截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算参考文档

§I−1 截面得静矩与形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分(I −1)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得静矩。

静矩可用来确定截面得形心位置。

由静力学中确定物体重心得公式可得利用公式(I −1),上式可写成 (I −2) 或 (I −3) (I −4)如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成得组合图形,则由静矩得定义可知,整个图形对某一坐标轴得静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴得静矩得代数与。

即:(I −5)式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分得面积与其形心坐标,n 为简单图形得个数。

将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标得计算公式为 (I −6)例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面得形心位置。

解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面得对称轴。

因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。

将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0.072m 2,A Ⅱ=0.08m 2y Ⅰ=0.46m,y Ⅱ=0.2m§I −2 惯性矩、惯性积例题I −1图图I −1与极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。

现在图形内取微面积d A ,d A 得形心在坐标系zOy 中得坐标为y 与z ,到坐标原点得距离为ρ。

现定义y 2d A 与z 2d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴得惯性矩,ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点得极惯性矩,而以下三个积分(I −7)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得惯性矩以及对坐标原点得极惯性矩。

由图(I −2)可见,,所以有(I −8) 即任意截面对一点得极惯性矩,等于截面对以该点为原点得两任意正交坐标轴得惯性矩之与。

另外,微面积d A 与它到两轴距离得乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴得惯性积,而积分(I −9)定义为该截面对于y 、z 轴得惯性积。

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：（一）.截面静矩和形心1•静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dS y xdAdSx ydA整个图形对y、z轴的静矩分别为S y xdAyASx 人 ydA2.形心与静矩关系(1-1 )设平面图形形心C的坐标为y c,z c-S x 一S y /、y ， x (I-2 )A A推论1如果y轴通过形心（即x0），则静矩S y 0 ；同理，如果X轴通过形心（即y o），则静矩sx o；反之也成立。

推论2如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A,A2,A3 A n的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为丘，只；乂2*2；x3,y3 ，贝U图形对y轴和x轴的静矩分别为截面图形的形心坐标为nA i Xi 1 nA ii 14•静矩的特征（1） 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

（2） 静矩有的单位为m 3。

（3） 静矩的数值可正可负，也可为零。

图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

（4） 若已知图形的形心坐标。

则可由式（1-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2 ）求图形的形心坐标。

组 合图形的形心位置，通常是先由式（I-3 ）求出图形对某一坐标系的静 矩，然后由式（1-4 ）求出其形心坐标。

（二）•惯性矩 惯性积 惯性半径1.惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3 ），则图形对0点的极 惯性矩定义为 I p2dA （1-5）KAn nS yS yiARi 1 i 1nnS xSxiA i Vi 1 i 1(1-3 )A i y i(1-4 )图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为I y A x2dA , I x A y2dA （1-6）惯性矩的特征（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdA dS y ==整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1）2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0AS y x=， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。

推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii n i yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

(2) 静矩有的单位为3m 。

(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。

图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

(4) 若已知图形的形心坐标。

则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。

组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。

附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。

静矩可用来确定截面的形心位置。

由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。

即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。

将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。

解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。

因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。

将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。

工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。

定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。

面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。

2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。

图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。

图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。

3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。

如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。

组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。

(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。

定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。

极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。

(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。

2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。

惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。

惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdAdS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0A S y x=， AS x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。

推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii n i yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

(2) 静矩有的单位为3m 。

(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。

图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

(4) 若已知图形的形心坐标。

则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。

组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0AS y x= ， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。

推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii ni yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

(2) 静矩有的单位为3m 。

(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。

图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

(4) 若已知图形的形心坐标。

则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。

组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。

（完整版）惯性矩的计算⽅法及常⽤截⾯惯性矩计算公式惯性矩的计算⽅法及常⽤截⾯惯性矩计算公式截⾯图形的⼏何性质⼀.重点及难点：(⼀).截⾯静矩和形⼼1.静矩的定义式如图1所⽰任意有限平⾯图形，取其单元如⾯积dA ，定义它对任意轴的⼀次矩为它对该轴的静矩，即ydA dSx xdAdS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ??==A Ay ydA Sx xdA S （I-1） 2.形⼼与静矩关系图I-1 设平⾯图形形⼼C 的坐标为C C z y , 则 0 AS y x = ， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形⼼（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形⼼（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成⽴。

