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第十二章 平稳随机过程2012

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随机过程及其平稳性

随机过程及其平稳性
称为1 和 2 的“协方差”（Covariance）。
24
• 相关系数
设随机变量 1和 2 的均值和方差都存在，则
1 2
E[(1 E(1))(2 E(2 ))] Var(1) Var(2 )
4
2
0
-2
-4
200
400
600
800
1000
Z2
12
非平稳时间序列图形
4. 0 3. 5 3. 0 2. 5 2. 0 1. 5 1. 0
1000
2000
3000 GER
4000
5000
6000
13
趋势平稳时间序列图形
1000 800 600 400 200 0 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 CAPAR 14
15
在Workfile中，Object/New object/,并给序列命名（比如
x,y),ok.
• 点击序列x或y的图标，输入数据。 • Quick/Graph/Line Graph
16
序列y的图形
12000 10000
8000 6000 4000 2000
0 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 Y
一、随机过程及其概率分布
（一）随机过程定义
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
• 当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
等,则称xt 为随机过程 • 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2， 或 T 1，2， 等，则称xt 为随机序列。T代表时间
例1 用图形判断某地区人均收入
和人均消费数据的平稳性（数据 见教材例3-1）

平稳随机过程的概念

平稳随机过程的概念

所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)

a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.

平稳随机过程

平稳随机过程

所以，X(t), Y(t)为联合平稳的。 同样的方法可算得
RYX ( ) AB cos( ) 2
随机分析
引言
一、均方收敛及均方连续 二．随机过程的均方导数 三．随机过程的均方积分
一、均方收敛及均方连续
1.均方收敛的定义：设有二阶矩随机序列
｛Xn,n=1,2,…｝和随机变量X,E(X2)<+,若有
例2: 设X(t)=Asin(t+Θ)，Y(t)=Bsin(t+Θ-),A,B,
, 为常数，Θ在(0,2)上服从均匀分布，求RXY()。
解: X(t),Y(t)均为平稳过程.
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
E[ A sin( t )B sin( t )]
0
1
1 1 1 [cos2 m x cos2 ( 2n m ) x ]d x 2 2 0 0
m0 m0
只与m有关，所以 {Xn}为平稳序列。
例4：考虑随机电报信号，信号X t 由只取 I 或 I的电流给出。 P X t I 1 , 2 而正负号在区间 t , t 内变化的次数N t , t 是随机的， 且假设N t , t 服从泊松分布，即： e P N t, t k k 0,1, 2, k! 其中 0是单位时间内变号次数的数学期望，
上述结果与t 无关,故若τ<0时,只需令t=t+τ，则有
E[ X ( t ) X ( t )] E[ X ( t ' ) X ( t ' )] E[ X ( t ' ) X ( t ' | |)] I 2e 2| | 故这一过程的自相关函数为

Ch12-平稳随机过程

Ch12-平稳随机过程

例 2 . 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f
1 2
， 0 2
试讨论平稳性
sol . X t 0 E X t X t E a a a
2
a R X t1 , t 2 Cos R X 2 随机相位正弦波为(宽 )平稳 sp
p p

T T
U x X t dt P X t x F1 x — — 分 布 函 数 各 态 历 经
p
(4).(1) 和 (2) — — 平 稳 过 程 各 态 历 经
例1 讨论随机相位正弦波的平稳性和各态历经性
1 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f ， 0, 2 2 sol. 1: 平稳性

Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n
2.严平稳过程的分布与数 字特征 1：一维分布 ，F1 x; t1 F1 x; t1 , f1 x; t1 f1 x;0 f1 x — —与 t 无关 则均值： EX t1 x1 f1 x1; t dx1 x1 f1 x dx1 X
( ) I e I 2 e 2 k 0关 ， 故 若 τ<0 时 ， 只 需 令 t ’=t+ τ，则有 E[X(t)X(t+τ)] =E[X(t`)X(t`+ τ )]= I2 e-2λ∣τ∣
图12-2
故这一过程的自相关函数为 E[X(t)X(t+τ)]= I2e-2λ∣τ∣ 它只与τ有关。因此随机电报信号X(t)是 一平稳过程。其图形如上图所示

