§14.1 幂级数 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

*点击以上标题可直接前往对应内容幂级数的一般形式为2010200()()()nnn a x x a a x x a x x ∞=-=+-+-∑为方便起见,下面将重点讨论00x =的情形.∞==+++++∑20120.(2)n nnn n ax a a x a x a x 0,x x -因为只要把(2)中的x 换成就得到(1).幂级数的收敛区间后退前进目录退出++-+0()(1)nn a x x 即首先讨论幂级数(2)的收敛性.除了x=0之外, 幂级数(2)还有其他收敛点吗？定理14.1（阿贝尔定理）若幂级数(2)在收敛,0x x =≠则对满足不等式||||x x >的任何x ,幂级数(2)发散.20120(2)n nnn n ax a a x a x a x ∞==+++++∑的任何x ,||||x x <则对满足不等式x x =时发散, 若幂级数(2)在幂级数(2)收敛而且绝对收敛;即存在某正数M , 使得||(0,1,2,).nn a x Mn <= ||||,x x x <对任意一个满足不等式的设1,x r x=<则有||n n a x 由于级数0nn Mr ∞=∑收敛,证0,nn n a x 设级数收敛∞=∑(2)当||||x x <时绝对收敛.且有界,{}nn a x 从而数列收敛于零故由优级数判别法知幂级数||n nn n n n n x x a x a x x x =⋅=.n Mr <设幂级数(2)在x x =时0x 0||||x x >如果存在一个, 满足不等式, 且使级数00n n n a x ∞=∑收敛, (2)应该在x x =时绝对收敛, 与假设矛盾. 切满足不等式||||,x x x 的>幂级数(2)都发散. 注由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点为中心的区间！间的长度, 发散, 则由定理得第一部分知, 所以对一下面证明定理的第二部分. 幂级数这是非常好的性质.若以2R 表示区则称R 为幂级数的收敛半径.事实上, 收敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的上确界. 0R =0x =(i) 当时, 幂级数(2)仅在处收敛;(ii) ,(2)(,);R 当时幂级数在上收敛=+∞-∞+∞(iii)0,(2)(,);R R R 当时幂级数在内收敛<<+∞-x R >x 对一切满足不等式的, 幂级数(2)都发散; x R =±至于, (2)可能收敛也可能发散. 为幂级数(2)的收敛区间.怎样求得幂级数(2)的收敛半径和收敛区间呢?20120(2)n nnn n ax a a x a x a x ∞==+++++∑所以有因此称(,)R R -定理14.2对于幂级数(2), 若lim ,(3)nn n a ρ→∞=则当1(i)0,(2);R ρρ<<+∞=时幂级数的收敛半径(ii)0,(2);R ρ==+∞时幂级数的收敛半径(iii),(2)0.R ρ=+∞=时幂级数的收敛半径0ρ<<+∞(i) 当时, 幂级数(2)收敛半径1;R ρ=0,||1,x x ρρ=<当时对任何都有(ii) ||1x ρ>当时, 级数发散. ,0||1,x x x ρρ当时除外的任何都有=+∞=>(iii) 证∞=∑0||,nn n a x 对于幂级数lim ||lim ||||||,nnn n n n n a x a x x ρ→∞→∞==于是由于根据级数的根式判别法, ||1x ρ<当时，收敛；级数0||nn n a x ∞=∑所以R= 0.;R =+∞所以注由定理14.2可知, 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点.究竟用比式法还是根式法,可以参考第十二章的相关说明.在第十二章§2第二段曾经指出:1||lim,||n n na a ρ若+→∞=则有lim ||.nn n a ρ→∞=因此也可用比式判别法来得出幂级数(2)的收敛半径.一个幂级数的收敛域等于它的2,nx n∑级数由于2121(),(1)n n a n n a n +=→→∞+例1 1R =(1,1)-所以其收敛半径, 即收敛区间为; ∑21,n 由于级数收敛所21nxx n在时也收敛.=±∑以级数的收敛域为[1,1].-而当于是级数2nx n ∑±=±=22(1)11,,nx n n 时有因此幂级数(4)的收敛区间是(1,1)-. 1x =时发散, 1x =-时收敛, 敛域是半开区间[1,1)-. !!n n x n xn ∑∑与R =+∞0R =的收敛半径分别为与.例2 设有级数2,(4)2nx x x n ++++ 11lim lim 1,n n n n a n R a n →∞→∞++===由于但级数(4) 当照此方法, 容易验证级数从而得到级数(4)的收*定理14. 3（柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理）对于幂级数(2), 设lim ||,(5)nn n a ρ→∞=则有1(i)0,;R ρρ<<+∞=当时收敛半径(ii)0,;R ρ==+∞当时(iii),0.R ρ=+∞=当时注由于上极限(5)总是存在, (5)式得到它的收敛半径.