下载文档原格式
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
平稳随机过程⏹严格平稳随机过程⏹广义平稳随机过程⏹平稳随机过程自相关函数性质⏹各态历经过程1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。
1111(,,,,,)(,,,,,)X N N X N N p x x t t t t p x x t t +∆+∆=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。
(,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。
二维概率密度只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。
12121212121221212(,,,)(,,,)(,,,0)(,,)X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+∆+∆=-∆=-=ττ=-如果X (t )是严格平稳随机过程, 则121212121212(,)(,,,)()X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞-∞==ττ=-⎰()()X X Xm t xp x dx m ∞-∞==⎰222()()()XX X Xt x m p x dx ∞-∞σ=-=σ⎰100200300400500-4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise0100200300400500-4-3-2-101234Non-stationay Gaussian Noise可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。
IID: Independent and Identical Distribution即对于任意的n ，X [n ]具有相同的一维概率密度，且对任意n 1和n 2(n 1≠n 2 ), X [n 1]和X [n 2]相互独立。
121111(,,...,,,...,)(,)(,)()NX N N X i i i NX i i i NX i i p x x x n n n n p x n n p x n p x ===+∆+∆=+∆==∏∏∏利用同分布利用独立性与n 无关例1：随机幅度信号0()cos X t Y t=ω0ω是常数~(0,1)Y N 判断X (t )是否严平稳。
平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
1、平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程的均值等于输入随机过程的均值与系统直流传递函数的乘积：
[]0()()()o i E t E h t d ετεττ∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
⎰ []0
()()()(0)i i i h E t d a h d a H τεττ
ττ∞
∞=-==⎰⎰
2、平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程也是平稳的：
[]
[]0000
00
(,)()()()()()()()()()()()()()()
o o o i i i i i o R t t E t t E h t d h t d h h E t t d d h h R d d R τεεταεααβετββαβεαετβαβ
αβταβαβτ∞∞∞∞∞∞+=+⎡⎤=-+-⎢⎥
⎣⎦
=-+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
3、平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程的功率谱密度等于输入随机过程的功率谱密度与系统传递函数模平方的乘积：
4、平稳高斯过程经过线性系统后，输出随机过程也是高斯过程，但数字特征可能已经发生改变。
例：若信道中高斯白噪声的均值为零，其双边功率谱密度为0
2n ，接收端理想带通滤波器中心频率为
c f ，带宽为B ，求：
（1）接收端理想带通滤波器输出噪声的自相关函数；
（2）接收端理想带通滤波器输出噪声的平均功率；
（3）接收端理想带通滤波器输出噪声的一维概率密度函数。
平稳随机过程平稳随机过程的是一种特殊而又广泛应用的随机过程。
一、平稳随机过程定义1.狭义平稳定义随机过程的维分布函数或维概率密度函数与时间起点无关，即对于任何和，随机过程的维概率密度函数满足则称是在严格意义下的平稳随机过程。
简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。
它的一维概率密度函数与时间无关，即而二维概率密度函数仅依赖于时间间隔有关，即 2.广义平稳定义：若随机过程的数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关，即则称为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。
通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为广义平稳随机过程。
以后讨论平稳随机过程除特殊说明外均指广义平稳随机过程。
二、各态历经性各态历经性是平稳随机过程在满足一定条件下的一个非常重要的特性。
设是平稳随机过程中任取的一个样本函数，若的数字特征（统计平均）可由的时间平均值替代，即则称随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义：从随机过程中得到的任何一个样本函数，都经历了随机过程的所有可能状态。
因此，可用一个样本函数得统计特性来了解整个过程的统计特性，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
注意：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，但在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性条件。
三、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的定义式性质：（1）（的平均功率）（2）（是偶函数）（3）（时有最大值，为上界值）（4）（的直流功率）（5）（方差，为的交流功率）由上述性质可知，用自相关函数可表述的几乎所有的数字特征，因而具有实用意义。
例3.3.1 设随机过程，其中是在内均匀分布的随机变量。
试证明：（1）是广义平稳的；（2）试说明它的自相关函数的性质。
证明：(1)按题意，随机相位的概率密度函数为则的数学期望为的自相关函数为令，得。
