导热基本方程和稳态导热理论共76页

0 δ
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列出以下问题的的数学描述
例5：一块厚δ 的平板，平板内有均匀的内热源，热 源强度为 ，平板一侧绝热，平板另一侧与温度为tf 的流体对流换热，且表面传热系数为h。 t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
t 2 a t c
·
t 2 2 a t t 0
·
t0
2
知识回顾：
二、热扩散率（导温系数）
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c
表征温度传递速度的快慢。
三、定解条件 ——几何、物理、时间、边界
能否求出tw1、tw2 ？
o
x
一、通过平壁的稳态导热
2、通过多层平壁的导热 多层平壁：由几层不同材料 组成的平壁。 例：房屋的墙壁 — 白灰
t1
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t2 t3 t4
内层、水泥沙浆层、红砖
（青砖）主体层等组成。
t1 t2 t3 t4
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例 1 ： q=1000W/m2 的 热 流 密 度 沿 x 方 向 通 过 厚 δ=20mm的平板。已知在x=0、10及20mm处的温 度分别为100℃、60℃及40℃。试据此数据确定 平板材料导热系数λ=λ0(1+bt)（t为平板温度）中 的λ0及b。 t 100℃ q=1000W/m2 60℃ 40℃

第二章 导热基本定律及稳态导热 Basic Law and Steady State Conduction §2-1 导热基本定律1. Fourier’s law xt A qA Φ∂∂-==λ热力学第二定律体现tgradt q kz j y i x kz t j y t i x t n n t gradt nnt q ∇-=-=∂∂+∂∂+∂∂=∇∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=∂∂-=λλλ2.导热系数 Thermal Conductivityn nt q ∂∂-=λ单位时间，单位面积，单位负温度梯度下的导热量。

（或在单位温度梯度作用下通过物体的热流密度。

） 导热机理•气体：分子热运动 t →λ •固体：自由电子和晶格振动t →晶格振动→阻碍自由电子运动 ⎩⎨⎧非金属金属•液体机理不清λ固体>λ液体 >λ气体λ取决于物质的种类和温度热绝缘（保温）材料 insulation material ：λ<0.2W/(m.K)(50年代) λ<0.14W/(m.K)（GB84）λ<0.12W/(m.K)（GB84） λ是随温度变化的物性 工程处理： 〈1〉取平均值〈2〉采用线性关系近似)1(0bt +=λλ3 温度场 temperature field 定义：系统中某一时刻的温度分布 分类：按时间⎩⎨⎧Field e Temperatur Transient Field e Temperatur Steady 非稳态温度场稳态温度场按空间⎪⎩⎪⎨⎧ Fielde Temperatur l Dimensiona Three Field e Temperatur l Dimensiona Two Field e Temperatur l Dimensiona One 三维温度场二维温度场一维温度场等温面（isothermal surface)，等温线 (isotherm) •等温面—在同一时刻，同温度各点连成的面•二维时则成为等温线•问题—球坐标 t=f (r,t)=const.§ 2-2 导热微分方程式及定解条件对于简单问题可以直接应用 Fouriers law, 而对于复杂一些的问题就需要更一般的方法, 而这一方法的基础就是导热微分方程 (Conduction differential equation) 。

dQx qx dydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
ห้องสมุดไป่ตู้
qxdx

qx

qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx


qx x
dxdydz d
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的
方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热
流密度 q
直角坐标系中：
q

q
q qx i qy j qz k
q q cos
二、导热基本定律(Fourier’s law）
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上， 发现导热基本规律 —— 傅里叶定律
3、时间条件
说明在时间上导热过程进行的特点
x
y
z
直角坐标系：（Cartesian coordinates）
grad t t i t j t k
x
y
z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
热流密度矢量 （Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；

由(a)可得：
cw 1 说明热源与管子中心不重合。 由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
下面用此方法求地下埋管与土壤间的导热量
有一热力管道，外径d=2r，
埋于地平面下h米深处。土 壤为均质且导热系数λ为常
数。管子表面温度及地表面
tf
y0
温度也是均匀的常量，为tW h 和tF，设管道很长，求单位 管道的热损失。
r” x
M
p(x,y)
r’
r
N y
因管道很长，从而可以看作是二维稳定导热
1项
2项
＝控制体内内能的变化
3项
第一项 求沿x、y、z三个方向流入和流出的热量
把1、2、3项代入能量方程式
导温系数的物理意义：a越大，表明λ越大或ρC 越小，λ大，表示在相同的温度梯度下可以传 递更多的热量；ρC小表明温度上升1℃所吸收 的热量越小，从而可使相同的热量传递得更远 ，
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
三、利用“导热形状因子S”计 导热系数为算常数导，热无量内热源稳态导热体
内，两壁温度为定值，即有Q=λS(t1+t2)。
补充内容
稳定热传导的热源法 （虚拟热源法）
定义：如果一个物体有内热源作用时，我们可以通过
导热微分方程式和相应的单值性条件求温度分布。但 如果知道温度分布，我们反过来找导致这种温度分布 的原因—实际存在的热源或假想的热源。这种方法称 虚拟热源法或称映象法。