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向量的坐标【教学目标】向量是近代数学最重要的概念之一，它的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统，使得它成为数学、物理等学科中很多问题的重要工具，成为沟通“数”与“形”的桥梁，同时也为将来研究平面、空间图形做了知识和方法上的准备。
根据上述分析结合本节内容，教学大纲的要求，确定本节可的教学目标如下：掌握向量的坐标表示法,向量的加法、减法、数与向量的乘法等运算的坐标表示形式,理解定比分点公式，掌握中点公式,能应用向量的坐标表示法解决简单的实际问题.培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力.关注学生的学，使学生体验探索知识的乐趣.【教学的重点与难点】重点：向量运算的坐标表示难点：定比分点公式以及向量的综合应用【教学方法与手段】教学方法：关注学生的学，引导学生在学习过程中提出问题，自主探究，合作讨论解决问题教学手段：多媒体辅助教学，充分发挥其快捷、生动、形象的特点来提高课堂效率，提供学生学习的平台。
【教学讨论】在前面的向量学习过程中，曾在直角坐标系中给出向量始点与终点的坐标，启发学生思考向量的坐标如何表示呢？与始点、终点的坐标有何关系呢？（一）位置向量在直角坐标平面内，以原点为始点，点P为终点的向量OP，叫做点P的位置向量。
*特别的，当点P与原点O重合时，这时的位置向量就是零向量。
学生疑问一：以前学习的“普通”向量与位置向量到底有什么联系呢？为什么要提出位置向量的概念？点评：根据向量的可平移性，坐标平面内的任何一个向量都有唯一确定的位置向量与它相等。
即：任何向量都可以表示为起点为原点的向量。
（二）基本单位向量回忆：单位向量的定义1． 习惯上常把与X 轴正半轴同方向的单位向量记做i ，常把与Y 轴正半轴同方向的单位向量记做ji ，j 称为基本单位向量。
请同学们阅读教材第65页2~7行提问：若P （1，1）则OP ＝？ 若P （－3，4）则OP ＝？从而很快得出P （X ，Y ），OP ＝x i +y j通常把有序实数对（x,y ）叫做位置向量OP 的坐标。
2019-2020年高二数学上册8.1《向量的坐标表示及其运算》教案八沪教版一、教学内容分析向量的概念对学生而言并不陌生，在物理中早有矢量的学习，所以入门并不困难。
同时向量又是数形结合的重要桥梁，在解析几何和立体几何中都有重要的应用，所以向量的一些基本概念及基本运算的掌握至关重要。
二、教学目标设计1．理解向量的概念，会区分标量与向量。
2．理解向量的模、相等的向量、零向量、负向量、平行的向量等概念。
3．掌握向量加法、减法的概念，会利用平行四边形法则或三角形法则作两个向量的和。
4．理解向量加法所满足的运算率。
5．理解向量减法是向量加法的逆运算。
三、教学重点及难点重点：向量的概念、向量加法的概念难点：平行四边形法则和三角形法则四、教学用具准备直尺、投影仪、多媒体五、教学流程设计六、教学过程设计一、向量 1．设置情境师：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？生：不能，因为没有给定发射的方向．师：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 生：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．师：对！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等 （2）向量的表示方法：①几何表示法：点和射线有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度符号表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段记作（注意起讫）． ②字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） 例 用1cm 表示5n mail （海里）A(起点)B（终点）a（3）模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。
向量的坐标表示及其运算【教学目标】1．了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；会用坐标表示向量；会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题。
2．经历如何将位置向量及任意向量表示为基本单位向量的线性组合这一正交分解的过程，以及经历如何通过向量的正交分解的本质概括抽象出向量的坐标表示的过程，初步形成抽象思维的能力；3．理解平面向量与一对有序实数对的一一对应关系，理解向量的坐标表示方法及其运算法则；体会数形结合的思想方法。
4．感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯。
【教学重难点】1．如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用；2．对向量的正交分解的过程的理解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐标表示的过程的理解。
【教学过程】一、情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演。
（1）若在某时刻1t，四名队员A、B、C、D保持如图1所示的平行四边形队形。
队员AGG位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处。
你能确定此时队员C 的位置吗？说明：此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处。
这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题。
（2）若在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图2所示的平行四边形队形。
队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处。
你能确定此时队员C 的位置吗？说明：不要求学生写出结果，只引导学生思考。
这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了，引起学生学习的兴趣与探究的欲望。
向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义引导学生回顾初中阶段所学到的向量概念，向量是有大小和方向的量。