平稳随机过程和各态历经过程ppt课件

平稳随机过程和各态历经过程ppt课件

当两个随机过程 X (t)和Y (t)分别是广义 平稳过程时 , 若它们的互相关函数满 足 :
RXY (t1, t1 ) E[ X (t1)Y (t1 )] RXY ( )
则称X (t)和Y (t)是联合广义平稳过程 , 或 称为联合宽平稳过程 .
各态历经性
• 平稳随机过程在满足一定条件下有一个 有趣而又非常有用的特性， 称为“各态 历经性”。
X (t)Y (t ) lim 1 T 2T
T
T X (t)Y (t )dt RXY ( )
则称它们是联合各态历经过程.
• 平稳随机过程的定义说明：当取样点在时 间轴上作任意平移时，随机过程的所有有 限维分布函数是不变的。
• 推论：一维分布与时间t无关， 二维分布 只与时间间隔τ有关。从而有
E[ (t)] x1 f1( x1, )dx1 a
• R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］
=R(t1, t1+τ)=R(τ)
随机过程的各个样 本函数都同样地经 历了随机过程的各 种可能状态，因此 从随机过程的任何 一个样本函数就能
得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函 数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。
1. 对于二阶平稳过程X (t), 若X (t) E[ X (t)] mX以概 率1成立,则称随机过程X (t)的均值具有各态历经性.
X (t) X (t ) lim 1
T
X (t) X (t )dt
T 2T T
3、 若X (t)的均值和自相关函数都具有各态历经性,
且X (t)是广义平稳过程,则称X (t)是广义各态历经 过程, 简称为各态历经过程.
4、 如果两个随机过程X (t)和Y (t)都是各态历经过程,

2.2 平稳随机过程

2.2 平稳随机过程
(2.2 - 1) 则称ξ(t) 是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴 上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的， 具体到它的一维分布, 则与时间t无关， 而二维分布只与时间间 隔τ有关，即有
2016/9/6 1
第2章
随机过程 f1(x1, t1)=f1(x1) (2.2 - 2)
2016/9/6
16
第2章
随机过程
根据上述关系式及自相关函数R(τ)的性质，不难推演功 率谱密度Pξ(ω)有如下性质： （1） Pξ(ω)≥0，非负性； （2.2 - 20） （2）Pξ (-ω)= Pξ(ω)，偶函数。 （2.2 - 21）
因此， 可定义单边谱密度Pξ(ω)为
2 P ( ) P 1 ( ) 0
(2.2-15)
(2.2-16)
虽然式（2.2 - 15）给出了平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度
Pξ(ω)，但我们很难直接用它来计算功率谱。那么，如何方便
地求功率谱Pξ(ω)呢？ 我们知道，确知的非周期功率信号的自 相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过
程，也有类似的关系，即
j P ( ) R ( )e d
当均值为0时，有R(0)=σ2。
2016/9/6
10
第2章
随机过程
2.2.4平稳随机过程的功率谱密度
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们
知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对 于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为
Pf ( ) lim
T
FT ( ) T
平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有 用的特性， 称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的 数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现 的数字特征（均为时间平均）来替代。也就是说，假设x(t)是 平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关 函数分别为

平稳随机过程及其遍历性

平稳随机过程及其遍历性
1.3 平稳随机过程及其遍历性
, z,t) x x x 平稳性：若一个函数 f (x, y，当 ， x f (x, y , z,t) f( x, y, z,t) 的特性不变，就称 关于 函数是平稳的。
对确定函数来说：特性不变指函数值不变。 对随机过程来说：特性不变指统计特性不变， 且仅仅对时间变量t而言。 分类 严格平稳 宽平稳（广义平稳）
1
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易得 多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的主要 物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 可以忽 略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的噪声电压
信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电
f ( x , t t ) f ( x , t ) f ( x , 0 ) f ( x ) X 1 1 X 1 1 X 1 X 1
4
随机过程X(t)的均值，均方值和方差都是平稳的
都与时间t无关
E[ X (t)] xf X (x)dx mX
2 E[ X (t)] x2 f X (x)dx X 2 2 D[ X (t)] (x mX )2 f X (x)dx X

