第五章 单自由度系统的振动

单自由度振动系统m质量，k刚度，c阻尼，有时有p激振力单自由度振动系统，指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。

只要以它的平衡位置取为坐标原点，任一瞬时的质点坐标x（线位移)或 （角位移）就可以决定振动质点的瞬时位置。

根据牛顿定律：mx+cx+kx=F1.单自由度系统无阻尼自由振动mx+kx=0；x+kmx=0；令w m2=k/m，求微分方程的解，得x=c1e iw n t+c2e−iw n t=c1+c2cosw n t+i c1−c2sinw n t=b1cosw n t+b2sinw n t将其合成一个简谐振动，并代入初始条件：t=0时，x=x0,x=x0x=Asin(w n t+φ); A=x2+x02w n2; φ=tg−1x0w nx01.1固有频率系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关，因此当振动系统的结构确定后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关，因此成为固有圆频率和固有频率。

w n=km ；f n=12πkm1.2固有频率计算方法1）公式法。

根据公式w n=km计算2）静变形法。

根据质量块所处平衡位置的弹簧变形计算。

3）能量法。

根据能量守恒定律，由于无阻尼，无能量损失，12mx2+12kx2=E，将x的方程代入上式，系统的最大动能等于系统的最大弹性势能，计算求出。

4）瑞利法。

考虑到系统弹簧质量的计算方法，如假设系统的静态变形曲线作为假定的振动形式，根据推倒，得出系统的固有频率为w n=km+ρl3，式中加入的部分为“弹簧等效质量”不同振动系统的等效质量不同，只需先算出弹性元件的动能，根据T s =12m s x 2，计算即可。

1.3扭转振动根据扭转运动的牛顿定律 M =I θ，M 为施加到转动物体上的力矩，I 转动物体对于转动轴的转动惯量，θ角加速度。

圆盘转动惯量为I ，轴的转动刚度为kθ。

系统受到干扰后做扭转自由振动，振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的与θ方向相反的弹性恢复力矩-K θθ。

0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18

图 2-7 船舶振动记录仪的原理图
ϕ = Φ sin( pn t + α )
角速度及系统的最大动能分别为
&= ϕ
dϕ = Φpn cos( p n t + α ) dt 1 1 2 & max = I BΦ 2 p n I Bϕ 2 2
(a)
Tmax =
如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为δst 。此时，弹性力 Fst=kδst , 方向向上。
当物块在静平衡位置时，它的静位移 δ st 等于每根弹簧的静变形之和，即
δ st = δ 1st + δ 2 st
（d）
因为弹簧是串联的，其特征是：二弹簧受力相等，即每 根弹簧所受的拉力都等于重力 mg 。
δ 1 st =
mg mg , δ 2 st = k1 k2
（e）
如果用一根弹簧常量为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧， 此弹簧的静变形等于 δ st (图 2-3（b）)。
图 2-5 扭振系统
20
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定圆轴的抗扭刚度为 k n ，它表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。根据刚体转动微分方程建立该系 统的运动微分方程
&& = −k nϕ I Oϕ
令
pn =
代入式（2-6） ，自由振动的振幅为
2 gh
2 A = x0 +(
&0 2 x 2 ) = δ st + 2hδ st pn mgl 3 96 EJh (1 + 1 + ) 48 EJ mgl 3
梁的最大挠度为
2 δ max = A + δ st = δ st + 2hδ st + δ st =

它与鼓励同频，但有一个相位差 ψ
简谐鼓励下的全解、瞬态振动和稳态振动
可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动， 因为瞬态振动只在振动开场后的一段时间内才有 意义。
By substituting the particular solution to
be determinx e2 d( t) B sω it n ψ into
对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差 0或π 。因此， 每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。
2.
粘性阻尼力
FR
cdx dt
做的功
W R T 0 F R d d x t( t)d t T 0 c2 B 2 c2 o (t s)d t
微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解
d d2t2 x2nd dx tpn 2x0
x ( 0 x 0 和 v ) ( 0 v 0 )
齐次解: x1(t)
d d2 t2 x2nd dx tpn 2xhsin t
x ( 0 x 0 和 v ) ( 0 v 0 )
特解: x2(t)
有阻尼系统在简谐鼓励下，运动微分方程的全解 x x 1 (t) x 2 (t)
2
品质因子与半功率带宽
在 ＝1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对 称的。放大因子为 Q 2 的两个点称为半功率点。 对应于这两个点的鼓励频率分别为1 和2 ，它们
的差 21 称为半功率带宽。利用放大因
子
的表达式，可以求得两个半功1 率 点2对2应pn的频率
比，即外鼓励频率，Q注1意到pn
可得
2
zZ sin t() Z m 2Y
(km 2)2(c)2
tankcm 2
Response of a damped system under the harmonic motion of the base