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静矩和形心[业界优制]

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截面的形心静矩

截面的形心静矩

03
截面形心静矩的性质
形心静矩的性质
1 2
线性性质
形心静矩是线性变换的，即当截面受到线性变换 （如平移或旋转）时，形心静矩的值不会改变。
面积无关性
形心静矩与截面的面积无关，只与截面的形状有 关。
3
方向性
形心静矩具有方向性，其值取决于截面的法线方 向。
截面形心静矩与截面几何形状的关系
01
02
03
积分法
积分法是通过将截面划分为若干个小 面积元，然后对每个面积元计算形心 和面积，再对所有面积元的形心和面 积进行积分来计算截面形心静矩的方 法。
积分法适用于各种形状的截面，计算 精度较高，但计算过程较为复杂，需 要使用数值积分方法进行计算。
代数法
01
代数法是通过建立截面形心静矩 的代数方程，然后求解该方程来 计算截面形心静矩的方法。
在材料力学中的应用
材料应力分析
通过截面形心静矩，可以计算出材料 的应力分布，了解材料在不同受力状 态下的行为和性能。
材料强度评估
材料稳定性分析
通过截面形心静矩，可以对材料在不 同温度、湿度等环境因素下的稳定性 进行分析，预测材料的长期性能和可 靠性。
利用截面形心静矩，可以对材料的强 度进行评估，预测材料在不同受力条 件下的失效模式和极限承载能力。
圆形截面的形心静矩
总结词
圆形截面的形心静矩计算稍微复杂一些，需要使用微积分的方法。
详细描述
圆形截面的形心静矩可以通过以下公式计算：$S_{c} = frac{pi d^4}{64}$，其中$d$是圆形截面的直径。 这个公式是通过微积分的方法得出的，可以用来计算圆形截面的形心静矩。
其他形状截面的形心静矩
圆形截面

惯性矩、静矩,形心坐标公式

惯性矩、静矩,形心坐标公式

§I−1 截面得静矩与形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分(I −1)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得静矩。

静矩可用来确定截面得形心位置。

由静力学中确定物体重心得公式可得利用公式(I −1),上式可写成 (I −2) 或 (I −3) (I −4)如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成得组合图形,则由静矩得定义可知,整个图形对某一坐标轴得静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴得静矩得代数与。

即:(I −5)式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分得面积与其形心坐标,n 为简单图形得个数。

将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标得计算公式为 (I −6)例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面得形心位置。

解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面得对称轴。

因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。

将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0.072m 2,A Ⅱ=0.08m 2y Ⅰ=0.46m,y Ⅱ=0.2m§I −2 惯性矩、惯性积例题I −1图图I −1与极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。

现在图形内取微面积d A ,d A 得形心在坐标系zOy 中得坐标为y 与z ,到坐标原点得距离为ρ。

现定义y 2d A 与z 2d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴得惯性矩,ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点得极惯性矩,而以下三个积分(I −7)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得惯性矩以及对坐标原点得极惯性矩。

由图(I −2)可见,,所以有(I −8) 即任意截面对一点得极惯性矩,等于截面对以该点为原点得两任意正交坐标轴得惯性矩之与。

另外,微面积d A 与它到两轴距离得乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴得惯性积,而积分(I −9)定义为该截面对于y 、z 轴得惯性积。