5
f ( x , , x , t t , , t t ) f ( x , , x , t , , t ) X 1 n 1 n X 1 n 1 n
二阶平稳(n=2)
严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。
时，二维概率密度： n 2 , t t , t t 1 2 1

则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。 严平稳与宽平稳的关系： 一定 严格平稳 广义平稳 不一定 当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。

平稳随机过程

平稳随机过程

相关时间：
0 rX ( )d
0

rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0

相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )

2 X

2 RX ( ) mX 2 X
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )

2平稳随机过程

2平稳随机过程
n→ ∞ m →∞
证明： 由柯西 由柯西-施瓦兹不等式 证明：(1)由柯西 施瓦兹不等式
| E ( X n ) − E ( X ) | 2 =| E ( X n − X ) | 2
≤ E[( X n − X ) 2 ] → 0
(n → ∞)
( 2) lim E ( X n ) = E ( X 2 )
≤ E[ X n (Ym − Y )] + E[Y ( X n − X )]
≤ E ( X n ) E (Y m − Y ) 2 + E (Y 2 ) E ( X n − X ) 2 → 0 n, m → ∞
2
4．均方收敛准则
2 若 E[X n ] < ∞, 则下面诸条件等价：
(1) l.i.m X n = X ;
证：R XY ( −τ ) = E[ X ( t + τ )Y ( t )] = E[Y ( t ) X ( t + τ )] = RYX (τ )
自相关函数是奇函数，还是偶函数？ 自相关函数是奇函数，还是偶函数？
互相关函数的简单性质
1 性质3. | RXY (τ ) |≤ [ R X (0) + RY (0)]. 2
性质6. 复平稳过程（ 性质 复平稳过程（略）。
三、联合平稳过程的平稳相关、互相关函数
（1）定义: 设{X(t)},{Y(t)},t∈T为两个平稳过程， 定义 如果它们的互相关函数RXY(t,t+τ)只是τ 的函数,即 RXY(t,t+τ)=E[X(t)Y(t+τ)]= RXY(τ),则称{X(t)},{Y(t)} 是平稳相关的，或称{X(t)}与{Y(t)}是联合平稳过程. 并称 RXY(τ)=E[X(t)Y(t+τ)] 为{X(t)}与{Y(t)}的互相关函数。

平稳随机过程及其遍历性 ppt课件

平稳随机过程及其遍历性 ppt课件

实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因 此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间 平稳就行了。
《随机信号分析》教学组
3
f X ( x 1 , , x n , t 1 t , , t n t ) f X ( x 1 , , x n , t 1 , , t n )
2(t)E[X2(t) ] X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：
严格平稳
一定 广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
《随机信号分析》教学组
11
为什么要研究宽平稳随机过程?
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 在自然界和实际应用 中许多随机过程可以近似为平稳信号。且平稳信号 分析要容易得多，理论成熟，是随机信号分析的基 础。
分类严格平稳宽平稳广义平稳随机过程可分为平稳和非平稳两大类严格地说所有信号都是非平稳的但是平稳信号的分析要容易得多而且在电子系统中如果产生一个随机过程的主要物理条件在时间的进程中不改变或变化极小可以忽略则此信号可以认为是平稳的
1.3 平稳随机过程及其遍历性
平稳性：若一个函数 f(x,y,，z,t当) x，xx
E[XY]cost1 sint2 E[YX]sint1 cost2
2cost1 cost2 2sint1 sint2
2cos(t1 t2)
2cos
t1 t2
RZ(0)2
Z(t)是广义平稳的。
《随机信号分析》教学组
16
E [Z3(t)]E {[XcostYsint]3} E [X 3cos3tY3sin3t3X 2 Ycos2tsint3 Y2Xcostsint]

