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几何模型09——相似模型三角形相似是每一年中考必考的知识点，相似模型主要包括：“A”型和“X”型相似，母子模型相似（共边共角型），一线三等角，双垂直模型和旋转相似，中考命题者经常把这些模型放在圆，四边形，或函数图象当中，特别要留意母子模型相似的一种特殊情况：射影定理中的知二求四和一线三垂直（k型相似），下面对这些类型做如下总结：一、“A”型和“X”型相似例1.如图，在△ABC中，点D是AC上的点，且AD＝2CD，过D作DE∥BC交AB于E，过D作DF∥AB交BC于F．（1）若BC＝15，求线段DE的长．（2）若△ADE的面积为16，求△CDF的面积．变式1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．变式2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝14，AC＝7，D是BC上一点，BD＝8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．变式3.如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE＝12，BE＝9．（1）求证：△COD∽△CBE．（2）求半圆O的半径r的长．变式4.如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC＝2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．变式5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN 交AC于O．（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度．变式6.如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝6，DE＝8，求BE的长；变式7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在CB上，⊙O经过点C，且与AB相切于点D，与CB的另一个交点为E．（1）求证：DE∥OA；（2）若AB＝10，tan∠DEO＝2，求⊙O的半径．例2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝9，BC＝15．（1）求BC边上的高AD的长度；（2）正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上，求正方形EFGH 的边长．（相似比等于高之比）例3.如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C 两点．求证：PA•PB＝PD•PC（割线定理）；变式1.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝2，BE＝3，求AC的长．变式2.如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，且点E 是的中点，连接DE ．（1）求证：△ABC 是等腰三角形．（2）若BC ＝10，CE ＝6，求线段AD 的长．变式3.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，连结EB ，OD ，DE ．（1）求证：OD ⊥EB ．（2）若DE ＝，AB ＝10，求AE 的长．例4.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE ． 求证：2OE CO OD BO ==变式1.如图，AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，点E 、F 分别为AC 、BD 的中点，连接OE 、OF ，若∠A ＝∠D ，OA ＝OF ＝6，OD ＝9，求OE 的长．变式2.如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（相交弦定理）（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．变式3.如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△P AD∽△PCB；（2）若P A＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．例5.如图，过△ABC的边AC的中点D作直线交AB于E，交BC的延长线于F．求证：＝；（梅捏劳斯定理特殊情况）变式1.如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE．DE 交AC于点F，试证明：AB•DF＝BC•EF．变式2.如图，△ABC中，D为BC的中点，过D的直线交AC于E，交AB的延长线于F．求证：＝．变式3.如图，△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE＝CF．求证：AE＝AF．二、共边共角型相似例1.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．（1）求证：；（2）若AC＝2，BC＝4，设△ADC面积为S1，△ABD面积为S2，求证：S2＝3S1．变式1.如图，在△ABC中，D为边AB上一点，∠ACD＝∠B，若AC＝6，BC＝5，CD＝4，求AD，AB的长．变式2.如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG＝4，求BE的长．变式3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC、AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD．若CD＝1，BC＝2，求AD 的长度．例2.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG＝CG．（2）求证：AG2＝GE•GF．变式1.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：PC2＝PE•PF；（2）若菱形边长为8，PE＝2，EF＝6，求FB的长．例3.如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（切割线模型）（1）求证：∠CAD＝∠BDC；（2）若BD＝AD，AC＝3，求CD的长．变式1.如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C 在⊙O上，连接PC，满足PC2＝P A•PB．若AB＝3P A，求的值．例4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．