截面的形心静矩

截面的形心静矩

形心静矩具有方向性，其方向与形心 位置有关。
形心静矩的应用
01
在结构设计中，形心静矩可用于计算截面的抗弯能 力，从而评估结构的稳定性。
02
在机械设计中，形心静矩可用于计算转动惯量，从 而评估机械设备的动态性能。
03
在船舶与海洋工程中，形心静矩可用于计算浮力与 稳性，确保船舶的安全航行。
03
截面形心静矩的计算
截面形心静矩与其他力学性能的关系研究
总结词
材料属性影响
详细描述
材料属性对截面形心静矩的影响也是未来的 研究方向之一。研究不同材料属性（如弹性 模量、泊松比等）对截面形心静矩的影响规 律，有助于更好地理解材料的力学行为，并 为新型材料的开发和优化提供理论支持。
截面形心静矩在新型材料和结构中的应用研究
05
截面形心静矩的未来研究 方向
截面形心静矩的优化计算方法
总结词
优化计算方法
详细描述
随着计算机技术的不断发展，截面形心静矩的优化计算方法成为了一个重要的研究方向。目前，研究 者们正在探索更高效、精确的数值计算方法，以解决复杂截面形状和材料属性对形心静矩计算的影响 。
截面形心静矩的优化计算方法
总结词
截面的形心静矩
contents
目录
• 截面形心静矩的定义 • 截面形心静矩的性质 • 截面形心静矩的计算 • 截面形心静矩的实例分析 • 截面形心静矩的未来研究方向
01
截面形心静矩的定义
形心
定义
形心是截面图形的几何中心，通 常用于描述截面的质量分布情况 。
计算方法
对于规则图形，形心位置可以通 过几何计算得出；对于不规则图 形，可以通过积分计算得出。
详细描述
对于圆形截面，形心静矩可以通过以 下公式计算：$I = frac{pi d^4}{64}$， 其中$d$为截面的直径。这个公式适 用于圆形截面，其中形心静矩表示截 面对其轴线的惯性矩。

静矩和形心

静矩和形心
y
静矩和形心
S y AzC
S z AyC
1.若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必
过
形心； 2.若轴过形心，则截面对该轴的静矩等于零
。
静矩和形心
三、组合截面的静矩
由几个简单图形组成的截面称为组合截面 。
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和 ， 等于该截面对于同一轴的静矩。
静矩和形心
n
S y
zdA
A
Ai zCi
i 1
n
S z
ydA
A
A i yCi
i 1
其中 Ai —第 i个简单截面面积；
( yCi, zCi)—第 i个简单截面的形心坐标；
静矩和形心
静矩和形心
一、静矩(面积的一次矩)
设平面图形，取 yoz 为图形所在平面的坐标 系，在坐标为（y , z）处取面积元dA。 截面对 y , z 轴的静矩为 z
y
S y
zdA
A
dA
m3
z
S z
ydA
A
O
y
静矩和形心
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
1.静矩可正，可负，也可能等于零；
2.同一图形，对不同的坐标轴，静矩也不同。
静矩和形心
二、截面的形心(Centroid of an area)
n
Ai zCi
zC
i1 n
Ai
i1
z d
A
A
A
z
z zC
dA C
O yC
y
Sy A
y
静矩和形心
n
Ai
i1
A ydA

第七章 静矩及其性质

第七章 静矩及其性质

Iy Iy i i 1 n I z I z i i 1 n I yz I yz i i 1
n


I z i 、 I y i、 I yz i 分别为第个i简单图形对y轴和z轴的惯 式中， 性矩和惯性积。
22
§7-3
17
例2
求图示矩形的 I z , I y , I yz ,i y ,iz z
dz z
h
c
y
b
1 3 b 3 bh I y z dA z A 12 3 h 2 1 3 2 I z y dA hb A 12 Iy 3 iy h A 6
2
h 2
Iz 3 iz b A 6 I yz yzdA 0
z
60 96 65 (77 ) 39.7(mm ) 96 77 13
§7-2
惯性矩和惯性积
y
z y dA z
一、简单图形的惯性矩 1、定义： dA对z轴的惯性距: dA对y轴的惯性距: 图形对z轴的惯性矩:
2
dIz y dA 2 dIy z dA o
I z y 2 dA,
求圆环圆形的 I z , I y z D d y
I P I P大 I P小
1 1 D 4 d 4 32 32 1 D 4 ( 1 4 ) 32

d D
I y I z I z大 I z小
1 D 4 (1 4 ) 64
21
三、组合图形的惯性矩及惯性积 根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩 等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图 形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图 形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为

