5.1静矩和形心

附录I 平面图形的几何性质§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式与主惯性轴§I-1 静矩和形心1． 静矩定义：⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰AyA Z zdA S ydA S （1）静矩是对坐标而言的，同一图形对不同坐标轴静矩不同（面积对轴的一次矩）。

（2）静矩可正值，可为负，亦可为零。

（3）量纲为长度的三次方。

2．形心坐标计算公式（1）合力矩定理——合力对某轴之矩，等于其各分对同一轴力矩的代数和。

（2）静面矩定理——总面积对某轴之矩，等于其各分面积对同一轴之矩的代数和。

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎭⎬⎫==A S z A S y z A S y A S y z y Z ·· （3）若某轴过形心，则图对该轴静矩为零。

反之若图形对某轴静为零，则该轴过形心。

Example 试用积分法求图示图形对y 轴的静矩S y ，并求形心坐标Z 。

Solution 以y 、z 为参考坐标轴 ①dz Z b a ydz dA nn==22·20210+=+====++⎰⎰⎰n abn z b a dzZ badz Z b a Z zdA S bn n A bon nn n b y②()11100+=+====+⎰⎰⎰n abn b ab dz Z b a ydz dA A n n bn n bA()21122++=++==n bn n ab n ab A S Z y 3．组合图形静矩计算及形心坐标确定。

（1）组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆形、三角形）组（2）静矩定理：整个图形对某轴之静矩等于组合图形各组成部分面积对该轴之矩的代数和。

⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑==ni i i y ni i i Z z A S y A S 11⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====ni i ni i i ni i ni ii A z A z A yA y 1111Example1 试求图形形心坐标z y ,Solution 以y 、z 为参考坐标系，因为形心一定在对称轴上，故()()cmO A A Z A Z A z y 67.12040445200222212211=--⨯⨯-=++==ππExample2 求组合图形的形心坐标，z y ，Given [No.18a A 1=25.7cm 2 cm z cmy 988.111==[No.9 90×90×10A 2=17.2cm 2()59.21859.222-=-=z cmySolution ：以yz 作为参考坐标轴()cmA A Z A Z A z 57.112.177.255.2182.17957.2212211=+-⨯+⨯=++=()cmA A y A y A y 0874.02.177.2559.22.1788.157.2212211=+-+⨯=++=§I-2 惯性矩和惯性半径 1．定义⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z A y dA y I dA z I 22 （1）惯性矩恒为正值 （2）量纲为长度的四次方力学计算中，有时把惯性矩写成图形面积A 与某一长度二次方的乘积，即 ⎭⎬⎫==22··z z y y i A I i A I 2．惯性半径⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A I i A I i z z y y (1) i y 为图形对y 轴的惯性半径i z 为图形对z 轴的惯性关径 （2）量纲为长度。

惯性矩、静矩、抵抗矩,形心、重心、质心力学计算中截面参数计算，关键点的描述原先对于惯性矩、静矩、极惯性矩、抵抗矩的概念及计算方法总是模糊不清，这次认真的整理了下，估计大家对这些基本概念认知也比较凌乱，在此斗胆与大家分享下，其中的不足之处希望大家谅解，也恳请大家批评指正。

计算平面的惯性矩方法：在CAD中将平面图画好——生成面域——工具（查询——面域/质量特性）——得到质心和惯性矩（此惯性矩的计算轴为坐标原点处X、Y轴）——将坐标轴原点移动刚算出的质心坐标上——工具（查询——面域/质量特性）得此平面图的惯性矩和面积1：静矩：平面图形的面积A与其形心到某一坐标轴的距离的乘积称为平面图形对该轴的静矩。

一般用S来表示。

Sx＝Yc*A 其中Yc＝∑Yci*Ai/∑Ai2：惯性矩：轴惯性矩反映截面抗弯特性的一个量，简称惯性矩。

截面对某个轴的轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴的距离的平方在整个截面上的积分。

公式如：Ix＝∫y*ydA3：极惯性矩：极惯性矩是平面图形对坐标轴原点（即o 点）的矩，计算公式为：ip=ix+iy（各惯性矩之和）4：抵抗矩：截面抵抗矩（W）就是截面对其形心轴惯性矩与截面上最远点至形心轴距离的比值。

公式为：W=I/Ymax面积矩：面积矩是一个概念，凡是与面积有关的都称为面积矩，如静矩，抵抗矩等都为面积矩。

质心：为质量集中在此点的假想点；重心：为重力作用点（与组成该物体的物质有关）；（如没有引力，则就没有重心一说了）形心：物体的几何中心只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物质无关)。

三者的关系：1：一般情况下重心和形心是不重合的，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合。

2：质心就是物体质量集中的假想点(对于规则形状物体就是它的几何中心),重心就是重力的作用点,通常情况下,由于普通物体的体积比之于地球十分微小,所以物体所处的重力场可看作是均匀的,此时质心与重心重合;如果该物体的体积比之于地球不可忽略(例如一个放在地面上半径为3000km 的球体),则该球体所处的重力场就不均匀了,具体说是由下自上重力场逐渐减小,此时重力的作用点靠下,也就是重心低于质心.如果物体所处的位置不存在重力场(如外太空),则物体就无所谓重心了,但由于质量仍然存在,所以质心仍然存在。

B.1 截面的形心和静矩Centroid and static moment of section在杆件的应力和变形公式中，遇到一些几何量，例如面积、静矩、形心位置、极惯性矩和轴惯性矩等，这些量只与构件的横截面形状和尺寸有关，而与构件的受力无关，称它们为截面的几何性质截面几何性质的计算在分析杆的强度和刚度时非常重要，首先应明确截面几何性质的定义，并熟练地掌握其计算方法。

1. 形心与静矩图B.1-1图示任一截面，选任一参考坐标系yoz，设截面形心C的坐标为y c和z c，取微截面积dA，由合力矩定理可知，均质厚度薄板中面的形心、或该板的重心在yoz坐标系中的坐标为，（B.1-1）式中:，，分别定义为截GAGGAGAGGAFFFFAFAF面对z轴和y轴的静矩。

由公式（B.1-1）可知，当y轴和z轴通过截面形心时（即y c=z c=0），则S z=S y=0；反之，当静矩S z=0时，说明z轴通过截面形心；而当静矩S y=0时，说明y轴通过截面形心。

此概念在确定梁的中性轴时十分有用。

2. 组合截面的形心与静矩GAGGAGAGGAFFFFAFAF图B.1-2在工程实际中，经常遇到形状较为复杂的截面，它们由若干简单截面或标准型材组合而成，称为组合截面（图B.1-2）。

当确定它们的形心时，可将其分割成n个部分，形心坐标为，（B.1-2）式中A i为分割后的各面积，y i和z i为A i的形心在参考系中的坐标。

式中；，称为组合截面的静矩。

B.2 极惯性矩Polar momet of inertia1. 定义GAGGAGAGGAFFFFAFAF图B.2-1任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为处取一微面积dA，定义截面对原点O 的极惯性矩为（B.2-1）极惯性矩的量纲为长度的4次方（mm4），它恒为正。

2. 圆截面的极惯性矩GAGGAGAGGAFFFFAFAF图B.2-2图示圆截面，取微面积为一薄壁环，即（图B.2-2），读者自行证明实心圆、空心圆和薄壁圆截面（图B.2-3）的极惯性矩分别为：（B.2-2）（B.2-3）（B.2-4）式中，d—空心圆内径，D—空心圆外径，R0—薄壁圆平均半径。