（1）（射影定理）求证：AC2＝AD•AB；BC2＝BD•BA；CD2＝AD•BD；（2）若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD的长；（知二求四）（3）若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC的长；（知二求四）（4）求证：AC•BC＝AB•CD．（等面积法）变式1.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D．若CD＝4，BD＝3，求⊙O的半径长．（直径所对的圆周角为直角）变式2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAD＝∠C，点D在BC边上，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F．已知：AB＝6，AC＝8，求AF的长．变式3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．例4.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．（射影定理知二求四）（3）若AB＝5CE，求tan∠ACB的值．（射影定理知二求四）变式1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．三、双垂直例1.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，AF⊥DE，垂足为F，AD＝4，CE＝2，DE ＝2，求DF的长．变式1.如图，点P是正方形ABCD边AD上一点，Q是边BC延长线上一点，若AB＝12，P A＝5，PQ⊥BP．求CQ的长．变式2.如图，△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，若AE＝5，AD＝6，CD＝2．求EB的长．变式3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．四、一线三等角例1.已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；例2.如图，E是正方形ABCD的边AB上的点，过点E作EF⊥DE交BC于点F．（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）若AB＝6，AE＝2，求线段CF的长．变式1.如图，将一个直角的顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与边BC相交于点E．且AD＝8，DC＝6，则＝．五、旋转相似例1.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．变式1.如图，△ABC和△CEF中，AB＝BC，CF＝EF，∠CBA＝∠CFE＝90°，E在△ABC 内，∠CAE+∠CBE＝90°，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF；（2）若BE＝1，AE＝2，求EF的长．。
奇妙的“母子相似”常言道：“一母生两子，两子皆似母.”此话谈的是人类在发展过程中变化情况,无独有偶,在相似三角形中也有类似的情况,这不得不引起我们的反思.1.母子相似——容易证明!如图1，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D.请问△ABC 、△CBD 和△ACD 是否相似，为什么？ 回答是肯定的，△ABC ∽△CBD ∽△ACD. ∵∠ABC=∠CBD ，∠ACB=∠CDB=90°， ∴△ABC ∽△CBD.同理: △ABC ∽△ACD.通常把这种△ABC ∽△CBD,△ABC ∽△ACD 称之为 “母子相似”非常形象,由母子相似带来了△CBD ∽△ACD,称之为姊妹相似.同时由△ABC ∽△CBD 得到BC 2=BD·AB,由△ABC ∽△ACD 得到AC 2=AD·AB,由△CAD ∽△BCD 得到CD 2=AD·BD.2.母子相似——结论重要!上述结论在证明和计算中都有着广泛的应用.因此,通常把这三个等积式称之为“射影定理”，由此可见一斑.勾股定理是平面几何中重要定理,学习此定理时,曾用面积割补的方法对定理进行验证.为此,许多同学对如此的证明,心存疑虑.经常思考有没有其它方法证明勾股定理呢?现在用上述的“母子相似三角形”证明之.已知:如图2,∠ACB=90°求证:AC 2+BC 2=AB 2 证明:作CD ⊥AB 于D ∵∠ACB=90° CD ⊥AB 于D ∴△ABC ∽△ACD ∴ACABAD AC∴AC 2=AD·AB 同理BC 2=BD·AB∴AC 2+BC 2=AD·AB+BD·AB=AB(AD+BD)=AB 2. 即:AC 2+BC 2=AB 2. 3.母子相似——反之成立?上述是说满足了“条件”就有“母子相似”，进一步可得等积式的线段；现在反ADBC图1ADBC图2过来看，有了等积式的线段，有没有“母子相似”？曾经有这样一题,已知:图3,AD ⊥BC 垂足为D,且AD 是BD 、DC 的比例中项. 求证:△ABC 是直角三角形简证:∵AD 2=BD·DC ∴ADDC BD AD. ∵∠BDA=∠ADC=90° ∴△ABD ∽△CAD ∴∠1=∠B∵∠2+∠B=90° ∴∠1+∠2=90° 即△ABC 为直角三角形.此时,若问上述的结论的反面是否存在,大部分同学都认为成立,其实不一定成立.请看下面两例.反例1,如图4,当∠ACB ′=90°,CD ⊥AB ′于D,有CD 2=AD·DB ′在AD 上取B ／使BD=B ′D,显然CD 2=AD·BD,但∠ACB≠90°.反例2,如图5,当∠ACB ′=90°,CD ⊥AB ′于D,有AC 2=AD·AB ′,在DA 延长线上取一点B,使BA=AB ′虽然满足 AC 2=AD·AB ′=AD·AB 、但∠ACB≠90°.所以, “母子相似”反之不一定成立.诗人常说的“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同”是很有道理的.我们也可以认为“年年岁岁学相似，岁岁年年题不同”.B DCA 图32 1A D BC图4B /BDB ′C图5A。