因而任一幂级数总能由*例3 设有级数2342122242121,323232n nn n x x x x x x--+++++++ 1lim ||,2n n n a →∞=2R =由于所以收敛半径. 时, 级数都发散, 因2x =±(2,2).-故此级数的收敛域为例4 求幂级数2213nn n xn ∞=-∑的收敛半径和收敛域.解(i)先求收敛半径.2z x =方法1 设, 21lim |3|nnn R n ρ→∞==-29x z =<29x z =>从而时原级数收敛, 原级数发2213nn n xn ∞=-∑ 3.R =散, 所以的收敛半径为幂级数213nn n zn ∞=-∑的收敛半径为2=9lim 19,3nn n n→∞-=方法2 应用柯西-阿达玛定理(,0),n n a 奇数时==由于221lim ||lim 3n n n n n n a n ρ→∞→∞==-22111lim ,3313nn n n →∞==-所以, 收敛半径为 3.R =3x =±(ii) 再求收敛域. 当时, 相应的级数都是所以原级数的收敛域为(3,3)-.求幂级数2213nn n xn ∞=-∑的收敛半径和收敛域.223lim 13nn n n →∞=-, 因此该级数发散,由于, 22133nn n n ∞=-∑定理14. 4若幂级数(2)的收敛半径为0R >, (,)R R -[,](,)a b R R ⊂-区间内任一闭区间上, 级数(2)都一致收敛.证=∈-max{||,||}(,),x a b R R 设任一点x , ||||.n nn n a x a x ≤由于级数(2)在点x 绝对收敛, 数(2)在[,]a b 上一致收敛.则在它的收敛[,]a b 那么对于上由优级数判别法得级都有定理14. 5[0,]R 则级数(2)在([,0])R -或上一致收敛.x R =证设级数(2)在时收敛, (){}[0,]n x nn Ra R R 已知级数收敛,函数列在上∑若幂级数(2) 的收敛半径为R > 0,)x R =-时收敛, ().nx n n n n R a x a R =∑∑对于[0,]x R ∈有递减且一致有界,()21x xRR≥≥≥≥即且在x R =(或()n x R≥≥ 故由函数项级数的阿贝尔判别法, [0,]R 级数(2)在上一致收敛.例5 级数22(1)1(1)(1),(6)22222n nn n x x x x n n ----=++++⋅∑ 由于1112(1)(),12(1)22n n n n n n n++=→→∞+所以级数(6)的收敛半径2R =,|1|2x -<(1,3).-从而级数(6)的收敛区间为即(2)1111(1).223nn n n n -=-+-++-+∑ 当x = 3 时, 级数(6)为发散级数211111.223nn n n n ==+++++∑∑ 于是级数(6)的收敛域为[1,3).-1x =-当时, 级数(6)为收敛级数定理14. 6根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数的(i) 幂级数(2)的和函数是(,)R R 内的连续函数;(ii)若幂级数(2)在收敛区间的左(右)端点上收敛,则其和函数也在这一端点上右(左)连续.幂级数的性质一系列性质. 由定理14.4、14.5和13.12立刻可得2112323(7)n n a a x a x na x -+++++ 231120(8)231n n a a a a x x x x n +++++++ 的收敛区间.定理14. 7幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收敛区间.证只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间即可，先来确定幂级数(2)逐项求积后得到的幂级数在收敛区间(,)R R -内逐项求导与因为对(8)逐项求导就得到(2).由阿贝耳定理(定理14.1)的证明知道, 都有||.n nn a x Mr <于是1000||||n nn n n na xa x x -=0.nn nr 根据比式判别法可知级数收敛∞=∑较原则及上述不等式, 就推出幂级数(7)在点0x 绝对0x (,)R R -由于为中任一点,这就证明了幂级数(7) 在(,)R R -上收敛.由级数的比收敛(当然也是收敛的!). 设00(,),0x R R x ∈-≠, 存在正数M 与r (r <1), 对一切正整数n ,0,||n M nr x <>>0,||||.x x x R 使得=x x 时绝对收敛.1||||||,||n n nn n n n na x a x a x x -=≥根据比较原则得幂级数(2)在x x =处绝对收敛. 与所设幂级数(2)的收敛区间为(,)R R -相矛盾. 幂级数(7)的收敛区间也是(,).R R -其次证明幂级数(7)对一切满足||x R >的x 都不收敛.如若不然, 幂级数(7)在点00(||)x x R >收敛, 幂级数(7)在,由阿贝尔定理≥||,n x 但是,取时就有这于是则存在2112323(7)n n a a x a x na x-+++++定理14. 8(i) f 在x 可导, 且11();n n n f x na x∞-='=∑(ii) f 在区间[0,]x 上可积,证由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半径R .