第10章平面图形的几何性质ppt课件

第10章平面图形的几何性质ppt课件
组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等） 组成的平面图形
如：
1.静矩
n
Sx
yd A
ydA
A n
A1 An n
i 1
Ai
yd A
S xi Ai yCi A yC
i 1
i 1
n
n
S y S yi Ai xCi A xC
i 1
i 1
y
xC C yC
x O
2.形心
n
Ai xCi
Ix0
Ix
Iy 2
1 2
Ix Iy
2
4
I
2 xy
I y0
Ix
Iy 2
1 2
Ix
Iy
2
4
I
2 xy
极大值Imax 极小值Imin
例 计算所示图形的形心 主惯性矩.
120 40 z 20
25 20 10
解：该图形形心C的位置已
确定，如图所示.
过形心C选一对座标轴
C
y
y z 轴，计算其惯性矩(积).
1.5d (2d )3 3d 2(0.177d )2 [πd 4 πd 2 (0.5d 0.177d )2 ]
12
64 4
2d
0.685d 4
I zC I矩zC I圆zC
(1.5d )3 2d πd 4 0.513d 4
12
64
I yC zC 0
所以 yCzC 便是形心主轴
——反映平面图形的形状与尺寸的几何量
如：
在轴向拉（压）中：
FN A
l FNl EA
本章介绍：平面图形几何性质的定义、计算方法和性质
§10.1 静矩与形心

材料力学(附录)

材料力学(附录)

40 10
20 y
1
C2
15
解：
y Ai yi A

A1
y 1

A2
y 2
A1 A2
a
10120024054400115520
x
26.25(cm)
y
Ix Ix i Ix1 Ix2
x1
I x12011203 2010(4526.25)2
单位：cm
称x0 、y0 轴为主轴，称 I x0 和I y0 为主惯性矩。
y
y0
x0
0
x
使惯性积为零的坐标轴称为主轴。平面图形对主轴的惯性 矩称为主惯性矩。
三、图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩
主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之
惯性矩，称为形心主惯性矩。
yC yC0
tan20

2Ixcyc Ixc Iyc
IxC I矩xC I圆xC
[1 .5 d (2 d )3 3 d 2 (d 0 .8d 2 )2 ] 3 [d 4 d 2 (1 .5 d 0 .8d 2 )2 ]3
Iy

Iy

i
I y1

Iy2
1020 3 I y1 12
0.67104(cm4)
I
y
2

40 15 12
3
1.13104(cm4)
x
Iy Iy1Iy2
y
x1
(0.671.13)104
1.8104 (cm4 )
[例] 计算图示图形对其形心轴x轴的惯性矩。
12 y
解：
x 0
20
①
y yi Ai

静矩和形心PPT课件

静矩和形心PPT课件

z2 dA
h/2
z2bdz
bh 3
A
h/2
12
dz
z
第19页/共41页
例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。
d4
I p 32 Iy Iz Ip
Iy Iz
第20页/共41页
CL6TU8
三、惯性 积
z
y dA
z
O
y
I yz
yzdA
A
第21页/共41页
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标 轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯
A yc2 dA 2a A yc dA a 2
dA
A
Izc a2 A
第26页/共41页
z
zc
a
yc
b
O
y
Iz IzC a2 yC b2 A
I z I zC a 2 A
I yz I yCzC abA
第28页/共41页
例：求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy
O
y
I p
2 dA
A
定义为图形对O点的极惯性矩
第4页/共41页
§6-1 静矩和形心
z
y dA
z
O
y
Sz
ydA
A
,
Sy
zdA
A
第5页/共41页
形心坐标： z
yC
zC
O
y
ydA
yC
A
A
,
第6页/共41页
zC
zdA
A
ACL6TU3
静矩和形心坐标之间的关系：
z yC
zC
yC
Sz A
第34页/共41页

材料力学附录I 平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩

材料力学附录I 平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩
C O
10 150yC x1
x
由于对称知： xC=0
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-2 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
Iz
y 2 d A,
A
Iy
z2dA
A
工程中常把惯性矩表示为平面图 形的面积与某一长度平方的乘积， 即
Iy A iy2
或
iy
Iy A
Iz A iz2
或
iz
Iz A
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2[I圆x1A圆 (0.5dy)2 ]
1.5d
(2d )3
3d 2 (0.177 d )2
d 4
[
d 2
(0.5d
0.177 d )2 ]
0.685 d 4
A
dA
zdy
h1
y2 b2
dy
dz
z
yC C y
O b
A
y
dA
A
b 0
h1
y2 b2
dy
2bh 3
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
z
h yC C z O y dy
b
Sz
y
ydA
A
b 0
yh1
y2 b2
dy
b2h 4
yC
Sz A
3b 8
z
dz
z
yC C y
y
O b
Sy
4bh2 15
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式 主惯性轴