专题20. 相似三角形重要模型--母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 图41）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD ； 结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o ，CD ⊥AB ；结论：△ACD ∽△ABC ∽△CBD ；CA 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·BA ，CD 2＝DA ·DB .3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE ，AB=AC ； 结论：△ABD ∽△ECA ；4）共边模型条件:如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，ADB DCB ∠=∠，结论：2BD BA BC =⋅；例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC V 与ACB △的周长比是（ ）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:4例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且∠APB ＝120°，求证：（1）△ACP ∽△PDB ，（2）CD 2＝AC •BD ．例4．（2023·湖南·统考中考真题）在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△；(2)若610AB BC ==，，求BD 的长．例5．（2023.浙江中考模拟）如图，在V ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ．（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB ＝5，AC ＝4，请你求出CD 的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系（如图2），若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC V 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC 交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF =DN 的长．例7．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在ABC V 中，D 为AB 上一点，2AC AD AB =⋅．求证：ACD B ∠=∠．（2）如图2，在ABCD Y 中，E 是AB 上一点，连接AC ，EC ．已知4AE =，6AC =，9CD =．求证：23AD EC =．（3）如图3，四边形ABCD 内接于O ，AC 、BD 相交于点E ．已知O 的半径为2，AE CE =，AB =，BD =ABCD 的面积．【拓展提高】（3）如图ABC V 中，D 是BC 上一点，连结AD ，点E ，F 分别在BE ，CE ，EF ，若DE ，BEC AEF ∠=∠，16BE =，7=，34CE BC =，求课后专项训练1.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．1B ．1C ．1D ．1A ．AG CG = B ．2B HAB ∠=∠3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在正确的是（ ）A ．2BC BD AB =⋅ B ．CD 4．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在半径作弧交AC 于点D ，再分别以A．36∠=︒BCE5．（2023·云南临沧△V与BCDACDA．1:2B．6．（2023·山东东营·统考中考真题）于点D，E；分别以点D7．（2020·山西·统考中考真题）如图，在Rt∆D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则8．（2022·河北邢台·校考二模）如图1，在ABC V 中，AB AC =，24BC =，5tan 12C =，点P 为BC 边上一点，则点P 与点A 的最短距离为______．如图2，连接AP ，作APQ ∠，使得APQ B ∠=∠，PQ 交AC 于Q ，则当11BP =时，AQ 的长为______．10．（2020·广东广州·AC '分别交对角线BD 11．（2021·四川南充·中考真题）如图，在ABC V 中，D 为BC 上一点，3BC BD ==，则:AD AC 的值为________．12．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD ＝AB ，∠DEC ＝∠B ．（1）求证：△AED ∽△ADC ；（2）若AE ＝1，EC ＝3，求AB 的长．13．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC V 与A B C '''V 中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C ''上，且ACD A C D '''∽△△，若___________，则ABD A B D '''△∽△．请从①BD B D CD C D ''=''；②AB A B CD C D ''=''；③BAD B A D '''∠=∠这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．14．（2023·湖南·统考中考真题）在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△；(2)若610AB BC ==，，求BD 的长．探究发现：如图1，在ABC V 中，36A ∠=︒，AB AC =．（1）操作发现：将ABC V 折叠，使边BC 落在边BA 上，点C 的对应点是点E ，折痕交AC DE ，DB ，则BDE ∠=_______︒，设1AC =，BC =，那么AE =______（用含x 的式子表示）（2）进一步探究发现：512-=底腰，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：51BC -底当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图(1)如图2，在ABC V 中，2BC AB =，求证：ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”；(2)如图3，已知ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”，点D 是ABC V 边BC 的中点，以BD 为直径的经过点A ．①求证：直线CA 与O e 相切；②若O e 的直径为26，求线段AB 的长；(3)已知ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”，4BC =，30B ∠=︒，求ABC V 的面积．20．（2022·浙江台州·统考一模）已知在▱ABCD ，AB ＝BC ＝10，∠B ＝60°，E 是边BC 上的动点，以AE 为一边作▱AEFG ，且使得直线FG 经过点D ．（1）如图1，EF 与AD 相交于H ，若H 是EF 的中点．①求证：GF ＝DF ；②若GF ⊥CD ，求GD 的长；（2）如图2，设AE ＝x ，AG ＝y ，当点E 在边BC 上移动时，始终保持∠AEF ＝45°，①求y 关于x 的函数关系式，并求函数y 的取值范围；②连接ED ，当△AED 是直角三角形时，求DF 的值．2BAC B BAD ∠∠∠=∴= ，设DC x =，则AD BD a ==-22b ax a ax bc ∴=-=， 2a ∴证法2：如图2，延长CA 到点任务：(1)上述材料中的证法似”）．(2)请补全证法2剩余的部分．22．（2022·安徽·校联考三模）在ABC V 中，2ABC ACB ∠=∠，BD 平分ABC ∠．（1）如图1，若3AB =，5AC =，求AD 的长．（2）如图2，过A 分别作AE AC ⊥交BC 于E ，AF BD ⊥于F ．①求证：ABC EAF ∠=∠；②求BF AC的值．∠，交AB于CD平分ACB是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不∠∠，CD平分BCF2CBG。