平稳随机过程的互相关函数和平稳随机序列

平稳随机过程的互相关函数和平稳随机序列

信号识别与分类
互相关函数用于信号识别
通过计算不同信号间的互相关函数，可 以识别出信号间的相似性和差异性，进 而实现信号识别。
VS
互相关函数用于信号分类
根据信号间的互相关函数特征，可以对信 号进行分类，如语音信号、图像信号等。
信号参数估计
互相关函数用于信号时延估计
通过计算信号间的互相关函数，可以估计出信号间的时延，即信号传播时间差。
03
5. 根据比较结果，评估仿真实 验的准确性和有效性。
06 总结与展望
研究成果总结
平稳随机过程的互相关函数
本文研究了平稳随机过程的互相关函数，包括其定义、性质、计算方法和应用。通过理 论分析和实例验证，证明了互相关函数在信号处理、控制系统等领域中的重要作用。
平稳随机序列
本文还对平稳随机序列进行了深入研究，包括其定义、性质、生成方法和统计分析。通 过模拟实验和实例分析，展示了平稳随机序列在通信、密码学等领域中的广泛应用。
03 平稳随机序列及其特性
平稳随机序列定义
严平稳随机序列
若随机序列的任意有限维分布函数与 时间起点无关，则称该序列为严平稳 随机序列。
宽平稳随机序列
若随机序列的数学期望为常数，且自 相关函数仅与时间间隔有关，则称该 序列为宽平稳随机序列。
平稳随机序列统计特性
数学期望
平稳随机序列的数学期望为常数，不随时间变化。
互相关函数用于信号频率估计
利用互相关函数的频率特性，可以对信号的频率进行估计，如音乐信号的基频、调制信号的载波频率 等。
05 数值计算方法和仿真实验 设计
数值计算方法介绍
离散化方法
将连续时间平稳随机过程离散化，以便进行数值计算。常用的离散化方法包括时间离散化和状态离散化。

《概率论 浙大版》 - 平稳随机过程

《概率论 浙大版》 - 平稳随机过程

E{[ N ( t h) N ( t )][ N ( t h) N ( t )]}
为简单起见，不失一般性，可设 0
当 h 时；见图(a)
t
th
t t h
(a)
由于区间 ( t , t h) 与区间 ( t , t h)
满足下列条件，则称作为随机电报信号。 ㈠ 相继取值+I或-I , 且
1 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 2 ㈡ 在任意区间 [t, t ) 内信号变化的次数
N ( t , t ) 服从泊松分布
( )k P{ N ( t , t ) k } e , k 0,1,2, k! 也即在区间 [0, t ) ，电报信号变化次数
2
其中, 为整数，故随机序列的均值
为常数, 相关函数仅与 有关。因此，它
是平稳随机序列。
例：设随机过程 X ( t ) a cos( 0 t ) 式中, a, 0 为常数， 是在 (0,2 ) 上 服从均匀分布的随机变量, 证明 X (t )是 平稳过程。 证: 由于
~ U (0,2 )
但正态过程例外，因为它的概率密度 函数可由均值和协方差矩阵完全确定。所 以，如果均值，自相关函数不随时间的推 移而变化，则概率密度函数也不随时间的 推移而变化。
例：设 { X n , n 0, 1, 2,} 是实的互不相 关随机变量序列, 且 E[ X n ] 0,D[ X n ] 2 , 试讨论随机序列的平稳性。 解: 因为 E[ X n ] 0, 而
一、严平稳随机过程及其数字特征 定义：随机过程 { X ( t ), t T } 若对整数n 任意的 t1 , t 2 ,, t n T 以及任意的实数

2.2 平稳随机过程.

2.2 平稳随机过程.
2018/12/4
(2.2-6)
5
第2章
随机过程
如果平稳随机过程依概率使下式成立：
aa
R( ) R( )
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
(2.2-7)
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历
了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中也 不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需 从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数 字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际 测量和计算的问题大为简化。
2018/12/4
2
第2章
随机过程
而平稳随机过程ξ(t)的自相关函数
R(t1 , t2 ) E[ (t1 ) (t1 )]

(2.2-5)


x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
仅是时间间隔τ=t2-t1的函数，而不再是t1和t2的二维函数。 以上表明，平稳随机过程ξ(t)具有“平稳”的数字特征：它 的均值与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔τ有关，即
平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有 用的特性， 称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的 数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现 的数字特征（均为时间平均）来替代。也就是说，假设x(t)是 平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关 函数分别为
1 T /2 a x(t ) lim x(t )dt T /2 T T 1 T /2 R( ) x(t ) x(T ) lim x(t ) x(t )dt T /2 T T
随机过程只要它的均方值 E［ξ2(t)］有界，则它必定是广义平

