(完整版)相似三角形中的射影定理

相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。

分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

射影定理与比例中项射影定理：直角三角形斜边上的商足两直角边在斜边上射影的比例屮项；两直角边分别是它们在斜边上 射影与斜边的比例中项.B|j CD 2=AD • BD ； AC 2=AD • AB ； BC 2=BD • AB比例中项：如児a:b=b:c ，成b 2=ac ，那么，b 就叫做a 、c 的比例屮项。

1、己知直角三角形口7166"十，斜边AB=5cm ，BO2cm, D 为AC 上的一点，£>£丄交AB 于E ，且 AD=3.2cm,则 DE=( ) A 、1.24cmB 、1.26cmC 、1.28cmD 、1.3cm2、如阁1-1，在巾，CD 足斜别AB 上的高，在阁中六条线段中，你汄为只要 知道( )线段的长，就可以求K 他线段的长 3 D 、4 AC 3AD A. BC- 尸点D,若—4 169 C 、9D 、 16 As 1 B 、2 C 、 3、在中，ZBAC = 90 f 34 A 、 4B 、 3£>£ 丄 AC ，ZADE = - ZCDE4、如图1-2,在矩形ABCD 中， 3，则(A 、22.5"B、30"c、45" D、6(T【填空题】B5、 \ABC q., ZA = 90°, A£> 丄 BC 于点 D , A D=6, BD=12,则 CD= _________ , AC= _____ AB 2 : AC 2-— __________ o6、 如图 2-1，在 RtAABC 屮，ZACB = 90\ CD 丄 AS , AC=6, A D=3.6,则 BC= ____________7、 如图己知CD 是AABC 的高，DE 丄CA ，DF 丄CB ，求证：ACEF ⑺ACBA2-13-18、己知ZC A fi = 90\ AD 丄CS，AACE, AABF 是正三角形，求证：DE±DFA D3-29、如图3-2，矩形ABCD中，AB=a, BC=b, M是BC的中点,，E是基犯，求证:DE2ab \j4er +/?210、如图（3），己知：等腰三角形ABC中，AB = AC,高AD、BE交于点H，求证：DH*DA=-BC2 411、已知如图AABC十，AD平分ZABC, AD的垂直平分线交AB于点E , 交AD于点H，交AC于点G,交BC的延长线于点F, 求证：DF2=CF*BFAD CItAC = AE, AB = AF, A —=—BF BD乂 ZFBZ) = 6(T + ZABD, ZEAD = 60° + ACAD, ZABD = ZCAD ... ZFBD = ZEAD .•[EADWFBD,.\ ZBDF = ZADE... ZFDE = ZFDA + ZADE = AFDA + ZBDF = 90° ...DE 丄 DF9、证明：在穴汇IAMB 和 /?汇 ADE ZAMB = ZDAE , /-ABM = ZAED = 90° 所以 汇 AMB /?/□ ADEAB _ AM所以 £>£ AD , |大|为 AB=a, BC=b,参考答案1、C2、B3、C4、C5、3， 3^5, 4:16、 87、证明：在中，由射影定律得，CD 2 =CETAC 9 在/?/C5C£> 中，同理得CD 2 = CFJBC人 CEDAC = CFJBC,—CF AC乂 ••• ZECF = ZfiCA ，••□ CEF On CBA8、证明：如图所示，在湖BAC 中，AC“ =CDX ：B ，AB- = BDTBCAC CDCD 2 AB \BDCDYBDCD 2 CD AD ~AD I~^D~~BD DE所以ABOAD ~AM2abb 2 yj^cr +/?210、 证AABD ⑺ ABDH 即 nJ 11、证明：连AF, YF II 乖直平分AD,•••FA = FD, ZF A D=ZF DA,•••AD 平分ZB AC, /.ZCAD=ZBAD,/.ZFAD-ZCAD=ZFDA-ZBAD, ♦••ZB=ZFDA -ZBAD,/. Z F A C = Z B , 乂Z AFC 公共，CAF CFAAA F C^AB FA, :.BF =AF ，/•八 F2=CF*BF, /.DF2=CF*BF 。

射影定理所谓射影，就是正投影。

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)2=AD·DC，（2）(AB)2=AD·AC ，（3）(BC)2=CD·CA。

直角三角形射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD2=AD·DC。

其余同理可得可证有射影定理如下：AB2=AD·AC，BC2=CD·CA两式相加得：AB2+BC2=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC2 。

二、用勾股证射影∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD2=BD×CD.运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。