子母型相似射影定理一、引言子母型相似射影定理是几何学中一个重要的定理，它可以帮助我们解决一些与相似三角形相关的问题。
在此文章中，我们将详细介绍子母型相似射影定理的定义、性质和应用，并通过实例来说明其实际运用。
二、子母型相似射影定理的定义子母型相似射影定理是指：在两个相似的三角形中，通过一条平行于两个相似三角形的边的直线，可以得到两个相似三角形的射影比相等。
三、子母型相似射影定理的性质1. 子母型相似射影定理适用于任意相似的三角形，无论是等腰三角形、直角三角形还是一般三角形。
2. 子母型相似射影定理适用于平面内的相似三角形，不限于特定的几何形状。
3. 子母型相似射影定理可以帮助我们推导出两个相似三角形的其他性质，如高度、中线、角平分线等。
四、子母型相似射影定理的应用1. 求解相似三角形的边长比例: 根据子母型相似射影定理，我们可以通过已知的边长比例和一个已知边长，求解另一个相似三角形的边长。
2. 求解相似三角形的面积比例: 根据子母型相似射影定理，我们可以通过已知的边长比例，求解相似三角形的面积比例。
3. 求解相似三角形的角度比例: 根据子母型相似射影定理，我们可以通过已知的边长比例，求解相似三角形的角度比例。
4. 推导其他与相似三角形相关的性质: 根据子母型相似射影定理，我们可以推导出相似三角形的高度、中线、角平分线等性质，从而解决更复杂的几何问题。
五、实例分析现在我们通过一个实例来说明子母型相似射影定理的应用。
已知三角形ABC和三角形DEF相似，且AB/DE=2/3，BC/EF=4/5，求解三角形ABC和三角形DEF的面积比例。
解：根据子母型相似射影定理，我们可以得到AB/DE=BC/EF，即AC/DF=2/3*4/5=8/15。
由于三角形ABC和三角形DEF相似，所以它们的面积比例等于边长比例的平方，即[ABC]/[DEF]=(AC/DF)^2=(8/15)^2=64/225。
因此，三角形ABC和三角形DEF的面积比例为64/225。
相似三角形之母子三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例:1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．（射影定理） 结论:（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA,△CDA ∽△BCA （2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中,2BC BD AB = △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC(母子） 结论:△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB = 【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1。
如图，ΔABC 中，∠A=∠DBC,BC=，SΔBCD ∶SΔABC=2∶3，则CD=______。
【练】如图,D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4， ∠ACD =∠B 求AC 的长.DCBA【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E,交BC 的延长线于F ，求证:FC FB FD ⋅=2AD CBADCB【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3—1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F,交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =•HGF EDCBA【练】如图5，RtΔABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______。
【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠B ，AC=5，AB=6,则AD=______.【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.CBAD类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G,求证:2BC CG CD =•。
相似三角形——相似直角三角形及射影定理【知识要点】1、直角三角形的性质：〔1〕直角三角形的两个锐角〔2〕Rt △ABC 中，∠C=90º，那么2+2=2〔3〕直角三角形的斜边上的中线长等于〔4〕等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为〔5〕有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理〔只能用于选择填空题〕如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：Rt △ABC 中，∠C=90º，CD ⊥AB 于D ，那么①∽∽②射影定理：CD 2=· AC 2=· BC 2=·【常规题型】1、：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。
求AD 、BD 的长.2、，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。
〔1〕假设AD=8，BD=2，求AC 的长。
〔2〕假设AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。
BA【典型例题】例1．如下图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。
例2．：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB ·AF例3．〔1〕ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ∆∆和的高，这时CAB DEF ∆∆和是否相似？【拓展练习】1、：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。
