静矩和形心

§I−1 截面得静矩与形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分(I −1)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得静矩。

静矩可用来确定截面得形心位置。

由静力学中确定物体重心得公式可得利用公式(I −1),上式可写成 (I −2) 或 (I −3) (I −4)如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成得组合图形,则由静矩得定义可知,整个图形对某一坐标轴得静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴得静矩得代数与。

即:(I −5)式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分得面积与其形心坐标,n 为简单图形得个数。

将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标得计算公式为 (I −6)例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面得形心位置。

解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面得对称轴。

因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。

将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0.072m 2,A Ⅱ=0.08m 2y Ⅰ=0.46m,y Ⅱ=0.2m§I −2 惯性矩、惯性积例题I −1图图I −1与极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。

现在图形内取微面积d A ,d A 得形心在坐标系zOy 中得坐标为y 与z ,到坐标原点得距离为ρ。

现定义y 2d A 与z 2d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴得惯性矩,ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点得极惯性矩,而以下三个积分(I −7)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得惯性矩以及对坐标原点得极惯性矩。

由图(I −2)可见,,所以有(I −8) 即任意截面对一点得极惯性矩,等于截面对以该点为原点得两任意正交坐标轴得惯性矩之与。

另外,微面积d A 与它到两轴距离得乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴得惯性积,而积分(I −9)定义为该截面对于y 、z 轴得惯性积。

第五节截面图形的几何性质一、静矩与形心对图所示截面静矩的量纲为长度的三次方。

对于由几个简单图形组成的组合截面形心坐标显然，若z轴过形心，y c=0，则有S z=0，反之亦然：若y轴过形心，z c=0，则有S y=0，反之亦然。

【真题解析】5—30（2007年真题）图所示矩形截面，m-m线以上部分和以下部分对形心轴z的两个静矩( )。

(A)绝对值相等，正负号相同(B)绝对值相等，正负号不同(c)绝对值不等，正负号相同(D)绝对值不等，正负号不同解：根据静矩定义，图示矩形截面的静矩等于m-m线以上部分和以下部分静矩之和，即，又由于z轴是形心轴，Sz=0，故答案：(B)二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积对图所示截面，对z轴和y轴的惯性矩为惯性矩总是正值，其量纲为长度的四次方，也可写成i z、i y称为截面对z、y轴的惯性半径，其量纲为长度的一次方。

截面对0点的极惯性矩为因=y2+z2，故有I p=I z+I y，显然I p也恒为正值，其量纲为长度的四次方。

截面对y、z轴的惯性积为I yz可以为正值，也可以为负值，也可以是零，其量纲为长度的四次方。

若y、z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则其惯性积I yz恒等于零。

例6图(a)、(b)所示的两截面，其惯性矩关系应为哪一种？A.(I y)1>(I y)2,(I z)1=(I z)2B. (I y)1=(I y)2, (I z)1>(I z)2C.(I y)1=(I y)2,(I z)1<(I z)2D. (I y)1<(I y)2,(I z)1=(I z)2解：两截面面积相同，但图 (a)截面分布离z轴较远，故I z较大。

对y轴惯性矩相同。

答案：B2016—63真题面积相同的两个如图所示，对各自水平形心轴 z 的惯性矩之间的关系为（）。

提示：图（ a ）与图（ b ）面积相同，面积分布的位置到 z 轴的距离也相同，故惯性矩I za=I zb而图（ c ）虽然面积与（ a ）、（ b ）相同，但是其面积分布的位置到 z 轴的距离小，所以惯性矩I zc也小。

附录I 平面图形的几何性质§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式与主惯性轴§I-1 静矩和形心1． 静矩定义：⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰AyA Z zdA S ydA S （1）静矩是对坐标而言的，同一图形对不同坐标轴静矩不同（面积对轴的一次矩）。

（2）静矩可正值，可为负，亦可为零。

（3）量纲为长度的三次方。

2．形心坐标计算公式（1）合力矩定理——合力对某轴之矩，等于其各分对同一轴力矩的代数和。

（2）静面矩定理——总面积对某轴之矩，等于其各分面积对同一轴之矩的代数和。

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎭⎬⎫==A S z A S y z A S y A S y z y Z ·· （3）若某轴过形心，则图对该轴静矩为零。

反之若图形对某轴静为零，则该轴过形心。

Example 试用积分法求图示图形对y 轴的静矩S y ，并求形心坐标Z 。

Solution 以y 、z 为参考坐标轴 ①dz Z b a ydz dA nn==22·20210+=+====++⎰⎰⎰n abn z b a dzZ badz Z b a Z zdA S bn n A bon nn n b y②()11100+=+====+⎰⎰⎰n abn b ab dz Z b a ydz dA A n n bn n bA()21122++=++==n bn n ab n ab A S Z y 3．组合图形静矩计算及形心坐标确定。

