高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理教材梳理素材新人教A版选修41

四 直角三角形的射影定理
庖丁巧解牛
知识·巧学
一、射影
所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图1-4-2，AB 在AC 上的射影是线段AC ；BC 在AC 上的射影是点C ；AC 、BC 在AB 上的射影分别是AD 、BD ，这样，Rt△ABC 中的六条线段就都有了名称，它们分别是:两条直角边(AC 、BC)，斜边(AB)，斜边上的高(CD)，两条直角边在斜边上的射影(AD 、BD).
图1-4-2
二、直角三角形的射影定理
由于角之间的关系，图1-4-2中三个直角三角形具有相似关系，于是Rt△ABC 的六条线段之间存在着比例关系. △ACD∽△CBD,有
BD
CD CD AD =，转化为等积式，即CD 2=AD·BD； △ACD∽△ABC,有AC
AD AB AC =，转化为等积式，即AC 2=AB·AD； △BCD∽△BAC,有BC BD BA BC =，转化为等积式,即BC 2=BA·BD. 用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
联想发散 这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1-4-3，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，
CD 是AB 上的高.已知AD ＝4，BD ＝9，就可以求CD 、AC.由射影定理，得CD 2=AD·BD=4×9＝
36.因为边长为正值，所以CD ＝6,AC 2
=AD·AB=4×(4＋9)＝52.所以AC ＝132. 我们还可以求出BC 、AB,以及△ABC 的面积等.
问题·探究
问题1 在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图1-4-3，在Rt△ABC
中，∠C＝90°，那么AC 2＋BC 2=AB 2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾
股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？
图1-4-3
思路:将射影定理产生的式子AC 2=AB·AD 和BC 2=BA·BD 左右两边分别相加.
探究:如图1-4-3，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD 是AB 上的高.应用射影定理，可以得到AC 2＋BC 2＝AD·AB＋BD·AB=(AD＋BD)·AB=AB 2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理.
过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简洁明快，比面积法要方便得多.将两者结合起来，在直角三角形的六条线段中，应用射影定理、勾股定理，就可从任意给出的两条线段中，求出其余四条线段的长度. 问题2 几何图形是最富于变化的，直角三角形更是如此，但不管怎样变化，其基本图形体现的规律却是相同的，如射影定理的基本图形.这时，从复杂图形中分离出基本图形，就成为解决问题的关键.那么从复杂图形中分离出基本图形有什么窍门呢？你能举例说明吗？ 思路:从所给图形中分离出基本图形，利用基本图形写出结论.
探究:在图形的变化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，有助于快速发现解题思路.这当中的关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形.如:
(1)在图1-4-4(c)中，求证:CF·CA=CG·CB.
(2)在图1-4-4(a)中，求证:FG·BC=CE·BG.
(3)在图1-4-4(d)中，求证:①CD 3=AF·BG·AB；②BC 2∶AC 2=CF∶FA;
③BC 3∶AC 3=BG∶AE.就可以这样来思考:
图1-4-4
在第(1)题中，观察图形则发现分别使用CD 2=CF·CA 和CD 2=CG·CB 即可得到证明.
第(2)题可用综合分析法探求解题的思路:欲证FG·BC=CE·BG，只需证BC
CE BG FG ，而这四条线段分别属于△BFG 和△BEC，能发现这两个三角形存在公共角∠EBC，可选用“两角对应相等”或“两边对应成比例，夹角相等”来证明相似.
或者在图1-4-4(a)中可分解出两个射影定理的基本图形:“Rt△ADE 中DG⊥BE”及
“Rt△BDC 中DF⊥BC”，在两个三角形中分别使用射影定理中的BD 2进行代换，得到
BG·BE=BF·BC，化成比例式后，可用“两边对应成比例，夹角相等”来证明含有公共角∠EBC 的△BFG 和△BEC 相似.
你可以尝试着自己分析第(3)小题.
典题·热题
例1如图1-4-5(a)中，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF⊥AC ，DG⊥BE，F 、G 分别为垂足.求证:AF·AC=BG·BE.