材料力学第四章 平面图形的几何性质

材料力学第四章 平面图形的几何性质
【重点和难点】 重点：静矩、形心、惯性矩的计算，平行移轴公式的 应用，主轴及形心主惯性平面的概念 难点：平行移轴公式及转轴公式的应用
§4.1 静矩和形心
一、静矩，即面积对轴的矩：(与力矩类似)
z
是面积与它到轴的距离之积。
图形对y轴和z轴的静矩为
dA
Sz
ydA
A
z
Sy
zdA
A
特点：
y▲静矩的量纲为长度的三次方；
第四章 平面图形的几何性质
§4.1 静矩和形心 §4.2 惯性矩和惯性半径 §4.3 惯性积 §4.4 平行移轴公式 §4.5 转轴公式 主惯性轴
第四章 平面图形的几何性质
【基本内容】
一、静矩、形心 二、惯性矩、惯性积、惯性半径 三、主轴、主惯性矩、形心主惯性平面的概念 四、平行移轴公式、转轴公式
跟踪训练
1.图示矩形截面的I．Ⅱ两部分对z轴的静矩的关 系是( )
例 1 求下列各图的图形形心位置。
za
y1
1 2
a,
y2
3 2
a
z1
a,
z2
1 2
a
2a o
A1
y
n
Ai yi
i 1
n
Ai
2a2
1a 2 2a2
a2 a2
3 2
a
5 6
a
i 1
A2
a
yz
n
Ai zi
i 1
n
Ai
2a2 a a2 1 a 2
I z1
Iy
2
Iz
Iy
Iz 2
cos2
I yz sin 2
I y1z1
Iy
2

材料力学优质题库-知识归纳整理

材料力学优质题库-知识归纳整理

知识归纳整理材料力学基本知识复习要点1.材料力学的任务材料力学的主要任务算是在满足刚度、强度和稳定性的基础上，以最经济的代价，为构件确定合理的截面形状和尺寸，挑选合适的材料，为合理设计构件提供必要的理论基础和计算想法。

2.变形固体及其基本假设延续性假设：以为组成物体的物质密实地充满物体所在的空间，毫无空隙。

均匀性假设：以为物体内各处的力学性能彻底相同。

各向同性假设：以为组成物体的材料沿各方向的力学性质彻底相同。

小变形假设：以为构件在荷载作用下的变形与构件原始尺寸相比非常小。

3.外力与内力的概念外力：施加在结构上的外部荷载及支座反力。

内力：在外力作用下，构件内部各质点间相互作用力的改变量，即附加相互作用力。

内力成对闪现，等值、反向，分别作用在构件的两部分上。

4.应力、正应力与切应力应力：截面上任一点内力的集度。

正应力：垂直于截面的应力分量。

切应力：和截面相切的应力分量。

5.截面法分二留一，内力代替。

可概括为四个字：截、弃、代、平。

即：欲求某点处内力，假想用截面把构件截开为两部分，保留其中一部分，舍弃另一部分，用内力代替弃去部分对保留部分的作用力，并举行受力平衡分析，求出内力。

6.变形与线应变切应变变形：变形固体形状的改变。

线应变：单位长度的伸缩量。

练习题一.单选题1、工程构件要正常安全的工作，必须满足一定的条件。

下列除（）项，其他各项是必须满足的条件。

A、强度条件B、刚度条件C、稳定性条件D、硬度条件求知若饥，虚心若愚。

2、各向同性假设以为，材料内部各点的（）是相同的。

A.力学性质B.外力C.变形D.位移3、根据小变形条件，可以以为（）A.构件不变形B.结构不变形C.构件仅发生弹性变形D.构件变形远小于其原始尺寸4、构件的强度、刚度和稳定性（）A.只与材料的力学性质有关B.只与构件的形状尺寸有关C.与二者都有关D.与二者都无关5、在下列各工程材料中，（）不可应用各向同性假设。

6、A.铸铁 B.玻璃 C.松木 D.铸铜物体受力作用而发生变形，当外力去掉后又能恢复原来形状和尺寸的性质称为（）A．弹性B．塑性C．刚性D．稳定性7、结构的超静定次数等于（）。

