（8）可以表示为)()()()1(t Bx t t Ax t x β+=+ （9） 从而只需由统计资料得到人口的初始分布)0(x 及存活率i s 、女性比i k ，合理给定今后的i s 、i k 、i h 就可以设定不同的的总和生育率)(t β来预测和控制未来的人口总量和年龄结构。

六、模型求解6.1问题一的求解6.1.1对年龄分组和时段划分通过对《中国统计年鉴》的查阅，为了更好地利用数据，决定将人口年龄以每5岁为一个年龄组，即按年龄划分为+---95,9490,,95,40 共20个年龄组，即20=n ，育龄妇女所在年龄组为10,4,4945,2420,191521==---i i 其中 ，相应地，每5年划分为一个时间段。

6.1.2对2015年人口按年龄分布的预测首先对进入20世纪以来我国人口的出生率，死亡率，自然增长率（‰）作图发现自08年以后自然增长率变化不大，故以2013年的自然增长率近似作为2014年增长率对2015年总人口进行预测，2年之内，人口的年龄结构不会发生大的变化，故以2013年各年龄组人口比例作为15年的比例。

i i c b a x *2)^1(*)0()0(+=6.1.3各个年龄组存活率i s 的确定为简化模型，已经假设各年龄组的存活率不随时间变化，由于数据仅可以查到2013年，所以设2013年为最近的时段的最后一年，2008年的第i 年龄组人口经过一个时段都长到了13年的第1+i 年龄组，所以年龄组总人口年第年龄组总人口年第i i s i 08113+=，19,2,1 =i同理，12年和07年，11年和06年，10年和05年，09年和04年的i s 符合类似的表达式，将它们分别计算并求5组i s 的均值，结果如表i1 2 3 4 5 6 7 i s0.987 0.9490.995 0.996 0.9250.9290.986 i8 9 10 11 12 13 14 i s0.989 0.922 0.708 0.995 0.824 0.715 0.751i15 16 17 18 19 20 i s0.7610.6070.4370.3290.213从而矩阵A 为0.949 0.995 0.996 0.925 0.929 0.986 0.989 0.992 0.708 0.995 0.824 0.715 0.751 0.761 0.607 0.437 0,329 0,21300000.987000000.9490000000.2130A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=6.1.4各个年龄组性别比例)(t k i 的确定通过对20132009,20082004,20031999---年（其中数据缺省的年份略去）各个年龄组的男性与女性人数之比均值作图，发现其图像相差不大，如图不同时间段各年龄组男女性别比图故假设在一定时期内)(t k i 与时间无关，记作i k由于社会的发展，以后的情况和近几年更相似，故以近五年年龄组的女性比作为以后若干时间段的女性比，)(i y 为i 年龄组的女性为100时男性人数值，则))(100/(100i y k i +=， 计算结果如下表所示各年龄组女性比例表i1 2 3 4 5 6 7 i k0.4542 0.4546 0.46 0.4724 0.4918 0.5003 0.4968 i8 9 10 11 12 13 14 i k0.4952 0.4945 0.4963 0.4927 0.4948 0.4942 0.498i15 16 17 18 19 20 i k0.50290.52240.55470.60330.67520.73976.1.5生育模式i h 的确定m m m k g h =，通过作图发现是明显的Lipschtz 函数，用Matlab 中的guassian 函数进行了拟合，得到i h 的表达式，从而计算出i h 的具体数值，如表四所示。