思路分析：从图1-4-5中分解出两个基本图形145(b)和(c)，再观察结论，就会发现，所要
证的等积式的左、右两边分别满足图1-4-5(b)和(c)中的射影定理:AF·AC=AD 2，BG·BE=DB 2，
通过代换线段的平方(AD 2=DB 2)，就可以证明所要的结论.
图1-4-5
证明：∵CD 垂直平分AB ，
∴△ACD 和△BDE 均为直角三角形，并且AD=BD.
又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC=AD 2，BG·BE=DB 2，
∵AD 2=DB 2,∴AF·AC=BG·BE.
深化升华 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形的剖析.
例2如图1-4-6，在△ABC 中，CD⊥AB 于D ，DE⊥AC 于E ，DF⊥BC 于F ，求证:△CEF∽△CBA.
图1-4-6
思路分析：要证明△CEF∽△CBA，题设中已具备了∠BCA=∠ECF，再找出一对角相等就不太容易了，因此，考虑证明∠BCA 与∠ECF 的夹边成比例，即CA
CF CB CE =，即证CE·CA=CF·CB，再从已知条件出发考虑问题，在Rt△ADC 中，DE⊥AC，根据定理能推出CD 2=CE·CA，同理可
得CD 2=CF·CB,这样，CE·CA=CF·CB，问题就能得证.
证明：∵△ADC 是直角三角形，DE⊥AC，∴CD 2=CE·CA.
同理，可得CD 2=CF·CB.∴CE·CA=CF·CB,即CA
CF CB CE =. 又∵∠BCA=∠ECF，∴△CEF∽△CBA.
深化升华 当题目中缺少角相等时，应该考虑利用相等的角的两边对应成比例，即及时转换解题思路，而不能只想到找两对角相等，因为我们还有其他的判定定理.
例3如图1-4-7，已知Rt△ABC 中,∠ACB=90°，CD⊥AB 于D ，DE⊥AC 于E ，DF⊥BC 于F ，
求证:AE·BF·AB=CD 3.
图1-4-7
思路分析：分别在三个直角三角形Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC 中运用射影定理，再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明.
证明：
∵Rt△ABC 中,∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴CD 2=AD·BD.∴CD 4=AD 2·BD 2
.
又∵Rt△ADC 中，DE⊥AC，Rt△BDC 中，DF⊥BC，
∴AD 2=AE·AC，BD 2=BF·BC.
∴CD 4=AE·BF·AC·BC.
又∵AC·BC=AB·CD，∴CD 4=AE·BF·AB·CD.
∴AE·BF·AB=CD 3.
例4如图1-4-8，在△ABC 中,D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC.
图1-4-8
思路分析：由数形结合易知△ABC 是直角三角形，AF 为斜边上的高线，CF 是直角边AC 在斜边上的射影，AC 为所求，已知的另外两边都在△BDC 中，且BD ＝DC ＝1，即△BDC 是等腰三角形.因此，可以过D 作DE⊥BC，拓开思路.由于DE 、AF 都垂直于BC ，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC.
解：
在△ABC 中，设AC 为x ，
∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC ＝1，根据射影定理,得AC 2=FC·BC，即BC ＝x 2.
再由射影定理,得AF 2=BF·FC=(BC -FC)·FC，即AF 2=x 2-1. ∴AF=12-x .
在△BDC 中，过D 作DE⊥BC 于E ，∵BD＝DC ＝1，∴BE＝EC. 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴AC DC AF DE =.∴DE=x
x AC
AF DC 12-=∙. 在Rt△DEC 中，∵DE 2＋EC 2=DC 2， 即(x
x 12-)2＋(22
x )2=12,∴41222x x x +-=1. 由AC DC AF DE =,DE=x
x AC
AF DC 12-=∙,整理得x 6=4. ∴x=32.∴AC=32.
深化升华 本题体现了对基本图形、基本性质的综合应用.还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法.。