截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算课件

截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算课件

数值模拟与优化
利用数值模拟技术，如有限元方法、边界元方法等，可以更精确地计算 截面的静矩和形心位置及惯性矩，并在此基础上进行结构优化设计。
03
多学科交叉
未来研究可以结合多个学科领域，如物理学、化学、生物学等，以更全
面地理解截面的静矩和形心位置及惯性矩的本质和规律，推动相关领域
的发展。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
对于任意形状截面，其静矩可以通过对截面进行微分， 然后计算每个微元面积与微元重心到截面边缘的距离乘 积，最后对所有微元的静矩进行积分得到。形心位置可 以通过对截面进行微分，然后计算每个微元的面积与微 元重心坐标的平均值得到。惯性矩可以通过对截面进行 微分，然后计算每个微元的面积、微元重心到截面边缘 的距离以及微元的转动惯量，最后对所有微元的转动惯 量进行积分得到。
矩值。
通过公式计算其半径和 圆周率，得出惯性矩值。
通过公式计算其长轴、 短轴和圆周率，得出惯
性矩值。
不规则截面
需采用数值分析方法进 行近似计算或通过实验
测量得出。
03
截面几何特性的应用
结构强度分析
静矩
静矩是截面内力的一个重要参数，用于计算截面在受力时的稳定性。静矩的计算公式为 ∫(y*dA)，其中y为截面各点到截面中心的距离，dA为面积微元。
形心位置
形心是截面的几何中心，其位置决定了截面的质量分布和转动惯量。形心位置可以通过积分 计算得到，公式为∫dA/A∫dxdy，其中A为截面面积。
惯性矩
惯性矩是衡量截面抗弯能力的重要参数，其计算公式为∫y^2dA，其中y为截面各点到形心距 离，dA为面积微元。
结构稳定性分析
结构失稳
当结构受到的外部载荷超 过其承载能力时，结构会 发生失稳，导致结构变形 甚至破坏。

什么是静矩[整理版]

什么是静矩[整理版]

SimWe仿真论坛's ArchiverSimWe仿真论坛» I02：数学与力学科学» 关于静距、惯性矩、惯性积的问题关于静距、惯性矩、惯性积的问题材料力学中静距、惯性矩、惯性积的意义是什么？个人认为静距描述的几何形状沿某一坐标方向的分布情况。

对于惯性距和惯性积描述的是什么？欢迎大家一起讨论。

静距用来求形状的型心坐标惯性矩、惯性积【1】用于材料力学求梁bending的应力，【2】用于求刚体动力学转动惯量楼上所说的是静矩、惯性矩和惯性积这三个量的作用，我希望大家对这三个量的意义或所描述的问题做一讨论。

你先讲一下你想知道什么方面的问题，在哪方面的意义?在材料力学里，对于弯曲和扭转，在计算其强度和刚度要用到惯性矩吧使计算弯曲应力的吧，至于意义我也说不清楚个人理解（也许可能不准确）：惯性矩可以看成几何形状沿某方向上所存储的转动势。

对于静矩的求解一方面可以利用其确定几何体的行心坐标，同时在进行梁切应力求解中也会用到静矩，对于惯性矩主要是极惯性矩和相对中性轴的惯性矩，极惯性矩主要是求解圆截面的扭转，中性轴惯性矩主要用于梁弯曲应力的求解，惯性矩肯定为正值，而惯性积可能为负也可能为正，具体的公式大家可以查看材料力学里面的附录，都会有详细的介绍。

在车身设计中，惯性矩决定了车身各个截面结构抗弯曲和抗扭转的性能。

通过适当方式增大惯性矩和惯性积可以大幅提高车身的弯曲扭转刚度……转动惯量在理论力学中学到的，质量乘以惯性半径的平方静矩惯性矩和惯性积是在材料力学中学到的，与质量无关的但在UG里惯性积就是转动惯量，我就不明白什么意思了静矩，是某截面面积对某一坐标轴的一次矩，通常用来求某截面的形心坐标和该构件的重心坐标．符号通常为Ｓ，单位是Ｍ３；极惯性矩，是某截面面积对形心点的二次矩，通常用来求圆轴扭转问题的强度和刚度问题．符号通常为Ｉp,单位是Ｍ４；惯性矩，是某截面面积对某一坐标轴的二次矩，通常用来求梁的弯曲时的强度和刚度问题．符号通常为Ｉz或Ｉy,单位是Ｍ４；惯性积，楼上说的已经比较具体了楼主的意思应该是让大家讨论一下惯性距和惯性积的物理意义吧？我认为惯性距是定义刚体受外力作用下的转动势。