第十二章 平稳随机过程

第十二章 平稳随机过程

{ X t }是严平稳过程当且仅当 （）所有的X t同分布。 1 （2）对任意n ≥ 2, ( X t1 , X t2, ..., X tn )的分布 仅与时间差t2 − t1,t3 − t2, ..., tn − tn −1有关， 而与起始时间t1无关。
严平稳过程的数字特征：
设严平稳过程 { X ( t )} 是二阶矩过程，则 （1）µ X ( t ) = E X ( t ) = E X ( 0 ) ＝＝ µ X ( 常数 ) （2）RX ( t1 , t2 ) = E X ( t1 ) X ( t2 ) = E X ( 0 ) X ( t2 − t1 ) ＝＝ RX ( t2 − t1 )
解： X ( t ) > = lim 1 < T →+∞ 2T
将Θ看作一定值
X ( t ) = acos (ω t + Θ )的时间平均
T
∫
−T
acos (ω t + Θ ) dt
a sin (ωT + Θ ) − sin ( −ωT + Θ ) ＝＝＝＝ lim T →+∞ 2T ω
20
独立同分布平稳序列的均值遍历性
设X 1 ,K , X n， , 独立同分布，EX 1 = µ , DX 1 = σ 2 > 0, K 则大数定理成立：
1 p → ∑ X i µ n i =1
n
定理一： (均值各态历经定理 ) P{< X (t ) >= µ X } = 1 ⇔ 1 lim T →+∞ T
1 2 n
t1 , t2 ,L tn ∈ T 和任意实数h，当t1 + h, t2 + h,L , tn + h ∈ T 时,

12-1平稳随机过程的概念

12-1平稳随机过程的概念

. 变函数
∞
而τ < 0时, 令t ′ = t + τ , 则自相关函数 则自相关函数:
E[ X ( t ) X ( t + τ )] = I e
2 − 2λ τ
只与τ有关
所以随机电报信号 X ( t ) 是一平稳过程 .
其图形为: 其图形为
RX (τ )
I2
o
τ
例4 设随机过程 X ( t ) = A cos(ωt + θ ) , − ∞ < t < +∞ ,
E[ X ( t )] = µ X
(常数 )
E[ X ( t ) X ( t + τ )] = RX (τ )
则称{ X ( t ), t ∈ T }为宽平稳过程 , 或广义平稳过程 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在 则它必定也 严平稳过程只要二阶矩存在, 是宽平稳的. 反之不成立. 是宽平稳的 反之不成立 (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
解
因{X ( t ), − ∞ < t < +∞}是一个零均值的平稳
过程, 故有
E[ X ( t )] = 0 RX ( t , t + τ ) = RX (τ )
令Y ( t ) = X ( t ) + X (0), 则 E[Y ( t )] = E[ X ( t )] + E[ X (0)]
= X ( 0)
定义2 定义
同时考虑两个平稳过程: 同时考虑两个平稳过程 X ( t ) 和 Y ( t )
如果它们的互相关函数也只是时间差的单 变量函数, 变量函数 即
RXY ( t , t + τ ) = E[ X ( t )Y ( t + τ )] = RXY (τ ),

三.平稳随机过程

三.平稳随机过程
求X(t)的均值、均方值和方差。
解：RX(τ)=（100cos10 τ ）+（100e-10| τ |+100） = RX1(τ)+ RX2(τ)
式中，RX1(τ)=100cos10 τ是X(t)中周期分量的自相关 函数，此分量的均值mx1=0; RX2(τ)=100e-10| τ |+100是 X(t)的非周期分量的自相关， 由性质4，可得
(1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X k (t)]与时 间t无关。
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相 同的统计特性。
5.1.2 宽平稳随机过程
若随机过程 X(t)满足
mX (t) mX
RX (t1, t2 ) E( X t1 , X t2 ) RX ( )
解： mX (t) EX t E t2 Asin t B cost
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
Y t X t mX (t) Asin t B cost
mY (t) EY t EAsin t B cost 0 RY (t1,t2 ) EY t1Y t2 EAsin t1 B cost1Asin t2 B cost2
mX 2 RX 2() 10 所以有
mX mX1 mX2 10
E[ X 2 (t)] RX (0) 300
2 X
RX (0) mX2
300 100 200
严平稳随机过程
严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
一维概率密度 与时间无关
二维概率密度仅 与时间间隔有关
均值、均方值、 方差及 E[ X k (t)] 与时间无关
例5：已知随机过程 X (t) a cosw0t ,其中a和w0是常数，
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解: E[ X ( t )] E[sin( 2t )]
sin( 2 t ) f ( )d
1
sin( 2 t )d 0
0
RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )] sin(2t ) sin[2 (t )]d
1 RX ( t , t ) T
记成

t T
t
s( ) s( )d RX ( ).