(,)x R R ∈-，设幂级数(2)在收敛区间(,)R R -上的和函数为f ,若x 为(,)R R -内任意一点, 因此,对任意一个则10()d .1xn n n a f t t x n ∞+==+∑⎰且总存在正数r , 使得|x |< r < R ,根据定理14.4,级数(2), (7)在[-r , r ]上一致收敛.再由逐项求导与逐项求积定理,就得到所要的结论.推论1n n n a x ∞=∑(,)R R -设f 为幂级数在收敛区间上的和则在(,)R R -上f 具有任意阶导数, 意次逐项求导, 21123()23,n n f x a a x a x na x -'=+++++ 223()232(1),n n f x a a x n n a x -''=+⋅++-+()1()!(1)(1)2,n n n f x n a n n n a x +=++-+ .函数, 即且可任由本定理立可得幂级数在其收敛区间上可以逐项求导和逐项求积.推论2(0,1,2,)n a n = 0f x =与在处的则级数(2)的系数各阶导数有如下关系:()0(0)(0),(1,2,).!n n fa f a n n === 注推论2表明, 若幂级数(2)在(,)R R -上有和函数f ,则级数(2)由f 在0x =处的各阶导数所惟一确定. 这是一个重要的结论, 在讨论幂级数展开时要用到.设f 为幂级数某邻域内的和函数,0nn a x x =∑在定理14. 9nn n a x ∞=∑0nn n b x ∞=∑0x =若幂级数与在的某邻域内有相同的和函数,(1,2,).n na b n == 这个定理的结论可直接由定理14. 8的推论2得到.根据这个推论还可推得: 若幂级数(2)的和函数为奇(偶)函数, 则(2)式不出现偶(奇)次幂的项.幂级数的运算则它们同次幂项的系数相等, 即定理14. 10nn n a x 与∞=∑0n n n b x∞=∑若的收敛半径分别为R a 和R b ,00,||,n nn n a n n a x a x x R λλ∞∞===<∑∑0(),||,nnnnn n n n n n ax b x a b x x R ∞∞∞===±=±<∑∑∑000,||,n n nn n n n n n a x b x c x x R ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑0,min{,},.na b n k n k k R R R c a b λ式中为常数-===∑定理的证明可由数项级数的相应性质推出.则例6 几何级数在收敛域(1,1)-内有21()1.(10)1nf x x x x x==+++++- 对级数(10)在(1,1)-内逐项求导得2121()123,(11)(1)n f x x x nx x -'==+++++- -''==+⋅++-+-232!()232(1),(12)(1)n f x x n n x x 将级数(10)在[0,](1)x x <上逐项求积得到0d d ,1-xx nn t t t t ∞==∑⎰⎰所以2311ln (||1).(13)1231n x x x x x x n +=++++<-+ 上式对也成立(参见本节习题3). 1x =-111(1)ln 1,223nn-=-+-++ 111(1)ln21.23n n--=-+++ 从这个例子可以看到: 由已知级数(10)的和函数, 于是有逐项求导或逐项求积可间接地求得级数(11)、(12)或通过(13)的和函数.例7 求幂级数121(1)n nn n x ∞-=-∑的和函数.2lim 1nx n →∞=，21n n ∞=∑因为且级数121(1)n n n ∞-=-∑与都发散, 121()(1)n nn S x n x ∞-==-∑()(1,1).x g x x =⋅∈-解首先求出收敛域. (1,1).-所以收敛域为设1211(1)n n n x n x∞--==-∑1211()d (1)d x x n n n g t t ntt ∞--==-∑⎰⎰11(1)n nn nx ∞-==-∑因为111=(1)n n n x nx∞--=-∑().xh x =所以()1()x x h x +'=2()(())(1)x g x xh x x '⎡⎤'==⎢⎥+⎣⎦23()()(1,1).(1)x xS x xg x x x -==∈-+本题还可以用逐项求导的方法求和函数, 请自行练习.对()h x 逐项积分, 111()d (1)d x xn n n h t t n tt ∞--==-∑⎰⎰=∈-+,(1,1).1x x x 得11(1)n nn x∞-==-∑111()=(1)n n n h t nx∞--=-∑21(1);x +=3;(1)xx 1-=+于是复习思考题,nn n a x ∞=∑1,n n n na x∞-=∑101n n n a x n ∞+=+∑1. 幂级数有相同收敛试问它们的收敛域之间有什么关系?2. 一个幂级数有无限多个项的系数为零,3.为什么在幂级数逐项求导中没有要求在收敛区间上4. 逐项求导和逐项求积是求幂级数和函数的一个有效半径,例4 给出了求缺项幂级数收敛半径的方法,称为缺项幂级数.还有其他方法吗? 除此以外请读者总结.一致收敛？请总结出求和函数的常规方法.的方法,。