解释向量在高中数学中的重要性，特别是在坐标系中的运用。
1.2 向量的表示方法介绍向量的表示方法，包括用箭头表示和用字母表示。
强调在坐标系中，向量可以用有序数对(a, b) 表示，其中a 表示向量在x 轴上的分量，b 表示向量在y 轴上的分量。
1.3 向量的模解释向量的模是指向量的大小，用||v|| 表示。
引导学生利用坐标系计算向量的模，即||v|| = √(a²+ b²)。
第二章：向量的加法和减法2.1 向量的加法解释向量的加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
引导学生利用坐标系进行向量的加法运算，即将对应分量相加。
2.2 向量的减法解释向量的减法是指从第一个向量中减去第二个向量，即加上第二个向量的相反向量。
引导学生利用坐标系进行向量的减法运算，即将对应分量相减。
第三章：向量的数乘3.1 向量的数乘概念解释向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
强调数乘不改变向量的方向，只改变向量的大小。
3.2 向量的数乘运算引导学生利用坐标系进行向量的数乘运算，即将每个分量与实数相乘。
举例说明数乘运算的性质，如a(b·c) = (a·b)c 等。
第四章：向量的点积4.1 向量的点积概念解释向量的点积是指两个向量的对应分量相乘后相加的结果，用v·w 表示。
强调点积的计算结果是一个标量，而不是向量。
4.2 向量的点积运算引导学生利用坐标系进行向量的点积运算，即将对应分量相乘后相加。
举例说明点积的性质，如v·w = w·v、v·(w+z) = v·w + v·z 等。
第五章：向量的叉积5.1 向量的叉积概念解释向量的叉积是指两个非共线的向量形成的平行四边形的面积，用v×w 表示。
向量的坐标表示及其运算【教学目标】1．掌握向量模的求法，知道模的几何意义；2．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式；3．会用平行的充要条件解决点共线问题；4．感悟向量作为工具解题的优越性。
【教学重难点】1．分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；2．特殊——一般——特殊的探究问题意识。
【教学过程】一、创设问题情景问题一：已知向量(1,2)a =。
（1）在坐标平面上，画出向量a ；并求a =_______；（2）若向量a 终点Q 坐标为(3,0)，则向量a 的始点P 坐标为_______；（3）向量a 的模与两点P 、Q 间距离关系是：_______。
若(,)Q P Q P a PQ x x y y ==--，则(Q a PQ x ==练习1：已知向量(2,3),(1,5)a b =-=-，求2a b -。
说明：在问题一中，先给出向量(1,2)a =，要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形结合的解题意识，感悟向量的模即平面上两点的距离。
由此发现并掌握向量模的求法及几何意义。
安排（2）小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向量都可转化为位置向量。
通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概念。
向量平行的概念：对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得a b λ=⋅成立，则两向量a 与向量b 平行，记为：//a b 。
问题探究反思：问题二：在坐标平面上描出下列三点(0,1),(1,3),(3,7)A B C ，完成下列问题：（1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：三点A ，B ，C 在一条直线上。
（3）分析表格中向量的模，你发现了什么？AB BC AC +=；（4）分析表格中向量，你还发现了什么？2BC AB =，3AC AB =，说明：养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线？方法一：计算三个向量的模长关系。
方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数λ。
2019-2020年高二数学上册8.1《向量的坐标表示及其运算》教案四沪教版
一、教学内容分析
向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以
及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定
量的描述.本节课是8.1向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与 “数、式”
结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一
方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为下节课定比分点（三点共
线）的教学提供基础.
二、教学目标设计
1．掌握向量模的求法，知道模的几何意义；
2．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式；
3．会用平行的充要条件解决点共线问题；
4．感悟向量作为工具解题的优越性.
三、教学重点及难点
课本例5的演绎证明；
分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；
特殊——一般——特殊的探究问题意识.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
创设问题情景
问题一、已知向量.
（1）在坐标平面上，画出向量；并求= ；
（2）若向量终点Q 坐标为，则向量的始点P 坐标为_______；
（3）向量的模与两点P 、Q 间距离关系是 .
若 (,)Q P Q P a PQ x x y y ==--，则(a PQ x ==
练习1：已知向量，求
[说明] 在问题一中，先给出向量，要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形结合的解题
意识，感悟向量的模即平面上两点的距离.由此发现并掌握向量模的求法及几何意义.安排（2）
小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向量都可
转化为位置向量.通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概念.
向量平行的概念：对任意两个向量，若存在一个常数，使得成立，则两向量与向量平行，记
为：.
