第十章 立体与立体相交

研究现状和问题
研究现状
目前对于两立体相交的研究已经取得了一定的成果，但还存在一些问题需要 进一步探讨。
问题
现有的研究方法对于某些特殊情况下的两立体相交处理效果不理想，需要寻 找更有效的方法来处理这些情况。
02
两立体相交的基本概念
两立体相交的定义
两立体相交是指两个立体图形在某个平面上有且仅有一个公 共点。
01
如果两立体图形有且仅有一个公共点，那么它们会有一条交线
。
判断交线的形状和位置
02
根据两立体图形的形状和相对位置，可以判断交线的形状和位
置。
判断两立体图形的共有边是否为交线
03
如果两立体图形在某个方向上有且仅有一个公共点，那么这个
公共边就是它们的交线。
03
两立体相交的作图方法
辅助平面法
定义
辅助平面法是一种通过引入一 个或多个辅助平面来寻找两立
机械制造工艺
在机械制造工艺中，两立体相交可以用于制定加工路线、加工方法以及工件的定位和装夹 方案等。
在建筑设计中的应用
01
建筑结构设计
在建筑结构设计中，利用两立体相交可以设计出更加合理的建筑结构
，提高建筑物的稳定性和承载能力。
02
建筑外观设计
在建筑外观设计中，利用两立体相交可以创造出更加独特和美观的建
06
结论与展望
研究结论
确认了两个立体相交的结论 分析了相交的影响因素
发现了相交的规律和特征 总结了相交的实践意义
研究不足与展望
研究深度有待加强
需要进一步探讨相交的机制和原 理
研究范围不够广泛
缺乏定量分析的数据支持
需要进一步拓展应用场景和实践 意义

2 5 3
1 4
用辅助平面求共有点示意图
y
y
用水平面作为辅助平面求共有点
续例5
返回
相贯线的变化趋势
3．两圆锥相贯线的 变化趋势（一）
圆柱与圆锥相贯线的变化趋势（一）
点击图形观看动画
当大小发生相对变化时， 圆柱与圆锥相贯线的变化趋势
相贯线的变化趋势
两圆锥相贯线的 变化趋势（二)
当相对位置发生变化时， 圆柱与圆锥相贯线的变化趋势
三、求相贯线 的基本方法
1.利用参与相贯某立体表面投影 的积聚性，采用面上取点法； 2.辅助平面法； 3.辅助球面法等 。
四、求相贯线的步骤
1.分析参与相贯立体的性质，它们之间的相对位 置及其与投影面的相对位置，以便确定相贯线 及其投影的大致形状； 2.选择适当的解题方法； 3.求特殊点（物体轮廓线上的点、极限点、特征 点和结合点）； 4.求一般点； 5.判别相贯线投影的可见性，并描点连线。判别 相贯线投影可见性的原则是：只有位于两立体 都可见表面上的相贯线才是可见的；只要参与 相贯立体之一某个（或某部分）表面不可见， 其相贯线就不可见； 6.检查、整理轮廓线，加深。
例2（例1的变形——椭圆柱间相贯）补全正面投影。
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★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
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★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
返回
续例2 小结
小 结：无论是两外表面
相贯，还是一内表面和一 外表面相贯，或者两内表 面相贯，求相贯线的方法 和思路是一样的。
y
y
3 求出若干个一般 点D、E；

1.利用积聚性求贯穿点
当直线或立体表面的某投影具有积聚性时，则在 具有积聚性的投影上，可得到贯穿点的第一个投影， 再用面上或线上取点法，求作贯穿点的第二投影。
[例1] 求作直线与圆柱的贯穿点。
b' n' (m') a'
a m
n b
[例2] 求垂直线AB，CD与圆锥的贯穿点。
2.利用辅助平面法求贯穿点
1”
பைடு நூலகம்
Pw
6”
2”
Qw
5”
3”
4”
Ⅰ 56
1 4
32
Ⅳ
求圆柱与半球的相贯线
10.5.2 相贯线的特殊情况
特殊情况下，相贯线为平面曲线或直线。
相贯线为圆
相贯线为直线
当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆
特殊位置和形状的相贯线 ----等径正交两圆柱的相贯线
1．相贯线的性质及形状
• 相贯线是两立体表面的共有线；也是相交两立体表面的分界线；相贯 线上的点是两立体表面的共有点;
• 由于立体都有一定的范围，所以相贯线都是封闭的线，一般为封闭的 空间折线或空间曲线；
• 不同的立体以及不同的相贯位置,相贯线的形状也不同--全贯和互贯。
2．求相贯线的方法
求相贯线实质上是求两立体表面一系列共有点，然后依次光滑连接， 并判可性。一般地说这些共有点是一个立体的素线与另一立体表面的交 点，也称为贯穿点。
求曲面立体相贯线的方法有：
1．表面取点法 2．辅助平面法 3．辅助球面法
四、求相贯线的一般步骤
2．求作相贯线上的特殊点。 3．根据需要求出若干个一般点。 4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。 5．整理轮廓线。

的交点即为相贯线
上的点。
注：辅助平面PV 、
PH应为特殊平面， 可作出回转体的素
线或纬圆
64
8
2
1
5 37
-
8’’ 1’’ 7’’
4’’
3’’
6’’
5’’
2’’
35
EXIT
<iii>、用光滑曲线连接并判别可见性：
相贯线前后对称，主 视图只画可见部分；
左视图中，相贯线 4”-6”-2”-5”-3”同时 位于圆台和球体轮廓 线左侧，为可见；相 贯线3”-7”-1”-8”-4” 位于圆台转向轮廓线 右侧，为不可见；
14
EXIT
2、<作图>：（可认为半球体被三个铅垂面截切， 依据球体截交线的求法）
<i>、作出特殊点的投影：
相贯线是由三 段椭圆圆弧组成的， 每段圆弧走向趋势 的转折点，即最高 点也应属于相贯线 上的特殊点。
在水平投影中过圆 心作棱柱侧面的垂 线，垂足即为圆弧 最高点的投影。
7’ 6’
4’
3’ ’
3、判别可见性并连线：
当点所在的所有面，在某一投影面中的投影都可见时， 则点在该投影面上的投影为可见，否则不可见。
4、检查、补全视图：
-
5
EXIT
一、两平面体相贯：
相贯线是由若干段平面直 线组成的封闭折线。相贯线 上每段线是平面体上某一棱 面与另一平面体的截交线， 既可将两平面体相贯线问题 转化为求平面截交线问题。
-
12
EXIT
例题:求三棱柱与半球体的相贯线
1、<分析>：三棱 柱只贯穿半球体的 上半部分，故相贯 线为一条封闭空间 曲线。棱柱的三个 侧面都是铅垂面， 故相贯线的水平投 影可知，其它投影 面的投影应为三段 椭圆圆弧。