数学积分计算静距和形心截面的几何性质的关系

数学积分计算静距和形心截面的几何性质的关系
在实际应用中，还可以利用积分计算静距来优化物体的设计。例如，在建筑设计、工程设计和工业设计中，可以利用积分计算静距来优化物体的形状和尺寸，从而提高其性能或降低其成本。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对实际应用的建议
THANKS
感谢您的观看。
形心截面的几何性质
形心的定义
形心
在平面几何中，形心是平面图形的几何中心，通常用于描述多边形的中心点。
计算方法
通过计算多边形的各顶点坐标的平均值，可以得到形心的坐标。
面积
截面是平面图形的一部分，其面积可以通过计算该部分内所有点的坐标值之和，然后除以2得到。
周长
截面的周长是该部分边界线的长度，可以通过计算该边界线上所有点的坐标值之和，然后除以2得到。
数学积分计算静距和形心截面的几何性质的关系
目录
积分计算静距 形心截面的几何性质 积分计算静距与形心截面的几何性质的关系 静距与形心截面在工程中的应用 结论
01
CHAPTER
积分计算静距
静距
在数学中，静距是指两个点之间的最短距离，通常表示为d(P1, P2)，其中P1和P2是平面上的两个点。
静距的性质
未来研究还可以探索如何利用积分计算静距来优化物体的设计。例如，可以通过调整物体的形状或尺寸，使其在某个方向上的积分特性达到最优，从而提高物体的性能或降低其成本。
对未来研究的展望
在实际应用中，可以利用积分计算静距来描述和分析形心截面的几何性质。例如，在机械设计、航空航天、交通运输等领域中，可以利用积分计算静距来评估和分析物体的稳定性、振动和运动特性等。
积分计算静距还可以用于确定形心截面的重心位置。通过计算形心截面上各点的积分值，并将它们加权平均，可以得到形心的坐标。
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或 iy
Iy A
Iz A iz2
或
iz
Iz A
i y 、iz 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
扶风书屋
17
二、极惯性矩
z
I p
2 dA
A
y dA
z
2 y2 z2
Ip Iy Iz
O
y
扶风书屋
18
例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。
扶风书屋
CL61T9 U7
解： Iy
必等于零。 I yz 0 z
dA dA
y
扶风书屋
CL62T3 U9
几个主要定义: (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐
标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、z0 称为主惯性轴。
因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标 轴一定是平面图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的
zdA
A
ACL6T7 U3
静矩和形心坐标之间的关系：
z
yC C
zC
yC
Sz A
zC
Sy A
O
y
S y A z
C 扶风书屋
,
Sy
zC
A 8
例：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图 形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。
z
y2
z
h1
b2
O
扶风书屋
y
CL6T9 U4
解：
Sy
z dA 2
扶风书屋
35
主惯性矩公式：
I
y0
Iy
Iz 2
I
z0
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
2
I
2 yz
Iy
2
Iz
2
I
2 yz
或简写成：
I y0 I z0
Iy
Iz 2
Iy 扶风书屋
Iz 2
2
I
2 yz
36
求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩 大小的步骤： 1）找出形心位置； 2）通过形心C建立参考坐标 yoz，求出
A yc2 dA 2a A yc dA a 2
dA
A
Izc a2 A
扶风书屋
27
z
zc
a
C
yc
b
O
y
Iz
I a A 2 zC扶风书屋
28
平行移轴公式：
I y I yC b2 A
I z I zC a 2 A
I yz I yCzC abA
扶风书屋
29
例：求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy
惯性矩称为主惯性矩。
扶风书屋
24