所以, 随机相位周期过程是平稳的. 特别,
随机相位正弦波是平稳的.(第十章§2例
2).
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例3 X(t) =Ycos(t)+Zsin(t), t > 0, Y, Z相 互独立, E(Y) = E(Z) = 0, D(Y) =D(Z) =2. 讨论随机过程{X(t), t > 0}的平稳性. 解 E[ X ( t )] E[Y cos( t ) Z sin( t )] cos( t ) E (Y ) sin( t ) E ( Z ) 0.

5

由第十章(2.7)式, 协方差函数: CX(t1, t2 ) = E{[X(t1) - μX(t1)][X(t2) - μX(t2)]} = RX(t1, t2 ) - μX(t1)μX(t2). 那么, 协方差函数可以表示为: CX() = E{[X(t) - μX][X(t +) - μX]} = RX() - μX ² 特别地, 令 =0,由上式,有


依照图10-4的意义, 可以知道,平稳过程的 所有样本曲线都在水平直线 x(t ) X 上下 波动, 平均偏离度为 X .
4
又若平稳过程X(t)的自相关函数 RX(t1, t2 ) = E[X(t1) X(t2)] 存在. 对n = 2, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由 平稳性定义, (X(t1), X(t2))与(X(0), X(t2 - t1)) 同分布. 于是 RX(t1, t2 ) = E[X(t1)X(t2)] = E[X(0)X(t2 - t1)]. 记为 RX(t1, t2 ) = RX(t2 - t1) 或 RX(t, t + ) = E[X(t)X(t +)] = RX( ) . 这表明:平稳过程的自相关函数是时间差 t2 - t1 = 的单变量函数.
负号在区间(t , t )内变化的次数N (t , t )是随机的， 且假设N (t , t )服从泊松分布，即事件 ( ) k Ak {N (t , t ) k}的概率为P( Ak ) e , k 0,1 k! 其中 0是单位时间内变号次数的数学期望。 试讨论X (t )的平稳性。
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cos( t ) cos( s ) E (Y 2 ) sin ( ( t s ))E (YZ ) sin ( t ) sin ( s ) E ( Z 2 ) cos( t ) cos( s ) D(Y ) sin ( t s ) E (Y ) E ( Z ) sin ( t ) sin ( s ) D( Z ) cos( t ) cos( s ) sin ( t ) sin ( s )

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事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W ( t )W ( t )] E {[ X ( t ) Y ( t )][X ( t ) Y ( t )]} E[ X ( t ) X ( t ) X ( t )Y ( t ) Y ( t ) X ( t ) Y ( t )Y ( t )] E[ X ( t ) X ( t )] E[ X ( t )Y ( t )] E[Y ( t ) X ( t )] E[Y ( t )Y ( t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )

RX ( t , s ) E[ X ( t ) X ( s )] E[(Y cos( t ) Z sin ( t ))(Y cos( s ) Z sin ( s ))] E[cos( t ) cos( s )Y sin ( ( t s ))YZ
2
sin ( t ) sin ( s ) Z 2 ]
2 , 0 R X ( n , n ) E [ X n X n ] 0 , 0
所以, {Xn, n = 0, 1, 2,}是平稳随机序 列.
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例5 考虑随机电报信号，信号X(t)由只取+I和-I 的电流给出，X(t)取正负的概率各为1/2;而正
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显然，E[ X (t )] 0, 下面计算E[ X (t ) X (t )]
设 0,电流有可能在(t , t )时间内变号偶次或奇次，即 X (t ) X (t ) I 2或-I 2 , 而事件{X (t ) X (t ) I 2 }发生概率 P( A0 ) P( A2 ) P( A4 ) 而事件{X (t ) X (t ) I 2 }发生概率 P( A1 ) P( A3 ) P( A5 ) , 于是
0 1
1 1 {cos(2 ) cos[2 (2t ) ]}d 2 0
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1 , 0 2 0 , 0
所以X(t)是平稳过程. 如果同时把两个平稳过程X(t)、Y(t)同时 送到加法器的输入端，则加法器的输出为 Z(t)=X(t)+Y(t)，问题：Z(t)是否平稳？

