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特殊三角形讲义

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特殊三角形讲义【知识点精析】一、等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

5. 等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

6. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二、直角三角形1. 认识直角三角形。

学会用符号和字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。

通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。

如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。

用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。

如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。

会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。

能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。

难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。

三、勾股定理及逆定理一、勾股定理及其证明勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：在△ABC中，∠C=90°（已知）2c22+∴a=b（1）已知两边（或两边关系）求第三边；（2）已知一边求另两边关系；（3）证明线段的平方关系；（4）作长为n的线段.三、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+那么这个三角形是直角三角形.1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： 1．先找出最大边（如c ）；2．计算2c 与22b a +，并验证是否相等.若222b a c +=，则△ABC 是直角三角形. 若222b a c +≠，则△ABC 不是直角三角形. 注意：（1）△ABC 中，若222c b a =+，则∠C=90°；而222a c b =+时，则∠A=90°；222b c a =+时，则∠B=90°.（2）若222c b a <+，则∠C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形. 若222c b a >+，则∠C 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形. 三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.四、全等三角形的概念、性质与判定1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。

3. 全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS ”）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。

4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。

（1）平移（2）翻折（3）旋转5. 判定两个三角形全等所需条件：（1）需要三个条件；（2）至少有一个条件为边。

注意：“边边角”不一定成立。

反例：如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC ＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。

【典型例题分析】例1. （2005年苏州）如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。

例2. 已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。

CDA BE例3. 已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。

AE DF例4 已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，BD 210，求其斜边AB长。

AG DB E C例5如图所示，点F为Rt△ABC的斜边AB上的中点，CD=FB，DF 的延长线与CB的延长线相交于点E，求证：2∠E=∠A。

DE B C例 6 Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D在BC上，于，于；M为BC中点，请判断∆M EF的形状，并说明DF AB F DE AC E⊥⊥你的理由。

C例7作长为5、的线段.32、例8AD=8，求BC的长.例9若a、b、c是△三角形的形状.，EF边上中例11如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D为BC上的任一点.求证：22AB⋅+.AD=DCBD例12. （2005年安徽）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。

例13. 如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。

问：在条件中再补充一个什么等量关系，可以得到△DAB≌△BCE，并加以证明。

【综合练习】一. 填空题1. 直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为。

2. 已知，Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，那么∠DBC＝。

3. 已知，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若∠ACD＝35°，那么∠DBC＝。

4. △ABC中，∠C＝90°，AB＝c, BC＝a, AC＝b,c＝34, a∶b＝8∶15,则a＝。

5. 在Rt△ABC中，E是斜边AB上的一点，把Rt△ABC沿CE折叠，点A与点B恰好重合.如果AC=4cm，那么AB=___________.二. 选择题6、等腰三角形的腰长为32， 底角等于30°，那么底边长为（ ） A. 3 B. 33 C. 63 D. 67、如图，BE 、CD 分别是△ABC 的两条边上的高，M 是BC 的中点，则△DEM 是（ ） A. 不等边三角形 B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形8DF=89 A. 216 三、解答题1. 已知，如图，D 、E 是BC 上两点，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝CEAB D E C2. 已知，如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，DE 交BC 于F ，又BD ＝CE ，求证：DF ＝EFADB CFE 3. 已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：AD＝CEAB D CE4. 已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC 于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。

ADB CE5、某块绿地形状如图所示,其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD,AB ＝200,CD＝100,求AD、BC的长。

6、如图所示，已知：∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求四边形ABCD 的面积.ABDCE7、 如图所示，已知正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，F 在CD 上，且DF=3CF ，求证：AE ⊥EF.ABCDEF8、如图所示，△ABC 中，2AD=DC ，且5BC 2CD 3BD ===，，，求AB 及高AE.9、在正方形ABCD 中，F 是AD 上一点，且a AD 41DF ==，E 是CD的中点.求证：BE ⊥EF.10. 已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，OB ＝OA ，求证：BC ＝AD 。

11. 已知：如图，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，BE ＝DF ，BC ＝AD 。

图中共有多少对平行线？试选其中一对加以证明。

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专题 特殊三角形-讲义

专题 特殊三角形-讲义

特殊三角形主讲教师：傲德我们一起回顾1、等腰三角形2、等边三角形3、直角三角形重难点易错点解析等腰三角形题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．等边三角形题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．直角三角形题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．金题精讲题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：BD=2CD．题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．思维拓展题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交．学习提醒重点：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一等腰三角形的判定——等角对等边等边三角形的性质——三边相等，3个60°等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理特殊三角形讲义参考答案重难点易错点解析题一：证明略点拨：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一等腰三角形的判定——等角对等边题二：证明略点拨：等边三角形的性质——三边相等，3个60°等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半题三：证明略点拨：直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理金题精讲题一：证明略题三：证明略思维拓展题一：证明略。