问题探究反思
问题二.在坐标平面上描出下列三点,完成下列问题：
（1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：
（2）通过画图，你得出什么结论？
三点A 、B 、C 在一条直线上
（3）分析表格中向量的模，你发现了什么？
（4）分析表格中向量，你还发现了什么？
，，
[说明] 养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线？
方法一：计算三个向量的模长关系.
方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数.
（5）分析表格中向量坐标，你又发现了什么？
向量坐标之间存在比例关系.
思考：如果向量用坐标表示为，则是的（）条件.
A、充要
B、必要不充分
C、充分不必要
D、既不充分也不必要
由此，通过改进引出
课本例5 若是两个非零向量，且，
则的充要条件是.
分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨.
证明：分两步证明，
（Ⅰ）先证必要性：
非零向量存在非零实数，使得，即
，化简整理可得：，消去即得
（Ⅱ）再证充分性：
（1）若,则、、、全不为零，显然有，即
（2）若，则、、、中至少有两个为零.
①如果，则由是非零向量得出一定有，，
又由是非零向量得出，从而，此时存在使，即
②如果，则有，同理可证
综上，当时，总有
所以，命题得证.
[说明] 本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例.
练习2：
1．已知向量，，且，则x为_________；
2．设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（）
①存在一个实数λ，使=λ或=λ；②；③(+)//(－)
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
3．设为单位向量，有以下三个命题：（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述命题中，其中假命题的序号为；
[说明] 安排此组练习快速巩固所学基础知识，当堂消化，及时反馈.
知识拓展应用
问题三：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ （学生讨论与分析）
[说明] 三点共线的证明方法总结：
法一：利用向量的模的等量关系
法二：若A 、B 、C 三点满足，则A 、B 、C 三点共线.
*法三：若A 、B 、C 三点满足，当时，A 、B 、C 三点共线.
课外探索学习
课外作业：
1．练习册P38：4、5、6、7
补充作业：
1．关于非零向量和，有下列四个命题：
（1）“”的充要条件是“和的方向相同”；
（2）“” 的充要条件是“和的方向相反”；
（3）“” 的充要条件是“和有相等的模”；
（4）“” 的充要条件是“和的方向相同”；
其中真命题的个数是 （ ）
A ． 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P 的运动方向与相同，且每
秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后该质点P 的坐标为
（ ）
A ．（－2，4）
B ．（－30，25）
C ．（10，－5）
D ．（5，－10）
3．已知向量(cos ,sin ),(3,1)a b αα==-，则的最大值为 .
4．设C 、D 为直线上不重合的两点，对于坐标平面上动点，若存在实数使得，则= .
5．在直角坐标系xOy 中，已知点和点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且，则=_________.
6．已知＝（5，4），＝（3，2），求与2－3平行的单位向量.
2019-2020年高二数学上册8.4《向量的应用》教案（2）沪教版
一、教学内容分析
向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用．
本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用．
二、教学目标设计
1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路．
2、了解构造法在解题中的运用．
三、教学重点及难点
重点：平面向量知识在各个领域中应用．
难点：向量的构造．
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习与回顾
1、提问：下列哪些量是向量？
（1）力 （2）功 （3）位移 （4）力矩
2、上述四个量中，（1）（3）（4）是向量，而（2）不是，那它是什么？
［说明］复习数量积的有关知识．
二、学习新课
例1（书中例5）
向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用！请看
例2（书中例3）
证法（一）原不等式等价于)1(22
12122212121x y y x y y x x +≤，由基本不等式知（1）式成立，故原不等式成立．
证法（二）向量法
［说明］本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现（等号成立的充要条件是）
例3（书中例4）
［说明］本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明．
二、巩固练习
1、如图，某人在静水中游泳，速度为 km/h.
（1）如果他径直游向河对岸，水的流速为 4 km/h ，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？
答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h ．
（2） 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少？ 答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h ．
三、课堂小结
1、向量在物理、数学中有着广泛的应用．
2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系．
四、作业布置
1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4
２、（补充）
（1）已知作用于同一物体的两个力、，||=5N，||=3N，、所成的角为，则|+|= 7 ; +与的夹角为．
［说明］力的分解与合成是向量在物理中运用的典型例子之一．
（2）上网查阅柯西——许瓦兹不等式有关知识并整理一些证法．
［说明］①柯西——许瓦兹不等式是一个著名不等式，教学时应加以渗透数学史的教学，并且通过对不同证明方法的整理可以感受数学知识的有机联系以及解决问题的多样性．
②以小组形式，时间为一星期为宜．。