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为 形心主惯性轴。
可以证明:任意平面图形必定存在一对相 互垂直的形心主惯性轴。
(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主 惯性轴的惯性矩称为形轴公式
z
zc
y
a
yc
y yc a z zc b
I y1 A z12 dA
( y sin z cos)2 dA A
Iz sin2 I y cos2 I yz sin 2
Iy
Iz 2
Iy
I z cos2
2扶风书屋
I yz sin 2 33
转轴公式：
I y1
Iy
Iz 2
Iy
Iz 2
cos 2 I yz
sin 2
I
z2 dA
h/2
z2bdz
bh 3
A
h/2
12
dz
z
扶风书屋
20
例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。
d4
I p 32 Iy Iz Ip
Iy Iz
扶风书屋
CL62T1 U8
三、惯性积
z
y dA
z
O
I yz
yzdA
A扶风书屋
y
22
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴 是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积
Iy、Iz、Iyz 3）求α0、Iy0、Iz0
第六章 平面图形的几何性质 z
y dA
z
O
扶风书屋
y CL6T1 U1
z
y dA
z
ydA
O
y
Sz
ydA
A
,
Sy
zdA
A
定义为图形对z轴扶和 风书屋y轴的静矩 2
z
y dA
z
y2 dA
O
y
Iz
y2 dA
A
,
Iy
z2 dA
A
定义为图形对z轴扶风和书屋 y轴的惯性矩 3
z
y dA
z
yzdA
z1
Iy
Iz 2
Iy
Iz 2
cos 2 I yz
sin 2
I
y1 z1
Iy
Iz 2
sin 2 I yz
扶风书屋
cos 2
34
主惯性轴方位：
设正交坐标轴y0 、z0 是主惯性轴，其方位
角为 0，则
I y0z0
Iy
2
Iz
sin 2 0
I yz
cos2 0
0
tan 2 0
2I yz Iy Iz
z
a
y
a
d
扶风书屋
CL6T30U11
解：
z
a
a
y
Iy
d (2a)3 12
d
CL6TU11
d 4
2
128
d2
8
2d
3 扶风书屋
2
d 8
2
2d
3
a 2 31
§6-4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩
扶风书屋
CL6T3U2 12
y1 y cos z sin z1 y sin z cos
扶风书屋
CL61T4 U6
解：
Sy
b
h 2
a a
h 4
a 2
b h2
2 4
a
2
扶风书屋
15
§6-2 惯性矩、极惯性矩和惯性积
一、惯性矩 z
y dA
z
O
y
Iz
y2dA ,
A
扶风书屋
Iy
z2 dA
A
16
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与 某一长度平方的乘积，即
Iy A iy2
2h 5
3 扶风书屋
11
例：确定图示图形形心C的位置。
扶风书屋
CL61T2 U5
解： yC
Sz A
10 120 5 70 10 45 19.7mm 1200 700
zC
Sy A
10 120 60 70 10 5 39.7mm 1200 700
扶风书屋
13
例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。
dA
C
zc yc bz
O
扶风书屋
yCL6T26U10
Iz
y2 dA,
A
Iy
z2 dA,
A
Iyz
yz dA
A
I zc A yc2 dA , I yc A zc2 dA , I yczc A yc zc dA
y yc a , z zc b
Iz
y 2 dA
A
A ( yc a)2 dA
O
y
I yz
yzdA
A
定义为图形对y扶风、书屋z轴的惯性积 4
z
y dA
z
2 dA
O
y
I p
2 dA
A
定义为图形对O扶风点书屋 的极惯性矩 5
§6-1 静矩和形心
z
y dA
z
O
y
Sz
A
ydA
,
扶风书屋
Sy
zdA
A
6
形心坐标： z
yC C
zC
O
y
yC
ydA
A
,
A 扶风书屋
zC
A
b 0
1
h
2
1
2
y2 b2
2
d
y
4bh 2 15
Sz
A
y dA
b 0
yh1
y2
b
2
d
y
b2h 4
z
h
z
h1
y2 b2
Oy
dy y
b扶风书屋
10
A
dA
A
b 0
h1
y2 b2
dy
2bh 3
形心坐标为:
bh 2
yC
Sz A
4 2bh
3b 8
3
4bh 2
zC
Sy A
15 2bh