第6讲 四年级 下册数学 三角形 讲义

第6讲 四年级 下册数学 三角形 讲义

知识点一：三角形的特性1、三角形的定义：由 围成的图形（每相邻两条线段的端点 ），叫三角形。

2、从三角形的 ，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

三角形只有 条高。

重点：三角形高的画法：一落二移三画四标3、三角形具有 。

如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。

学生/课程年级 四年级 学科 数学 授课教师日期 时段 核心内容 三角形（第6讲）教学目标 1、认识三角形的特性，掌握三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180°2、认识三角形的分类，了解这些三角形的特点并能够辨认和区别它们3、培养应用数学知识解决实际问题的能力4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和第三边。

三角形任意两边之差第三边。

两边第三边〈两边。

判断三条线段能不能组成三角形，只要看两条边的和是不是大于。

5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。

知识点二：三角形的分类1、按照角大小来分：三角形，三角形，三角形。

2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。

3、等边△的三边，每个角是度。

（顶角、底角、腰、底的概念）4、三个角都是的三角形叫做锐角三角形。

5、有一个角是的三角形叫做直角三角形。

6、有一个角是的三角形叫做钝角三角形。

7、每个三角形都至少有两个；每个三角形都至多有1个；每个三角形都至多有1个。

8、两条边的三角形叫做等腰三角形。

9、三条边都的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。

10、等边三角形是三角形知识点三：三角形的内角和1、三角形的内角和是。

四边形的内角和是。

一个三角形中至少有两个，每个三角形都至多有一个；每个三角形都至多有一个。

可以根据最大的角判断三角形的类型。

最大的角是哪类角，就属于那类三角形。

最大的角是直角，就是直角三角形。

最大的角是钝角，就是钝角三角形。

2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成。

等边三角形 直角三角形 讲义

等边三角形 直角三角形 讲义

等边三角形直角三角形讲义一、三角形的基本概念在几何学中，三角形是由三条线段首尾相连所组成的封闭图形。

三角形具有稳定性，这使得它在建筑、工程和日常生活中有着广泛的应用。

三角形的内角和为 180 度，根据三角形内角的大小和边的长度关系，可以将三角形分为不同的类型，其中等边三角形和直角三角形是两种非常特殊且重要的三角形。

二、等边三角形（一）定义等边三角形，也被称为正三角形，是指三条边长度相等的三角形。

由于三条边相等，所以三个角也相等，每个角都是 60 度。

（二）性质1、等边三角形的三条边相等，即 AB ＝ BC ＝ AC 。

2、三个内角相等，都为 60 度，∠A ＝∠B ＝∠C ＝ 60°。

3、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，分别是三条边的高所在的直线。

4、等边三角形的内心、外心、重心、垂心四心合一，称为中心。

（三）判定1、三条边都相等的三角形是等边三角形。

2、三个角都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。

（四）面积和周长1、周长：等边三角形的周长等于三条边的长度之和，即C ＝3a ，其中 a 为边长。

2、面积：可以使用公式 S ＝√3/4 × a² 来计算等边三角形的面积，其中 a 为边长。

（五）实际应用等边三角形在生活中有着不少的应用。

例如，一些道路标志、装饰图案等会采用等边三角形的形状。

在建筑设计中，等边三角形的结构稳定性也可能被利用。

三、直角三角形（一）定义直角三角形是指其中一个角为 90 度的三角形。

这个 90 度的角被称为直角，直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。

（二）性质1、直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理，即 a²＋ b²＝ c²，其中 a、b 为直角边，c 为斜边。

2、直角三角形的两个锐角互余，即∠A ＋∠B ＝ 90°。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

中考讲义：等腰三角形与直角三角形,解直角三角形

中考讲义：等腰三角形与直角三角形,解直角三角形

中考讲义：等腰三角形与直角三角形，解直角三角形第一部分：等腰三角形一．基础知识1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．3．等腰三角形的性质：(1)两腰相等．(2)两底角相等．(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．4．等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．5．等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60．6．等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．7．等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等．等腰直角三角形的判定：(1)顶角为90的等腰三角形．(2)底角为45的等腰三角形．8.等腰三角形的两大特性。

9.构造等腰三角形（两圆一线找等腰）。

第二部分：直角三角形基础知识1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为a 、b 斜边为c 则a 、b 、c 满足 逆定理：若一个三角形的三边a 、b 、c 满足 则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据， 3、勾股数，列举常见的勾股数三组 、 、 】 2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质： ⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对 边是 边的一半 3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是 的三角形是直角三角形 ⑵有两个角 的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】第三部分，解直角三角形基础知识锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、都叫做∠A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°sinα 21 22 23cos α 23 2221tan α33134、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）弦切关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（ 解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。