同样也可以利用三角形面积知识进行证明。

三、用三角函数证明由等积法可知：AB×BC=BD×AC在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD得：AB^2=AD×AC 同理可得BC2=CD·CA 在Rt△ABD和Rt△BCD中tan∠BAD=BD/AD cot∠BCD=CD/BD又∵tan∠BAD=cot∠BCD故BD/AD=CD/BD得BD^2=AD×CD。

三角形的射影定理篇一：三角形的射影定理是指,对于一个直角三角形,其斜边的平方等于两直角边平方和。

这个定理可以帮助我们解决很多几何问题,比如计算三角形的面积、判断三角形是否为直角三角形等。

正文:三角形的射影定理是几何学中的一个基本定理,可以用于计算三角形的面积和判断三角形是否为直角三角形。

下面我们将详细介绍这个定理。

假设有一个直角三角形,其两条直角边分别为a和b,斜边的长度为c。

根据勾股定理,有:a2 + b2 = c2其中,a和b表示直角三角形的两条直角边,c表示斜边的长度。

现在我们需要解决一个问题,如何计算三角形的面积S。

根据勾股定理,我们可以得到:S = 1/2 × a × b × h其中,h表示斜边的长度。

将a2 + b2 = c2代入上式,得到:S = 1/2 × a × b × h = 1/2 × b2 × h因此,三角形的面积S等于斜边长度b的平方乘以直角三角形的斜边长度h。

接下来,我们需要考虑三角形是否为直角三角形。

根据勾股定理,如果a2 + b2 = c2,且b2 > c2,则三角形为直角三角形。

否则,三角形为斜边直角三角形。

为了验证三角形是否为直角三角形,我们可以使用勾股定理的逆定理:如果a2 + b2 = c2,则a2 = b2,即a = b。

因此,如果b2 > c2,则a2 + b2 > c2,即a > c。

另一方面,如果b2 < c2,则a2 + b2 < c2,即a < c。

综上所述,如果a2 + b2 = c2,且b2 > c2,则三角形为直角三角形;否则,三角形为斜边直角三角形。

拓展:除了三角形的射影定理,还有很多其他的几何定理,可以帮助我们解决各种几何问题。

其中一些定理包括:1. 正方形的面积等于它的对角线长度的平方。

2. 平行线的性质:如果两条平行线分别与一条直角边相交,则它们的斜边长度相等。

【典型例题】例1．如下图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。

例2．：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。

求证：AD 2=AB ·AF例3．〔1〕中，，，垂足为D ，DE 、DF 分别是的高，这时是否相似？【拓展练习】1、：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。

求证：△BEF ∽△ACFA B A B C N3、，如图，是直角三角形斜边上的高，在的延长线上任取一点，连结，垂足为，交于，求证：.4、如图，在四边形ABCD 中，，由点D 作AC 的垂线交AB 于E ，交AC 于F 。

求证：。

【作业】1.中，是高，假设，，，且，那么 ， ， ， .2.假设直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为和，那么两条直角边的长分别为 ，斜边上的高为 .3.如图，，于，，那么 .4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＞BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，CD=4，AC=，那么EF:AF=〔 〕A ．1:2B ．:2C ．:5D ．:55．如下图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，假设AD ：BD=9：4那么AC ：BC 的值为〔 〕B C DA．9：4 B．3：2 C．4：9 D．2：36. 如下图，CD是Rt△ABC斜边AB边上的高，，那么〔〕A．B．2:3 C．3:2 D．7．如下图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，AB上的高CD=6cm，DE⊥BC于E，求DE的长。

8．如图，在中，于，以和为边在形外作等边三角形和，求证：∽.。

相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

（证明略）２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

（证明略）三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。

射影定理的定义公式是什么
2021-09-15 15:20:33
直角三角形射影定理是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

射影定理的定义公式是什么
1射影定理公式
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
BD²=AD·CD
AB²=AC·AD
BC²=CD·AC
由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。

此外，当这个三角形不是直角三角形但是角ABC等于角CDB时也成立。

可以使用相似进行证明，过程略。

2射影定理记忆技巧
射影定理的原理就是相似三角形的边长比相等。

想要简单背诵就记好平方项是哪两条线段的比例中项，其中一条是射影。

因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。

所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。

在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。

将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。

中考射影定理及其运用(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

三、应用例１ 如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析： 易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C ＝∠HBD ，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。

分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。

一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。

直角三角形射影定理直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。

证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠D AC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（A D）^2=BD·DC。

其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。

注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。