（1）组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆形、三角形）组（2）静矩定理：整个图形对某轴之静矩等于组合图形各组成部分面积对该轴之矩的代数和。

⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑==ni i i y ni i i Z z A S y A S 11⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====ni i ni i i ni i ni ii A z A z A yA y 1111Example1 试求图形形心坐标z y ,Solution 以y 、z 为参考坐标系，因为形心一定在对称轴上，故()()cmO A A Z A Z A z y 67.12040445200222212211=--⨯⨯-=++==ππExample2 求组合图形的形心坐标，z y ，Given [No.18a A 1=25.7cm 2 cm z cmy 988.111==[No.9 90×90×10A 2=17.2cm 2()59.21859.222-=-=z cmySolution ：以yz 作为参考坐标轴()cmA A Z A Z A z 57.112.177.255.2182.17957.2212211=+-⨯+⨯=++=()cmA A y A y A y 0874.02.177.2559.22.1788.157.2212211=+-+⨯=++=§I-2 惯性矩和惯性半径 1．定义⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z A y dA y I dA z I 22 （1）惯性矩恒为正值 （2）量纲为长度的四次方力学计算中，有时把惯性矩写成图形面积A 与某一长度二次方的乘积，即 ⎭⎬⎫==22··z z y y i A I i A I 2．惯性半径⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A I i A I i z z y y (1) i y 为图形对y 轴的惯性半径i z 为图形对z 轴的惯性关径 （2）量纲为长度。

附录I 平面图形的几何性质§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式与主惯性轴§I-1 静矩和形心1． 静矩定义：⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰AyA Z zdA S ydA S （1）静矩是对坐标而言的，同一图形对不同坐标轴静矩不同（面积对轴的一次矩）。

（2）静矩可正值，可为负，亦可为零。

（3）量纲为长度的三次方。

2．形心坐标计算公式（1）合力矩定理——合力对某轴之矩，等于其各分对同一轴力矩的代数和。

（2）静面矩定理——总面积对某轴之矩，等于其各分面积对同一轴之矩的代数和。

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎭⎬⎫==A S z A S y z A S y A S y z y Z ·· （3）若某轴过形心，则图对该轴静矩为零。

反之若图形对某轴静为零，则该轴过形心。

Example 试用积分法求图示图形对y 轴的静矩S y ，并求形心坐标Z 。

Solution 以y 、z 为参考坐标轴 ①dz Z b a ydz dA nn==22·20210+=+====++⎰⎰⎰n abn z b a dzZ badz Z b a Z zdA S bn n A bon nn n b y②()11100+=+====+⎰⎰⎰n abn b ab dz Z b a ydz dA A n n bn n bA()21122++=++==n bn n ab n ab A S Z y 3．组合图形静矩计算及形心坐标确定。

（1）组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆形、三角形）组（2）静矩定理：整个图形对某轴之静矩等于组合图形各组成部分面积对该轴之矩的代数和。

⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑==ni i i y ni i i Z z A S y A S 11⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====ni i ni i i ni i ni ii A z A z A yA y 1111Example1 试求图形形心坐标z y ,Solution 以y 、z 为参考坐标系，因为形心一定在对称轴上，故()()cmO A A Z A Z A z y 67.12040445200222212211=--⨯⨯-=++==ππExample2 求组合图形的形心坐标，z y ，Given [No.18a A 1=25.7cm 2 cm z cmy 988.111==[No.9 90×90×10A 2=17.2cm 2()59.21859.222-=-=z cmySolution ：以yz 作为参考坐标轴()cmA A Z A Z A z 57.112.177.255.2182.17957.2212211=+-⨯+⨯=++=()cmA A y A y A y 0874.02.177.2559.22.1788.157.2212211=+-+⨯=++=§I-2 惯性矩和惯性半径 1．定义⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z A y dA y I dA z I 22 （1）惯性矩恒为正值 （2）量纲为长度的四次方力学计算中，有时把惯性矩写成图形面积A 与某一长度二次方的乘积，即 ⎭⎬⎫==22··z z y y i A I i A I 2．惯性半径⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A I i A I i z z y y (1) i y 为图形对y 轴的惯性半径i z 为图形对z 轴的惯性关径 （2）量纲为长度。