推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形⼼；如果y 轴为图形对称轴，则图形形⼼必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形⼼设截⾯图形由⼏个⾯积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且⼀直各族图形的形⼼坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========n i n i ii xi x n i ii n i yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截⾯图形的形⼼坐标为∑∑===n i i n i i iAx A x 11， ∑∑===n i in i i i A y A y 11 （I-4） 4.静矩的特征(1) 界⾯图形的静矩是对某⼀坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

(2) 静矩有的单位为3m 。

(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。

图形对任意形⼼轴的静矩必定为零，反之，若图形对某⼀轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形⼼。

(4) 若已知图形的形⼼坐标。

则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形⼼坐标。

不规则平面形之静矩,重心,惯性矩及惯性积之新计算法
静矩，截面上所有点坐标值的代数和；静矩大小可能为正，也可能为负，其大小与坐标系位置有关。

静矩的量纲是长度的三次方。

可用于计算截面形心。

截面对某轴的静矩为零，则该轴必过形心，截面对一个坐标系的两个轴的静矩都为零，则该坐标系原点为形心。

过某点取坐标系，当截面对该坐标系的惯性积等于零时，这一对坐标系称为主惯性轴，简称主轴。

通过截面形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，截面对该轴的惯性矩称为形心主惯性矩。

由平行移轴公式可知，截面对过形心主惯性轴的惯性矩是截面对所有坐标系惯性矩中最大和最小的两个惯性矩。

惯性矩：截面上所有点至坐标轴距离平方的和，可反映截面上的点相对于轴的分布情况。

惯性矩可用于计算纯弯曲变形杆截面上的正应力。

极惯性矩始终大于0，其大小与坐标系位置有关。

极惯性矩的量纲是长度的四次方。

截面上离轴心较远的点越多，截面对轴心的极惯性矩越大，截面抵抗扭转变形的能力越强。

惯性积，截面上所有点横纵坐标之积的和。

惯性积大小可能为正，也可能为负，其大小与坐标系有关。

惯性积的量纲是长度的四次方。

惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算公式
中的被积函数都是二次项，因此统称为二阶矩；静矩计算公式中的被积分项是一次项，因此称为一阶矩。

力学计算中截面参数计算，关键点地描述原先对于惯性矩、静矩、极惯性矩、抵抗矩地概念及计算方法总是模糊不清，这次认真地整理了下，估计大家对这些基本概念认知也比较凌乱，在此斗胆与大家分享下，其中地不足之处希望大家谅解，也恳请大家批评指正.计算平面地惯性矩方法：在中将平面图画好——生成面域——工具（查询——面域质量特性）——得到质心和惯性矩（此惯性矩地计算轴为坐标原点处、轴）——将坐标轴原点移动刚算出地质心坐标上——工具（查询——面域质量特性）得此平面图地惯性矩和面积：静矩：平面图形地面积与其形心到某一坐标轴地距离地乘积称为平面图形对该轴地静矩.一般用来表示.＝* 其中＝∑*∑：惯性矩：轴惯性矩反映截面抗弯特性地一个量，简称惯性矩.截面对某个轴地轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴地距离地平方在整个截面上地积分.公式如：＝∫*：极惯性矩：极惯性矩是平面图形对坐标轴原点（即点）地矩，计算公式为：（各惯性矩之和）：抵抗矩：截面抵抗矩（）就是截面对其形心轴惯性矩与截面上最远点至形心轴距离地比值.公式为：面积矩：面积矩是一个概念，凡是与面积有关地都称为面积矩，如静矩，抵抗矩等都为面积矩.质心：为质量集中在此点地假想点；重心：为重力作用点（与组成该物体地物质有关）；（如没有引力，则就没有重心一说了）形心：物体地几何中心只与物体地几何形状和尺寸有关，与组成该物体地物质无关).三者地关系：：一般情况下重心和形心是不重合地，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合.：质心就是物体质量集中地假想点(对于规则形状物体就是它地几何中心),重心就是重力地作用点,通常情况下,由于普通物体地体积比之于地球十分微小,所以物体所处地重力场可看作是均匀地,此时质心与重心重合;如果该物体地体积比之于地球不可忽略(例如一个放在地面上半径为地球体),则该球体所处地重力场就不均匀了,具体说是由下自上重力场逐渐减小,此时重力地作用点靠下,也就是重心低于质心.如果物体所处地位置不存在重力场(如外太空),则物体就无所谓重心了,但由于质量仍然存在,所以质心仍然存在.。