3
平稳过程数字特征的特点. 设平稳过程X(t)的均值函数E[X(t)]存在. 对n=1, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由平稳性 定义, X(t1)和X(0) 同分布. 于是 E[X(t)] = E[X(0)], 记为 X 同样, X(t)的均方值函数和方差函数亦为 2 2 常数, 分别记为 X 和 X
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若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列. 广义平稳过程
严平稳过程 严平稳过程
二阶矩存在

严平稳过程
广义平稳过程 广义平稳过程
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正态过程

例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ² ] = σ² , 则有
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T，
若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
(X(t1+h), X(t2 +h),, X(tn+h)) (1.1)
有相同的分布函数，则称{X(t)，t T }为平稳 随机过程，或简称平稳过程.
2
在实际问题中, 确定过程的分布函数, 并 用它来判定其平稳性,一般是很难办到的. 但是, 对于一个被研究的随机过程, 如果 前后的环境和主要条件不随时间的推移 而变化, 则一般就可以认为是平稳的. 恒温条件下的热噪声电压过程; 强震阶段的地震波幅; 船舶的颠簸过程; 照明电网中电压的波动过程; 各种噪声和干扰等等.
2 2
cos((s t ) )
2 2
cos( )
所以{X(t), t T }为宽平稳过程.
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例4 设 {Xn, n = 0, 1, 2,} 是实的互 不相关随机变量序列，且E(Xn)=0， D(Xn) = 2 . 讨论随机序列的平稳性. 解 因为E(Xn) = 0，
2 2 X C X (0) RX (0) X
6

• • • •
定义2 给定二阶矩过程{X(t), t T }, 如果 对任意 t, t + T E[X(t)] = μX (常数), E[X(t) X(t +)] = RX( ), 则称{X(t), t T }为宽平稳过程, 也称广义平稳 过程. 简称平稳过程. 相对地, 前述按分布函数定义的平稳过程称为 严平稳过程或狭义平稳过程. 一个严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳过程. 但反过来, 一般是不成立的. 特例: 一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳. 泊松过程和维纳过程是非平稳过程.
§12.1 平稳随机过程的概念
在实际中, 有相当多的随机过程,
不仅它现在的状态, 而且它过去的状态,
都对未来状态的发生有着很强的影响.
有这样一类随机过程, 即所谓平稳过程, 它的特点是: 过程的统计特征不随时间 的推移而变化.严格地说,有下面的定义.
1
平稳随机过程的定义

定义1 设{X(t), t T }是随机过程，如果对任 意常数 h 和正整数 n，
解 由假设, Θ的概率密度为


1 / T , 0 T , f ( ) 其它. 0, 于是, X(t)的均值函数为
1 E[ X ( t )] E[ s( t )] s( t ) T d 0 T
1 T

t T
t
s( )d
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利用s(φ)的周期性, 可知 1 T E[ X ( t )] s( )d 常 数. T 0 而自相关函数

R X ( t , t ) E[ s( t ) s( t )]
T 0
1 s ( t ) s ( t ) d T
1 T

t T
t
s( ) s( )d .
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同样, 利用s(φ) s(φ + τ)的周期性, 可知自 相关函数 仅与τ有关, 即

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联合平稳随机过程
定义3 设{X(t), t T }和{Y(t), t T }是两 个平稳过程，如果它们的互相关函数 E[X(t)Y(t +)] 和E[Y(t)X(t +)]仅与 有关, 而与 t 无关，则称X(t)和Y(t)是平稳相关 的, 或称这两个过程是联合(宽)平稳的. RXY(t, t +) = E[X(t)Y(t +)] = RXY(), RYX(t, t +) = E[Y(t)X(t +)] = RYX(). • 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.