截面的形心和静矩Centroid and static moment of section在杆件的应力和变形公式中，遇到一些几何量，例如面积、静矩、形心位置、极惯性矩和轴惯性矩等，这些量只与构件的横截面形状和尺寸有关，而与构件的受力无关，称它们为截面的几何性质截面几何性质的计算在分析杆的强度和刚度时非常重要，首先应明确截面几何性质的定义，并熟练地掌握其计算方法。

1. 形心与静矩图图示任一截面，选任一参考坐标系yoz，设截面形心C的坐标为yc和zc，取微截面积dA，由合力矩定理可知，均质厚度薄板中面的形心、或该板的重心在yoz坐标系中的坐标为，（）式中:，，分别定义为截面对z 轴和y轴的静矩。

由公式（）可知，当y轴和z轴通过截面形心时（即yc=zc=0），则Sz=Sy=0；反之，当静矩Sz=0时，说明z轴通过截面形心；而当静矩Sy=0时，说明y轴通过截面形心。

此概念在确定梁的中性轴时十分有用。

2. 组合截面的形心与静矩图在工程实际中，经常遇到形状较为复杂的截面，它们由若干简单截面或标准型材组合而成，称为组合截面（图）。

当确定它们的形心时，可将其分割成n个部分，形心坐标为，（）式中Ai为分割后的各面积，yi和zi为Ai的形心在参考系中的坐标。

式中；，称为组合截面的静矩。

极惯性矩Polar momet of inertia 1. 定义图任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为处取一微面积dA，定义截面对原点O的极惯性矩为（）极惯性矩的量纲为长度的4次方（mm4），它恒为正。

2. 圆截面的极惯性矩图图示圆截面，取微面积为一薄壁环，即（图），读者自行证明实心圆、空心圆和薄壁圆截面（图）的极惯性矩分别为：（）（）（）式中，d—空心圆内径，D—空心圆外径，R—薄壁圆平均半径。

图轴惯性矩Second Axial moment of area and Parallel Axis Theory 1. 定义图任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在坐标为（y，z）处取一微面积dA ，定义截面对z和y轴的惯性矩为，（）其量纲为长度的四次方（mm4），恒为正。

8—1、静矩一、静矩、形心图形A 对Z 轴的静矩：S z =A yd =⎰图形A 对y 轴的静矩： S y =A zd ⎰ 据合力矩定理形心： y c =S z /A=i i A y A A yd ∑⎰=/Z c =S y /A=i i Az A A zd∑⎰=//S z，S y 的用途： 1求形心。

2校核弯曲构件的剪应力强度S z ，SS z =解；A 1A 2A 1， S z = =30y c =S z ⨯+⨯⨯mm =105mm 故： Z c =0 y c =105注； 坐标轴的选择不影响形心的位置一、惯性矩定义： y 2d A z 2d A d y ⎰2 d z⎰2二、计算（1） 矩形： a 解：d A =bd yI z =A Ad y ⎰2=h h y ⎰-2/2/2I y =A A d z ⎰2=z b b ⎰-2/2/2B 截面对z ，y 轴的解：d A =bd yI z =A Ad y ⎰2=hy ⎰02I y =A Ad z ⎰2=hdz z b⎰02= h[z /3]0=hb /3（2）圆形截面： I z ，I y 解：I z =I y=dA y d d ⎰-2/2/2==y d d d y d y 222/2/2)2/(2-⋅⋅⎰-d A =d y ⋅⋅222)2/(y d -性质：1、惯性矩恒为正2 圆形；I z =I y =64/4d π环形：I z =I y =64/)1(44απ-d （D d /=α）对其形心的惯性矩 ，其它图形查附录（3）组合图形 I z =∑zi I ； I y =∑yi I三、极惯性矩。

定义： I ρ=A Ad ⎰2ρ其中：2ρ=y 2+z2ρ=A Ad ⎰2ρ=A Ad z y ⎰+)(22=A Ad y ⎰2+A Ad z ⎰2=I z +I y圆截面： I ρ=32/4D π环截面： I ρ=32/)/1(444D d D -π 四、惯性半径在压杆稳定计算中，将惯性矩表示成：I z =（i z ）2·A 或 I z =A I z / 1、矩形截面的： I z =A I z /=bh bh 12/3=h/（12）i y =A I y /=bh bh 12/3=b/（12）2、圆形截面： i=A I /=D/4五、惯性积=A Ac d y ⎰2+2a A Ac d y ⎰+a 2A Ad ⎰其中 ： A Ac d y ⎰=S zc =0 A Ac d y ⎰2=I zc8—31、主惯性轴：如y 、z 轴旋转到某个0αα=z 0，y 02、主惯性矩：截面对z 0 、y 0称主惯性矩。